ТЕОРІЯ ФІРМИ
1. Виробничафункція. Основні поняття та співвідношення
Основним поняттяммікроекономічної теорії є фірма. Фірма визначається як деяка організація, щовиробляє витрати факторів виробництва, такі, як праця й капітал, длявиготовлення продукції й послуг, які вона продає споживачам або іншим фірмам.
Задачараціонального ведення господарства для фірми полягає у визначенні кількостіпродукції й розрахунку необхідних для її випуску витрат з урахуваннямтехнологічного зв'язку між ними й заданими цінами на витрати і на продукцію.
Припустимо, щофірма виробляє лише один вид продукції, використовуючи кілька видів витрат. Уцьому випадку фірма має вибрати точку в просторі витрат, яка складається з усіхможливих комбінацій витрат.
Позначимо через /> кількість />-го виду витрат/>, яківикористовує фірма, тоді вектор витрат має вигляд
/>
Нехай /> – простір витрат,що складається з усіх можливих витрат, /> є невід’ємним ортантом />-вимірногопростору.
Кожній точціпростору витрат /> відповідає єдиний максимальний випускпродукції, вироблений під час використання цих витрат. Виробничою функцієюназивається функція, що виражає кількісний взаємозв'язок виробничих витрат івипуску продукції.
Позначивши через /> розміривипуску продукції, виробничу функцію можна записати у вигляді
/>
Дана функція євідображенням будь-якого вектора витрат (точки з />) в єдине невід’ємне дійсне число,а саме максимальний випуск продукції, що може бути отриманий під часвикористання цього вектора витрат.
Передбачається,що виробнича функція є двічі безперервно дифференційованою і задовольняє такимвимогам:
1. Існуєпідмножина простору витрат, яку називають економічною областю, в якійзбільшення будь-якого виду витрат не супроводжується зменшенням випускупродукції. Якщо, наприклад, /> і /> – будь-які дві точки цієї областій />, то />, тобто векономічній області виконується нерівність
/>,
/>. Перші часткові похіднівиробничої функції називають граничними продуктивностями (граничнимипродуктами) факторів вироб-ництва. Граничні продукти виражають внесок даногофактора в приріст продук-ції. Існує деяка точка насичення, де />, а потім />. Ми розглядатимемо область,у якій />.
Існує особливаобласть /> –опукла підмножина економічної області, така, що матриця других частковихпохідних />,/> (матрицяГессе) від’ємно визначена для всіх />. Отже, вобласті /> виконується/>, />, тобто призбільшенні витрат того або іншого фактора (при незмінності витрат інших)досягається така область, у якій гранична продуктивність цих факторів починаєзменшуватися. Даний закон називається законом спадної віддачі (прибутковості).
Виробнича функціяв області /> характеризуєтьсядоходом від розширення масштабу виробництва (РМВ). Припустимо, що в певнійточці
/>
простору витратвсі витрати /> помножаютьсяв масштабі на число />:
/>,
де />. Виробнича функціяхарактеризується постійним доходом від РМВ, якщо випуск продукції зростає в тійсамій пропорції, що й витрати
/>(1)
Виробнича функціяхарактеризується зростаючим (спадним) доходом від РМВ, якщо
/>.
Виробнича функція/>, якахарактеризується властивістю (1) називається лінійно-однорідною нульовогоступеня. До таких функцій відносять неокласичну функцію Кобба-Дугласа. Увипадку двох витрат вона має такий вигляд:
/>.(2)
Розглянемочислову функцію декількох аргументів
/>
Частковимкоефіцієнтом еластичності цієї функції в точці /> називають величину
/>.
У різних точкахпростору виробнича функція характеризується різними доходами від РМВ. Локальнимпоказником зміни доходу від РМВ, який визначається в деякій точці просторувитрат, є еластичність виробництва
/>
Визначимоеластичність випуску продукції стосовно зміни витрат />-го типу
/>.
Отже,еластичність виробництва в будь-якій точці особливої області /> дорівнює суміеластичностей випуску стосовно різних витрат в цій точці, тобто
/>.
