Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции

Содержание:
Введение
I. Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции.
1.1 Описание состояний квантовомеханической системы. Волноваяфункция (амплитуда вероятности).
1.2 Принцип суперпозиции состояний.
1.3 Понятие гильбертова пространства.
II. Операторы квантовой механики.
2.1 Операторы динамических переменных.
2.2 Алгебраические действия с операторами.
2.3 Собственные функции и собственные значения операторов.
2.4 Свойства собственных значений и собственных функцийэрмитовых операторов.
2.5 Операторы с непрерывным спектром собственных значений.
2.6 Дельта-функция Дирака.
2.7 Операторы координаты и импульса.
2.8 Соотношение неопределенности.
Литература

I. Понятие состоянияквантовомеханической системы. Принцип суперпозиций состояний
1.1 Описание состоянийквантовомеханической системы. Волновая функция (амплитуда вероятности)
Опираясь на гипотезу деБройля о том, что свободной частице соответствует монохроматическая волна, атакже на многочисленные экспериментальные факты, свидетельствующие о наличии исмысле волновых свойств у частиц вещества, формулируем 1-ый постулат квантовоймеханики:
Состояниеквантовомеханической системы определяется />-функцией (вообще говоря,комплексной), которая называется волновой функцией или амплитудой вероятности.
/>-функция может зависеть отпространственных координат квантовомеханической системы и времени. Для однойчастицы в декартовых координатах в таком случае имеем
/>
Квадрат модуля />-функции
/>
есть вероятностьобнаружить частицу в точке с координатами /> в момент времени />. Задавая координаты и момент времени можно определитьзначение />-функции, а, следовательно, иплотность вероятности локализации частицы в том или ином месте пространства.Таким образом, квантовомеханическое описание состояния системы связаноодновременно со всем пространством. Вероятность обнаружить частицу в элементеобъема /> (т.е. вероятность того, что ее координатызаключены в пределах от /> до />, от />до />, от />до />) определяется выражением
/> (1.1.1)
Предположим для простоты,что волновая функция зависит только от координаты />. Тогда среднее значение этой координаты в моментвремени /> определяется выражением
/>. (1.1.2)
Для произвольной функции />
/> (1.1.2а)
Интегрирование проводитсяпо всей области изменений независимой переменной.
Хотя термин«волновая функция» используется очень часто, />-функция может не иметь ничего общего с функцией,описывающей волну в классическом понимании. Она не обязательно должна зависетьот пространственных координат, но может являться функцией других динамическихпеременных, например, импульса, энергии и т.д. Например, /> есть вероятность того, что в момент времени /> квантовомеханическая система имеет импульс />. Поэтому />-функцию лучше называть амплитудой вероятности. Спомощью />-функции можно найти всераспределения вероятностей для результатов измерения над системой.
Поскольку квадрат модуля />-функции есть плотность вероятности соответствующегозначения динамической переменной в определенный момент времени, она (/>-функция) должна быть однозначной, непрерывной иконечной. Совокупность перечисленных требований называют стандартнымиусловиями.
Проинтегрировав левую иправую часть выражения (1.1.1) по всей области изменения независимых переменныхполучаем:
/>, (1.1.3)
поскольку /> – плотность вероятности локализации частиц в даннойточке и частица обязательно где-то находится. Это соотношение называетсяусловием нормировки />-функции (на единицу). Так какнезависимыми переменными могут быть не только координаты, но и другиефизические величины в общем случае имеем
/>, (1.1.4)
где /> – произведение дифференциалов независимых переменных.Например, если />-функция зависит от импульса частицы,то />.
Условие нормировкинакладывает на />-функцию требование квадратичнойинтегрируемости:
/> (1.1.5)
Это означает что />-функция должна быстро убывать при стремлениинезависимых переменных (например, координат) к бесконечности. Бывают ситуации,когда />-функция не является квадратичноинтегрируемой. В таком случае применяются другие способы нормировки,целесообразные с физической точки зрения. Для таких квантовомеханических систем/> не имеет смысла плотности вероятности, но может бытьинтерпретирована как величина пропорциональная ей.
1.2 Принцип суперпозициисостояний
Опыт показывает, чтомежду возможными состояниями квантовомеханической системы в любой моментвремени существует определённая связь. Выражают её математически в видесоотношения между соответствующими />–функциями и называют принципом суперпозиции.
Если квантовомеханическаясистема может находится в состоянии />, в котором физическая величина /> имеет значение /> либо в состоянии />, в котором та же величина /> имеет значение />, то она может находиться и в состоянии /> , в котором при измерении величины /> получают либо />, либо />.
Это утверждениеобобщается на любое число различных состояний:
/>, (1.2.1)
где постоянные /> являются, вообще говоря, комплексными числами. Такимобразом, в состоянии /> величина /> является неопределённой.
Предположим, чтосостояния /> одинаковы: />. Это означает, что физическая величина /> в этих состояниях имеет одно и тоже значение />. Из принципа суперпозиции следует:
/>
Следовательно, приизмерении величины /> в состоянии /> мы получим значение />. Это значит, что состояния /> и /> одинаковы. Таким образом, />-функцию можно умножать на произвольное комплексноечисло и при этом состояние квантовомеханической системы не изменяется. Этопостоянное число выбирают таким образом, чтобы выполнялось условие нормировкиволновой функции. Поэтому его обычно называют нормировочным коэффициентом илипостоянной нормировки.
Суперпозиция частовстречается в классической физике. (Например, суперпозиция классических волн,напряжённостей электрического поля и т.д.) С точки зрения математикиклассическая и квантовая суперпозиции аналогичны. Поэтому иногда используютаналогию квантовых систем с классическими (колеблющиеся струны, мембраны ит.д.). Эти классические системы также описываются линейными уравнениями и,следовательно, подчиняются принципу суперпозиции. «Важно помнить, однако, чтосуперпозиция, которая встречается в квантовой механике, существенным образомотличается от суперпозиции, встречающейся в любой классической теории» [1, с31].Например, в результате суперпозиции двух классических волн появляется новаяволна с новыми свойствами (например, новой амплитудой). Суперпозиция же двухквантовых состояний, в которых некоторая физическая величина имеет значение /> (в первом) и /> (во втором), не приводит к появлению состояния сновым значением />. При измерении этой величины всуперпозиционном состоянии будем получать либо />, либо />. Результат конкретного измерения предсказать нельзя.Можно лишь найти вероятность того или иного результата. Неопределённостьрезультатов измерения – принципиальное отличие квантовой суперпозиции отклассической. «Промежуточный характер состояния, образованного в результатесуперпозиции, выражается в том, что вероятность того или иного результатаизмерения будет промежуточной между соответствующими вероятностями для исходныхсостояний, а не в том, что сам результат будет промежуточным междусоответствующими результатами для исходных состояний» [1, с.30]
1.3 Понятие гильбертовапространства.
Из принципа суперпозицииследует, что уравнения квантовой механики должны быть линейными. Действительно,если /> являются решением такого уравнения,то /> также должно быть его решением.
Из принципа суперпозицииследует также, что состояния системы в квантовой механике должны описыватьсятакими математическими величинами, которые можно складывать, умножать накомплексные числа и при этом получать величины такого же типа.
Таким образом, величины,характеризующие состояние квантовомеханической системы, можно считатьэлементами некоторого линейного функционального пространства. Что же это запространство? Ранее мы показали, что />-функции являются, как правило,квадратично-интегрируемыми, т.е. такими, что
/>
(Здесь />– произведение дифференциалов независимых переменныхот которых зависит />-функция. Интегрирование проводитсяпо всей области изменения этих переменных). Следовательно, каждой />-функции можно сопоставить число

