Тема 5.Абсолютные и относительные величины. Средние величины и показатели вариации
Оглавление:
1. Абсолютные величины
2. Относительные величины
3. Сущность средней в статистике, виды иформы средних
4. Средняя арифметическая и условия ееприменения
5. Средняя гармоническая и условия ееприменения
6. Структурные средние
7. Виды показателей вариации
Цель: ознакомить с понятием «средняя величина»; рассмотреть видысредних величин и способы их расчёта; свойства средней арифметической величин;показатели вариации.
После изучения высможете: правильноопределять средние величины и показатели вариации.
Информационныеисточники:
1. Статистика:Учебник/Под ред. В.Г. Ионина. — М.: ИНФРА-М, 2008.
2. Курс теориистатистики: Учебник/Под ред. В.Н. Салина, Э.Ю. Чурикова. – М.: Финансы иСтатистика, 2006.
3. Годин А.М. Статистика:Учебник. – М.: Дашков и К’, 2008.
4. Галкина В.А.Статистика: Учебное пособие: М.: РГАЗУ,2002.
5. Громыко Г.Л. Теориястатистики. Практикум. — М.: ИНФРА-М, 2008.
6. Теория статистики:Учебник/Под ред. Р.А Шмойловой М.: Финансы и Статистика,2007.
Содержание темы: определяющие свойства средней величины;виды степенных средних величин (арифметическая; гармоническая; геометрическая;квадратическая); показателей вариации (абсолютные и относительные).
Абсолютные иотносительные величины являются обобщающими статистическими. показателями,характеризующими количественную сторону общественных явлений. Различают двавида обобщающих показателей: абсолютные и относительные величины.
1.Абсолютные величины
Абсолютныестатистические величины имеютбольшое теоретическое и практическое значение. Они бывают индивидуальными исуммарными. Как обобщающие показатели абсолютные величины являютсявсегда суммарными величинами, которые могут быть показателями численностисовокупности (число предприятий, число рабочих, число студентов) и показателямиобъема признаков (заработная плата рабочих, объем выпуска товаров и услуг ит.п.).
Абсолютныевеличины — именованные числа, имеющие определенную размерность и единицыизмерения. Они характеризуют показатели на определенный момент времени или запериод. На момент времени абсолютные величины показывают состояниеявления (численность населения, студентов, вузов, предприятий); за период — результатыпроцесса (объем производства товаров и услуг, товарооборота и т.д.). В первомслучае абсолютные величины являются моментными показателями, во втором — интервальными. Такое деление абсолютных величин имеет большое значениепри расчете средних уровней в рядах динамики.
В зависимостиот причин и целей в статистике применяются натуральные, условно-натуральные,денежные и трудовые единицы измерения. Натуральные единицы измерения могут бытьпростыми (например, тонны — перевезенный груз) и составными (например,тонна-километры — грузооборот).
Вмеждународной практике используются следующие натуральные единицы измерения:метры, километры, мили, литры, баррели, штуки, килограммы и т.д.
Условно-натуральныеизмерители применяются в тех случаях, когда какой-либо продукт имеет несколькоразновидностей. Тогда общий объем можно определить исходя из потребительскогосвойства всех разновидностей продукта. Так, мыло разных сортов переводится вусловное мыло с 40%-ным содержанием жирных кислот; консервы различного объемапереводятся в условные консервные банки объемом 353,4 см3; различные видыорганического топлива — в условное топливо с теплотой сгорания 29,3 мДж/кг(7000 ккал/кг). Перевод в условно-натуральные единицы измерения осуществляетсяна основе специальных коэффициентов, рассчитываемых как отношениепотребительских свойств отдельных разновидностей продукта к его эталонномузначению.
Пример 1.3.1. За отчетный период предприятие произвелоследующие виды мыла и моющих средств:Вид мыла и моющих средств Количество (кг) Мыло хозяйственное 60%-ной жирности 400 Мыло хозяйственное 40%-ной жирности 200 Мыло туалетное 80%-ной жирности 1200 Стиральный порошок 10%-ной жирности 2200
Определитеобщее количествовыработанной предприятием продукции в условно-натуральных единицах измерения.За условную единицу измерения принимается мыло 40%-ной жирности.
