/>/>
ІНДУВІДУАЛЬНЕЗАВДАННЯ
З ДИСЦИПЛІНИ
«Економетрія»
Задача№1
По приведеним даним побудувати і дослідитиемпіричну лінійну економетричну модель залежності обсягу виробництва фірми відвитрат на заробітну платню персоналу й вартості основних фондів (вихідні даннів умовних одиницях). Виконати наступні завдання.
1. Скласти матрицю вихіднихданих.
2. Знайти оцінки:
коефіцієнтівмоделі;
математичногочекання обсягу виробництва;
залишків моделі;
дисперсіїзалишків;
коефіцієнтадетермінації.
3. Скласти прогнозсередньорічного обсягу виробництва для фірми з витратами на заробітну платню1,2 ум.од. і основними фондами 15 ум.од.Обсягсередньорічного виробництва
/>№ фірми
Варіант 1 2 3 4 5 6 7 8
2 7,68 3,16 1,52 3,15 5,77 4,33 8,35 7,02 Заробітна платня та вартість основних фондів
(для усіхваріантів)
/>№ фірми
Показники 1 2 3 4 5 6 7 8 Зарплатня 0,31 0,98 1,21 1,29 1,12 1,49 0,78 0,94 Осн. фонди 10,24 7,51 10,81 9,89 13,72 13,92 8,54 12,36
/>/>РІШЕННЯ
По приведенимданим побудувати і дослідити емпіричну лінійну економетричну модель залежностіобсягу виробництва фірми від витрат на заробітну платню персоналу й вартостіосновних фондів (вихідні данні в умовних одиницях). Виконати наступні завдання.
1. Скласти матрицю вихіднихданих.
2. Знайти оцінки:
коефіцієнтівмоделі;
математичногочекання обсягу виробництва;
залишків моделі;
дисперсіїзалишків;
коефіцієнтадетермінації.
3. Скласти прогнозсередньорічного обсягу виробництва для фірми з витратами на заробітну платню1,2 ум.од. і основними фондами 15 ум.од.Обсягсередньорічного виробництва
/> № фірми Варіант 1 2 3 4 5 6 7 8 2 7,68 3,16 1,52 3,15 5,77 4,33 8,35 7,02 Заробітнаплатня та вартість основних фондів
/>№ фірми
Показники 1 2 3 4 5 6 7 8 Зарплатня 0,31 0,98 1,21 1,29 1,12 1,49 0,78 0,94 Осн. фонди 10,24 7,51 10,81 9,89 13,72 13,92 8,54 12,36 Розв'язання
1. Усі вихідні данні зводимо втаблицю:
Фірма,
№ з/п
Обсяг середньорічного виробництва (y), ум.од.
Зарплатня(x2), ум.од.
Основні фонди (х3), ум.од. 1 7,68 0,31 10,24 2 3,16 0,98 7,51 3 1,52 1,21 10,81 4 3,15 1,29 9,89 5 5,77 1,12 13,72 6 4,33 1,49 13,92 7 8,35 0,78 8,54 8 7,02 0,94 12,36
Складемоматрицю вихідних даних:
/> .
2.Економетричну модель запишемо увигляді
/>,
/>
Де y, /> -відповідно фактичні та розрахункові значення обсягу середньорічного виробництваза моделлю (регресант);
регресори(незалежні змінні):
х1 –допоміжний регресор (приймає одиничні значення);
х2 — витрати на заробітну платню персоналу;
х3 — вартість основних фондів;
u – залишки;
/> - оцінки параметрів моделі.
Для оцінкикоефіцієнтів моделі використовуємо 1МНК.
Оператороцінювання параметрів моделі за 1МНК має вигляд
/>
де
/>; />; />.
Матриця Х крім двохвекторів незалежних змінних містить вектор одиниць. Він дописується в ційматриці ліворуч тоді, коли економетрична модель має вільний член.
Знайдемотранспоновану матрицю до матриці Х:
/>
Знайдемодобуток /> Одержуємо
/>
Знайдемозворотну матрицю
/>
Знайдемо вектор />
/>.
