Динамика твердого тела

Введение o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси . Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна) . Свободные оси. Устойчивость свободного вращения . Центр удара o II. Плоское движение твердого тела . Кинетическая энергия при плоском движении Заключение

Введение В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения. Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом. Обратимся к опытам. Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно

в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение - траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту. |[pic] | |Рис. 3.1. | Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы

центр масс стержня в горизонтальном направлении. Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения. Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс (физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия.

Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б). |[pic] | |Рис. 3.2. | Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с "послушной" и "непослушной" катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис.

3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую "непослушную" катушку. |[pic] | |Рис. 3.3. | Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно

использовать: Уравнение движения центра масс |[pic] |(3.1) | Здесь [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- сумма всех внешних сил, приложенных к телу. Уравнение моментов |[pic] |(3.2) | Здесь L- момент импульса твердого тела относительно некоторой точки, [pic]- суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки. К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие

комментарии: 1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела. 2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и на момент силы относительно

какой бы то ни было точки, так как плечо силы при этом не изменится. Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально совпадающий с (3.2).

В самом деле, момент импульса тела [pic]относительно движущегося центра .масс О связан с моментом импульса [pic]относительно неподвижной - точки O' соотношением: |[pic] |(3.3) | где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс тела. Аналогичное соотношение легко может быть получено и для моментов силы: |[pic] |(3.4) | где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.

Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2): |[pic] |(3.5) | Тогда |[pic] |(3.6) | Величина [pic]есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ. Учитывая (3.4), получим |[pic] |(3.7) | Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то [pic]([pic] - масса тела), [pic]и [pic]то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной

точки. Скорости всех точек тела при определении [pic]следует брать относительно центра масс тела. Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс,

как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно неподвижного начала (или неподвижное оси). Если [pic]не зависит от угловой скорости тела, а [pic]- от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг от друга.

В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося твердого тела в вязкой среде. Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского движения и, наконец, движения

твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс. I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае движение твердого тела определяется уравнением |[pic] | Здесь [pic]- это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси. [pic]- это момент внешних сил относительно

оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с [pic]значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), [pic]где [pic]- составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, [pic]- плечо силы [pic]относительно оси. |[pic] | |Рис. 3.4. | Поскольку [pic]([pic] - момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо [pic]можно

записать |[pic] |(3.8) | или |[pic] |(3.9) | поскольку в случае твердого тела [pic] Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет вид: |[pic] |(3.10) | Вектор [pic]всегда направлен вдоль оси вращения, а [pic]- это составляющая вектора момента силы вдоль оси. В случае [pic]получаем [pic]соответственно и момент импульса относительно оси [pic]сохраняется.

При этом сам вектор L, определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5. |[pic] | |Рис. 3.5. | Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол [pic]между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки

А движется по конический поверхности с углом полураствора [pic]однако проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю. Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна). Скорость i -й частицы тела |[pic] |(3.11) | где [pic]- расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия |[pic] |(3.12) | так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела: |[pic] |(3.13) | Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол [pic]равна |[pic] |(3.14) | опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью [pic]и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по величине сила [pic]направленная

перпендикулярно его оси. Работа этой силы |[pic] | где [pic]- радиус диска, [pic]- угол его поворота. Число оборотов, которое сделает диск до полной остановки, |[pic] | где [pic]- момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора. Замечание. Если силы таковы, что [pic]то работу они не производят. Свободные оси. Устойчивость свободного вращения. При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей механизмов оси (валы) испытывают

определенную динамическую нагрузку, Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться. Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис.

3.6. |[pic] | |Рис. 3.6. | В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.