Решение
Исчислимкоэффициенты перевода. Если условной единицей измерения является мыло 40%-нойжирности, то это значение принимается равным единице. Тогда коэффициентыперевода в условное мыло исчислим так: мыло хозяйственное 60%-ной жирности: 60: 40 = 1,5; мыло туалетное 80%-ной жирности: 80: 40 = 2,0; стиральный порошок10%-ной жирности: 10: 40 = 0,25.
Далееопределим количество продукции в условно-натуральных единицах измерения (табл.1.3.1).
Таблица 1.3.1
Общий объемпроизводства мыла и моющих средств по видам за отчетный периодВид мыла и моющих средств Количество, кг Коэффициент перевода Количество продукции в условно-натуральном исчислении, кг Мыло хозяйственное 60%-ной жирности 400 1,5 600 Мыло хозяйственное 40%-ной жирности 200 1,0 200 Мыло туалетное 80%-ной жирности 1200 2,0 2400 Стиральный порошок 10%-ной жирности 2200 0,25 550 Итого - - 3750
Общий объемпроизводства мыла и моющих средств в 40%-ном исчислении составил 3750 кг.
Особое местоотводится стоимостным единицам измерения, позволяющим дать денежную оценкусоциально-экономическим показателям (выпуск товаров и услуг, валовой внутреннийпродукт (ВВП), валовой национальный продукт (ВНП) и др.).
Трудовыеединицы измерения (человеко-дни, человеко-часы) позволяют учитывать как общиезатраты на предприятии, так и трудоемкость отдельных операций технологическогопроцесса.
Впрактической деятельности при отсутствии необходимой информации абсолютныевеличины получают расчетным путем, например на основе балансовой увязки:
3н + П = Р +3к
где Зн — запас на начало периода;
П — поступление за период;
Р — расход запериод;
Зк — запас наконец периода.
Отсюда
Р = Зн + П — Зк
Общий объемпризнака можно рассчитать и по данным о среднем значении и численностисовокупности. Так, если в среднем число студентов в группе 25 чел., число группстудентов по данной специальности 12, то общая численность студентов,обучающихся по данной специальности, 300 чел. (25 ´ 12).
Абсолютныестатистические величины широко используют в анализе и прогнозировании состоянияи развития явлений общественной жизни.
На основеабсолютных величин исчисляют относительные величины.
2. Относительные величины
Относительныевеличины (показатели)характеризуют количественное соотношение сравниваемых абсолютных величин. Ихполучают в результате сравнения двух показателей. Числитель отношения — сравниваемая величина, ее называют текущей или отчетной величиной,знаменатель отношения называют базой сравнения или основанием сравнения.Как правило, базу сравнения принимают равной 1, 100, 1000, 10000. Еслиоснование равно 1, то относительная величина показывает, во сколько раз текущаявеличина больше базисной, или какую долю от базисной она составляет, ивыражается в коэффициентах. Если база сравнения равна 100, тоотносительная величина выражена в процентах (%), если база сравнения равна 1000- в промилле (%0), 10000 — впродецимилле (%00).
Сопоставляемыевеличины могут быть одноименными и разноименными. Если сравнивают одноименныевеличины, то их выражают в коэффициентах, процентах и промилле. Присопоставлении разноименных величин наименования относительных величинобразуются от наименований сравниваемых величин: плотность населения страны — чел./км2; урожайность — ц/га и т.д.
В зависимостиот задач, содержания и познавательного значения выражаемых количественныхсоотношений различают следующие виды относительных показателей:
1)плановогозадания (договорных обязательств);
2)выполненияплана (договорных обязательств);
3)динамики;
4)структуры;
5)интенсивностии уровня экономического развития;6)координации;
7) сравнения.
Относительныйпоказатель планового задания (ОППЗ). Все предприятия любой формы собственности осуществляют втой или иной степени как текущее, так и перспективное планирование. Для этогоисчисляют ОППЗ отношением уровня, запланированного на предстоящий период (П), куровню показателя, достигнутому в предыдущем периоде (Фо):
ОППЗ = (П /Фо) ´ 100.