Отримаємо шуканий вектор1МНК-оцінок />/>:
/>/>=/>.
Оцінена задопомогою 1МНК емпірична множинна регресія має вид
/>
Отже, коли за всіходинакових умов регресор х2 (витрати на заробітну платню персоналу) збільшується наодиницю, то регресант /> (обсяг середньорічного виробницьтва)також зменшуєтьсяна 5,76 одиницю. Якщо за інших незмінних умов незалежна змінна х3(обь'єм основних фондів)збільшується на одиницю, то залежна змінна /> збільшуетьсяна 0,42 одиниць.
Знайдемопрогнозні значення (математичне чекання) обсягу виробництва /> при даних у задачізначеннях зарплатні та вартості основних фондів:
/>/>
Знайдемо оцінкизалишків моделі /> дисперсіїзалишків />, коефіцієнта детермінації />
Складеморозрахункову таблицю.
У таблиці залишки /> обчислюються згідно з рівністю
/>,
а середнєзначення регресанта підраховується слідуючім чином
/>.
№
п/п y
/>
/>
/>
/>
/> 1 7,68 8,9131 -1,2331 1,5206 3,7906 14,3687 2 3,16 3,8920 -0,7320 0,5359 -1,2305 1,5142 3 1,52 3,9723 -2,4523 6,0138 -1,1502 1,3230 4 3,15 3,1198 0,0302 0,0010 -2,0027 4,0108 5 5,77 5,7295 0,0405 0,0017 0,6070 0,3685 6 4,33 3,6837 0,6463 0,4177 -1,4388 2,0702 7 8,35 5,4824 2,8676 8,2232 0,3599 0,1296 8 7,02 6,1872 0,8328 0,6936 1,0647 1,1336 ∑ 40,98 40,9800 17,4075 24,9186
Незміщена оцінкадісперсії залишків подається так:
/>3,4815, де n – кiлькiсть спостережень, k –
кiлькiсть незалежних змiнних.
З таблиці маємодисперсію регресії
/>
/>.
Обчислимо дисперсіюрегресанта:
/>
Остаточно, коефіцієнт детермінації маєзначення
/>
Коефіцієнт детермінацііR2, близький до одиниці, що свідчитьпро те, що отримана багатомірна регресійна модель досить близька до даних,отриманим емпіричним шляхом і може бути використана для визначення обсягусередньорічного виробництва фірми по заданим витратам на заробітну платнюперсоналу й вартості основних фондів. Отриманий висновок підтверджує графіквідповідності теоретичних і емпіричних даних.
3. Прогнозсередньорічного виробництва для фірми з витратами на заробітну платню 1,2ум.од. і основними фондами 15 ум.од складає
/>(ум.од.)
Задача №2
Построить линейную регрессионную модель зависимостирасходов на единицу продукции от уровня фондоемкости продукции.Проинтерпретировать найденные параметры модели. Рассчитать остатки економетричноймодель. Найти коэффициент эластичности расходов относительно фондоемкостипродукции. Рассчитать прогноз расходов на единицу продукции, если фондоемкостьравняется 95 усл.ед. Найти />, датьэкономическую интерпретацию.
№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Фондоёмкость продукции 102 87 132 112 92 900 122 127 127 137
Расходы на ед. продукции 50 40 65 55 45 42 56 60 64 65
Решение
В качестве регрессора Хпринимаем фондоемкость продукции, регрессант Y – затраты на ед. продукции. Решим задачу 1МНК.
Эконометрическую модель (простую регрессионную модель)ищем в виде:
/>
Составим расчетную таблицу
№ п/п
yi
xi
xi2
xiyi 1 50 102 10404 5100 2 40 87 7569 3480 3 65 132 17424 8580 4 55 112 12544 6160 5 45 92 8464 4140 6 42 90 8100 3780 7 56 122 14884 6832 8 60 127 16129 7620 9 64 127 16129 8128 10 65 137 18769 8905
S
542
1128
130416
62725
Параметры находим по формулам
/>
/>
Эконометрическая модельимеет вид:
/>.