Визначимоеластичність виробництва /> для функції (2)
/>.
2. Оптимізаційніматематичні моделі поводження фірми
Математичнімоделі поводження фірми будуються на основі таких передумов:
1) виробничафункція відображає чисто технологічні умови виробництва;
2) ніякихзовнішніх обмежень на обсяг виробництва й реалізації продукції не існує, цестосується й затрат, що закупають (факторів виробництва);
3) має місце такзвана досконала конкуренція, при якій питома вага тієї або іншої фірминевелика, завдяки чому ця фірма не може впливати ані на рівень цін продукції,що реалізується, ані на рівень цін закуповуваних нею товарів; можливий вільнийвихід фірми на ринок і відхід з ринку.
Розглянемо одну зматематичних моделей поводження фірми – модель максимізації випуску продукціїпри заданих витратах.
Нехайзадана виробнича функція деякої фірми
/>
Заданийвектор цін на фактори виробництва
/>
івеличина грошового капіталу на закупівлю факторів виробництва />. Потрібно розв’язатитаку задачу:
/> (3)
Задача(3) – це задача нелінійного програмування щодо відшукання умовного максимумуфункції. Для даної задачі формують функцію Лагранжа:
/>.
Необхіднимий достатніми умовами для розв’язання задачі (3) є умови Куна-Таккера, якізаписують у такий спосіб:
/> (4)
Навипадок, коли фірма повністю витрачає грошовий капітал /> на закупівлю факторіввиробництва (тобто />, />), умови (4) набувають такоговигляду:
/>(5)
Ціумови виконуються тільки в точці />, де /> є оптимальним розв’язком (планом)задачі поведінки фірми.
Геометричнорозв’язок знаходиться у точцідотику лінії цін на фактори виробництва й кривої байдужності.
Наведемоосновні висновки розв’язання задачі максимізації випуску продукції:
1) воптимальній точці /> виконується />, />, тобто граничніпродуктивності факторів пропорційні їхнім цінам, коефіцієнт пропорційностідорівнює />;
2)відношення граничних продуктивностей факторів дорівнює відношенню їхніх цін
/>, />;
3)гранична продуктивність факторів, що припадає на грошову одиницю, воптимальному плані має бути однаковою для всіх факторів виробництва
/>, />.
Даніспіввідношення складають основу теорії граничної продуктивності (теоріївартості).
3.Модель рівноваги фірми
Припустимометою фірми є максимізація прибутку шляхом вибору видів витрат при заданійвиробничій функції />, заданій ціні випуску продукції /> і цінах витрат(оплата факторів виробництва) />.
Прибуток/> дорівнюєрічному валовому доходу /> за винятком витрат виробництва />, тобто />. Валовойрічний доход обчислюється як річна продукція, помножена на її ціну
/>.
Витративиробництва дорівнюють загальним виплатам за всі види витрат
/>.
Розв’язуючи довгострокову задачу, фірмавільна вибрати будь-який вектор витрат із простору витрат, тому задачаформулюється в такий спосіб:
/> (6)
заумови />.
Задача(6) є задачею математичного програмування, єдиним обмеженням якої є невід’ємність компонентів вектора витрат.
Необхідніумови виражаються системою
/>, />,(7)
де /> – оптимальнийплан.
З (7)випливає, що />, />, де /> – вартість граничноїпродуктивності />-го фактора, тобто вартістьдодаткового випуску, визначена як результат додаткових витрат />-го виду в точціоптимального вибору цих витрат.
Підчас розв’язання короткостроковоїзадачі на фірму накладаються обмеження, наприклад, на вектор витрат, тобтофірма не може закупати деякі фактори виробництва вище певного рівня. Тодізадача (6) матиме такий вигляд:
/> (8)
заумови /> й />, />.
Якщосистема обмежень в (8) – опукла множина, а /> – увігнута функція, то задача (8)є задачею опуклого програмування, що розв’язується методом штрафних функцій абойого модифікаціями.
