Механика жидкостей и газов в законах и уравнениях

ГОУ ВПО ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Реферат на тему: МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ Выполнил: Студент гр. МС-116 Оконешников А.В. Проверил: Шевченко С.С. Омск - 1. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ Совокупность векторов v(t), заданных для всех точек пространства, называется полем вектора скорости. Это поле можно наглядно изобразить с помощью линий тока (рис.

39.1). Линию тока можно про-вести через любую точку пространства. Если построить все мыслимые линии тока, они просто сольются друг с другом. Поэтому для наглядного представле-ния течения жидкости строят лишь часть линий, выбирая их так, чтобы гус-тота линий тока была численно равна модулю скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно судить не только о направлении, но и о модуле вектора v в разных

точках пространства. Например, в точке А на рис.39.1 гус-тота линий, а следовательно и модуль v, чем в точке В. Поскольку разные частицы жидкости могут проходить через данную точку про¬странства с раз-ными скоростями (т. е. v = v(t)), кар¬тина линий тока, вообще говоря, все время изме¬няется. Если скорость в каждой точке пространства остается по-стоянной (V=const), то течение жидко¬сти Называется стационарным (ус-тановившим¬ся). При стационарном течении любая частица жидкости проходит

через данную точку пространства с од¬ной и той же скоростью v. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц. Если через все точки не-большого замкнутого контуpa провести линии тока, образуется поверхность, которую называют трубкой тока. Вектор v касателен к поверхности трубки тока в каждой ее точке. Следовательно, частицы жидкости при своем движе¬нии не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем трубку тока, достаточно тонкую для того, чтобы во всех точ-ках ее поперечного сечения S скорость частиц v была одна и та же (рис. 39.2). При стационарном течении трубка тока подобна стен¬кам жесткой трубы. По-этому через сечение 5 прой¬дет за время Дt объем жидкости, равный SvДt, а в единицу времени объем (39.1) Жидкость, плотность которой всюду одинакова и изменяться не может,

называется несжимаемой. На рис. 39.3 изображены два сечения очень тон-кой трубки тока — S1 и S2. Если жидкость несжи¬маема , то кол – во ее меж-ду этими сечениями остается неизменным. От¬сюда следует, что объемы жидкости, протекающие в единицу времени через сечения S1 и S2, должны быть одинаковыми: (39.2) (напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жид-кости не проникают). Равенство (39.2) справедливо для любой пары произвольно взятых се-чений.

Следовательно, для не¬сжимаемой жидкости при стационарном тече-нии про¬изведение Sv в любом сечении данной трубки тока имеет одинаковое значение: (39.3) Это утверждение носит название теоремы о неразрывности струи. Мы получили формулу (39.3) для несжимаемой жидкости. Однако она применима к реальным жидко¬стям и даже к газам в том случае, когда их сжимае¬мостью можно

пренебречь. Расчеты показывают, что при движении газов со скоростями, много меньшими скорости звука в этой среде, их можно с достаточной точностью считать несжимаемыми. Из соотношения (39.3) вытекает, что при изме¬няющемся сечении труб-ки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением (рис. 39.4). Если трубка тока горизонтальна, это ускорение может быть обусловлено толь-ко непостоянством давления вдоль трубки — в местах, где скорость больше, давление должно быть меньше,

и наоборот. Аналитическую связь между скоростью течения и давлением мы уста¬новим в следующем параграфе. 2. Уравнение Бернулли В реальных жидкостях при перемещении слоев жидкости друг относи-тельно друга возникают силы внутреннего трения, тормозящие относитель-ное сме¬щение слоев. Воображаемая жидкость, у которой внутреннее трение полностью отсутствует, называется идеальной. Течение идеальной жидкости не со¬провождается диссипацией энергии (см. предпослед¬ний абзац § 24).