Воспользуемсяальтернативным способом вычисления параметров с помощью отклонений среднихарифметических.
Составим расчетную таблицу.
№ п/п
yi
xi
/>
/>
/>
/>
/>
/>
ui
ui2
/> 1 50 102 -10,8 -4,2 116,64 45,36 48,8 1,2 1,44 17,64 2 40 87 -25,8 -14,2 665,64 366,36 41,3 -1,3 1,69 201,64 3 65 132 19,2 10,8 368,64 207,36 63,8 1,2 1,44 116,64 4 55 112 -0,8 0,8 0,64 -0,64 53,8 1,2 1,44 0,64 5 45 92 -20,8 -9,2 432,64 191,36 43,8 1,2 1,44 84,64 6 42 90 -22,8 -12,2 519,84 278,16 42,8 -0,8 0,64 148,84 7 56 122 9,2 1,8 84,64 16,56 58,8 -2,8 7,84 3,24 8 60 127 14,2 5,8 201,64 82,36 61,3 -1,3 1,69 33,64 9 64 127 14,2 9,8 201,64 139,16 61,3 2,7 7,29 96,04 10 65 137 24,2 10,8 585,64 261,36 66,3 -1,3 1,69 116,64
S
542
1128
3177,6
1587,4
26,6
819,6
Здесь средние значения переменных определяютсяиз соотношений
/>
/>
Используя формулы,получим
/> a=54,2-0,5·100,8»3,8.
Окончательно, получим:
/>.
Количественная оценкапараметра а=0,5 показывает, что среднее увеличение затрат привозрастании фондоемкости продукции на 1 усл.ед. составляет 0,5 усл.ед.
При построенииэконометрической модели очень важным является вопрос о степени зависимостимежду регрессором и регрессантом, т.е. о тесноте связи между ними. Простейшимкритерием, позволяющим получить количественную оценку влияния объясняющейпеременной на объясняемую, является выборочный коэффициент корреляции(или просто коэффициент корреляции). Он рассчитывается по следующейформуле:
/>
или, другая формапредставления:
/>
Из выражения видно, чтокоэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицу, т.е. -1£rxy£1. При этом, чем ближе |rxy|к единице, тем теснее связь. При rxy=±1 корреляционная связь представляет собой линейнуюфункциональную зависимость, а наблюдаемые значения располагаются на прямойлинии. Если rxy=0, тосчитают, что корреляция отсутствует. Линия регрессии при этом параллельна осиабсцисс.
Принято считать, чтосвязь между переменными высокая, если rxy³0,8, если 0,7£rxy, то связь считают средней,при 0,6£rxyсвязь заметная, а в остальных случаях (rxyсвязь является низкой иследует пересмотреть выбор объясняющей переменной в рассматриваемомэконометрическом исследовании.
/>
Коэффициент корреляции показывает, что связь междупеременными в рассматриваемой задаче очень тесная. 3.4. Нелинейные модели
Простая регрессионнаямодель /> может быть нелинейна вдвух смыслах:
1) регрессия не является линейной по объясняющейпеременной, но линейна по оцениваемым параметрам;
2) регрессия не является линейной по оцениваемымпараметрам.
Нелинейность попеременным всегда можно обойти, используя замену переменных, например,
· выражение /> можно привести к линейномувиду, используя подстановку:
/>
/>
/>
Имеем линейное уравнение с тремя переменными :
/>.
Способ параметризации полученного многофакторногоуравнения основывается на 1МНК и будет рассмотрен позднее.
· аналогично можнопреобразовать квадратичною функциюy=а+bx+cх2. Ее приводим к линейной с помощью замены: z1=x, z2=x2. Получим:
y=a+bz1+cz2. (3.22)
Следует отметить, что найти параметры квадратичнойфункции y=ах2+bx+c можно и не используя линеаризацию (3.22).Осуществить параметризацию можно с помощью непосредственного применения МНК,при этом получим следующую систему нормальных уравнений (индексы суммированияопущены):
/> (3.23)
Решить ее можно, например, с помощью метода Крамера(метода определителей).
