Теплоёмкость. Краткая теоретическая часть
Отношение теплоты δq, полученной единицей количествавещества к изменению температуры dt называют удельной теплоемкостью.
/>(1.1)
Поскольку количество теплоты δq зависит от характерапроцесса, то и теплоемкость системы CX также зависит от условий протеканияпроцесса.
Теплоемкость в зависимости от количества вещества может бытьмассовой – С, объемной – С' и мольной µC. Связь между ними:
/>(1.2)
Физический смысл теплоемкостей идеального вещества при V =const и P = const следует из рассмотрения дифференциальных соотношенийтермодинамики вида:
/>(1.3)
После соответствующих преобразований с учётом свойствидеального газа получим:
/>(1.4)
Это свидетельствует о том, что изменения внутренней энергиии энтальпии определяются как:
/>(1.5)
т.е. независимо от характера процесса.
Соотношения между CP и CV:
/>(1.6)
В соответствии с молекулярно-кинетической теорией газовмольная теплоемкость при V = Const пропорциональна числу их степеней свободы,выраженному в джоулевом эквиваленте и для одного моля газа равна µСV = 3× 4,19 = 12,5 Дж/(моль×К). Тогда в соответствии с законом Майера,µСP = 5 × 4,19 = 20,8 Дж/(моль×К), что позволяет в зависимости отатомности газа и их степеней свободы представить значения мольных теплоёмкостейв следующем виде:
Таблица № 1.1.Атомность газа μCV μCP Дж/(моль×К) кал/(моль×К) Дж/(моль×К) кал/(моль×К) одноатомный 12,5 3 20,8 5 двухатомный 20,8 5 29,1 7 трёх — и более атомный 29,1 7 37,4 9
Теплоемкость, определяемая по уравнению (4.1) при заданныхпараметрах состояния (P, v, Т) называемая истинной и может быть выражена как:
CX = CX0 + ΔCX,(1.7)
где СX0 – теплоемкость газа в разряженном состоянии (при P " 0) и зависит только оттемпературы, а ΔСX – определяет зависимость теплоемкости от давления иобъема.
Средняя теплоемкость СXm в интервале температур от T1 до T2выражается как:
/>(1.8)
Если принять что один из пределов, например T1 = 273,15 К,то можно рассчитать средние теплоемкости газов в интервале температур от t1 = 0°C до t2 = х °C и представить их значения в табличной форме, см. приложение,таблицы №2 – №4.
Количество теплоты, передаваемое системе согласно уравнению(4.8) и используя данные теплоемкостей, таблицы №2 – №4, с учетом (4.2), взависимости от процесса рассчитывается по формулам:
/>(1.9)
Для приближенных расчетов количества теплоты при не оченьвысоких температурах можно принять C = Const и тогда уравнения (1.14) с учетом(1.2) – (1.4) и значений таблицы №4.1. будут иметь вид:
/>(1.15)
Задачи для самостоятельного решения.
Задача № 1-1. Воздух имеющий объем V = 15 м3 при температуреt1 = = 1500 °C и давлении Р = 760 ммHg, охлаждается изобарически до температурыt2 = 250 °C. Определить отводимое тепло QP, если: а) считать теплоемкостьпостоянной, б) использовать формулу µСP = 6,949 + + 0,000576×t.
Задача № 1-2. Расход воздуха измеряется с помощьюэлектрического нагревателя, установленного в воздухопроводе. Температуравоздуха перед нагревателем и за ним измеряется с помощью двух термометров. Определитьчасовой расход воздуха G кг/ч, если при включении электрического нагревателямощностью 0,75 кВт температура воздуха перед нагревателем Т1 = 288 К, а занагревателем Т2 = 291,1 К. Определить также скорость потока воздуха занагревателем, если давление его (принимаемое нами неизменным) Р = 870 ммHg, адиаметр воздухопровода d = 90 мм.
Задача № 1-3. В результате полного сгорания углерода ватмосфере чистого кислорода в сосуде образовался углекислый газ СО2 придавлении Р = 6,04 бар и температуре Т1 = 1673 К. Какое количество теплавыделится при остывании СО2 до температуры Т2 = 293 К. Определить также, какоедавление установиться при этом в сосуде и какое давление имел кислород в сосудедо сгорания, если температура его равнялась 10 °C. Объем сосуда принятьнеизменным и равным 5 литров.