/> (1.3.1)
Это число называетсянормой функции/>.
Существует аналогия между/> и абсолютной величиной /> вещественного или комплексного числа. С помощьюабсолютной величины /> производится измерение расстояний начисловой оси
/>
Аналогично понятие нормыдаёт возможность множество элементов (функций) рассматривать как некоторые«пространство», в котором также можно проводить измерения. Расстояние междуэлементами /> и /> определяется числом
/>
Таким образом, множествофункций, характеризующих состояние квантовомеханической системы, образуютметрическое пространство. Оно называется пространством Гильберта. В этомпространстве можно определить скалярное произведение функций:
/>. (1.3.2)
Если скалярноепроизведение равно нулю:
/>

то функции /> и /> считают ортогональными. Норма /> определяется через скалярное произведение функциисаму на себя:
/>.
Свойства скалярногопроизведения:
/> (1.3.3а)
/> (1.3.3б)
/>, только если /> (1.3.3в)
Из соотношения (1.3.3а)следует, что скалярное произведение комплексной функции саму на себявещественно:
/>
Указанные свойства />-функции аналогичны свойствам векторов в евклидовомпространстве. Эту аналогию рассмотрим подробнее при изучении операторовквантовой механики.
Итак, множество состоянийквантовомеханической системы может быть представлено как пространствоГильберта.
Гильбертово пространствоесть множество элементов (в нашем случае – функций, характеризующих состояниеквантовой системы), на котором определены операции сложения, умножения на числои скалярное произведение с указанными выше свойствами (1.3.3).

Вопросы для самопроверки
1. Сформулировать первыйпостулат квантовой механики.
2. Какая связь между />-функцией системы и вероятностью результатов измеренияфизических величин в данном состоянии?
3. Сформулировать принципсуперпозиции состояний.
4. Объяснить, чемквантовомеханическая суперпозиция отличается от классической?
5. Охарактеризуйтепонятие «пространство Гильберта».
Упражнения
1.1. Частица локализованав области /> на оси /> и ее состояние описывается функцией />. Найти коэффициент нормировки.
1.2. Состояние частицы,локализованной на оси /> в интервале /> описывается функцией />. Найти вероятность ее обнаружения в области />.
1.3. Состояние частицы вданный момент времени /> описывается волновой функцией />, представляющей собой суперпозицию волн де Бройля содинаковыми амплитудами /> и мало отличающимися волновымичислами в интервале />. Определить распределение плотностивероятности местонахождения частицы и размер области ее локализации.
1.4. В момент времени /> волновая функция частицы имеет вид />, где /> и /> – постоянные. Определить нормировочный коэффициент />, изобразить примерный вид зависимости /> от /> и область локализации частицы.
Указание. Распределениевероятностей, описываемое плотностью вида
/>
называется нормальным илигауссовским, /> – среднее значение случайнойвеличины, /> – ее дисперсия.
1.5. Частица локализованана оси /> в области /> и ее состояние описывается функцией
/>
Вычислить среднеезначение ее координаты /> и дисперсию />.

