Переходные процессы в колебательных контурах

Академия России Кафедра Физики Лекция Переходные процессы в колебательных контурах Орел 2009 СОДЕРЖАНИЕ Вступление Переходные колебания в параллельном контуре Свободные колебания в параллельном контуре Режимы переходных колебаний в колебательных контурах Переходные колебания при гармоническом воздействии Литература ВСТУПЛЕНИЕ Колебательные контуры составляют значительную часть аппаратуры связи.

Они могут выполнять самые различные функции: например, участво-вать в выделении гармонических колебаний из последовательности видеоим-пульсов, в формировании прямоугольных импульсов заданной длительности и др. На практике довольно распространен случай, когда на контур действует прямоугольный импульс (рис. 1). Рис. 1 Если предположить , то нетрудно видеть, что при в контуре будет наблюдаться режим переходных колебаний, а с момента – свободные колебания за счет запасенной реактивными элементами энергии.

Рассмотрим оба этих случая на примере параллельного контура. Переходные колебания в параллельном контуре Пусть на параллельный контур, находящийся при ННУ, в момент действует перепад тока величиной . Требуется определить реакцию – временную зависимость напряжения на контуре (рис. 2а). а) б) Рис. 2 Для нахождения воспользуемся операторной схемой замещения, показанной на рис. 2,б. Найдем : где – есть коэффициент затухания; – частота собственных незатухающих

колебаний. Воспользуемся таблицей соответствий (Л.0.1, стр. 222): , где – частота собственных затухающих колебаний. График имеет вид: Рис. 3 Свободные колебания в параллельном контуре Пусть в момент в схеме, показанной на рисунке 4а гасится источ-ник тока . Требуется определить временную зависимость напряжения на контуре.

Примечание: Такая задача возникает после окончания действия прямо-угольного импульса (рис. 1) на контур. а) б) в) Рис. 4 Для определения начальных условий изобразим эквивалентную схему (рис. 4б) для момента времени, непосредственно предшествующего комму-тации. При этом для постоянного тока индуктивность представляется корот-ким замыканием, а емкость – обрывом цепи. Легко видеть, что до момента гашения весь ток источника будет проходить через индуктивность.

Поэтому , . В операторной схеме (рис. 4б) индуктивность отображена схемой за-мещения с источником тока. Нахождение здесь отличается от преды-дущего случая (рис. 2б) лишь направлением операторного источника тока. Следовательно, можно записать: . График данной зависимости будет зеркальным отображением зависи-мости (*), полученной для переходного процесса (рис. 5).

Рис. 5 Можно показать, что аналогичные результаты получаются при анализе переходных и свободных колебаний в последовательном контуре. Отметим две особенности полученных выражений: – во-первых, колебания носят гармонический характер, на что указыва-ет множитель гармонической функции ; – во-вторых, амплитуда полученных колебаний изменяется во времени по экспоненциальному закону . Очевидно, что вид графиков найденных функций будет зависеть от ве-личины коэффициента затухания и его

соотношения с поскольку по-следним определяется величина . Поэтому в зависимости от и различают несколько режимов коле-баний. Рассмотрим их подробней применительно к параллельному контуру. Режимы переходных колебаний в колебательных контурах Ранее было получено выражение для напряжения на контуре при сту-пенчатом воздействии: , где.

Для удобства изложения последующего материала выразим коэффици-ент затухания и частоту , через добротность: . В зависимости от величины (или добротности ) будем различать четыре режима колебаний: колебательный, квазиколебательный, критиче-ский и апериодический. а) Колебательный режим. Этот режим получается в контуре без потерь (идеальный контур), т. е. в чисто теоретическом случае: . Выражение принимает вид: . График полученного выражения показан на рисунке 6.

Рис. 6 б) Квазиколебательный режим. Режим, который используется в подавляющем большинстве случаев. Он получается при . Для построения графика (рис. 7) используем выражение: , где – амплитуда напряжения, убывающая по экспоненциальному зако-ну. Рис. 7 Длительность переходных колебаний может быть найдена из условия, что амплитуда напряжения будет менее 5% от своего максимального значе-ния, т. е.: , откуда. Отсюда можно сделать вывод, что чем выше добротность контура (или чем меньше полоса пропускания ),

тем более длительным будет пе-реходный процесс. Частота затухающих колебаний , однако это отличие незначи-тельно. Действительно при средней добротности ( ), например , имеем:. в) Критический режим. Он возникает, когда . В этом случае и получается неопределенность . Раскроем ее: . Выражение для принимает вид: . График этой функции начинается и заканчивается нулем, не пересекает ось времени. Исследуем его на экстремум: .

Экстремальные точки найдем из условия: , при этом: . График напряжения в рассматриваемом режиме показан на рисунке 8. Рис. 8 г) Апериодический режим. Такой режим получается при ( ), откуда следует, что будет комплексной и не имеет физического смысла. График напряжения при этом будет менее выраженным, чем при критическом режиме (пунктир на рисунке 8). Вывод: изменяя добротность контура (например, с помощью шунти-рующего

сопротивления) можно изменять длительность и вид колебательно-го процесса. Задание: Самостоятельно начертить график квазиколебательного про-цесса при воздействии на контур прямоугольного импульса. Переходные колебания в параллельном контуре при гармониче-ском воздействии Пусть на параллельный контур с резонансной частотой (рис. 9,а) находящийся при нулевых начальных условиях, в момент действует гармоническое колебание, частота

которого совпадает с : . Требуется определить закон изменения напряжения на контуре. Задачу решим в операторной форме, для чего перейдем к схеме заме-щения, показанной на рисунке 9,б. а) б) Рис. 9 По таблице соответствий воздействие имеет изображение: . Определим операторную проводимость контура: , где и определены ранее. По закону Ома в операторной форме имеем: . Поскольку в таблице соответствий нет нужной формулы для

перехода во временную область, то данное выражение следует преобразовать. Для этого воспользуемся теоремой разложения и методом неопреде-ленных коэффициентов. Представим правильную дробь 4 го порядка в виде суммы двух правильных дробей 2 го порядка: , где , , , — коэффициенты, подлежащие определению. Если данное выражение привести к общему знаменателю, раскрыть скобки в числителе и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях , то получим систему 4 х уравнений

с 4 мя неизвестными. Решая систему уравнений имеем: ; ; . Теперь полученное выражение можно записать в виде: и использовать таблицу соответствий. По таблице соответствий находим оригинал: . Предполагая, что контур имеет добротность, при которой , и, пренебрегая произведением как очень малой величиной, получим: . Из формулы следует, что процесс установления гармонического на-пряжения в контуре до амплитудного значения

происходит не мгно-венно, а за конечное время, определяемое множителем . Если процесс установления колебаний в контуре считать законченным при достижении напряжением величины более 95% от максимальной, то можно определить : Видно, что время установления зависит от добротности контура: чем выше добротность, тем дольше происходят в контуре переходные процессы. На рисунке 10 показаны графики переходных колебаний при различных доб-ротностях контура.

Рис. 10 В радиотехнических устройствах (например, в радиоприемниках) на параллельный контур обычно действуют гармонические колебания в виде радиоимпульсов с прямоугольной огибающей. При этом чтобы напряжение на контуре достигло своего максимально-го значения, необходимо выполнять условие:. Отсюда, зная длительность радиоимпульсов, можно рассчитать мини-мальную полосу пропускания контура: , или его добротность: . Литература Белецкий

А. Ф. Теория линейных электрических цепей М.: Радио и связь, 1986, Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях. – Орел: 1981