Электростатика.
Способность кэлектризации. — способность тел притягивать к себе предметы.
Эти тела оказ. заряженными.
Q=ne Q — заряд тела n=1,2,...
Заряды приобретаемые при электризации всегда кратные и заряды явл. дискретными.
Сущ. три способа электризации тел.
1) Электризация через трение — трибоэлектризаия.
2) Электризация наведением (явление электростатическойиндукции).
3)Электризация с помощью электритирования.
Электрическ. заряды сохр. на заряженных телахразличное время в зависемости от способа электризации в1) и 2) — короткое время, 3) — годы и десятки лет.
В замкгутой системе электриз тел (нет обмена зарядамис внешними телами) алгебраическая сумма эл. зарядов остается постояной прилюбых процессах происходящих в этой системе.
SQi=const
i
Точечный заряд это физич. абстракция.
Точечнымзарядомпринято называть заряж. тело розмера которого малы по сравнению с расст. доточки исследования.
Одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются.
Зак. Куллона.
Силавзаимодействия междуточечными неподвиж зарядами
q1 иq2 прямопропорцианальны величине этих зарядов и обратнопропорц.расст. между ними.
F=k´((q1q2)/r2
k=1/4pe0 e0=8,85´10-12 Ф/M
e0 — фундоментальная газоваяпостоянная назв газовой постоянной.
k=9109 M/Ф
Зак.Куллона (в другом виде)
F=(1/4pe0)´çq1q2ç/r2
вакуум e=1
F=(1/4pe0)´çq1q2ç/er2
для среды e¹1
Если точечн. заряд поместитьв однородн.безгранич.среду куллоновская сила уменьшится вeраз по сравнению с вакуумом.e — диэлектр. проницаемостьсреды.
У любой среды кроме вакуума e>1.
Зак. Куллона ввекторной форме.
Для этого воспользуемся единичным ортом по направлению вдоль расстояниямежду двумя зарядами.
_ _ _ _
er=r/r r=er´r
_ _
F=(1/4pe0)´(çq1q2ç´r)/r3 векторная форма
В Си — сист единица заряда 1Кл=1А´с
1Куллон — это заряд, протекаемый за1 с через все поперечное сечение проводника,по которому течет
то А с силой 1А.
Зак.Куллона может быть применен для тел значительных размеров если их разбить
на точечные заряды.
Кулл. силы — центральные, т.е.
они направлены по линии соед.
центр зарядов.
Зак. Куллона справедлив для очень больших расстоянийдо десятков километров. При уменьш. расст. до 10-15 м справедлив,при меньших несправедлив.
Электростатич.поле.
Хар.электростатич.поля.
_ _
(Е, D,j)
В пространстве вокруг эл. зарядов возникает электростатическое поле (заряды неподвиж.).
Принято считать, что электростатическое полеявляется объективной реальностью. Обнаружить поле можно с помощью пробныхэлектрических зарядов.
Пробн., полож., точечный заряд должен быть таким, чтобы он не искажал картиныиследуемого поля.
Напр. электростатич. поля.
_
Е — напряженность электростатического поля. Напряженностьэлектростатического поля является силовой характеристикой.
_ Напр. поля в данной
Е=F/q0 точке пространства
явл. физ. вел. численно равная силе (куллоновск.)
действ. в данной точке на единичный неподвижныйпробный заряд.
[E]=H/Кл [E]=В/м
Силовая линия — линия, в каждой точкекоторой напр. поля Е направлена по касательной.
Силовые линии строят с опред.
густотой соответствующей модулю напр. поля: черезплощадку 1 м2 проводятколичество линий Е равное модулю Е.
При графическом представлении видно, что в местах сболее
густым располож. Е напр. больше.
Вывод формул для напр. поля точечн. заряда.
q — заряд создающий поле.
q0 — пробн. заряд.
Е=(1/4pe0)´(q´q0)/(r2´q0)
E=(1/4pe0)´q/r2
Из E=(1/4pe0)´q/r2 следует что Езависет прямопропорцианально величине заряда и обратнопропорц. расст. от зарядадо т. исследов.
В однородн. безгр. среде с e¹1
(e>1) напр. поля уменьш. в eраз.
E=(1/4pe0)´q/er2
_
E=(1/4pe0)´q2/r3
Электрическоесмещение.
