Введение
Математическое моделированиепроцессов взаимодействия ионизирующего излучения с объектами сложной геометриии внутренней структуры имеет важное значение во многих приложениях. Вчастности, в рамках задач рентгеновской диагностики материалов и конструкцийтребуется определить и исследовать рентгеновские изображения объектов, а приизучении электромагнитного воздействия проникающего излучения необходимопроанализировать распределение потоков релятивистских электронов, возникающих врезультате взаимодействия ионизирующего излучения с материалами объектов.
Математическое моделированиепроцессов трансформации проникающего излучения в материалах объектовпроводилось в большом количестве научных работ. В одних работах используются иразвиваются сеточные методы решения уравнения переноса излучения. В другихразрабатываются вычислительные алгоритмы, основанные на статистическоммоделировании методом Монте-Карло процессов переноса и взаимодействия излученияс веществом. Преимущество метода Монте-Карло перед альтернативными методами,основанными на численном решении кинетического уравнения, определяетсяудобством и приспособленностью этого метода к решению сложных граничных задач вмногокомпонентных средах.
1. Основная часть
В данной работе будетрассматриваться взаимодействие электронов с веществом.
Прохождение пучка эл-в с энергией Е0 через образец сопровождается многообразными явлениями,часть из которых схематично изображена на рис. 1.1.
/>
Рис. 1.1. Основные процессы привзаимодействии с веществом
Среди них – прежде всего рассеяние и дифракция электронов,генерация рентгеновского излучения, фотонов низкой энергии и другие процессы.Интенсивность процесса характеризуется сечением процесса, обозначаемым σ и имеющим размерность. Если образец имеет толщину t,плотность атомов N, плотность ρ, и атомный вес A, тоинтенсивность процесса, скажем, рассеяния, будет
QТt =NtσT = N0σТρt/A,
где N0 – число Авогадро. Значок T означаетинтенсивность полного или интегрального сечения,в отличие от дифференциального, описывающего угловое распределение,
dσ/dΩ= (1/(2πsinθ)) dσ/dθ.
Вместо сечения, имеющего размерность площади,часто используют среднюю длину пробега между последовательными актамивзаимодействия (mean free path), приводящими к наблюдаемому процессу
Λ = 1/Q = A/(N0σρ).
В данной работе стоит задача о рассеянииэлектронов, поэтому рассмотрим данный процесс более подробно.
Для типичных толщин образцов (100 нм),большинство электронов проходят его не испытав рассеяния (unscatteredelectrons), либо испытав один акт столкновения (single scattering), кратное число(120)рассеяние (multiple scattering). Столкновения бывают упругими и неупругими.
Упругое рассеяние (elastically scattered electrons). Упругие столкновения –это такие, при которых энергия не расходуется на возбуждение атомов среды.Направление движения электрона может изменяться, но энергия практически неизменяется, т.е. Е ≈ Е0. Мы будем разделятьупругое рассеяние на изолированном атоме и на системе атомов.
Упругое рассеяние на изолированном атоме. Проходя мимо атома на большом удалении от него, эл-н взаимодействуетс эл-нами внешней оболочки и испытывает рассеяние на небольшой угол. Если же эл-нналетает на атом с малым прицельным параметром, то рассеяние может быть набольшой угол, вплоть до 180º. С большой вероятностью электрон будетрассеян вперед, однако имеется малая вероятность рассеяния на большой угол(>90º). Упругое рассеяние на малые углы обычно вызвано рассеянием наэлектронах, а на большие углы – на ядрах.
Обратнорассеянные эл-ны имеют энергию, близкуюк начальной и несут информацию о поверхности. Поскольку рассеяние никогда не являетсяистинно упругим (как минимум, эл-н испускает тормозное излучение), торазделение на упругое и неупругое рассеяние является достаточно условным.
Сечение упругого рассеяния описывается формулойРезерфорда:
dσ(θ)/dΩ = e4Z2/[16E02sin4 (θ/2)]
Проинтегрировав по углу от 0 до π, для интегрального сечения будем иметь: σn = 1.62 10–24 (Z/E0) 2cot2 (θ/2).
Здесь сечение не учитывает электронную экранировкузаряда ядра. Помимо этого, оно для нерелятивистских скоростей. Экранировкуучитывают введением параметра Бора a0=4πħ2ε0/(m0e2)= 0.0529 нм, где ε0 – диэлектрическая константа, ивведением поправки на экранирование.
Релятивизм эл-в учитывают введениемсоответствующей поправки для длины волны электрона
λ = 2πħ/{2m0E0 [1+E0/(2m0c2)]}1/2
В результате для дифференциального сеченияполучаем
dσ(θ)/dΩ=λ4 Z2/{64π4 (a0) 2 [sin2 (θ/2)+(θ0/2)2]2
Это т.н. экранированная релятивистская формулаРезерфорда, хорошо работающая до энергий 300–400 кэВ и для Z
Упругое рассеяние на системе атомов в отличие от классического корпускулярного подхода,описывается в рамках волнового механизма взаимодействия. Формула Резерфорда,даже с поправками на экранировку и релятивизм не могут точно описать процессрассеяния, поскольку она игнорирует волновую природу электронов.
