1 ФІНАНСОВИЙ РИНОК ТА РИЗИК. ОБЛІГАЦІЇ. ТЕПЕРІШНЯ ВАРТІСТЬ ОБЛІГАЦІЙ.
Для стислогоописання теоретичних зведень по темі практичного заняття треба поділититеоретичний матеріал на кілька підтем:
- нарощуванняпростих відсотків;
- нарощування складних відсотків;
- потоки платежів, рента;
- облігації;
При нарощуванні простих відсотків формуларозрахунку майбутніх сум /> попочатковому внеску /> по ставці /> до кінця одиничногоперіоду має вид:
/>, (1.1)
тобто на />,до кінця />-го проміжку обчислення цясума стане /> — кожна наступна сумабільше попередньої на частку /> відпочаткової суми />.
Нарощена таким способом послідовність сум /> є арифметична прогресія зпочатковим членом /> і різницею />.
Сума />,нарощена по ставці /> простихвідсотків, через /> проміжківнарахування стане />. При нарощенні складних відсотків по ставці /> кожна наступна сума зростена частку /> від попередньої. Такимчином, до кінця одиничного проміжку нарахування сума /> зросте на частку /> і стане />, до кінця другого – цясума зросте ще на частку /> від />, і стане />. До кінця />-го проміжку — />. Таким чином,послідовність нарощених сум /> єгеометрична прогресія з початковим членом /> ізнаменником прогресії />. Сума />, нарощувана по ставці /> складних відсотків через /> проміжків нарахуваннястане />.
Перерахування майбутньої суми додійсного моменту називається дисконтуванням чи розрахунком її сучасноївеличини.
Для простогонарощування відсотків коефіцієнт /> -дисконтування дорівнює
/>,
а для формулискладного –
/>.
Крім простого іскладного нарощування відсотка на практиці використовують безупинні нарощуванняпо ставці />, тобто збільшення суми в /> раз за одиничний проміжокчасу, і в /> раз за /> проміжків нарахування.
Безперервним дисконтуванням називаєтьсяоперація, зворотна безперервному нарощенню, тобто зменшенню суми в /> раз за /> проміжків.Потоки платежів, ренти
Потік платежів – це послідовність величинсамих платежів і моментів часу, коли вони здійснені. Величиною потоку в моментТ називається сума платежів потоку, дисконтованих до цього моменту :
/> (1.2)
Якщо знайти величину потоку в момент Т, тоді вбудь-який інший момент /> величина потоку />. Величина /> називається сучасною(поточною) величиною потоку. Якщо є останній платіж, то величина потоку вмомент цього платежу називається скінченою величиною потоку.
Потік платежів С с постійними проміжками міжними називається рентою.
Кінцева річна рента.
Це найпростіша рента: у неї тільки один платіжС в рік, тривалість її /> років, річнапроцентна ставка />. На рентніплатежі нараховуються складні відсотки. Сучасна величина ренти /> дорівнює:
/>, (1.3)
де З – розмір платежу.
«Вічна» річна рента. Під «вічною» річноюрентою розуміється рента, послідовність платежів якої необмежена,передбачається, що рента буде виплачуватися необмежено довго. Нарощена величинацієї ренти нескінченна, але сучасна величина дорівнює
/>.
Облігації – це цінні папери, щохарактеризуються такими параметрами, як номінал (/> -зазначений на лицьовій стороні облігації), проміжними платежами (купонами) ітерміном погашення. Продаються і купуються облігації по поточній вартості />. Під поточною вартістюоблігації розуміють такий депозитний внесок />,що при ставці відсотка /> до моментупогашення дає номінал />. Для /> - периодной облігації — поточна вартість
/>.
Часто облігації мають купон, щохарактеризується купонною ставкою />, що даєвласнику купонний доход. Наприклад, якщо />,а /> у.о., то разовий купоннийдоход дорівнює 100 у.о. Поточна вартість ціна такої облігації складається здисконтованих до сучасного моменту номіналу /> ікупонних виплат />, тобто:
/> (1.4)Прикладирішення типових задач
Задача 1.
У ході судового засідання з'ясувалося, що звини пенсійного фонду гр.N протягом /> роківнедоплачували /> грн. пенсіїщомісяця.
Суд поставив за обов'язок фонду виплачувативсі недоплачені гроші з відсотками (/> річних).Яка сума виплати?
Рішення. Шукана сума є нарощена величина рентиз одиничним платежем 100 грн. та числом платежів 120. Ця сума дорівнює :
/> (1.5)
По формулі складного нарахування відсотків цясума /> дорівнює
/> грн.