_
Опред. формулой для D явл. следущее в данной т. средыэлектрическое смещение численно равно произвед. диэлектр. проницаемости, эл.постоянн. и напр. поля.
_
D E D=ee0E
[D]=Кл/м2
Напр. эл. поля завсет от e среды поэтому при наличии несколбких граничащихдиэлектриков на границе разрыва двух сред напр. поля меняется скачком (линии
_
вектора Е терпят разрыв).
_
Вектор D независ. от eсреды т.е. явл. однаков. по величине
_
во всех средах т.е. скачка D нет, разрыва нет.
_
Покажем что D независ от e.
D=ee0´(kq)/(e0´r2)
D=(1/4p)´q/(e´r2)
Потенцеал поля.
Силы электростатич. поляконсервативные т.е. независ. от траэктории движения заряда.
_
F=- gradП
Fx= -¶П/¶x аналогич Fy и Fz
1) F= — dП/dr
Для электростатич. сил F=f(r).
Воспользуемся этой зависемостьюдля введения третей характеристики поля — потенцеала.
Преобр. 1)
2) dП= — Fdr F — куллоновская сила взаимодействия между двумя точечн. зарядами q и q0.
F=k(÷qq0÷/r2) Подставим F в2) и проинтегрируем лев. и прав. часть.
3) òdП=ò-k(÷qq0÷/r2)dr из 3)
П= -k÷qq0÷òdr/r2=
=k÷qq0÷´(1/r)+C
Разделим лев. и прав. часть 4) на q0.
5)j=П/q0=(1/4pe0 )´(q/r)+C
6) j=П/q0 Потенцеалполя в данной точке численно равен потенцеальной энерии пробного зарядапомещенного в данную точку.
[j]=B=Дж/К
7) j=(1/4pe0 )´(q/r) при j=0 r®¥, j ~ d при r=const,
j ~1/r при q=const
При q>0 j>0 +
При q
Потенцеал поля принято изображать на рис. эквипотенцеальнымилиниями или поверх.
Эквипотенцеал — геом. место точек равного потенцеалаполя.
Принято эквипотенцеал проводить при Dj=const
Dj=j2 — j1 — разность между двумя ближайшеми эквипотенцеалами.
Вывод:
_ _ _ _
D=e0E DE
E=(1/4pe0 )´(q/r2) D=q/4pr2
Картина линий Е эквипотенц. поля точечн. заряда.
(для ваку-
ума)
_ _
Е или D Dj=const
_ _
¾ линии D или Е
--- экви.
_ _
Нарисуем линии E и D при наличии диэлектрика.
Диэлектрк окружен вакуумом.
В диэл. e>1 Eд
eд
_ _
Для D линий разрыв. нет т.е. D
чертят сплошной линией.
Принцип суперпозиции
электростатич. полей.
_
Принципсуперпоз. для Е.
Пусть в пространстве имеется несколько точечн.зарядов q1, q2, ..., qi, ..., qnвнесем в это поле пробный заряд q0найдем силу действия наq0.
Согласнопринципу независемости действия сил результ.сила F действ. но q0равна геом. сумме всех куллоновских сил действ.на q0со стор. других зарядов.
_ n _
F=SFi 1)
i=1
Разделим лев. и прав. часть 1) на q0.
_ n _ _ _
F/q0=SFi/q0 E=F/q0
i=1
_ n _
F/q0=SE матем запись прин-
i=1 ципа супер. для Е.
Напряженность результ. поля созд несколькими точечн.зарядами = геом. сумме напр. полей созд. в этойже точке отдельными зарядами.
_
Принцип суперпоз. для D.
_ n _
D=SDi 3) (аналог 2))
i=1
Дляпотенцеала.
n
j=Sj i
i=1
Потенцеал результ. поля в данной точке = алгебр.сумме потонц. полей созд. отдельными зарядами.
Полядиполя.
Эл. диполем — назв. систему двух равных по модулюразноименн. точечн. зар. наход на расст. l друг от лруга значительноlДиполь характеризуется плечом диполя и электрич.моментом.
Плечо диполя — расст. между зарядами.
Элекрич. момент — произв. вел. заряда на плечо. [p]=Кл´м
Вычислим поле в т. А на оси диполя.
e=1, q+=q_=q, l , p=ql, E — ?