Задача № 1-4. Найти количество тепла, необходимое длянагревания 1 нм3 газовой смеси состава τ(CO2) = 14,5%; τ(O2) = 6,5%; τ(N2)= 79,0% от 200 до 1200 °C при P = Const и нелинейной зависимости теплоемкостиот температуры.
Пример. Воздух в количестве 6 м3 при давлении Р1 = 3 бар итемпературе t1 = 25 °C нагревается в процессе P = Const до t2 = 130 °C. Определитьколичество подведенного тепла, считая С = Const и С = f(T).
Решение.
QP = m × CP × (t2 – t1) = VН × C'P ×(t2 – t1);
QP = m × (CPm × t2 – CPm × t1) = VН× (C'Pm × t2 – C'Pm × t1).
m = (Р1 × V1 × µ) /(R × T1) = (3×105× 6 × 2,896×10–2) /(8,314 × 298,15) = 21,03 кг.
VН = (Р1 × V1 × TН) /(РН × T1) = (3×105× 6 × 273,15) /(101325 Па × 298,15) = 16,28 нм3.
QP = 21,03 × (29,33/2,896 × 10–2) × (130 –25) = 16,28 × (29,33/2,24 × 10–2) × (130 – 25) = 2236,4 кДж.
QP = 21,03 кг × (1,0079 × 130 – 1,0042 ×25) = 16,28 × (1,3026 × 130 – 1,298 × 25) = 2227,5 кДж.
Расхождение 0,40%.
Задача № 1-5. В закрытом сосуде ёмкостью V = 0,5 м5 содержитсядиоксид углерода при Р = 6 бар и Т = 800 К. Как изменится давление газа, еслиот него отнять 100 ккал? Принять зависимость C = f(T) линейной.
Задача № 1-6. Сосуд емкостью 90 л содержит воздух придавлении 8 бар и температуре 303 К. Определить количество тепла, котороенеобходимо сообщить воздуху, чтобы повысить его давление при V = Const до 16бар. Принять зависимость C = f(T) нелинейной. Ответ дать в ккал.
Задача № 1-7. Какое количество тепла необходимо затратить,чтобы нагреть 2 м3 воздуха при постоянном избыточном давлении РМ = 2 бар от t1= 100 °C до t2 = 500 °C? какую работу при этом совершит воздух? Давлениевоздуха по барометру принять равным 760 ммHg.
Задача № 1-8. При изобарическом нагревании от Т1 = 313 К до Т2= 1023 К однородный газ совершает работу l = 184 кДж/кг. Определить, какой этогаз, какое количество тепла ему сообщено и как при этом изменилось его давление.
Задача № 1-9. В процессе подвода тепла при постоянномдавлении температура 0,9 нм3 азота повышается от Т1 = 288 К до Т2 = 1873 К. Определитьизменения энтальпии азота и долю тепла, пошедшую на увеличение внутреннейэнергии.
Задача № 1-10. В цилиндре с подвижным поршнем заключенкислород в количестве VН = 0,3 нм3 при Т1 = 318 К и Р1 = 776 ммHg. Некотороеколичество тепла сообщается кислороду при Р = Const, а затем производитсяохлаждение до начальной температуры (318 К) при V = Const. Определитьколичество подведенного тепла, изменения энтальпии, внутренней энергии ипроизведенную работу для обоих процессов, если известно, что в концеизохорического охлаждения давление кислорода Р3 = 0,588 бар. Изобразитесостояния газа в P – V и T – S координатах.
Термодинамические процессы с идеальным газом. Краткая теоретическая часть
Под термодинамическим процессом понимается взаимодействие ТСс окружающей средой, в результате которого ТС переводится из определенногоначального состояния в определенное конечное состояние.
Если ТС, в которой протекает процесс, можно вернуть вначальное состояние так, что во внешней среде не произойдет каких либоизменений, то процесс называется обратимым. Если начальное состояние ТС безизменений во внешней среде невосстановимо, то процесс называется необратимым.
Только обратимые процессы могут быть изображены графическина диаграммах состояния, так как на них каждая точка представляет равновесноесостояние.