В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В стержня главной, но не центральной, [pic]Ось изгибается, со стороны оси на стержень действует сила [pic]обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны стержня на ось действует сила [pic]уравновешенная силами [pic]со стороны подшипников. В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и является для него центральной,

но не главной. Момент импульса относительно центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень действуют силы [pic]и [pic]момент которых обеспечивает приращение [pic](В НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент центробежных сил инерции, действующих

на одну и другую половины стержня). Со стороны стержня на ось действуют силы [pic]и [pic]направленные противоположно силам [pic]и [pic]Момент сил [pic]и [pic]уравновешен моментом сил [pic]и [pic]возникающих в подшипниках. И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной центральной осью инерции тела (рис.3.6в), раскрученный и предоставленный сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они будут сохранять

свое направление в пространстве неизменным. Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают, что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции - неустойчивым. В этом можно убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное вокруг одной из

трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей (рис. 3.7). Ось AA' соответствует наибольшему, ось BB среднему, а ось CC наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA' или вокруг оси CC можно убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки заставить тело вращаться вокруг оси BB' к успеху не приводят - тело движется сложным образом,

кувыркаясь в полете. |[pic] | |Рис. 3.7. | В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось, соответствующая наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить к быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения вертикальна), то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво вращаясь вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска. |[pic] | |Рис. 3.8. | Центр удара. Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси вращения, испытывает удар,

то действие удара в общем случае передается и на ось. При этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от того, в какую точку тела нанесен удар. Рассмотрим сплошной однородный стержень АВ, подвешенный в точке А на горизонтальной, закрепленной в подшипниках оси OO' (рис. 3.9). Если удар (короткодействующая сила

F ( нанесен близко к оси вращения, то ось прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар нанесен по нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в противоположном направлении (рис. 3.9б). Наконец, если удар нанесен в строго определенную точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9в, точка С), то ось не испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом.

Очевидно, в этом случае скорость поступательного движения, приобретаемого точной А вместе с центром масс O, будет компенсироваться линейной скоростью вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти движения инициируются силой F и происходят одновременно). |[pic] | |Рис. 3.9. | Вычислим, на каком расстоянии [pic]от точки подвеса стержня находится центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO' дает |[pic] |(3.15) |

Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает, поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать |[pic] |(3.16) | где [pic]- масса тела, [pic]- скорость центра масс. Если [pic]- расстояние от оси до центра масс тела, то |[pic] |(3.17) | и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс находим |[pic] |(3.18) | При этом точка C (центр удара) совпадает с так называемым центром качания данного физического маятника

- точкой, где надо сосредоточить всю массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же период колебаний, как и данный физический. В случае сплошного однородного стержня длиной [pic]имеем: |[pic] | Замечание. Полученное выражение для [pic](3.18) справедливо и для произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка подвеса тела

А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих через точку А. Пример 1. При ударах палкой длиной [pic]по препятствию рука "не чувствует" удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится в точку, расположенную на расстоянии [pic]свободного конца палки. Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис.

3.10) шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар нанесен в точку, находящуюся на высоте |[pic] | от поверхности бильярда, то есть на [pic]выше центра шара. Если удар будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным столом будет проскальзывать назад. |[pic] | |Рис. 3.10. | Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела вокруг неподвижной

оси, однако все приведенные выше соображения о центре удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях. II. Плоское движение твердого тела. Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела, например, того, в котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена неоднозначно - она зависит от выбора оси

вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается одной и той же. Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то уравнениями движения твердого тела будут: 1. Уравнение движения центра масс |[pic] |(3.19) | 2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс |[pic] |(3.20) | Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве

и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и уравнение моментов относительно неподвижной точки. В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием уравнений динамики

твердого тела. Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси, проходящее через центр масс (рис. 3.11). |[pic] | |Рис. 3.11. | Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид: |[pic] | К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи |[pic] |(3.23) | Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю. Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций

ускорения и сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) - для проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y , совпадающую с осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле, что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим: |[pic] | откуда |[pic] |(3.27) |