2. Операторы квантовоймеханики
2.1 Операторыдинамических переменных
Функция есть рецепт,позволяющий по данному числу xнайти другое число />. Подобно этому оператор – рецепт,позволяющий по заданной функции /> найти другую функцию />. Оператор определен на некотороммножестве функций, если указано действие, с помощью которого каждой функциимножества сопоставляется другая функция: />. (Оператор будем обозначатьбуквой со “шляпкой”).
Примеры:
1. Если функция /> получается из /> с помощьюоперации дифференцирования, то это можно записать следующим образом:
/>,
где /> - оператор, действующийна функцию />.
2. В физике частоиспользуют оператор Лапласа:
/>.
3. Оператор умножения нанезависимую переменную x:
/>.
Физика имеет дело снаблюдаемыми процессами, явлениями, объектами. Наблюдения, измерения всегдасвязаны со взаимодействием изучаемого объекта с чем-то внешним (окружением,прибором, наблюдателем). Это взаимодействие всегда сопровождается возмущениемизучаемого объекта. В классической физике предполагалось, что это возмущение можносделать как угодно малым и им пренебречь. Однако существование кванта действия /> означает, чтоесть предел малости возмущения, которым для микрообъектов пренебречь нельзя.Измерение в квантовой механике – взаимодействие макроприбора с микроскопическойсистемой – существенно меняет состояние последней. Физической процедуреизмерения в математическом формализме теории соответствует оператор,действующий на />-функцию, характеризующуюсостояние системы. Измерение меняет состояние системы, оператор изменяет />-функцию,характеризующую состояние.
Следующее утверждениесчитается одним из постулатов квантовой механики:
каждой физическойвеличине /> вквантовой механике соответствует оператор />. Он определяется таким образом,чтобы среднее значение этой величины в состоянии /> выражалось соотношением
/>                                (2.1.1)
или в скобочной форме
/>                                     (2.1.1а)
Здесь q – набор независимых переменных, откоторых зависит />-функция, /> – произведение дифференциаловэтих переменных. Интегрирование проводится по всей области изменениянезависимых переменных. Операторы динамических переменных обозначают теми жебуквами, что и соответствующие физические величины, но со “шляпкой” над ними.Например, оператор координаты />, оператор импульса />, оператор энергии /> и т.п.
Чтобы не нарушалсяпринцип суперпозиции, операторы динамических переменных в квантовой механикедолжны быть обязательно линейными. Применение оператора к суперпозиции функций /> и /> должноравняться суперпозиции результатов действия этого оператора к каждой из функций/> и />. Операторназывается линейным, если он удовлетворяет условиям:
/>
/>,
где с – произвольнаяпостоянная. Эти условия можно объединить
/>.
Типичные примеры линейныхоператоров: умножение на независимую переменную />, дифференцирование по x />.
Операторы динамическихпеременных должны быть обязательно самосопряженными (эрмитовыми). Это следуетиз требования, чтобы измеряемые в процессе опытов физические величинывыражались действительными числами. Следовательно, среднее значение физическойвеличины, представляемой оператором />, также должно быть действительнымчислом, т.е.
/>.
Используя соотношение(2.1.1) запишем это равенство в интегральной форме
/>                              (2.1.2)
или с помощью скобок
/>                  (2.1.2а)
Операторы, для которых выполняетсяэто соотношение, считаются самосопряженными (эрмитовыми). Дадим общееопределение такого оператора.
Каждому оператору /> можно привестив соответствие другие: комплексно сопряженный с ним />, транспонированный />, сопряженный />.
Оператор /> является комплексносопряженным с оператором />, если выполняется соотношение: />.
Операторы /> и /> называюттранспонированными друг с другом, если выполняется соотношение
/>                     (2.1.3)
или в скобочной форме
/>.               (2.1.3а)
Оператор /> называют сопряженнымоператору />.Следовательно, для произвольной пары функций /> и /> и операторов /> и /> имеет место соотношение
/>                          (2.1.4)
или в интегральной форме
/>.       (2.1.4а)
Самосопряженнымназывается оператор, если он равен своему сопряженному: />=/>.
Из соотношения (2.1.4)следует, что для самосопряженного оператора и произвольнойпары функций /> и /> должно выполняться равенство:
/>                           (2.1.5)
или
/>                  (2.1.5а)
Пример. Найти оператор, сопряженный с />. Является ли этот операторсамосопряженным?
Подставим оператор /> в левую частьравенства (2.1.4а) и проинтегрируем полученный интеграл по частям:

/>.
Так как />, имеем
/>.
Сравнивая это соотношениес (2.1.4а), получаем />. В данном случае />, поэтому оператор /> не являетсясамосопряженным.
2.2 Алгебраическиедействия с операторами
Имея в распоряжениинесколько простых операторов можно получить из них более сложные.
Суммой операторов /> и /> называютоператор />,который определяется следующим образом:
/>.
Символически этозаписывается так:
/>.
Например, />
Произведением операторов /> и /> будем называтьоператор />,который определяется следующим образом:
/>,
причем на функцию сначаладействуем ближайшим к ней оператором, а потом на полученный результат –следующим,
/>.
Символически произведениеоператоров записывается в виде />.
Например, />. Подействуемпроизведением этих операторов на функцию />:
/>.
Если действие одного итого же оператора повторяется n раз,это записывается в виде степени этого оператора:
/>.
Например,
/>.
Произведение операторов зависитот порядка множителей. Например, если />, то /> Но />. Очевидно, что в этом случае />. Такимобразом, операторы, вообще говоря, являются некоммутативными(неперестоновочными). Если />, то операторы называюткомутирующими. В этом случае />. Выражение /> называют коммутатором.
2.3 Собственные функции исобственные значения оператора
В результате действияоператора /> нафункцию /> иногдаполучается та же самая функция, умноженная на некоторое число а:
/> (2.3.1)
Например, />
/>.
Если имеет местоуравнение (2.3.1) и функции /> удовлетворяют стандартнымусловиям (конечность, непрерывность, однозначность), то /> называют собственнойфункцией оператора />, а число /> – его собственным значением,соответствующим данной собственной функции />. Соотношение (2.3.1) называютуравнением собственных значений оператора. Совокупность чисел />, при которых этоуравнение имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям, называютспектром собственных значений оператора. Спектр собственных значений может бытькак дискретным, так и непрерывным множеством. Если спектр собственных значенийдискретный, то собственные функции и собственные значения нумеруют:
/>
/>
/>, n = 1, 2, 3,…
Число n называют квантовым.
Иногда одному и тому жесобственному значению соответствует несколько собственных функций. В такомслучае говорят, что собственное значение является вырожденным. Число разныхфункций, принадлежащих одному и тому же собственному значению, называюткратностью вырождения.
Перейдем к физическойинтерпретации рассмотренных выше математических понятий. Отклонение физическойвеличины A от ее среднего значения /> есть: />. Введемоператор, соответствующий этой величине: />. Тогда по формуле (2.1.1) можнонайти среднее квадратичное отклонение физической величины от ее среднегозначения в состоянии />:
/>.
Пользуясьсамосопряженностью операторов квантовой механики, преобразуем интеграл в правойчасти этого соотношения:
/>,