Принцип сохранения энергии, сформулированный первым закономтермодинамики (формулы (2.1) – (2.3)), приводит в конечном счете кэнергетическому балансу, связывающему изменение запаса энергии ТС (внутреннейэнергии) с энергией, переходящей границы системы при совершении процесса вформе работы или теплоты.
Группа процессов, являющаяся при определенных условияхобобщающей для всех процессов и характеризующаяся постоянством теплоемкостиназываются политропными.
Для всех процессов устанавливается общий метод исследования,заключающийся в следующем:
· выводится уравнение процесса;
· устанавливается зависимость между основными параметрамисостояния ТС;
· определяется теплоемкость процесса;
· определяются изменения функций состояния: внутреннейэнергии, энтальпии, энтропии;
· вычисляются функции процесса: теплота и работа;
· дается графическая интерпретация термодинамическихпроцессов в P – V и T – S координатах.
Рассматриваемые процессы считаются обратимыми.
Основные соотношения согласно пунктам 1 – 5 даны в таблицах№ 2.1 – № 2.3.
Таблица № 2.1Процесс Уравнение процесса и показатель политропы Связь между параметрами состояния
Теплоёмкость
кДж/(кг×К) политропный
P×Vn = Const
n = ± ¥
(V2/V1) = (P1/P2) 1/n
(T2/T1) = (P2/P1) (n – 1) /n
(T2/T1) = (V1/V2) n – 1
CП = CV×(n – k) /
/(n – 1) изохорный
V = Const
n = ± ¥ P1/P2 = T1/T2 CV изобарный
P = Const
n = 0 V1/V2 = T1/T2 CP изотермический
P×V = Const
n = 1 P1/P2 = V2/V1 ± ¥ адиабатный
P×Vk = Const
n = k
(V2/V1) = (P1/P2) 1/k
(T2/T1) = (P2/P1) (k – 1) /k
(T2/T1) = (V1/V2) k – 1
Таблица № 2.2Процесс Δu, кДж/кг Δh, кДж/кг ΔS, кДж/(кг×К) политропный CV×ΔT CP×ΔT CП×ln(T2/T1) изохорный CV×ΔT CP×ΔT
CV×ln(T2/T1)
CV×ln(P2/P1) изобарный CV×ΔT CP×ΔT
CP×ln(T2/T1)
CP×ln(V2/V1) изотермический
R×ln(V2/V1)
R×ln(P1/P2) адиабатный CV×ΔT CP×ΔT
Таблица № 2.3Процесс l, кДж/кг q, кДж/кг политропный (P1×v1 – P2×v2) /(n – 1) CП×ΔT изохорный CV×ΔT изобарный P×Δv = R×ΔT CP×ΔT изотермический
P1×v1×ln(V2/V1)
P1×v1×ln(P1/P2) T×ΔS = R×T×ln(V2/V1) адиабатный –Δu = (P1×v1 – P2×v2) /(k – 1)
Теплоёмкостьпри политропном процессе равна:
/>(5.1)
На рисункениже приведены политропные процессы в P – V и T – S координатах.
/>
Рис. 2.1
Пример. Воздух,имеющий объем V = 0,01 м3, при Р1 = 10 бар и Т1 = = 298 К расширяется вцилиндре с подвижным поршнем до давления Р2 = 1 бар. Определить конечный объем,температуру, работу расширения, подведенное тепло, изменение внутреннейэнергии, энтальпии и энтропии, если расширение происходит: 1. изотермически; 2.адиабатически; 3. политропно с показателем политропы n = 1,3. Изобразитьпроцесс в P – V и T – S координатах.
Решение:
Изотермическоерасширение.
Объем вконце расширения:
V2 = V1× (P1/P2) = 0,01 × (10/1) = 0,1 м3.
Работарасширения:
L= P1 × V1 × ln(P1/P2) = 106 × 0,01 × ln(10/1) = 23 кДж.
Количествоподведенного тепла:
QT = L = 23кДж.
Так как Т1 =Т2 = 298 К, то Δh = 0 и Δu = 0.
Изменениеэнтропии:
ΔS =Q/T = 23/298 = 0,07718 кДж/К.
Адиабатноерасширение.