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости. Выделим объем жидкости, огра¬ниченный стенками узкой трубки тока и пер-пендику¬лярными к линиям тока сечениями S1 и S2 (рис. 40.1), За время А/ этот объем сместится вдоль трубки тока, причем граница объема S1 получит перемещение Дl2 , а граница S2 — перемещение Дl2. Работа, совершае¬мая при этом силами давления, раина приращению полной энергии (Ek +

Ep), заклю-ченной в рассматри¬ваемом объеме жидкости. Силы давления на стенки трубки тока перпенди¬кулярны в каждой точ-ке к направлению перемещения жидкости, вследствие чего работы не совер-шают. От¬лична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S1 и S2. Эта работа равна (см. рис. 40.1). Полная энергия рассматриваемого объема жидко¬сти слагается из кине-тической энергии и потенциалальной энергии в поле сил земного тяготения.

Вслед¬ствие стационарности течения полная энергия той части жидкости, ко-то¬рая ограничена сече¬ниями 1’ и 2 (внутрен¬няя незаштрихованная часть трубки тока на рис. 40.1), за время Дt не изменяется. Поэто¬му приращение полной энергии равно разности значений полной энер¬гии заштрихованных объемов ДV2 и ДV1, масса которых Дm = рДV (р — плотность жидкости). Возьмем сечение

S трубки тока и перемещения Дl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объёмов можно было при-писать одно и то же значение скорости v , давления p, и высоты h. Тогда дли приращения полной энергии получается выражение Приравняв выражения (40.1) и (40.2), сократив на AV и перенеся члены с одинаковыми индексами в' одну часть равенства, придем к уравнению Это уравнение становится вполне строгим лишь при стремлении попе-

речного сечения S к нулю, т. е. при стягивании трубки тока в линию. Следо-вательно, ве¬личины и, h и р в обеих частях равенства нужно рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной и той же линии тока. При выводе формулы (40.3) сечения S1 и S2 были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в стационарно текущей не-сжимаемой и идеальной жидкости вдоль любой линии тока вы¬полняется ус-ловие

Уравнение (40.3) или равнозначное ему уравнение (40.4) называется уравнением Бернулли. Хотя это уравнение было получено для идеальной жидкости, оно хорошо выполняется для реальных жидко-стей, у которых внутреннее трение невелико. 3. Истечение жидкости из отверстия Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости из не-большого отверстия в широком откры¬том сосуде (рис. 41.1). Выделим мыс-ленно в жидко¬сти трубку тока, сечениями ко¬торой

являются открытая по¬верхность жидкости S1 и сече¬ние струи при выходе из отвер¬стия S2 (если не принять спе¬циальных мер, то сечение струи будет меньше отвер¬стия). Для всех точек каждого из этих сечений скорость жид¬кости v и высоту h над некото¬рым исходным уровнем можно считать одинаковыми. Поэтому к данным сечениям можно применить теорему Бернулли. Давления р1 и р2 в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному.

Скоростью v1 пе¬ремещения открытой поверх¬ности жидкости ввиду ее малости можно пре-небречь. Поэтому уравнение (40.3) в данном случае упро¬щается сле-дующим образом: Рис.41.1. где v — скорость жидкости в сечении S2 (скорость истечения из отвер-стия). Сократив на р, можно на¬писать, что где h = h1 — h2 — высота откры-той поверхности над отверстием. Формула (41.1) называется формулой Торричелли. Из нее следует, что скорость истечения жидкости из отверстия,

находящегося на глубине h под открытой поверхностью жидкости, совпадет со скоростью, которую при-обретает любое тело, падая с высоты h (в случае, если сопротивлением воз-духа можно пренебречь). Этот результат получен в пред¬положении, что жид-кость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения, определяемого формулой Тор-ричелли, чем больше внутреннее трение в жидкости.

Например, глицерин будет вытекать из сосуда медленнее, чем вода. 4. Вязкость. Течение жидкости в трубах Идеальная жидкость, т. е. жидкость без внутрен¬него трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движе-ние, после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно пре-кращается.