Пример 3.2. Предполагается, что объем потреблениянекоторого товара имеет квадратичную зависимость от уровня дохода семьи в месяц(условные данные приведены в таблице). Требуется найти уравнение, выражающееэту зависимость.
Таблица 3.4Доход семьи, грн. 800 1030 752 950 1004 837 986 1016 899 1005 Объем потребления товара, кг. 0,20 1,00 0,15 0,66 0,80 0,35 0,74 0,95 0,52 0,83
Решение.
Обозначим месячныйсемейный доход через регрессор х (тыс. грн.), а объем потребления товара– регрессант y (кг).Уравнение зависимости будем искать в виде
y=а+bx+cх2
Параметры модели a,bиcбудемискать с помощью МНК. Расчеты приведем в таблице (столбцы 1-8):
Таблица 3.5
№ п/п
х
у
х2
х3
х4
ху
х2у
/>
u
u2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0,80 0,20 0,64 0,51 0,41 0,16 0,13 0,24 -0,04 0,001 2 1,03 1,00 1,06 1,09 1,13 1,03 1,06 0,96 0,04 0,002 3 0,75 0,15 0,57 0,43 0,32 0,11 0,08 0,15 0,00 0,000 4 0,95 0,66 0,90 0,86 0,81 0,63 0,60 0,65 0,01 0,000 5 1,00 0,80 1,01 1,01 1,02 0,80 0,81 0,85 -0,05 0,003 6 0,84 0,35 0,70 0,59 0,49 0,29 0,25 0,32 0,03 0,001 7 0,99 0,74 0,97 0,96 0,95 0,73 0,72 0,78 -0,04 0,002 8 1,02 0,95 1,03 1,05 1,07 0,97 0,98 0,90 0,05 0,002 9 0,90 0,52 0,81 0,73 0,65 0,47 0,42 0,49 0,03 0,001 10 1,01 0,83 1,01 1,02 1,02 0,83 0,84 0,86 -0,03 0,001 S 9,28 6,20 8,70 8,23 7,86 6,02 5,88 6,20 0,00 0,013 Данные полученные в таблице подставимв систему (3.23), получим
/>.
Решая ее методом Крамера, имеем:D=0,00036;
D1=0,00052;
D2=-0,00185;
D3=0,00163.
Тогда,
/>
/>
/>
Искомая модель имеет вид:
/>. (3.24)
Подставив последовательнов полученное уравнение (3.24) значения хi, получим теоретические значения /> (столбец 9). Как видно изтаблицы 3.5 теоретические значения регрессанта близки по своему значению кэмпирическим данным yi, этотже факт подтверждают и малые значения остатков /> (столбец10). Можно утверждать, что квадратичное уравнение (3.24) хорошо описываетрассматриваемый экономический процесс.
Проблема преобразованиянелинейных по параметрам соотношений представляет особый интерес вэконометрических исследованиях. Этот класс нелинейных моделей можноподразделить на два типа[1]:
1) нелинейные модели внутренне линейные(те, которые с помощью элементарных преобразований можно свести к линейным);
2) нелинейные модели внутренненелинейные (не могут быть сведены к линейным функциям).
К внутренне линейнымможно отнести функции:
· степенную />
· показательную />
· экспоненциальную y=ea+bx.
Перечисленные функцииможно свести к линейным логарифмированием обеих частей выражения (обычнологарифмируют по основанию е).
Для степенной функцииполучим:
/> (3.25)
Если переопределить />, /> и />, то от соотношения (3.24)перейдем к линейному относительно переменных и параметров соотношению
/>. (3.25')
Таким образом, оцениваярегрессию между логарифмом у и t, получаем оценку темпа прироста b.
Логарифмируя показательнуюфункцию /> также получим линейноеуравнение
/>. (3.26)
Замена: />, /> и />, имеем:
/> (3.27)
Преобразования экспоненциальнойзависимости y=ea+bxаналогичны показательным (учитывая,что />):
/> (3.28)
Линейная модель
/> (3.29)
получается заменой />.