Масса газа вцилиндре:
m = (P1× V1 × μ) /R × T1 = (106 × 0,01 ×2,896×10–2) /(8,314 × 298 К) = 0,117 кг.
Конечныйобъем:
V2 = V1× (P1/P2) 1/k = 0,01 × (10/1) 1/1,4 = 0,0518 м3.
Температуравоздуха в конце процесса:
T2 = T1× (P2/P1) (k – 1) /k = 298 × (1/10) (1,4 – 1) /1,4 = 154,35 К.
Работа газапри расширении:
L = (P1× V1 – P2 × V2) /(k – 1) = (106 × 0,01 – 105 × 0,0518) /(1,4– 1) = 12 кДж.
Изменение впроцессе составило:
Энтальпии:
Δh = CP× (T2 – T1) = 1,0189 × (154,35 – 298) = – 146,36 кДж/кг;
ΔH = m× Δh = 0,117 × (– 146,36) = – 17,12 кДж.
Внутреннейэнергии:
Δu = CV× (T2 – T1) = 0,7317 × (154,35 – 298) = – 105,11 кДж/кг;
ΔU = m× Δu = 0,117 × (– 105,11) = – 12,30 кДж.
Приопределении изменения функций состояния, ввиду значительного изменениятемпературы в процессе (298 – 154,35 = 146,65 К), пользуемся зависимостьютеплоемкости от температуры C = f(T) (см. таблицу №3 приложения).
Политропноерасширение с n = 1,3.
Конечныйобъем:
V2 = V1× (P1/P2) 1/n = 0,01 × (10/1) 1/1,3 = 0,0588 м3.
Конечнаятемпература:
T2 = T1× (V1/V2) n – 1 = 298 × (0,01/0,0588) 1,3 – 1 = 175,15 K.
Работа газапри расширении:
L = (P1× V1 – P2 × V2) /(n – 1) = (106 × 0,01 – 105 × 0,0588) /(1,3– 1) = 13,7 кДж.
Количествоподведенного тепла:
qП = CV× [(n – k) /(n – 1)] × (T2 – T1) = 0,7317 × [(1,3 – 1,4) /(1,3– 1)] × (175,15 – – 298) = 29,96 кДж/кг;
QП = m× qП = 0,117 × 29,96 = 3,51 кДж.
/>
Рис. 2.2.
Изменение впроцессе составило:
Энтальпии:
Δh = CP× (T2 – T1) = 1,0189 × (175,15 – 298) = – 125,17 кДж/кг;
ΔH = m× Δh = 0,117 × (–125,17) = – 14,64 кДж.
Внутреннейэнергии:
Δu = CV× (T2 – T1) = 0,7317 × (175,15 – 298) = – 89,89 кДж/кг;
ΔU = m× Δu = 0,117 × (–89,89) = – 10,52 кДж.
Задачи длясамостоятельного решения.
Задача № 2-1.В замкнутом помещении объемом V = 25 м3 находится воздух при давлении Р1 = 730ммHg и температуре Т1 = 283 К. В результате подвода тепла давление возросло доР2 = 2,3 бар. Определить количество подведенного тепла QV, изменение внутреннейэнергии ΔU и энтальпии ΔH.
Задача № 2-2.6.кг азота совершают в процессе изобарического расширения работу LР = 343 кДж. Определитьизменения внутренней энергии азота, если начальная температура его равна Т1 =373 К.
Задача № 2-3.Оксид углерода находится при избыточном давлении РМ = 3,92 бар и занимает объемV = 5 м3, барометрическое давление при этом равно РБ = 755 ммHg. Определитьизменение внутренней энергии и величину затраченной работы, если оксид углеродабудет изобарически охлажден от Т1 = 573 К до Т2 = 373 К.
Задача № 2-4.Как изменится внутренняя энергия и энтальпия 20 нм3 кислорода при изобарическомнагревании от 373 К до 1173 К, если давление Р = 9,8 бар. Какова совершеннаягазом работа?
Задача № 2-5.0,6нм3 воздуха при изобарическом подводе тепла совершает работу LР = 15,68 кДж. Определитьтемпературу Т2 и объем воздуха V, если в начальном состоянии его температура идавление были соответственно равны Р1 = 4,42 бар и Т1 = 293 К.