Задача 2
Оцінити поточну прибутковість вкладень убезкупонну облігацію з номіналом /> ікурсовою вартістю />, що здобуваєтьсяна весь термін до строку погашення, який дорівнює /> днів.Курс облігації вказується у відсотках до її номіналу. Для розрахунку поточноїприбутковості до погашення по ставці простого відсотка слід скористатисяформулою:
/> (1.6)
2 ВИДИ ЦІННИХ ПАПЕРІВ. АКЦІЇ
Ринок акцій надає зацікавленим особамможливості для вигідного чи вкладення залучення грошей. Акція – це ризикованийцінний папір. Акція дає власнику акції певний дохід. Ризик акцій полягає втому, що міняється їх курсова вартість під впливом ринкових механізмів, а такожрозмір дивідендів може коливатися. Так, для простих (звичайних) акцій вінзалежить від прибутку підприємства.
Зі збільшенням ризику, як відомо, вимогиінвестора до очікуваної прибутковості зростають.
Для розрахунку прибутковості цінного паперапотрібно зіставити одержуваний по ній доход з ціною придбання. У випадку, колив розрахунок приймається повний доход, отриманий інвестором як у виглядідивидендів (/>), так і за рахунок різниців цінах продажу /> і покупки (/> ), визначають повнуприбутковість :
/> (2.1)
Показник поточної прибутковості />, визначається зурахуванням поточного доходу />, іпоточного курсу />, тобто :
/> (2.2)
Акції характеризуються істотно більш високим,ніж облігації, ступенем невизначеності як по дивідендах, так і по зміні їїціни.
Курсові вартості виявляються на ринку ціннихпаперів у ході взаємодії попиту з пропозицією і являють собою ціни, по яких ціцінні папери продаються і купуються. Можна сказати, що формування курсовихвартостей завжди відбувається під впливом цінових переваг його учасників.
Варто скасувати фундаментальну закономірністьфондового ринку: вартість акцій зростає з ростом дивіденду (/> ) і падає пропорційнорозміру банківської ставки />.
Формула для розрахунку курсу така:
/>, (2.3)
тобто курсова вартість оцінюється сумою всіхдисконтованих доходів. Так, ціна привілейованої чи простої акції з відомимрозміром дивіденду визначається як поточна вартість «вічної» облігації, тобто />. Ця формула отримана виходячиз того, що акція емітентом не погашається,
/>, а />.
3 ДИВЕРСИФІКОВАНІСТЬ ПОРТФЕЛЮ ЦІННИХ ПАПЕРІВ. ОПТИМАЛЬНИЙРИНКОВИЙ ПОРТФЕЛЬ. ЦІНА РИЗИКУ І b ЦІННОГО ПАПЕРУ
Під портфелем цінних паперів розуміютьчастковий розклад інвестицій />, щовходять у портфель. Створення портфеля цінних паперів забезпечує зниженняризику й дає можливість одержати портфель нульового ризику. Це можливо, якщо впортфель об'єднати різнорідні цінні папери (з коефіцієнтом кореляції />).
Однокритеріальна модель ефективності портфеля(модель Марковица).
Хай /> частки />ой цінного папера впортфелі, /> - очікувана прибутковість />ой цінного папера, /> - коваріація доходностей />тої і />тої цінних паперів. ЗадачаМарковица формулюється таким чином: знайти частки /> розподілувихідного капіталу, минимизуючі варіацію /> ефективностіпортфеля:
/>, (3.1)
за умови, що забезпечується задане значення /> очікуваної ефективностіпортфеля :
/>, (3.2)
і виконується бюджетний баланс:
/>. (3.3)
При комбінуванні в портфелі двох видівризикових цінних паперів з характеристиками прибутковості /> і ризику />, тобто /> й /> і коефіцієнтом кореляції /> модель Марковица має вид :
/>, (3.4)
/>
/> .
Модель ефективного портфеля з без ризиковимкомпонентом (задача Тобина).
Ця задача відрізняється від моделі (3.1)-(3.3)тим, що інвестор крім ризикових цінних паперів враховує також можливістьбезризикових вкладень з ефективністю /> вчастках />. Задача Тобинаформулюється в такий спосіб: знайти частки />,що минимизують /> ризик портфеля :
/>, (3.5)
при обмеженнях:
/> (3.6)
З задачі Тобина випливає поняття /> цінного папера. Величина /> />того цінного паперапоказує, яка частина ринкової прибутковості приходиться на прибутковість />тої фірми:
/> , (3.7)
де /> -коваріація доходностей />тої фірми іринкового портфеля;
/> - ризик />того цінногопапера і ринкового портфеля.