После оценки параметровлинейных моделей, полученных после соответствующих преобразований, можновернуться к исходным моделям, используя обратную замену и последующеепотенцирование.
Пример 3.3. Решить задачу 3.2. в предположении,что объем потребления товара и уровень дохода семьи в месяц имеютэкспоненциальную зависимость.
Решение.
Уравнение зависимости между регрессором х ирегрессантом у будем искать в виде экспоненциального уравнения y=ea+bx. После логарифмирования переходим куравнению (3.28) />, или, используя замену />, к уравнению (3.29) />.
Параметры линейной модели (3.29) будем искать по 1МНК.Для этого составим расчетную таблицу (столбцы 1-6):
Таблица 3.6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
№ п/п
х
у
/>
х2
ху*
/>
u
u2 1 0,80 0,20 -1,609 0,64 -1,288 0,175 0,025 0,001 2 1,03 1,00 1,06 0,000 1,256 -0,256 0,065 3 0,75 0,15 -1,897 0,57 -1,423 0,114 0,036 0,001 4 0,95 0,66 -0,416 0,90 -0,395 0,632 0,028 0,001 5 1,00 0,80 -0,223 1,01 -0,223 0,971 -0,171 0,029 6 0,84 0,35 -1,05 0,70 -0,882 0,246 0,104 0,011 7 0,99 0,74 -0,301 0,97 -0,298 0,891 -0,151 0,023 8 1,02 0,95 -0,051 1,03 -0,052 1,152 -0,202 0,041 9 0,90 0,52 -0,654 0,81 -0,589 0,412 0,108 0,012 10 1,01 0,83 -0,186 1,01 -0,188 1,058 -0,228 0,052 S 9,28 6,20 -6,388 8,70 -5,337 6,905 -0,705 0,235
Подставив данные, полученные в первых шести столбцахтаблицы в формулы (3.16) и (3.17), получим:
/>
/>
Получим
/>.
Потенцируя полученноевыражение для />, получим
/>
или, окончательно,
/> (3.30)
Определим теоретическиезначения регрессанта, подставив в функцию (3.30) значения х (столбец 7).Для оценки полученной модели рассчитаем ее остатки (столбцы 8,9). Сравниваяостатки квадратичной модели (пример 3.2) и экспоненциальной модели (пример 3.3)видно, квадратичная модель дает более точную аппроксимацию исследуемогопроцесса.
Внутренне нелинейные функции требуют особого подхода. Какуже отмечалось, их невозможно привести к линейным с помощью обычныхпреобразований. Примером внутренне нелинейной модели служит соотношение:
/> (3.31)
Для оценки параметров такой модели используют итеративные процедуры. Процесс продолжают до техпор, пока полученная модель не будет удовлетворять некоторому критерию. Какправило, критерием служит минимизация суммы квадратов остатков модели или жепроцесс прерывается, когда полученная сумма меньше некоторого наперед заданногочисла.
Опишем процедуру оценки параметров модели какпоследовательность шагов:
Шаг 1. На основе априорных рассужденийвыбираются некоторые начальные параметры модели.
/> (3.32)
Шаг 2. Вычисляются теоретические значения /> непосредственнойпоследовательной подстановкой значений регрессора xiв соотношение (3.32).
Шаг 3. Вычисляется сумма квадратовостатков (СКО) модели />.Определим параметр k=1.
Шаг 4. Вносятся некоторые изменения впараметры модели:
/>. (3.33)
Шаг 5. Определяются теоретические значения /> из соотношения (3.33).
Шаг 6. Вычисляется СКО />
Шаг 7. Если полученное значение S(k)меньшепредыдущего, то процесс продолжаем и возвращаемся к шагу 4 (k=k+1). Если же последние изменения параметровмодели не привели к уменьшению СКО, то переходим к следующему шагу.