Пример1.3.2. В IV кв. 2006г. выпуск товаров и услуг составил 90 млн руб., а в I кв. 2007 г. выпуск товаров и услуг планируется в объеме 108 млнруб.
Определитеотносительную величинупланового задания.
Решение
ОППЗ = (108 /90) ´ 100 = 120%.
Такимобразом, в I кв. 2007 г. планируется увеличениевыпуска товаров и услуг на 20%.
Относительныйпоказатель выполнения плана (ОПВП).
Предприятияне только осуществляют планирование, но и сравнивают реально достигнутыерезультаты работы с намеченными ранее. Для этой цели исчисляют относительныйпоказатель выполнения плана отношением фактически достигнутого уровня в текущемпериоде (Ф1) к уровню планируемого показателя на этот же период (П):
ОПВП = (Ф1 /П) ´ 100.
Пример1.3.3. Выпуск товаров иуслуг в I кв. 2008 г. составил 116,1 млн руб. приплане 108,0 млн руб.
Определитестепень выполнения планавыпуска товаров и услуг в I кв. 2008 г.
Решение
ОПВП = (11,6/ 108,0) ´ 100 = 107,5%.
План выпускатоваров и услуг выполнен на 107,5%, т.е. перевыполнение плана составило 7,5%.
Относительные показатели динамики (ОПД).
Этипоказатели характеризуют изменение уровней какого-либо экономического явленияво времени и получаются делением уровня признака за определенный период илимомент времени на уровень этого же показателя в предыдущий период или моментвремени. Относительные величины динамики, или, как их называют, темпы роста,могут быть выражены в коэффициентах или процентах иопределяются с использованием переменной базы сравнения — цепные ипостоянной базы сравнения — базисные.
Относительные показатели структуры (d).
Онихарактеризуют состав изучаемой совокупности, доли, удельные веса элементовсовокупности в общем итоге и представляют собой отношение части единицсовокупности (f1) ко всей численности единиц совокупности (Σfi):
d= (fi/ Σfi) ´ 100,
где d — удельный вес частей совокупности.
Пример1.3.4. Имеются следующиеданные (табл. 1.3.2).
Таблица 1.3.2
Розничный товарооборот РФ за 2006 г. (млн руб.)Показатель Квартал Всего за год I II III IV Оборот розничной торговли 825,4 881,5 960,5 1086,2 3753,6 В том числе товаров: Продовольственных 391,9 418,3 441,5 493,9 1745,6 Непродовольственных 433,5 463,2 519,0 592,3 2008,0
Исчислите относительную величину структурырозничного товарооборота РФ по кварталам и за 2006 г.
Решение
Рассчитаемотносительные величины структуры розничного товарооборота за каждый квартал и вцелом за год.
/>
Исчисленныеотносительные величины структуры представлены в табл. 1.3.3.
Таблица 1.3.3
Структура розничного товарооборота РФ за 2006 г.Показатель Квартал Всего за год I II III IV Оборот розничной торговли 100 100 100 100 100 В том числе товаров: продовольственных 47,5 47,5 46,0 ' 45,5 46,5 непродовольственных 52,5 52,5 ' 54,0 54,5 53,5
Данные табл.1.3.3 свидетельствуют о том, что во второй половине 2006 г. в РФ наметился ростдоли продаж непродовольственных товаров.
Относительныепоказатели интенсивности и уровня экономического развития. Показатели характеризуют степеньнасыщенности или развития данного явления в определенной среде, являютсяименованными и могут выражаться в кратных отношениях, процентах, промилле идругих формах.
Пример 1.3.5. Среднегодовая численность населения РФ в 2006 г. составила143,55 млн. чел., число родившихся — 1397,0 тыс. чел.
Определитьчисло родившихся накаждую 1000 чел. населения (относительную величину интенсивности,характеризующую рождаемость).
РешениеКоэффициент рождаемости = Число родившихся ´ 1000 = 1397,0 ´ 1000 = 9,7% Среднегодовая численность населения 14366,0
На каждую1000 чел. населения в 2006 г. в РФ рождалось 9,7 чел.
Одним изпоказателей уровня экономического развития страны является показательпроизводства валового внутреннего продукта на душу населения.