_ _
E=SEi
i _ _
E=E_ — E+ EE_
E=k(q/(r+l/2)2)
E=k(q/(r - l/2)2)
E=kq[(1/(r -l/2)2) -1/(r+l/2)2)]
E=[kq(r2+rl+l2/4 — r2+
+rl — l2/4)]/
/r4=(пренебрег. l/2 т.к. r>>l , r>>l/2)=(kq2rl)/r4=k(qp/r3)
E=k(2p/r3) E~1/r3
Поле в т. С на перпендик. оси диполя.
k, q, l, r>>l, p=ql, e=1, r=OC
E — ?
_
÷E÷=2Пр.Е+
Е+=Е_ в силу симметрии зар.
Е+=Е_=k(q/(r¢)2)
E+/E_=cosa=l/2r¢
Пр.Е+=Пр.Е_=Е(l/2)
E=2Пр.Е+=2Пр.Е
Пр.Е+=Е+сosa=(kq/(r¢)2)´
´l/2r¢
_
Пр.Е+/E+=cos aE+
r¢~r приr>>l
E=2(kq/(r¢)2)´l=kql/(r¢)3=
=kp/r3
(неправильно)
E=k(p/r3)
_ _
Потоки D и Е.
Пусть электростатическое поле будет однородно т.е. такое
_
поле у котор.D=const и все линии поля ïï по направлению, введ. в это поле плоск. поверхностьплощадью S, строем нормаль.
_
Пр.D=Dncosa
_
поток D FD=Dcosa´S
1)FD=Dncosa
_ _
Потоком D или Eназв. физ. вел. числ. = кол- ву. линий
_ _
D или Е пронизывающих исследуемую поверхность при
_ _
условии D или Е ^ поверхности.
FЕ=ЕnS 2)
[FD]=Кл [FЕ]=В´м
Поток характеристика скалярная, алгебраическая.
При a0
При a
Запишем общую формулу в случ. когда S имеет произв.форму.
В током случае на поверх S наход. участок площадьюdS котор. можно считать плоским, тогда dFD=Dn´dS
FD=òDndS
S
Площадке dS припис. векторные свойства.
_ _
dS=dS´n
_ _
FD=ò DndS
S
Теор. Гаусса(интегральная форма).
В ряде случаев принцип суперпоз. для вычислениянапр. поля применять трудно, в таких случ. напряженность электростатич. полявычисляют с помощью теор. Гаусса.
Теор. Гаусса позволяет легко вычислять Е и D присимметричных расположениях заряда.
Поток вектора электрич. _
смещения D cквозь произвольн. замкн. поверх. S равеналгебраич. сумме зарядов заключ. внутри поверх.
Замкнутаяповерх — такая вкотор нет отверстий.
Алгебр. сумма — сумма заряда с учетом ихзнаков.
_ _ n
ѓDdS=Sqi 1)
S i=1
_ _
ѓEdS=(1/e0)Sqi 2)(для вакуума)
S i
Док — во.
1. Пусть имеется полож. точечн. заряд. q .
_ _
ѓDdS=ѓDdS
S S
_ _
Dn a=0 Dn=D
Вынесем за знак интегр.
DѓdS=D4pr2=(q/4pr2)´4pr2=q
S
_ _
3) ѓDdS=q
S
Очевидно если точечн. зар. расп. не в центре а влюб. т внутри поверх. S колич. линий
_
D прониз. поверх. не измен., т.е. для люб.положения точечн. заряда q внутри сферы формула 3) справедлива.
Поток сквозь поверх. другой формы (произвол.) припрежнем заряде q не изменится и 3) справедлива.
Внутри замкн. сферы нах. несколько зарядов q1,q2 ,q3, ...,qi,...qn 1£ i £n
Докажем что в этом случ. теор. Гаусса верна.
На основ. 1)
для кажд
зар. теор.
справедлива.
_ _
4) ѓDidS=qi
S
в 4) просуммируем левую и правую часть.
_ _
SѓDidS=Sqi
i i
_ _
ѓ(SDi)dS=Sqi
s i i
_ _ n
ѓDdS=Sqi 5)
s i
Форма записи 5) имеет назв. интегральной формызаписи.