Шаг 8. Делается вывод о минимизации суммы квадратовостатков. В качестве искомой нелинейной эконометрической модели принимаетсяпредпоследнее соотношение.
При использовании современных компьютерныхпрограмм описанный метод не представляет сложностей, например, при работе в Microsoft Excel определение параметров нелинейной моделиможно осуществить с помощью надстройки Поиск решения.3.4. Проверка адекватности и точности простой модели.
Анализировать экономический процесс и строитьпрогнозы на основе построенной регрессионной зависимости можно только в случаеустановления адекватности (соответствия по выбранным критериям) моделирассматриваемому экономическому явлению и достаточной точности этой модели.
Для проверки адекватности модели эмпирическимданным служит оценка остатков модели (/>,/>).
Парную регрессионную модель можно считатьадекватной при выполнении следующих условий:
· в модели объясняющаяпеременная Х является величиной неслучайной, а объясняемая переменная Y (а, следовательно, и остаток модели) является величиной случайной;
· последовательностьостатков модели имеет нормальный закон распределения;
· математическое ожиданиеостатков равно нулю;
· значение уровней остатковмодели являются независимыми величинами (т.е. каждое следующее значение /> не зависит отпредыдущего).
Рассмотрим проверку выполнения перечисленныхусловий[2].
Проверка случайности остатков модели осуществляется с помощью непараметрическихкритериев, например, критерий серий и критерий пиков (поворотныхточек).
Остановимся на критерии серий, которыйоснован на медиане выборки.
Вначале составляют вариационный, располагаяостатки ui в возрастающем порядке. Находят медиану um полученного ряда, (срединное значение при нечетном nисреднюю арифметическую из двух срединных значений при четном n). Дальнейшие рассуждения проводят, занося в таблицу"+", если значение остатка больше медианы и "-", еслименьше. В случае равенства остатка медиане клетка не заполняется. Далееопределяется длина и количество серий (подряд идущих плюсов илиминусов). «Обозначим протяженность самой длинной серии через Kmax, а общеечисло серий — через n. Выборка признаетсяслучайной, если выполняются следующие неравенства для 5%-ного уровнязначимости:
/> (3.34)
/>
где квадратные скобки, как обычно, означаютцелую часть числа.»
Если хотя бы одно из этих неравенствнарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений uiотвергается и модель считается неадекватной.
Существуют различныеметоды проверки соответствия распределения последовательности остатковнормальному закону распределения: метод Вестергарда, RS-критерий и т.д.При достаточно большом количестве наблюдений проверку можно осуществить спомощью критерия согласия Пирсона (подробно рассматривается в курсематематической статистики).
На практике ряды, как правило, не оченьвелики, в этом случае проверка гипотезы о нормально распределенной величинеостатков модели может быть произведена лишь приближенно. Рассмотрим один изсамых простых методов анализа последовательности ошибок модели, основанный наисследовании выборочных показателей: асимметрии (g1), эксцесса (g2) и их среднеквадратических ошибок (/>и/>соответственно), которыерассчитываются по формулам:
/>
/> (3.35)
/>
/>
Если одновременно выполняютсянеравенства (3.36), то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальномраспределении остатков.
/>
/> (3.36)
Если выполняется хотя бы одно изнеравенств (3.36)
/>
/> (3.37)
тогипотеза о нормальном характере распределения отвергается, трендовая модельпризнается неадекватной. Другие случаи требуют дополнительной проверки спомощью более сложных критериев.
Проверка равенстваматематического ожидания последовательности остатков нулю, если она распределена понормальному закону, осуществляется на основе критерия Стьюдента (t-критерия) в следующем порядке:
· рассчитывается стандартное(среднеквадратическое) отклонение для последовательности остатков:
/>; (3.38)
· в качестве критерияопределяем величину
/> (3.39)
где /> — среднее арифметическоезначение остатков;
· задается уровеньзначимости a (обычно принимают a=0,05или a=0,01);
· по таблице определяетсязначение tкр= t(a,n-1) с n-1 степенью свободы при заданномуровне значимости a;
· если tнаблtкр, то гипотеза о равенстве математического ожидания ряда остатков нулюпринимается, в противном случае эта гипотеза отвергается и модель признаетсянеадекватной.