Пример1.3.6. Производствовалового внутреннего продукта (ВВП) в РФ в 2006 г. в текущих ценах составило 10863,4 млрд руб. Среднегодовая численность населения в 2006 г. — 143,55 млн чел.
Определитепроизводство валовоговнутреннего продукта на душу населения.
Решение
ВВП на душунаселения = 10863,4 / 143,55 = 75 677руб.
Следовательно,на душу населения производство ВВП в 2006 г. составило 75 677 руб.
Относительные показатели координации(ОПК).
Показателихарактеризуют отношения частей изучаемой совокупности к одной из них, принятойза базу сравнения. Они показывают, во сколько раз одна часть совокупностибольше другой, или сколько единиц оДной части приходится на 1, 10, 100, 1000единиц другой части. Эти относительные величины могут быть исчислены как поабсолютным показателям, так и по показателям структуры.
Пример1.3.7. Имеются следующиеданные о численности экономически активного населения РФ по состоянию на конецноября 2006 г.:Показатели (млн чел.) Экономически активное население 71,9 В том числе: занятые в экономике 65,8 безработные 6,1
Исчислите,сколько безработныхприходится на 1000 занятых в экономике РФ.
Решение
ОПК= (6,1 /65,8) ´ 1000 = 92,7 чел.
Следовательно,на каждую 1000 чел., занятых в экономике РФ, приходилось 92,7 чел. безработных.
Относительныепоказатели сравнения (ОПС).
Показателихарактеризуют отношения одноименных абсолютных или относительных показателей,соответствующих одному и тому же периоду или моменту времени, но относящихся кразличным объектам или территориям.
3. Сущностьсредней в статистике, виды и формы средних
Средняя встатистике — обобщающаяхарактеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественноварьирующему признаку, определяющая уровень признака в расчете на единицусовокупности.
Видысредних
/>
Впредставленных формулах применены следующие обозначения:
x — значения признака;
/> - среднее значение признака;
Σ — знаксуммирования;
П — знакперемножения;
f (частота) и М (произведениечастоты на значения признака) — веса для расчета взвешенной средней:
Nи f— численностьединиц совокупности;
М — общий объем варьирующего признака.
Если средниевычислить по одним и тем же данным, то приведенные виды средних по своимчисленным значения встают в следующий ряд:
xhxgq,
иллюстрируятак называемое правило мажорантности средних.
Одна из задачопределения средней состоит в правильности выбора вида средней величины.
При выборевида средней необходимо учитывать экономическое содержание индивидуальныхпризнаков, которое должно быть сохранено и в итоговой средней величине. Приэтом любые промежуточные действия, включая конечный результат, должны бытьэкономически значимы.
4.Средняя арифметическая и условия ее применения
Средняяарифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признакавсей совокупности образуется как сумма значений этого признака у ее отдельныхединиц.
Формулы итехника расчетов следующие:
простойсредней арифметической (невзвешенной)
/>
взвешеннойсредней арифметической
/>
Пример1.3.8. По данным табл.1.6.2, повторно приведенной далее, осуществим расчет среднего производственногостажа работников, используя формулу арифметической простой (невзвешенной)
Таблица 1.6.2
Производственныйстаж работников и их среднемесячная выработка изделийНомер работника по списку Производственный стаж, лет Среднемесячная выработка изделий, шт. 1 8 10 2 2 6 3 6 7
4
1
6
5
4
9 6 2 8 7 10 12 8 5 10 9 4 8 10 3 7 11 6 9
/>
Применениеарифметической средней объясняется тем, что объем варьирующего признака длявсей совокупности — общее число проработанных лет работниками (51 год),образуется как сумма стажа каждого работника.
Расчетсредней арифметической по данным ряда распределения имеет свои особенности.Проиллюстрируем эти особенности по данным группировки в табл. 1.3.5.
среднийарифметический вариация
Таблица 1.3.5
Расчетсреднего производственного стажа работников на основе ряда распределенияСтаж, лет
Число работников, f
Середина интервала х
xf 1 – 4 4 2,5 10,0 4 – 7 5 5,5 27,5 7 – 10 2 8,5 17,0 Итого 11 - 54,5
В данномслучае следует воспользоваться формулой средней арифметической взвешенной,поскольку интервальные значения признака встречаются не один раз, и эти числаповторений (частоты) не одинаковы.