Примером может служить движение жидкости в стакане после того, как ее пе¬рестают размешивать ложечкой. Рассмотрим течение жидкости в круглой трубе. Измерения показыва-ют, что при медленном течении скорость частиц жидкости изменяется от ну-ля в не¬посредственной близости к стенкам трубы до макси¬мума на оси тру-бы. Жидкость при этом оказывается как бы разделенной на тонкие цилинд-рические слои, которые скользят друг относительно друга, не пере¬мешиваясь (рис. 42.1).

Такое течение называется ла¬минарным или слоистым (латин-ское слово lamina означает пластинку, полоску). Отсутствие пе¬ремешивания слоев можно наблюдать, создав в стек¬лянной трубке диаметра несколько сантиметров сла¬бый поток воды и вводя на оси трубы через узкую трубочку окрашенную жидкость (например, анилин). Тогда по всей длине трубы воз-никнет тонкая окра¬шенная струйка, имеющая отчетливую границу с водой. Из повседневного опыта известно, что для того, чтобы

Создать и под-держивать постоянным течение жидкости в трубе, необходимо наличие меж-ду кон¬цами трубы разности давлений. Поскольку при уста¬новившемся тече-нии жидкость движется без ускоре¬ния, необходимость действия сил давления указывает на то, что эти силы, уравновешиваются какими-то си¬лами, тормо-зящим движение. Этими силами являет¬ся силы внутреннего трения на гра-нице со стенкой трубы и на границах между слоями. Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой, действуя на него с

силой F1 направленной по течению. Одновременно более медленный слой стрёмит-ся замедлить движение более быстрого слон, дей¬ствуя на него с силой F2y на-правленном против тече¬ния (рис. 42.2). Экспериментально установлено, что модуль СИЛЫ внутреннего трения, приложенной к площадке 5, ле¬жащей на границе между слоями, определяет-ся фор¬мулой где n— называемый вязкостью коэффициент про¬порциональности, зависящим от природы и состояния (например, температуры) жидкости, dv/dz—производная, показываю-щая,

как быстро изменяется в дан¬ном месте скорость течения в направлений г, перпен¬дикулярном к площадке S. В случае качения жидко¬сти в трубе ось z направлена в каждой точке границы между слоями по радиус} грубы (см. pиc, 42.1), Поэтому вместо dv/dz можно написать, dv/df, Знак мо¬дуля в фор-муле (42.1) поставлен в связи с тем, что в зависимости от выбора направле-ния оси z и харак¬тера изменения скорости производная dv/dz может быть как положительной, так и отрицательной,

в то время как модуль силы является положительной ве¬личиной. Мы уже отмечали, что при ламинарном течении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенки трубы и максимальна па оси трубы. Най¬дем закон изменения скорости. Выделим воображае¬мый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l (рис. 42.3). При стационарном течении этот объем движется без ускорения.

Следовательно, сумма приложенных к нему сил равна нулю. В направлении движения на жидкость действует сила давления, мо¬дуль которой равен p1Пr2; во встречном направле¬нии— сила давления, модуль которой равен p2Пr2. Результирующая сил давления имеет модуль (Пr2 — площадь основания цилиндра). На боковую поверхность действует тормозящая движение сила внутреннего трения, модуль которой согласно

формуле (42.1) равен где 2Пrl — площадь бо¬ковой поверхности ци¬линдра, dv/dr — зна¬чение производной на расстоянии r от оси трубы. Скорость убывает с расстоянием от оси труби, поэтому производ¬ная dv/dr отрицательна и ее модуль равен —dv/dr {модуль отрицательного числа равен этому числу, взя¬тому с обратным знаком). Приравняв выражения (42.2) и (42.3), придем к дифференциаль-ному уравнению Разделив переменные, получим уравнение интегрирование которого дает, что