Интегр. форм. — обознач. что в формуле характеристикислева и справа относятся к разным точкам пространства.
r — об. плотность.
r=dq/dv (Кл/м3)
6)Sqi=òrdv
i v
_ _
ѓDdS=òrdv S и V —
v согласо-
ванны.
Практич.применение теор. Гаусса.
Методикаприменения теоремы.
Дано:
Шар, eш¹ 0 ,eш>0, eш=e , ecp=1, r=const, R — радиус шара 1)r>R (вне шара)
2)r
Найти Е и D вне и внутри шара).
ОА=r
1) Наход. картину линий поля.
2) Выбор замкнутой поверхности удобной для реш.задач.
Во всех точках поверх. или к части точек cosa=1.
3) Это замкнутая поверхность должна проходить черезисслед. точку.
4) К построенной поверхности строят нормаль.Очевидно что для всех точек поверх a=0 D=const.
5) Вычисляем формально поток (левую часть формулы Гаусса) _ _ n
ѓDdS=Sqi
S i=1
_ _
ѓDdS=DѓdS=D´S=D´4pr2 (1)
S S
6) Вычисляем алгебраич. сумму зар. попавших внутрьповерх. (прав. часть форм.)
Sqi=rV=r(4/3)´pr3 (2)
7) Приравниваем (1) и (2)
D´4pr2=r(4/3)´pr3
D=((rR3)/3)´1/r2 D~1/r2
q=r(4/3)´pr3 D=q/4pr2
Электрич. смещение D и напр. поля Е в люб. точке.вне шара. определ. по тем же формулам что и для точечн. заряда.
Рассм. точку внутри шара.
1) _ _
ѓDdS=DѓdS=D´S=D´4pr2
S S
2)Sqi=rV=r(4/3)´pr3
D=4pr2=r(4/3)´pr3
D=r/3´r D~r
Постр. граф. завис. D(r).
Dв диэлектр и Dв вакууме — одинаков.
Для напр. поля но основ. получ. формулы для D и на основ. связи D=r/3´r
E=D/ee0
для А E=(q/4pe0r2)=k(q/r2) b)
для С E=(r/3ee0)´r a)
Найдем знач. Е в точках на поверхности. Воспользуемсяа) и b) и подходом к поверхности снаружи и изнутри.
6) ER=q/4pe0R2 r=R
Подходим к поверх. изнутри.
7) ER=(r/3ee0)´R
E=(r4pR3)/(3´4pe0R2)
8) E=(r/3e0)´R
Сравнивая 7) и 8) видим что напр. поля не равны.
ER¹ER ER>ER (скачок)
вн сн вн сн
Завис. Е(r)
При eср
Методика применения теор. Гаусса универсальна иприменима для реш. любой задачи.
Применениетеор. Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме.
1)Поле равномерно заряж. бескон. плоскости:
Бесконечная плоск. заряжена с постоянной поверхностнойплотностью +s (s = dQ/dS — заряд приходящийся наединицу поверхности). Линия напряженности перпендикуляр.
плоскости и направленный в обе стороны. В качествезамкнутой поверхности мысленно построимцилиндр,
основание параллельно плоскости.
Полный поток сквозь цилиндр
равен сумму потоков сквозь его основания, т.е. равен2ЕS. Заряд заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности равен sS. Согласно теор. Гаусса 2ЕS=sS/e0 ,
откуда Е=sS/2e0. Из формулы видно, что Е независит от расстояния.
2) Поле двух бесконечн. параллельных разноименных заряженных пластин.
Слева исправа от плоскостей по суперпозиции напряженности равна нулю. А внутри междупластин Е=s/e0.
3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности.
Сфера радиуса R с общим зарядом Q заряженаравномерно с поверхностной плотностью +s. Если r>R, то внутрь поверхности попадает
весь заряд и по теор. Гаусса
4pr2E=Q/e0 , откуда
E=(1/4pe0)´Q/r2 (r ³ R)
Если r¢
4) Поле объемно заряженного шара.
Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно собъемной плотностью r(r=dQ/dV- заряд приходящийся на единицу объема). Напряженность вне шара будет как и в4) т.е. Е=(1/4pe0)´Q/r2
Внутри же будет другая.
Сфера радиусаr¢
, получим: E=(1/4pe0)´(Q/R3)r¢(r¢£R).