следовательно
/>                                     (2.3.2)
Теперь мы имеемвозможность найти состояния, в которых физическая величина А имеет точноопределенное значение. В таких состояниях среднее квадратичное отклонениедолжно равняться нулю, т.е. />. Следовательно,
/>=0.
Поскольку под интеграломнаходится положительная величина, последнее равенство возможно при условии
/>, т.е. /> или
/>                                           (2.3.3)
Так как в состоянии />,удовлетворяющем уравнению (2.3.3) физическая величина точно определена, онаравна своему среднему значению. Обозначая это значение физической величиныбуквой а, можем записать /> = /> и />. Т.е. /> является собственным значениемоператора />,соответствующим собственной функции />. Таким образом, в состоянии,которое описывается собственной функцией оператора />, соответствующая физическаявеличина имеет точно определенное значение, равное собственному значению этогооператора. Если же />-функция, описывающая состояниесистемы, не является собственной функцией оператора физической величины, то приее измерении в этом состоянии будем получать различные значения из спектрасобственных значений данного оператора. Это утверждение обычно формулируют ввиде одного из постулатов квантовой механики.
Собственные значенияоператора, сопоставляемого данной физической величине, являются теми значениямиэтой величины, которые реализуются в процессах измерения.
Это утверждение (3-йпостулат) имеет очень большое значение для физической интерпретацииматематического аппарата квантовой механики. Требование, чтобы собственныефункции оператора удовлетворяли стандартным условиям часто ограничиваетвозможные значения физической величины. Учет этих требований приводит кдискретному спектру собственных значений. Таким образом, мы имеем дело сматематическим отображением процесса квантования в физике.
2.4 Свойства собственныхзначений и собственных функций эрмитовых операторов
а) Докажем, чтособственные значения самосопряженных операторов являются действительнымичислами.
Доказательство. Напишемуравнение собственных значений
/>
и комплексно с нимсопряженное
/>
Умножим левую и правуючасть первого уравнения слева на />, второго на /> и проинтегрируем их повсей области изменения независимых переменных
/>,
/>.
Поскольку операторысамосопряженные, левые части этих равенств одинаковы (см. соотношение (2.1.2)).Вычитая почленно второе соотношение из первого, получаем
/>.
Поскольку функцииквадратично интегрируемы и интеграл в левой части, по условию нормировки, равенединице, получаем /> или />. Это означает, что собственныезначения самосопряженных операторов – действительные числа. Поэтому в квантовоймеханике могут использоваться только самосопряженные операторы – при измерениифизических величин можно получить только действительные значения.
б) Докажем, чтособственные функции самосопряженных операторов, соответствующие разнымсобственным значениям, взаимно ортогональны. Для определенности принимаем, чтоспектр собственных значений оператора дискретный и вырождение отсутствует.
Доказательство. Напишемуравнения собственных значений для операторов /> и />:
/>,
/>,

Умножаем левую и правуючасть на /> слева,второго – на /> справа и интегрируем по всейобласти изменения независимых переменных:
/>,
/>.
Вычитаем почленно второеуравнение из первого и, учитывая эрмитовость оператора />, (см. равенство (2.1.4а)),получаем
/>                                 (2.4.1)
Если />, то /> и из этого соотношенияследует
/>                                               (2.4.2)
или
/>,                                     (2.4.2а)
что и требовалосьдоказать. Если />, скобка в соотношении (2.4.1)равна нулю, а интеграл, по условию нормировки, должен равняться единице:
/>                                                (2.4.3)
Формулы (2.4.2) и (2.4.3)можно объединить в одну

/>,                                          (2.4.4)
или
/>,                                  (2.4.4а)
где /> - символ Кронекера,
/>
Аналогичное соотношениеимеет место для ортов прямоугольных координатных осей в евклидовомпространстве:
/>.
Функции, удовлетворяющиеусловию (2.4.4) называют ортонормированными.
Физический смыслортогональности собственных функций /> и /> оператора /> заключается в том, чтопри измерении физической величины /> в этих состояниях мы обязательнополучим разные значения: /> - в состоянии />, /> - в состоянии />. В дальнейшеммы вернемся к обсуждению значения ортогональности собственных функций эрмитовыхоператоров в структуре квантовой теории.
в) Докажем, чтосовокупность собственных функций эрмитового оператора является полной(замкнутой) системой. Это означает, что не существует еще какой-то другойфункции, которая была бы ортогональна к собственным функциям данного эрмитовогооператора.
Доказательство. Пусть /> - собственныефункции оператора /> с дискретным спектром собственныхзначений, а /> -произвольная квадратично интегрируемая функция. (Для простоты рассужденийнезависимой переменной будем считать координату х).
Разложим />-функцию в ряд пособственным функциям />:
/>.                                   (2.4.5)
Сумма в правой частиравенства содержит /> первых членов разложения, /> - остаток.Коэффициенты /> нужно определить так, чтобыполучить возможно меньшую погрешность (остаток). Мера погрешности:
/>.
Так как собственныефункции ортонормированы, интеграл в правой части можно преобразовать следующимобразом:
квантовыймеханический система функция импульс
/>
/>.
Будем искать минимум />, приравниваянулю производные по /> и />. Из условия минимума, учитываяортонормированность собственных функций />, получаем следующие выражения дляэтих коэффициентов:

/> или />           (2.4.6)
/> или /> (2.4.6а)
Найдем соответствующее имзначение погрешности:
/>
Если для любойквадратично интегрируемой функции /> в пределе имеет место равенство
/>,
т.е.                                />,                          (2.4.7)
то система собственныхфункций /> называетсязамкнутой (полной). Поскольку />-функция нормирована на единицу,то
/>.                                        (2.4.8)
Соотношение (2.4.7)называют условием полноты системы собственных функций. Оно означает, чтосистема собственных функций эрмитового оператора достаточна для представлениялюбой />-функциив виде суммы ряда
/>                             (2.4.9)

Таким образом, любоесостояние, описываемое амплитудой вероятности />, может быть представлено в видесуперпозиции (2.4.9) состояний, являющихся собственными для операторакакой-либо физической величины. Т.е. математическое условие полноты системысобственных функций эрмитовых операторов превращается в физический принципсуперпозиции состояний.
Выражение (2.4.9)аналогично разложению вектора /> в бесконечномерном евклидовомпространстве с базисными векторами /> в ортогональной системе координат/>. Проекциявектора /> нанаправление, задаваемое ортом /> определяется скалярнымпроизведением
/>
и аналогично выражению(2.4.6). Поэтому собственные функции оператора физической величины называютбазисными волновыми функциями, описывающими базисные состояния.
Таким образом, выборпроцедуры измерения, т.е. выбор прибора, способного измерить интересующую насфизическую величину (в математической схеме – выбор оператора), являютсявыбором системы базисных состояний. В математической схеме это аналогичновыбору системы координат в евклидовом пространстве. Базисные состояния,соответствующие собственным функциям оператора исследуемой физической величины,характеризуются тем, что в этих состояниях эта физическая величина имеет точноопределенное значение. В процессе измерения физической величины, представляемойоператором />,квантовомеханическая система всегда переходит в состояние, собственное дляданного оператора, т.е. в базисное.
г) Выясним физическийсмысл коэффициентов />. Представим /> — функциюхарактеризирующую состояние системы в виде суммы ряда (2.4.9) собственныхфункций оператора />. Затем подставим эту сумму ввыражение (2.1.1), определяющее среднее значение физической величины:
/>.
Подействуем оператором /> насуперпозицию состояния, стоящую справа. Используя уравнение собственныхзначений
/>
получаем:
/>
Перемножаем скобки ипредставляем выражение как сумму интегралов вида
/>.
Поскольку собственныефункции эрмитовых операторов ортонормированы, т.е. /> (см. формулу (2.4.4)), получаем
/>.                         (2.4.10)
Из соотношений (2.4.8) и(2.4.10) следует, что квадрат модуля коэффициента /> определяет вероятность того, чтов результате измерения физической величины /> в состоянии /> мы получим значение />,соответствующее собственной функции />.
Таким образом, аналогичнотому, как /> естьплотность вероятности локализации квантовомеханической системы в точке />, /> есть плотностьвероятности того, что при измерении физической величины /> реализуется значение />. Т.е. /> есть амплитудавероятности (волновая функция), если независимой переменной является величина />. В первомслучае (/>)говорят о координатном представлении, во втором – об />-представлении.
2.5 Операторы снепрерывным спектром собственных значений
Если оператор имеетнепрерывный спектр собственных значений, то собственные функции нельзяперенормировать числами 1, 2, 3,…. Они зависят от собственных значений как отпараметра. Если оператор обозначаем буквой />, а собственные значения — />, то можнозаписать
/>
(Для простоты рассужденийнезависимой переменной считаем координату />). Собственные функции /> нельзянормировать на единицу, как в случае дискретного спектра. Интеграл /> расходится,так как /> необращается быстро в нуль на бесконечности. Реальные системы, т.е. системы сконечными радиусом действия, находятся в ограниченной области пространства иимеют дискретный спектр энергии. Следовательно, волновые функции возможныхсостояний достаточно быстро убывают к нулю вне этой области. Поэтому для такихсистем /> всегдаимеет конечное значение и собственные функции операторов с дискретным спектромвсегда можно нормировать на единицу. Если же квантовомеханическая системанаходится в состоянии />, то она совершает неограниченное(инфинитное) движение во всем пространстве. Это движение характеризуетсяопределенным значением физической величины />. Например, волновая функциясвободной частицы, движущейся вдоль оси /> и имеющей импульс /> имеет вид
/>
Соотношения, описывающиесвойства собственных функций дискретного спектра, обобщаются на случайнепрерывного спектра. Подобно тому, как произвольная функция /> может быть представленав виде суммы ряда собственных функций оператора с дискретным спектром, онаможет быть разложена также и по полной системе собственных функций оператора снепрерывным спектром. Только сумму следует заменить интегралом
/>.                                   (2.5.1)
Интегрированиепроизводится по всей области значений, которые может принимать величина />.
Естественно считать /> вероятностьютого, что рассматриваемая физическая величина /> в состоянии, описываемом функцией/> имеетзначение в интервале от оси /> до />. Как известно, сумма вероятностейвсех возможных значений случайной величины должна равняться единице:
/>.                                               (2.5.2)
Условие полноты (2.4.7)для системы собственных функций оператора с непрерывного спектра имеет вид
/>.                     (2.5.3)
(Сумма величин /> замененаинтегралом).
Воспользовавшисьразложением (2.5.1) преобразуем последнее выражение
/>.
Тогда условие полнотыпринимает вид
/>.
Отсюда следует
/>.                                   (2.5.4)
(Сравните с (2.4.6)).Подставим интеграл (2.5.1) в (2.5.4):
/>. (2.5.5)
Это соотношение должновыполняться при любых />, т.е. оно должно выполнятьсятождественно. Для этого необходимо, во-первых, чтобы интеграл /> обращался в нуль, если />. Во-вторых,при /> этотинтеграл должен обращаться в бесконечность, так как иначе правая частьравенства (2.5.5) будет равна нулю. Таким образом, интеграл /> зависит от разности />. Он обращаетсяв нуль, если разность отлична от нуля и в бесконечность, если она равна нулю.Выражение с такими свойствами называют дельта-функцией Дирака. Она былапредложена английским физиком П. Дираком. Обозначим ее />.
Тогда
/>.                            (2.5.6)
/>.
Таким образом, условие(2.5.3) будет выполняться, т.е выражение /> можно будет интерпретировать каквероятность обнаружить значение физической величины /> в интервале от /> до />, если собственныефункции непрерывного спектра оператора /> нормированы на />-функцию. Кроме того,система функций, удовлетворяющая условию (2.5.6) ортогональна.
(Это следует из свойств />-функции).Формула (2.5.6) является обобщением формулы (2.4.4) на случай непрерывногоспектра собственных значений.
2.6 Дельта-функция Дирака
К необходимости введения />-функции П. Диракпришел при рассмотрении величин, содержащих бесконечности. Она определяетсяследующим образом:
/>                            (2.6.1)
Пределы интегрированиямогут быть любые другие, лишь бы точка /> находилась между ними.
“Для того, чтобы получитьнаглядное представление о />, рассмотрим функцию вещественнойпеременной />,которая обращается в нуль повсюду за исключением малого промежутка …, внутрикоторого находится точка />, причем внутри этого промежуткафункция настолько велика, что интеграл от нее по промежутку равен единице.Точное поведение функции внутри промежутка несущественно…” [1, с.90].
Наиболее важное свойство />-функциивыражается с помощью соотношения
/>,                                  (2.6.2)
где /> - произвольнаянепрерывная функция от />, область интегрирования должнасодержать точку />. Это свойство вытекает изопределения />-функции(2.6.1). Действительно, левая часть (2.6.2) может зависеть только от техзначений />,для которых аргумент /> близок к нулю. Поэтому можнозаменить /> на/>. Тогда из(2.6.1) и (2.6.2) получаем