В волновом подходе взаимодействие описываетсяамплитудой, или фактором атомного рассеяния, который соотносится сдифференциальным сечением как
|f(θ)|2 = dσ(θ)/dΩ.
Именно волновому характеру электронов обязанотакое явление как дифракция.
Неупругое рассеяние. Энергия таких электронов (inelastically scatteredelectrons) Е
2. Постановка задачи
Необходимо найти распределениепо энергии частиц, прошедших путь l. P (Δ|l) –распределение частиц по потерям энергии на пути l. Уравнение для функции P (Δ|l) имеет вид:
(∂/ ∂l) P (Δ|l) + Σ(E0 – Δ) P (Δ|l) – 0∫∆Σs(Q; E0 – Δ + Q) P (∆ – Q|l) dQ = 0; P (Δ|l)|l=0 = δ(∆), где
Σs(Q; E) – дифференциальное по переданной энергии Q сечениерассеяния,
∆= E0 – E.
Приближенным решением данногоуравнения является
P (Δ|l)=(1/ξ)φ(λ),
где ξ – начальная энергиячастиц, φ(λ) – универсальная функция Ландау.
В основе решения представленнойзадачи используется метод Монте-Карло.
Метод Монте-Карло в задачахпереноса частиц в веществе сводится к построению большого числа траекторийчастиц, представляющих некоторые ломаные линии, прямолинейные участки которыхсоответствуют свободным пробегам до столкновений. Свободный пробег, результатстолкновения (поглощение или рассеяние), а также характеристики электрона послестолкновения (энергия и направление движения рассеянной частицы) разыгрываютсяиз соответствующих вероятностных распределений. Результаты выборки из конечногочисла траекторий обрабатываются статистическими методами. Результатоммоделирования является распределение частиц, вылетевших из объекта, по энергиии направлению движения.
3. Алгоритм решенияпоставленной задачи
Проводится розыгрыш равномернораспределенной случайной величины γ в интервале (0,1) для определения потерьэнергии частицы.
Рассчитывается начальнаяскорость частицы по формуле:
V2=c2(1-m2c4/(E+ mc2)2)
Рассчитывается минимальнаяпотеря энергии одной частицей:
Q’=exp(V2/c2)I2(1 – V2/c2)/2mV2,
где I – ионизационный потенциал атома (для алюминия I=13,5Z эВ=175,5)
Потери энергии частицей:
Q=1/((1/Q’)-γ (1/Q’ – 1/E))
Полное сечение:
Σ(E)= (1/Q’ – 1/E) k(mc2+E)2/mc2(2 mc2E+ E2),
где k – константа, зависящая от параметров вещества (в данном случаеалюминий)
k=2πρNАZre2mc4/M
π – число Пи 3,14
ρ – Плотность алюминия 2,7 г/см3
NА – число Авогадро 6e23 моль
Z – порядковый номер алюминияв таблице Менделеева 13
re – 2.818e-13 см – классический радиус электрона
M – молярная масса алюминия 27 г/моль
mc2 – энергия покоя электрона 0.511e6
с – скорость света 299792458 м/c
Проводиться розыгрыш равномернораспределенной случайной величины γ для определения длины пробегаэлектрона.
Расчет длины пробегаэлектрона:
L= – lnγ/ Σ(E)
Частицы регистрируются в заданнойкоординате
Z*(Z*1=Lmax/100, Z*2=Lmax/10,
Lmax – максимальный пробег частицы). После чего частицы, дошедшиедо данной точки, распределяются по потерям энергий с шагом в 1Кэв.
Заключение
В процессе работы алгоритм былреализован на языке программирования C++. Пополученным данным были построены соответствующие графики для разных значенийточки регистрации частиц, а также графики распределения Ландау. По графикураспределения частиц по потерям энергии для расстояния Z*2, можноутверждать, что полученные данные сходятся с теоретическими в определенных значениях.Для сравнения график распределения частиц по потерям энергии для расстояния Z*1.Погрешности в данной работе носят систематический характер.
Список литературы
1. М.Е. Жуковский, М.В. Скачков.«Статистические модели электронной эмиссии. Модель «Утолщенных траекторий»».М.: Препринт, Институт прикладной математики РАН, 2007.
2. A.M. Кольчужкин, В.В. Учайкин. «Введение в теорию прохождениячастиц через вещество». М.: Атомиздат 1978.
3. И.М. Соболь «Метод Монте-Карло». М.:Наука 1968.
4. Лекции Научно-исследовательского институтаядерной физики им. Д.В. Скобельцына.
Приложение
/>
/>
P (Δ|l) – распределение частиц по потерям энергии на пути l.
Δ – потери энергии, КэВ.