5) Поле равномерно зар. без-
кон. цилиндра.
Безкон. цилиндр радиуса R заряжен равномерно с линейной плотностью t (t=dQ/dl — заряд, приходящийся наединицу длины). Поток сквозь торцы цилиндра равен 0, а сквозь боковуюповерхность 2prlЕ , где l-высота. По теореме Гаусса, для r>R
2plЕ=t(l/e0) ,от сюда Е=(1/2pe0)(t /r) (r³R).
Если r
Теор. Гаусса вдифференциальной форме.
В случаях неравномер. распред. заряда и не симметр.конфигурациях заряженных тел теор. Гаусса в интегр. форме применятьзатруднительно. В этих случаях легко реш. задачи с помощью дифференц. формытеор. Гаусса.
Пусть заряды в пространстве распред. неравномерно r¹const
В общем случае r=f(x,y,z)
Рассм. т. А(x,y,z). В этой т. r(x,y,z). В т. А D(x,y,z) D — смещение в т. А.
Для получ. теор. Гаусса в нов. форме воспольз. теор.Гаусса в интегр. форме. для некотор. элементар. обьемного пространства вокрестностях т. А. В виде куба стор. котор. параллельны осям.
Предполагаем что внутри DV в окрестностях т. А. r=const
_ _
1) ѓDdS=rDV DV®0
S
Нах. предел отношения потока через поверхность куба.наDV приDV®0.
_ _
2) lim ( ѓDdS/DV)=r (в т. А)
DV®0 S
_ _ _
lim ( ѓDdS/DV)=div D
DV®0 S (дивергенция)
В математике показ. что
_
div D=(¶Dx/¶x)+(¶Dy/¶y)+
+(¶Dz/¶z)
_ _ _ _ _
D=iDx+jDy+kDz divD — скалярная вел.
Перепишем 2) в окончательном виде.
_
3) div D=r — теор. Гаусса в дифр. форме.
Дивергенцияэлектрическ. смещ. в данной т. поля равна объемной плотности заряда в этойточке.
Из 3) очевидно если r>0
_
(+ зар) div D>0 — исток расхождения. Если r
_
div D
Из3) важное следствие:
Источником поля явл. электрич. заряд.
Теор.Остроградскрго Гаусса.
Ур. 3) домножим лев. и прав. часть на dV.
_
4) div DdV=rdV
проинтегрируем 4) по объему
_
5) òdivDdV=òrdV
v v
_ _
òrdV=òDdS
v s
_ _ _
6)òdiv DdV=ѓDdS — Остр. Г.
v s
согласован «
В теор. Остр. Гаусса содерж. связь между дивергенциейи потоком одного и того же вектора.
Работа сил.электростатич. поля.
Потенциал поля.
Силы электростатич. поля перемещая электрич. зар.соверш. работу.
Вычислим работу сил электростатич. поля дляперемещения зар. по произвольной траектории.
q — созд. поле.
+q0-перемещ. в поле заряда q.
Рассмотрим перемещение заряда на элементар. кчасткеdl.
0) dA=Fldl=Fcos adl=Fdr
r — тек. расст. между q иq0.
Найдем полную работу.
2 2
А=òdA=òFdr
1 1
Поскольку Fdr cosa¢=1
_ _
Fdr=Fdr
r2_ _
1) A=òFdr
r1
Воспользуемся для получ. втор. формулы связью между
_ _ _ _ _ _
Е и F. E=F/q0 E=q0E
_ _
2) dA=q0Eldl=q0Edl=
=q0Ecos adl
интегрируем 2) лев. и прав. часть
2 __
3) A=q0òEdl
1
Получим еще одну формулу.
Воспольз. 1) в котор. подставим ур. Fкл.
r2
A=òk(q0´q/r2)dr
r1
A=q0((kq/r1) — (kq/r2))
Из 4)
5) A=q0(j1 — j2)
Работа при перемещении зар. q0электростатич. силами равно произв.вел. этого заряда на разность потенциалав начальной и конечной точке.
Из 4) след. что работа сил поля независ. от формытраектор. Силы электростатич. явл. консервативными, поле электростатическоеявл. потенциальным полем.
Используя 5) дадим второе опред. потенциала. Дляэтого рассм. перемещение полож. заряда q0из данной т. в котор.
j1 = j в бесконечность j