Следует подчеркнуть, что [pic]- сила трения сцепления - может принимать любое значение в интервале от О до [pic](сила трения скольжения) в зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной плоскости. В данном случае |[pic] |(3.28) | Если цилиндр сплошной, то |[pic] |(3.29) | Качение без проскальзывания определяется условием |[pic] |(3.30) | где [pic]- коэффициент трения скольжения,

[pic]- сила реакции опоры. Это условие сводится к следующему: |[pic] |(3.31) | или |[pic] |(3.32) | Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения (рис. 3.12). |[pic] | |Рис. 3.12. | Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении движении центра масс и уравнении кинематической

связи. Уравнение моментов относительно мгновенной оси имеет вид: |[pic] |(3.33) | Здесь |[pic] |(3.34) | В проекции на ось вращения (ось y) |[pic] |(3.35) | Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение |[pic] |(3.36) | Кинетическая энергия при плоском движении. Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц: |[pic] |(3.37) | где [pic]- скорость центра масс тела, [pic]-

скорость i-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим: |[pic] |(3.38) | так как [pic](суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю). Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия

тела есть энергия вращательного движения. В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила трения при качении без проскальзывания работу не совершает). Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное энергии: |[pic] |(3.39) | Здесь [pic]- длина наклонной плоскости, [pic]- момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения. Поскольку скорость оси цилиндра [pic]то |[pic] |(3.40) |

Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим |[pic] |(3.41) | откуда для линейного ускорения [pic]оси цилиндра будем иметь то же выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)). Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения. Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным углом поворота цилиндра, а не расстоянием,

на которое переместилась его ось. Заключение Динамика твердого тела на данном этапе используется для тел, движущихся в сплошной среде. В задаче о полете тела с тремя несущими поверхностями при наличии динамической асимметрии определены условия, при которых проявляются синхронизмы 1:3. С увеличением угловой скорости вращения тела около продольной оси даже на поверхности рассеивания заметно ослабление этого эффекта. Разработана программа имитационного моделирования комплекса задач по динамике

полета противоградовых ракет. С ее помощью построены таблицы введения поправок на установочные углы запуска ракет для наилучшей компенсации вредного влияния ветра. Создана механико-математическая модель полета бумеранга. Открыта лаборатория навигации и управления. Разработан и внедрен на аэродинамической трубе А-8 комплекс механического оборудования и сопутствующей измерительной аппаратуры для проведения динамических

испытаний моделей. Определены коэффициенты демпфирования поперечных колебаний осесимметричных оперенных тел различного удлинения при раскрутке вокруг собственной оси в до- и сверхзвуковом потоках. На основе численного решения задачи о плоских движениях аэродинамического маятника (с несущей поверхностью в виде прямоугольной пластины) в несжимаемой жидкости с учетом динамики вихрей определены области существования всех типов движения маятника, включая режимы автоколебаний и авторотации.

Открыта лаборатория сверхзвуковой аэродинамики. Также в институте компьютерных исследований проводят значимые исследования по динамике твердого тела. Это направление исследований института связано с анализом движения твердого тела с широким применением компьютерных методов. Компьютерные исследования в динамике твердого тела относятся к отдельной области науки - компьютерной динамике, которая устанавливает общие закономерности движения систем при помощи различных численных

методов и алгоритмов. В сочетании с аналитическими методами, достижениями топологии, анализа, теории устойчивости и других методов компьютерная динамика применяется, главным образом, в исследовании интегрируемых задач, в частности, динамических проблем теории волчков. Такой подход позволяет получить достаточно полное представление о движении, разобраться во всем его многообразии и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его особенности.

Помимо анализа интегрируемых ситуаций в институте начато исследование случаев хаотического поведения в динамике твердого тела. Эти исследования, которые ранее почти не проводились, основаны на широком применении высокоточного компьютерного моделирования. Ожидается, что изучение этой области динамики твердого тела позволит получить в перспективе много новых интересных результатов. Кроме того, в институте проводятся исследования с использованием методов пуассоновой

динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли - методов, которые во многом возникли из задач динамики твердого тела.