/>
Если в соотношении(2.6.2) перенести начало координат, получим
/>,                           (2.6.3)
где />-действительное число.Область интегрирования включает точку />. (Область интегрирования необязательно должна быть от /> до />. Она должна включать в себяособую точку, в которой />-функция не обращается в нуль).
Приведем еще несколькосоотношений, выражающих свойства />-функции. Смысл их заключается втом, что если в подынтегральное выражение входит в качестве множителя одна изсторон этих соотношений, то ее без изменения значения интеграла можно заменитьдругой стороной.
1. Дельта-функцияявляется четной:
/>.                                   (2.6.4)
2. Часто используютсвойство />-функции
/>.                                        (2.6.5)
Докажем егосправедливость. Для этого рассмотрим функцию />. Согласно свойству (2.6.2)
/>
или
/>.
Поскольку />, имеем
/>,
откуда и следует свойство(2.6.5).
3. Часто бывает полезнымсоотношение
/>                                (2.6.6)
Для доказательствасначала воспользуемся свойством (2.6.4), а затем введем новую переменную />, />:
/>.
Введем обозначение />. Тогда правуючасть последнего соотношения можно переписать следующим образом
/>.
Согласно свойству (2.6.2)интеграл в правой части равен />, но />:
/>.
Таким образом
/>.
Но к такому же результатуприйдем, рассмотрев интеграл
/>.
Таким образом,
/>,
что и доказываетсправедливость свойства (2.6.6).
“Дельта-функция /> не являетсяфункцией от /> всоответствии с обычным математическим определением функции, когда требуется,чтобы функция имела определенное значение для любого значения аргумента” [1, с.90]. Она является обобщенной функцией[1].
Из соотношения (2.6.2)видно, что операция умножения функции от /> на /> с последующим интегрированием повсем возможным значениям /> эквивалентна замене /> на />. Таким образом,хотя />-функцияи не имеет строго определенного значения, но если она содержится в качествемножителя в подынтегральном выражении, то сам интеграл строго определен.
Дельта-функцию можнорассматривать как предел последовательности аналитических функций, например, /> (рис. 1). При /> эта функцияосциллирует около нулевого значения с затухающей амплитудой. При /> />. Координату т. А нарис. 1 можно найти из условия />, откуда следует />, />.
/>
Если увеличивать />, т. /> на рис. 1будет подниматься вверх по оси ординат. В пределе /> получится бесконечно узкий ивысокий пик, площадь которого должна равняться единице:

/>
При увеличении /> функция /> осциллирует субывающей амплитудой и с периодом />. Быстрые осцилляции приувеличении /> означают,что весь вклад в интеграл, содержащий эту функцию, обусловлен малойокрестностью точки />. Поэтому предел /> при /> имеет все свойства />-функции: />. Графикфункции /> нарисовать,строго говоря, невозможно. Пришлось бы изображать бесконечно узкий и бесконечновысокий пик в точке />, “площадь” под которым конечна иравна единице.
Нетрудно показать, что
/>.                         (2.6.7)
(Действительно />), откудаследует соотношение (2.6.7)). Из последнего соотношения получаем:
/>                (2.6.8)
Соотношение (2.6.8) можнорассматривать как разложение />-функции в интеграл Фурье.
Пример. Найтинормировочный множитель волновой функции свободной частицы />. Считать момент временификсированным и равным нулю.
Для фиксированногомомента времени />
/>.                                   (2.6.9)
Поскольку частицасвободна, т.е. движется в неограниченном пространстве,
/>
и нормировка на 1невозможна. В таком случае применяется нормировка на />-функцию (см. (2.5.6))
/>
Подставляя в последнеесоотношение волновую функцию свободной частицы (2.6.9), получим
/>.
Из соотношения (2.6.8)следует, что
/>.

Поэтому />; />, где />-произвольная фаза. Приопределении плотности вероятности множитель /> сокращается. Поэтому обычнополагают />,тогда />.
Часто волновую функциюсвободной частицы записывают в виде
/>,
при /> />.
При нормировке на />-функцию
/>
или
/>
С другой стороны,согласно равенству (2.6.8)
/>.
Согласно свойству />-функции(2.6.6)

/>.
Поэтому
/> (2.6.10)
и
/> (с точностью до постоянногофазового множителя). Т.е., если волновая функция свободной частицы нормируетсяна />-функциюот волновых векторов, то />; если нормируется на />-функцию отимпульсов, то />.
2.7 Операторы координатыи импульса
Вид оператора даннойфизической величины зависит от выбора независимых переменных в функциях, ккоторым он применяется.
а) Оператор независимойпеременной всегда представляет собой операцию умножения на эту переменную. Этовытекает из постулата (в нашем пособии — третьего), согласно которомуполученные при измерении значения физической величины совпадают с собственнымизначениями ее оператора. Например, если в системе с одной степенью свободынезависимой переменной является координата />, т.е. />, то оператором координаты будетоперация умножения на />: />.
При наличии несколькихстепеней свободы следует выяснить, любое ли сочетание физических величин можетявляться набором независимых переменных. Операторы независимых переменныхявляются умножением на эти переменные. Поэтому они должны коммутировать (бытькоммутативными). Следовательно, в качестве независимых переменных можно братьтолько такие величины, операторы которых между собой коммутируют.
б) Найдем операторимпульса при условии, что координата является независимой переменной. Как известно,(согласно идеям де Бройля, подтвержденным экспериментально), волновая функциясвободной частицы есть монохроматическая волна
/>.
(Момент времени фиксирован).
Для одномерного случая,когда частица движется вдоль оси />,
/>.
Поскольку частицасвободна, т.е. нет никакого взаимодействия, ее импульс сохраняется и равен />. Такимобразом, собственная функция оператора /> есть /> и ей соответствует собственноезначение />.Поэтому можно записать уравнение собственных значений:
/>.
Это соотношение будетсправедливым если />. Действительно,
/>.
Рассуждая аналогично,получаем
/>, /> и />.
2.8 Соотношениенеопределенностей
Физическая величина /> с вероятностьюравной единице точно определена в собственном состоянии оператора />. Если />-функция неявляется собственной для данного оператора, результатом измерения будет какоето значение из его спектра. Неопределенность ее значения, т.е. разбросрезультатов измерения физической величины, будем характеризовать среднимквадратичным отклонением результатов отдельных измерений от среднего значения: />. Величине /> соответствуетоператор />,величине /> –оператор />.
Установим связь междунеопределенностями двух физических величин, если квантовомеханическая системанаходится в состоянии />, т.е. связь между /> и />. Рассмотрим вспомогательный интеграл />, где /> - произвольныйвещественный параметр. Очевидно, что />. После несложных преобразований(упражнение 7) этот интеграл принимает вид трехчлена
/>,