Конкретнымизначениями признака, которые должны непосредственно участвовать в расчетах,служат середины (центры) интервалов (но не средние в интервалах значения!), авесами — частоты:
/>
Данныйрезультат отличается от полученного на основе средней арифметической простой.Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы располагаемне исходными индивидуальными данными, а лишь сведениями о величине середины(центра) интервала.
5. Средняя гармоническая и условия ее применения
Формулы итехника расчета средней гармонической следующие:
простойсредней гармонической
/>
взвешеннойсредней гармонической
/>
Общий подходк выбору правильности вида средней изложен в подразделе 1.3.3.
В данномслучае приведем дополнительное условие применения средней гармоническойвзвешенной (поскольку в практике расчетов взвешенные средние используютсячаще).
Средняягармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда весами являются нечастоты f, а произведения этих частот на значенияпризнака: М = xf.
Пример1.3.9. Имеются следующиеданные (табл. 1.3.6).
Таблица 1.3.6
Заработнаяплата рабочих в цехах предприятияЦех Средняя заработная плата, руб. Фонд заработной платы, тыс. руб. Литейный 3820 191 Сборочный 2960 592
Вычислите среднюю заработную плату рабочих попредприятию в целом.
Решение
Средняязаработная плата рабочих по цехам может быть вычислена делением фондазаработной платы на численность рабочих. Этот подход должен быть сохранен и прирасчете общей средней, т.е. в числителе дроби необходимо представить общий повсем цехам фонд заработной платы, а в знаменателе – общую численность рабочих.Однако фонд заработной платы по цехам (М) есть произведение среднихзаработков на число рабочих f. Фондзаработной платы — единственно возможный в данном случае соизмеритель — вес прирасчете средней.
Оба этиобстоятельства обусловливают применение средней гармонической, а с учетом того,что заработки по отдельным цехам получают неодинаковые по численности группырабочих, следует использовать среднюю гармоническую взвешенную. Тогда
/>/>
При этом783000 руб. — общий фонд заработной платы по предприятию, 250 чел. — общаячисленность работников (50 и 200 чел. — численность по каждому цеху вотдельности).
Если веса прирасчете средней у отдельных единиц совокупности одинаковы, то средняягармоническая взвешенная обращается в среднюю гармоническую простую:
/>
(Mвыносится за скобки, поскольку являетсяобщим множителем). Проиллюстрируем расчет на условном примере.
Пример1.3.10. Цена за единицутовара А, продаваемого в первой торговой точке, составила 20 руб., вовторой — 30 руб. Какова средняя продажная цена товара, если выручка от продажтовара в торговых точках одинакова?
Решение
Посколькувесами при расчете средней являются выручки от продажи (товарооборота), а самавыручка представляет собой произведение цены х на количество проданноготовара/, вычисления проводили по средней гармонической взвешенной, равенствовесов позволяет осуществлять расчеты по формуле средней гармонической простой:
/>
6. Структурныесредние
Наряду срасчетом средней арифметической и средней гармонической для вариационных рядовраспределения исчисляют структурные средние — моду, медиану.
Мода — это значение признака (варианта),которое чаще всего встречается в исследуемой совокупности и имеет наибольшуючастоту.
Медианой называется значение признака (варианта),которое находится в середине вариационного ряда и делит ряд пополам.
Винтервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле
/>
где хМо — минимальная граница модального интервала;
/> - величинамодального интервала;
/> - частотамодального интервала;
/> - частотаинтервала, предшествующего модальному;
/>частотаинтервала, следующего за модальным.
Медиана дляинтервального ряда распределения рассчитывается по формуле
/>
где -/>нижняя границамедианного интервала;
/> - величинамедианного интервала;
/> - сумманакопленных частот, предшествующих медианному;
/> - частотамедианного интервала.
Дляхарактеристики структуры вариационного ряда дополнительно к медиане исчисляютквартили, которые делят ряд по сумме частот на четыре равные части, квинтели — на пять равных частей, децили — на десять равных частей и перцентили — на сторавных частей.