Постоянную интегрирования С нужно выбрать так, чтобы на стенке трубы (т. е. при г = R) скорость об* ращалась в нуль. Это условие выполняет-ся при Подстановка этого значения в (42.4) приводит к фор¬муле Скорость на оси трубы равна С учетом этого формулу (42.5) можно написать в виде Отсюда следует, что при ламинарном течения скорость изменяется с расстоянием от оси трубы но параболическому

закону (рис. 42.4а). С помощью формулы (42.7) можно вычисти, по¬ток жидкости Q, т. е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы и единицу времени. Разобьем сечение трубы на кольца ширины dr (рис. 42.5). Через кольцо радиуса r пройдёт в еди¬ницу времени объем жидкости dQ, равный произведе¬нию площади кольца 2Пrdr на скорость v(t) на рас¬стоянии от оси трубы: (мы воспользовались формулой (42.7)).

Проинтег¬рировав это выраже-ние по г в пределах ОТ пули до R, получим поток Q: (S—площадь сечения трубы). Поток можно пред¬ставить как произ-ведение среднего по сечению значения скорости <и> на площадь 5. Из фор-мулы (42.8) следует, что при ламинарном течении среднее значение скорости равно половине значения скорости на оси трубы. Подставив в (42.8) выражение (42.6) дли с>о, по¬лучим формулу которая называется ф о р м у л о й

П у а з е й л я . Из нее следует, что поток очень сильно зависит от радиуса трубы. Естественно, что Q пропорционален отношению {P1 — Р2) / l т. е. пе-репаду давле¬ния на единице длины трубы, а также обратно пропорционален вязкости жидкости n. Формула Пуазейля использу¬ется для определения вязкости жидкостей и газов. Пропуская жидкость или газ через трубку известного радиуса, изме-ряют перепад давления и поток

Q. Затем на основании полученных данных вычисляют n. Мы все время подчеркивали, что предполагаем те¬чение медленным для того, чтобы оно имело ламинар¬ный характер. Напомним, что ламинарное те-чение яв¬ляется стационарным. Это означает, что скорость ча¬стиц жидкости, проходящих через данную точку про¬странства, все время одна и та же. Если увеличивать скорость течения, то при достижении определенного значения скорости характер

течения резко меняется. Течение становится нестационар-ным — скорость ча¬стиц в каждой точке пространства все время беспоря¬дочно изменяется. Такое течение называется тур¬булентным. При турбулент-ном течении происхо¬дит интенсивное перемешивание жидкости. Если в тур-булентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом рас-стоянии от места ее введения окрашенная жидкость равномерно распреде-лится по всему сечению потока.

Это можно наблюдать в упоминавшемся выше опыте, если увеличить поток воды в стеклянной трубке. Поскольку при турбулентном течении скорость в каждой точке все время меняется, можно говорить только о среднем по времени значении ско-рости, кото¬рая при неизменных условиях течения оказывается постоянной в каждой точке пространства. Профиль средних скоростей для одного из сече-ний трубы при турбулентном течении показан на рис. 42.56. Сравне¬ние с рис. 42.5 а показывает, что вблизи стенки трубы скорость

изменяется гораздо сильнее, чем при лами¬нарном течении; в остальной части сечения скорость изменяется меньше. Рейнольдс установил, что характер течения оп¬ределяется значением безразмерной величины где р— плотность жидкости (или газа), v — средняя по сечению трубы скорость потока, n - вязкость жид¬кости, l — характерный для поперечного сечения по¬тока размер, например сторона квадрата при квад¬ратном сечении, радиус или диаметр при круглом се¬чении. Величина

Re называется числом Рейнольдса. При малых значениях Re течение носит ламинар¬ный характер. Начиная с некоторого значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характер¬ного размера трубы взять ее радиус (в этом случае Re = pvr/n), то критическое значение числа Рейнольдса оказывается равным примерно 1000 (если в качестве

/ взять диаметр трубы, то критическое зна¬чение Re будет равно 2000). Число Рейнольдса служит критерием подобия для течения жидкостей в трубах, каналах и т. д. Напри¬мер, характер течения различных жидкостей (или га¬зов) в круглых трубах разных диаметров будет оди¬наковым, если каж-дому течению соответствует одно и то же значение Re. В число Рейнольдса входит отношение плотности р и вязкости т).