где />. Этот трехчлен не можетбыть отрицательным. Выясним при каком условии это возможно. Прибавим ктрехчлену и вычтем из него величину />:
/>
/>.
Значение трехчлена будетминимальным, при таком значении />, чтобы выражение, стоящее вскобке, равнялось нулю. Поскольку трехчлен неотрицателен, получаем
/>
или
/>,
/>.                                         (2.8.1)
Это выражение называетсясоотношением неопределенностей. Оператор /> (см. упражнение 6). Поэтому изсоотношения (2.8.1) следует вывод: если операторы коммутируют />, то соответствующиефизические величины одновременно могут иметь точно определенные значения.
Вопросы для самопроверки
1.Определить понятиеоператора.
2.Какова математическаяприрода динамических переменных в квантовой механике? Сформулируйтесоответствующий (2-й) постулат квантовой механики.
3.Как, зная состояниесистемы (/>-функцию)и оператор физической величины, найти среднее значение этой величины в данномсостоянии?
4.Какие операторыназывают линейными? Почему в квантовой механике могут использоваться тольколинейные операторы?
5.Определить понятиекомплексно-сопряженного, сопряженного и самосопряженного операторов.
6.Какие функции называютсобственными функциями оператора? Свойства собственных функций самосопряженногооператора.
7.Что называют спектромсобственных значений оператора? Свойства собственных значений самосопряженныхоператоров.
8.Почему операторыфизических величин должны быть самосопряженными?
9.Какая связь междуоператором физической величины и результатом ее измерения?
10.Что понимают подкратностью вырождения собственного значения оператора.
11.Представитьпроизвольную волновую функцию /> в виде ряда по собственнымфункциям /> операторафизической величины. Как определяются коэффициенты разложения />? Каков их физическийсмысл?
12.Какова связь междуусловием полноты собственных функций самосопряженных операторов и принципомсуперпозиции?
13.Что называютдельта–функцией Дирака? Ее основные свойства.
14.В каком случаесобственные функции оператора физической величины нормируют на />-функцию?
15.Что собой представляетоператор координаты и оператор импульса в координатном представлении?
16.Сформулировать изаписать соотношение неопределенностей.
17.Как, зная операторыфизических величин, определить, могут ли они одновременно иметь определенныезначения?
Упражнения.
2.1. Являются лиследующие операторы линейными:
а) />;
б) оператор инверсии />: />;
в) оператор сдвига вдольоси />: />;
г) оператор комплексногосопряжения: />?
2.2. Найти оператортранспонированный к оператору />, комплексно-сопряженный исопряженный с ним? Является ли этот оператор самосопряженным? />
2.3. Является ли операторкомплексного сопряжения эрмитовым?
Решение. Длясамосопряженного оператора должно выполняться условие (2.1.5)
/>
Для операторакомплексного сопряжения имеем:
/>
Таким образом,соотношение (2.1.5) для оператора комплексного сопряжения не выполняется,поэтому он не является эрмитовым.
2.4. Показать, чтосреднее значение квадрата самосопряженного оператора положительно.
Решение. Согласносоотношению (2.1.1)
/>
(Функцию /> считаем нормированнойна единицу). Пользуясь тем, что оператор /> самосопряженный, получаем
/>/>
Этот интеграл всегдаположителен. Следовательно, />.
2.5. Показать, что еслиоператоры /> и/> эрмитовы,то оператор /> тоже эрмитов.
Решение. Длясамосопряженного оператора должно выполняться условие
/>. (2.5а)
Если />, то />.
Подставим оператор /> в левыйинтеграл соотношения (2.5а) и преобразуем его, пользуясь эрмитовостьюоператоров /> и/>:
/>
/> (2.5б)
Аналогично преобразуеминтеграл, стоящий в правой части соотношения (2.5.а):
/> (2.5в)
В процессе преобразованиямы сначала воспользовались свойством эрмитовости операторов /> и />, а затем поменялиместами функции стоящие под знаком интеграла.
Сравнивая соотношения(2.5б) и (2.5в) приходим к выводу, что для оператора /> условие (2.5а) выполняется.Следовательно, если /> и /> эрмитовы операторы, то оператор /> такжеэрмитов.
2.6. Доказать, что />.
Решение. />. Подействуем оператором/> нафункцию />:
/>
Следовательно, /> и />.
2.7. Доказать, что еслиоператоры /> и/> коммутируют,т.е. />, тои операторы /> и /> также коммутируют.
Решение. />
После умножения исокращения одинаковых величин получаем
/>.
Таким образом, если />, то и />.
2.8. Доказать, чтоинтеграл /> можнопреобразовать в трехчлен />, где /> — произвольный вещественныйпараметр, /> и,следовательно (см.упр.2.7), />.
Решение.
/>
/> /> (2.8)
Пользуясь эрмитовостьюоператора /> преобразуемпервый интеграл в правой части равенства:
/>.
Аналогичным образомпреобразуем четвертый интеграл:
/>.
Второй и третий интегралыпреобразуем, пользуясь самосопряженностью операторов /> и />.

/>
Объединим второе и третьеслагаемое в правой части соотношения в (2.8) в один интеграл. Получаем />. Умножив иразделив это выражение на /> имеем
/> 
/>.
Таким образом
/>,
что и требовалосьдоказать.
2.9. В состоянииквантовомеханической системы, описываемом заданной волновой функцией />, физическаявеличина /> имеетопределенное значение. Имеет ли в этом состоянии определенное значении также ивеличина /> вслучае, если операторы /> и />: 1) не коммутируют, 2)коммутируют.
2.10. Найти собственныезначения и нормированные собственные функции следующих операторов:
а) />,

б) />,
в) />.
2.11. Найти собственныефункции оператора координаты (в координатном представлении).
Решение. Уравнениесобственных значений для оператора /> имеет вид
/>,
где, /> - собственная функция,соответствующая собственному значению />. Очевидно, что />, если />. Воспользуемсясвойством />-функции(2.6.5): />.Напишем это соотношение для аргумента />:
/>.
Раскрывая скобки,получаем /> или/>.Следовательно, собственная функция оператора />, соответствующая собственномузначению /> есть/>.

Литература
1. Дирак П. Принципыквантовой механики.–М: Наука, 1979.
2. Вакарчук І. О. Квантова механіка:Підручник.– Львів: ЛДУ ім… І. Франка, 1998.
3. БлохинцевД.И. Основы квантовоймеханики. М.: Наука, 1983.
4. Давыдов А.С.Квантовая механика. М.: Наука, 1973.
5. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989.
6. ЮхновськийІ.К. Квантова механіка. Київ: Либідь, 1995.
7. ФедорченкоА.М. Теоретична фізика. Київ: Вища школа, 1993, т. 2.
8. Фок В.А. Началаквантовой механики. М.: Наука, 1976.
9. Шифф Л. Квантоваямеханика. М.: Из-во иностр. лит., 1959.
10.  Мессиа А.Квантовая механика: в 2-х томах, М.: Наука, 1978, т. 1.
11.  Иродов И.Е.Задачи по квантовой физике. М.: «Высшая школа», 1991.
12.  Галицкий В.М.,Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981.
13.  Арфкен Г.Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970.
14.  Рихтмайер Р.Принципы современной математической физики, М.:1982.