4.Алгоритм розв’язання задачі поведінки фірми. Метод Ероу-Гурвіца
Розглянемозадачу (8) визначення максимального значення ввігнутої функції /> за умови /> й />, />, де системаобмежень є опуклою множиною.
Замістьтого, щоб безпосередньо вирішувати цю задачу, знайдемо максимальне значенняфункції
/>,
що єсумою цільової функції задачі (8) і деякої функції />, обумовленою системою обмежень,яка називається штрафною функцією. Штрафну функцію побудуємо так:
/>, (9)
Де
/>
Або
/> (10)
В(10) /> –деякі постійні числа, які є ваговими коефіцієнтами. В класичному методіштрафних функцій значення /> вибирають довільно, причому, чимменше />,тим швидше визначають прийнятний розв’язок, однак точність його знижується. Недолік довільного вибору /> усувається підчас розв’язання задачі (8) методомЕроу-Гурвіца, відповідно до якого на черговому кроці /> числа /> обчислюються за формулою
/>, />, (11)
де за/> берутьдовільні невід’ємні числа, а /> – крок обчислень, який,як правило, дорівнює />.
5. Недосконалаконкуренція. Монополія та монопсонія
Модель рівновагифірми (6) будується на класичному припущенні про досконалу конкуренцію, тобтодля випадку фіксованого задання цін на продукцію й витрати.
Однак, у багатьохвипадках фірма характеризується монополію, тобто має монопольну владу впливатина ціну продукції, або монопсонією, тобто володіє деякою монопольною владоювпливати на ціни витрат (факторів виробництва).
Монополіст маєможливість впливати на ціну продукції /> шляхом варіювання випуску своєїпродукції />,для якої криву попиту можна записати в такому вигляді: /> – функція попиту на випускпродукції. Дана функція характеризує ціну, яку фірма може призначити при різнихрівнях пропозиції продукції. В загальному випадку фірма може знизити свою цінудля того, щоб продати більше продукції, тому />.
Оскільки валовийрічний доход визначається як />, тоді />. Граничний річний доход фірмивизначається як зміна річного доходу в міру того, як змінюється випускпродукції
/>. (12)
На випадокмонополії в формулі (12) граничний доход виявляється менший за ціну продукції
/>.
Монопсоніст можевплинути на ціну витрат шляхом варіювання своїх покупок даного виду факторіввиробництва
/>, />
Ця функціяхарактеризує плату фірми за витрати при різних рівнях попиту на них.
Взагалі фірмаможе купувати більшу кулькість даного фактора вироб-ництва, тільки якщозапропонує більш високу ціну за нього, тобто />, />.
Через те, щовартість витрат />-го виду можна подати у вигляді />, />, а граничнувартість витрат />-го виду, що відображає зміну увартості цих витрат при збільшенні їхньої кількості, можна навести у вигляді
/>, (13)
то на випадокмонопсонії гранична вартість витрат перевищує їхню оплату.
Задачу фірми вумовах недосконалої конкуренції можна подати у такому вигляді:
/>(14)
за умови />.
Введемо функціюЛагранжа для задачі (14)
/>.
Необхідні умовидля знаходження оптимального розв’язку визначають прирівнюванням до нуля всіх часткових похідних функціїЛагранжа
/>,
/>, />,
/>.
Перетворимо даніумови в такий спосіб:
/>,
/>, />, (15)
/>.
Перше рівняння вформулі (15) показує, що в умовах оптимальності множник Лагранжа /> дорівнює граничномурічному доходу фірми
/>
Друга група умов(15), яка складається з /> рівнянь, показує, що граничнийпродукт будь-якого виду витрат />, який дорівнює граничномуваловому доходу />, помноженому на граничний продуктцього виду витрат, в умовах оптимальності дорівнює граничній вартості цихвитрат
/>, />.
В останній умові(15) наведена виробнича функція. Отже, /> умови, що пов'язують /> видів витрат івипуск при недосконалій конкуренції, такі:
/>(16)
де /> і /> задаютьсяспіввідношеннями (12) і (13) відповідно, тобто (16) означає, що граничнийрічний доход пропорційний вартості витрат.