Ве-личина называется кинематической вязкостью. Чтобы отличить ее от v, вели-чину n называют ди¬намической вязкостью. Будучи выраженным через кине-матическую вязкость, число Рейнольдса имеет вид 5. Движение тел в жидкостях и газах. Воздействие жидкой или газообразной среды на движущееся в ней с постоянной скоростью v тело бу¬дет таким же, каким было бы действие на неподвиж¬ное тело набегающего на пего со скоростью v одно¬родного

потока жидкости или газа (в дальнейшем для краткости мы будем говорить только о жидко¬сти, подразумевая при этом и газы). Следовательно, при выяснении сил, действующих на тело, безраз¬лично, что считать движущимся — тело или среду. Удобно предполагать тело неподвижным, а среду дви¬жущейся. Поэтому мы будем, как правило, рассмат¬ривать действие на неподвижное тело набегающего па пего потока, помня, что результаты, полученные в этом случае, бу-дут справедливыми и для случая движения тела относительно

неподвижной среды. Силу F, с которой набегающий поток действует на тело, можно разло-жить на две составляющие: на¬правленную вдоль скорости v невозмущенного потока силу X, называемую лобовым сопротивлением, и перпендикулярную к v силу У, называемую подъемной силой. Лобовое сопротивление слагается из сил давления и сил внутреннего трения. Очевидно, что на тело, симмет-ричное относительно направления скорости потока v, может действовать

только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае будет от-сутствовать. Можно доказать, что в несжимаемой идеальной жидкости равномерное движение тела произвольной формы должно было бы происходить без лобо-вого сопротивления. Этот результат получил название парадокса Да-ламбера. Покажем отсутствие лобового сопротивления на примере обтекания идеальной жидкостью очень длин¬ного («бесконечного») цилиндра (рис. 43.1). Не обла¬дая вязкостью, идеальная жидкость должна сколь¬зить

по по-верхности цилиндра, полностью обтекая его. Поэтому линии тока будут симметричными как отно¬сительно прямой, проходя¬щей через точки 2 и 3, так и относительно прямой, проходящей через точки 2 и 4. Теорема Бернулли позволяет по картине линий тока судить о давлении в разных точках потока. Вблизи точек 1 и 3 давление одинаково (и больше, чем в невозмущенном потоке, так как скорость вблизи этих точек меньше). Вблизи точек 2 и 4 давление также одинаково (и меньше, чем в не-возмущенном потоке,

так как скорость вблизи этих точек, больше) Следова-тельно, результирующая сил давления на по¬верхность цилиндра (которая в отсутствие вязкости могла бы обусловить лобовое сопротивление) будет рав-на нулю. Как уже отмечалось, такой же результат получается и для тел любой (в том числе и несиммет¬ричной) формы. Этот вывод касается только лобово-го сопротивления. Подъемная сила, равная нулю для симметричных тел (см например, рис.

43.1), для не¬симметричных тел отлична от нуля. На рис. 43.2 показаны линии тока при обтекании идеальной жидкостью полуцилиндра. Вследствие идеального обтекания линии тока несимметричны относитель¬но прямой, проходящей через точки 2 и 4. Однако от¬носительной прямой, проходящей через точки, 1 и 3 картина линий тока несимметрична. Вблизи точки 2 где линии гуще, давление меньше, чем вблизи

дочки 4 , в ре-зультате чего возникает подъемная сила. Иначе обстоит дело при движении тела в вязкой жидкости. В этом слу-чае очень топкий слой жидкости прилипает к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за внутреннего тре¬ния последующие слои. По мере удаления от поверх¬ности тела скорость слоев становится все меньше и, наконец, на некотором

расстоянии от поверхности жидкость будет не возмущенной движением тела. Таким образом, тело оказывается окружен-ным слоем жидкости с быстро изменяющейся внутри него ско¬ростью. Этот слой называется пограничным. В нем действуют силы вязкого трения, кото-рые в конечном счете приложены к телу и приводят к возник¬новению лобо-вого сопротивления. Но влияние вязкости не исчерпывается возникновением сил трения.