Пример1.3.11. Имеются следующиеданные (табл. 1.3.7).
Таблица 1.3.7
Месячнаязаработная плата рабочих группы малых предприятий одного из регионовГруппы рабочих по размеру заработной платы, руб. Число рабочих, чел.
2000-3000
3000-4000
4000-5000
5000-6000
6000-7000
Свыше 7000
15
35
75
40
25
10 Итого 200
Исчислите среднюю заработную плату, моду и медианузаработной платы рабочих малых предприятий.
Решение
По условиюзадачи имеется интервальный ряд распределениярабочих, поэтому средняязаработная плата исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной(сначала определим середину каждого интервала, т.е.
-4000+1000 х =4533 руб. />
Следовательно,средняя месячная заработная плата рабочих малых предприятий составляет 4775руб. Далее исчислим моду и медиану:
/>
Следовательно,половина рабочих имеет среднемесячную заработную плату меньше 4667 руб., аполовина — больше этой суммы.
7. Видыпоказателей вариации
Показателивариации являются числовой мерой уровня колеблемости признака. Одновременно поразмеру показателя вариации делают вывод о типичности, надежности среднейвеличины, найденной для данной совокупности, и об однородности самойсовокупности.
Важнейшиевиды показателей вариации:
1) размахвариации [R]
R= xmax— xmin
2) среднеелинейное отклонение [/>]
/>
3) дисперсия[σ2]
/>
4) среднееквадратическое отклонение [σ]
/>
5)коэффициент вариации [v]
/>
Размахвариации учитывает только крайние значения признака и не учитывает всепромежуточные.
Дисперсия неимеет единиц измерения.
Равныезначения средних квадратических отклонений, рассчитанных для разныхсовокупностей, не позволяют делать вывод об одинаковой степени вариации.
Коэффициентывариации позволяют сравнить степени вариации признака различных совокупностей.
Сам по себекоэффициент вариации, если его величина не превышает 33-35%, позволяет сделатьвывод об относительно невысокой колеблемости признака, о типичности, надежностисредней величины, об однородности совокупности. Если он более 33-35%, то всеприведенные выводы следует изменить на противоположные.
Проиллюстрируемрасчет показателей вариации.
Пример1.3.12. Имеется рядраспределения (табл. 1.3.8).
Таблица 1.3.8
Распределение по стажуСтаж, лет Число работников, чел.
1-7
4-7
7-10
4
5
2 Итого 11
Определите:
1)размахвариации;
2)дисперсию;
3)среднееквадратическое отклонение;
4)коэффициентвариации.
Решение
1) Размахвариации — разница между максимальным и минимальным значениями признака: R= 10-1 =9 лет. Заметим, что Rлучше находить по исходным несгруппированным данным, что ужесделано нами при расчете величины интервала.
Остальныепоказатели потребуют более трудоемких расчетов. Определим показатели вариациипроизводственного стажа работников (табл. 1.3.9).
Таблица 1.3.9
Расчет показателей вариации производственного стажа работниковСтаж, лет Число работников
x
xf
/>
(/>)2
(/>)2f
1-4
4-7
7-10
4
5
2
2,5
5,5
8,5
10,0
27,5
17,0
-2,5
0,5
3,5
6,25
0,25
12,25
25,00
1,25
24,20 Итого 11 - 54,5 - - 50,75
/>=54,5 / 11 = 5,0 лет
xf= 54,5 найден ранее (см. пример 1.3.8).
2) Дисперсияравна:
/>=50,75 / 11 = 4,6
3) Среднееквадратическое отклонение равно:
/>2,1 года
4)Коэффициент вариации равен:
/>= (2,1 / 5,0) ´100 = 42,0%.
Анализполученных данных говорит о том, что стаж работников предприятия отличается отсреднего стажа (/> = 5,0) в среднем на 2,1 года,или на 42,0%. Значение коэффициента вариации превышает 33%, следовательно,вариация производственного стажа велика, найденный средний производственныйстаж плохо представляет всю совокупность работников, не является ее типичной,надежной характеристикой, а саму совокупность нет оснований считать однороднойпо производственному стажу.