Тоді прибутковість />тогоцінного папера, що входить у портфель, визначається по формулі :
/> (3.8)
Якщо />,то це значить, що прибутковість />тогоцінного папера більше ринкової; при /> - їїприбутковість дорівнює ринкової; при /> -прибутковість цінного папера менше ринкової, але більше, ніж безризиковийвідсоток />.
Ринкова ціна /> ризикувизначається у виді:
/> , (3.9)
де /> -прибутковості портфеля цінних паперів і безризикова прибутковість;
/> - ризик портфеля.
Задача.
Знайти оптимальний портфель /> на траєкторії ефективнихкомбінацій із двох ризикових цінних паперів з характеристиками
/>, />; />, />, />, />.
Вказівки для рішення задачі
1. Записати рівняння ризику портфеля,скориставшись формулою (3.4).
2. Виключити />,записати рівняння ефективної траєкторії.
3. Знайти абсцису крапки дотику на границіефективності, записавши рівняння дотичної до функції в крапці дотику /> :
/> .
4. З огляду на те, що пряма проходить черезкрапку з координатами />, />, записати рівняння дляневідомої прибутковості оптимального портфеля.
5. Вирішити рівняння й одержати структуруоптимального портфеля.
3 ОПЦІОННІ КОНТРАКТИ ТА ЇХ ВИДИ. ЦІНА ОПЦІОНУ.БІНОМІНАЛЬНАМОДЕЛЬ ВИЗНАЧЕННЯ ЦІНИ ОПЦІОНУ
Опціонні контракти– це термінові цінні папери, що представляють собою угода між двома сторонамипро майбутнє постачання предмета контракту. Це умовна угода, при якій покупецьконтракту здобуває право чи виконати відмовитися від виконання контракту. За цеправо покупець опціону платить продавцю опціонну премію. Опціонна премія – цеплата продавцю на той випадок, коли покупець відмовиться від виконанняконтракту. Існує опціон на покупку – це коллопціон і опціон на продаж –путо-опціон. Розрізняють європейський і американський типи опціонів колл іпута. У проблемі купівлі-продажу опціону центральним питанням є визначення йогоціни.
Для розрахунку ціни опціону використовуютьбіноміальну модель. Відповідно неї, увесь період дії опціонного контрактурозбивається на рядок інтервалів часу, протягом кожного з яких курс акцій S може зростати з імовірністю Р або спадати зімовірністю (1 — Р). У кінці періоду акція відповідно стане Su i Sd, де u i d – це відсоткиприросту і падіння курсової вартості акцій, />.На малюнку 5.2 наведено дерево розподілу ціни акції для трьох часових періодів.
/>
Рисунок5.2 – Дерево розподілу ціни акції
Початкова ціна акції дорівнює S. За перший період /> їїкурс може бути Su або Sd. За другий />, /> або Sud і так далі.
До моменту закінчення контракту ціна С0опціону приймає два значення. Для опціону кол:
/> (4.1)
де /> - цінаакції у момент виконання контракту;
/> - ціна виконання контракту.
А для опціону пут опціонна ціна дорівнює:
/> (4.2)
Для того, щоб розрахувати вартість опціону напочатку періоду Т, необхідно визначити вартість опціону для початку кожногоперіоду />, тобто в кожній крапціперехрещення гілок дерева. Дану задачу розв’язують послідовним дисконтуванням.Розрахунок ціни опціону починають з кінця дерева розподілу ціни.
Ціна опціону на початку періоду />, тобто у крапках Su2 i Sd2 уявляє собою дисконтовану вартість ціни,що очікується, у кінці цього періоду і так далі для кожного попередньоговідтінку часу. Ціна опціону /> напочатку періоду /> визначається заформулою:
/>, (4.3)
де /> - сумадобутку значень ціни опціону, що очікується у кінці періоду />, на їх імовірність.
Ціну опціону для кожної крапки на деревірозподілу зобразити другим рядком.
Для розрахунку відсотків росту, спаду акцій таїх імовірностей слід використовувати наступні формули:
/> /> /> /> (4.4)
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ
1. Капитоненко В. В. «Фінансова математика і її додатки». – М.:«Видавництво ПРІОР», 2009. – 144 с.
2. Малыхин В. И. «Фінансова математика». – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 247с.
3. Шапкин А. С. «Економічні і фінансові ризики». – М.:Видавничо-торгова корпорація «Дашков і ДО0», 2008. – 544 с.
4. Буренин А. Н. «Ф'ючерсні, форвардні й опціонні ринки». – М.: Триола,2008. – 240 с.