Задача № 2-6.Кислород при температуре Т1 = 353 К и давлении РВ равном 320 ммHg сжимается приТ = Const до избыточного давления РМ = 12 бар. Во сколько раз уменьшается объемкислорода, если барометрическое давление РБ = 745 ммHg?
Задача № 2-7.10 кг кислорода расширяются при Т = 423 К = Const от начального давления Р1 =14,7 бар и производят работу LT = 2969,4 кДж. Определить давление в концерасширения и изобразить процесс в P – V и T – S координатах.
Задача № 2-8.В цилиндре с подвижным поршнем заключено 3,5 м3 азота при давлении Р1 = 1,47бар. В процессе изотермического сжатия отводится 461 кДж тепла. Определитьдавление Р2 и объем V2 азота в конце сжатия.
Задача № 2-9.0,4 кг воздуха при Т1 = 573 К и Р1 = 1,98 бар расширяются изотермически до V2 =1,68 м3/кг, а затем сжимаются изобарически и, наконец, путем изохорическогонагревания, снова возвращаются в исходное состояние. Определить для каждогопроцесса ΔH, ΔS, ΔU, а также тепло и работу L. Определить такжепараметры (P, v, T) для всех точек и изобразить процессы в P – V и T – S координатах.
Задача № 2-10.0,3 нм3 воздуха изотермически сжимаются от начального состояния Р1 = 7,35 бар,Т1 = 573К до некоторого конечного состояния Р2, V2. Определить значения Р2 иV2, если известно, что в процессе изотермического сжатия было отведено 167,6кДж тепла. Определить также изменение внутренней энергии и энтальпии воздуха.
Задача № 2-11.1. нм3 воздуха адиабатически расширяется от начального состояния 1 (Р1 = 6 ата,t1 = 300 °C) до состояния, причем V2 = 3V3; затем он сжимается изотермически доначального значения удельного объема V3 = V1. Определить параметры (P, v, T) точек1, 2 и 3 и суммарную работу, произведенную газом. Представить процесс в P – V иT – S координатах.
Задача № 2-12.Работа затраченная на адиабатное сжатие 3 кг воздуха, составляет (– 471) кДж. Начальноесостояние воздуха характеризуется параметрами Т1 = 288 К и Р1 = 1 бар. Определитьконечную температуру и изменение внутренней энергии.
Задача № 2-13.1. кг воздуха при давлении Р1 = 4 бар и температуре Т1 = 373 К расширяется додавления Р2 = 1 бар. Определить конечную температуру, количество тепла исовершенную работу, если расширение происходит: а) изохорно, б) изотермически, в)адиабатно и г) политропно с показателем n = 1,2. Изобразить процесс в P – V и T– S координатах.
Задача № 2-14.В баллоне емкостью 100 л находится воздух при давлении Р1 = 50 бар итемпературе Т1 = 293 К. Давление окружающей среды Р2 = 1 бар. Определитьполезную работу, которая может быть произведена воздухом при его расширении додавления окружающей среды по изотерме и по адиабате, а также конечнуютемпературу воздуха в баллоне после адиабатного расширения.
Задача № 2-15.1 кг воздуха при температуре Т1 = 290 К сжимается адиабатически до объема,составляющего 1/5 начального, а затем расширяется изотермически допервоначального объема. Определить работу, произведенную воздухом в результатеобоих процессов. Изобразить процесс в P – V и T – S координатах.
Задача № 2-16.При политропном расширении 1 киломоля газа его объем увеличился на 20%, аабсолютная температура уменьшилась на 12%. Определить показатель политропы,величину работы lП кДж/моль, если Т1 = = 490 К.
Задача № 2-17.К 1 кг воздуха при его сжатии в политропном процессе подведено 50 кДж/кг тепла.Определить показатель политропы, изменение внутренней энергии и работу сжатия,если температура воздуха увеличилась в процессе на 100 К.
Задача № 2-18.1 кг азота в начальном состоянии имеет параметры Р1 = 25 бар и Т1 = 973 К. Послеполитропного расширения (n = 1,18) давление азота становится равным Р2 = 105Н/м2. Определить ΔU, ΔН в процессе, а также количество тепла qП иработу расширения lП.