Проверка независимости значений
Для того чтобы доказать, что значение уровнейостатков модели являются независимыми величинами (т.е. доказать отсутствиеавтокорреляции) можно используя широко известную статистику Дарбина-Уотсона (d),которая определяется следующим образом:
/> (3.40)
Расчетное значение dсравнивается стабличными значениями dНиdВкритерияДарбина-Уотсона, определенными при фиксированном уровне значимости a (обычно принимается a=0,05) и зависящим от числа наблюдений n.Это предполагает наличие трех возможностей:
1. d>dB. Принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции,значения остатков можно считать независимыми.
2. ddН.Подтверждаетсяналичие положительной автокорреляции, модель считается неадекватной.
3. dН £d£dB. Нет достаточных оснований для того, чтобы отклонитьили принять гипотезу об отсутствии автокорреляции. Требуются дополнительныеисследования.
Если проверка перечисленных выше четырехусловий дает положительный результат, то простая регрессионная модель считаетсяадекватной. Для адекватной модели ставится следующая задача – проверка точностимодели.
Одной из наиболее эффективных оценок точностимодели, мерой качества уравнения регрессии и характеристикой прогностическойсилы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации R2.
Коэффициентомдетерминацииназывается величина
/>, (3.41)
Величина R2показывает какая часть вариации регрессантаможет быть объяснена вариацией выбранного регрессора и характеризует качествоподгонки регрессионной модели к наблюдаемым значениям y. Вследующей главе будет показано, что /> Если />, то это означает точнуюподгонку, между переменными существует линейная связь, все />. Если /> то говорят, что функция регрессии не объясняетничего. Если />, то регрессионноеуравнение оценено тем лучше, чем больше при прочих равных условиях R2.
В случае однофакторной линейной регрессиикоэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции:
R2 = r2 (3.42)3.5. Прогнозирование по моделям простой регрессии.
Предположим, что нами построена регрессионная модель,доказана ее адекватность и определена точность. Теперь на базе этой моделиможно строить различные прогнозы.
Существуют две формы прогнозирования:
· интерполяционное (применяют для определениясреднего значения объясняемой переменной у при значениях х,расположенных «внутри» ряда эмпирических данных, т.е. междузначениями объясняющей переменной, полученным в результате сбора информации);
· экстраполяционное (позволяющее определитьзначения признака за пределами исследуемого ряда эмпирических значений).
Интерполяционное прогнозирование как правило, несоставляет труда. Прогнозные значения получают непосредственной подстановкойинтересующего нас значения регрессора в построенную модель.
При экстраполяционном прогнозировании делаетсяпредположение о сохранении выявленных взаимосвязей факторов и на значенияпеременных, находящиеся за пределами исследуемого интервала аргументов. Особенноэто важно при анализе временных данных. Обычно экстраполяция распространяетсяна период не превышающий одной трети количества наблюдений.
В процессе прогнозирования можно получить два типапрогнозов: точечный и интервальный.
Точечный прогноз дает значения зависимойпеременной, например, />, длясоответствующего значения /> изпостроенной регрессионной модели:
/> (3.43)
При этом действительное значение регрессанта будетнесколько отличаться от полученного теоретического значения. Причиной такогоотклонения являются различные случайные факторы. Т.е.
/> (3.44)
Действительное значение /> мыне можем найти, а можем лишь оценить его с помощью прогноза (3.46).
Література
1. НаконечнийC.I., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія: Підручник.- Вид. 2-ге, доповн.та перероб. – К.: КДЕУ, 2000. – 296 с.
2. НаконечнийC.I. та інші. Методичні розробки та вказівки для проведення
3. Економетрія.Методичні рекомендації до виконання контрольних робіт (для студентівекономічних спеціальностей).
Укладачі: Ю.Т.Олійник,О.В.Балко – Макіївка, МЕГІ, 2001. – 22с.