Наличие пограничного слоя в кор¬не изменяет характер обтекания тела жидкостью. Полное обтекание становит¬ся невозможным. Действие сил трения в пограничном слое приводит к тому, что поток отрывается от по¬верхности те-ла, в результате чего позади тела возни¬кают вихри (рис. 43.3). Вихри уносит-ся потоком и постепенно затухают вследствие трения; при этом энергия вих-рей расходуется на нагревание жидкости. Давление в образующейся за телом вихревой области оказывается пониженным, вследствие

чего результи¬рующая сил давления отлична от нуля. Это в свою очередь обусловливает лобовое сопротивление. Таким образом, как уже отмечалось, лобовое сопротивление слагается из сопротивления трения и со¬противления давления. При данных попереч-ных раз¬мерах тела сопротивление давления сильно зависит от формы тела. Наименьшим сопротивлением давления обладают тела хорошо обтекаемой каплевидной формы (рис.

43.4). Соотношение между сопротивлением трения и сопротивлением давле-ния определяется значением числа Рейнольдса (см. формулу (42.10)). В дан-ном слу¬чае v — скорость тела относительно жидкости (или скорость потока, набегающего на тело), l — характер¬ный размер тела, например радиус для тела шаровой формы. При малых Re (т. е. при малых v и l) основ¬ную роль иг-рает сопротивление трения, так что сопротивлением давления можно пренеб-речь. С ростом вязкости относительная роль сил трения возрастает.

По мере увеличения Re роль сопротивления давления все больше растет. При боль-ших значениях Re в ло« бовом сопротивлении преобладают силы давления. Определяя характер сил, действующих на тело в потоке жидкости или газа, число Рейнольдса служит критерием подобия и в этом случае. Это об-стоятель¬ство используется при моделировании.

Например, мо¬дель самолета ведет себя в потоке газа так же, как и ее прообраз, если кроме геометрическо-го подобия модели и самолета будет соблюдено равенство для них значений числа Рейнольдса. Стокс установил, что при небольших скоростях и размерах тел (т. е. при малых Re, когда сопротив¬ление среды обусловлено практически только силами трения), модуль силы сопротивления определяется формулой Здесь n — динамическая вязкость среды, v — скорость движения тела, l — характерный

размер тела, k — коэффициент пропорциональности, кото-рый зависит от формы тела. Для шара, если взять в качестве l его радиус r, коэффициент пропорциональности равен 6П.Следовательно, сила сопротив-ления движению в жидкостях небольших шариков при малых скоростях рав-на Надо иметь в виду, что формула Стокса справедлива при условии, что расстояние от тела до границ жидкости (например, до стенок сосуда) много больше размеров тела.

Самолет поддерживается в воздухе подъемной си¬лой, действующей на его крылья. Лобовое сопротивление играет при полете самолета вредную роль По этому крыльям и фюзеляжу самолета придают удобообтекаемую форму (рис. 43.5). Вследствие асим¬метричной формы и наклонного распо-ложения крыла скорость воздуха над крылом оказывается больше (а, следовательно, давление меньше), чем под крылом.

Благодаря этому создает-ся подъем¬ная сила. Существенную роль в образовании подъ¬емной силы играет вяз¬кость воздуха, которая обусловливает образова¬ние вихрей, отрывающих¬ся от задней кромки крыла. Однако вникать в детали явлений, обусловливающих подъёмную силу, мы не имеем возможности . Основы теории крыла самолета создал в 1904 г. Жуковский, который сформулировал теорему о подъемной силе и вывел формулу для определения этой силы, являющуюся основой всех аэродинамических расчетов самолетов.