Реферат
ОПТИМИЗАЦИЯ СЧИТЫВАНИЯ СОСТОЯНИЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКОГОКУБИТА.
2010
Оглавление
/>/>/>/>/>/>/>/>Введение
1. Джозефсоновский контакт и фазовый кубит
1.1 Теоретические сведения
1.2 Вольтамперная характеристика
1.3 Устройство фазового кубита
2. Гистерезисный СВЧ СКВИД
2.1 Теоретические сведения
2.2 Характеристики СВЧ СКВИДа
3. СКВИД постоянного тока
3.1 Теоретические сведения
3.2 Характеристики СКВИДа постоянного тока
4. Считывание информационного сигнала с кубита
4.1 Модель фазового кубита
4.2 Параметры системы
Заключение
Список литературыВведение
Элементная база современных информационныхсистем построена на транзисторах, лазерах, фотоэлементах, являющихся классическими,в том смысле, что их внешние параметры (токи, напряжение, излучение) являются классическимивеличинами. С этими величинами связываются информационные символы, что позволяетотображать информационные процессы на физические системы. Аналогично, информационныесимволы можно связать с дискретными состояниями квантовых систем, подчиняющихсяуравнению Шредингера, а с их управляемой извне квантовой эволюцией связать информационный(вычислительный) процесс. Такое отображение превращает квантовую систему (частицу)в квантовый прибор.
В канун XX века 14 декабря 1900года немецкий физик и будущий нобелевский лауреат Макс Планк доложил на заседанииБерлинского физического общества о фундаментальном открытии квантовых свойств тепловогоизлучения. Этот день считается днем рождения квантовой теории. В физике родилосьпонятие кванта энергии и среди других фундаментальных постоянных поля появиласьпостоянная Планка h = 1,38062*10-23Дж/К.
В 1925 году В. Гайзенберг предложилматричный вариант квантовой механики, а в 1926 году Э. Шредингер сформулировал своезнаменитое волновое уравнение для описания движения электрона во внешнем поле. Вэто же время Э. Ферми и П. Дирак получили квантово-статистическое распределениедля электронного газа, учитывающее при заполнении отдельных квантовых состоянийквантовый принцип, сформулированный тогда же В. Паули. Это привело к существеннымизменениям наших представлений о Природе вообще и о твердом теле, в частности.
Кардинально новой оказалась идеяо квантовых вычислениях, впервые высказанная советским математиком Ю.И. Манинымв 1980 году, которая стала активно обсуждаться лишь после опубликования в 1982 годустатьи американского физика-теоретика нобелевского лауреата Р. Фейнмана. Он обратилвнимание на способность изолированной квантовой системы из L двухуровневыхквантовых элементов находиться в когерентной суперпозиции из 2Lбулевых состояний, характеризующейся 2L комплексными числами иувеличенной до 2L размерностью соответствующего гильбертова пространства.Ясно, что для описания такого квантового состояния в классическом вычислительномустройстве потребовалось бы задать 2L комплексных чисел, то есть,понадобились бы экспоненциально большие вычислительные ресурсы. Отсюда былсделан обратный вывод о том, что эффективное численное моделирование квантовых систем,содержащих до сотни двухуровневых элементов, практически недоступно классическимкомпьютерам, но может эффективно осуществляться путем выполнения логических операцийна квантовых системах, которые действуют на суперпозиции многих квантовых состояний.
Одна из возможных физических реализацийквантового компьютера основана на использовании в качестве квантовых битов (кубитов)сверхпроводящих приборов джозефсоновской электроники.
В 1962 году аспирант Кембриджскогоуниверситета Брайан Джозефсон предсказал, что в слабых электрических контактах сверхпроводниковдолжен наблюдаться ряд новых явлений. Эти явления обусловлены тем, что ток Ιчерез контакт содержит специфическую компоненту — так называемый сверхток Ιs,который связан с напряжением V на контакте очень необычными соотношениями,прямо следующими из квантовой механики и в явном виде содержащими постоянную Планка.
В работе кубита используются сверхпроводящиеквантовые интерферометры (СКВИДы) — наиболее чувствительные датчики магнитного потока,представляющие собой один или несколько джозефсоновских контактов, замкнутых в сверхпроводящемкольце.
кубит джозефсоновский фазовый квантовый
Сложность создания и использованиякубита заключается в квантовой природе устройства. Так, например, на стадии считыванияинформации нахождение кубита в том или ином состоянии носит вероятностный характер.Кроме того, из-за высокой чувствительности джозефсоновских переходов к электромагнитномуполю на их свойства большое влияние оказывают флуктуации. Флуктуации приводят кограничению чувствительности сверхпроводящих квантовых интерферометров. Поэтомуразработка теоретического описания, помогающего более полному пониманию природыфлуктуационных явлений в устройствах джозефсоновской электроники, и позволяющегоминимизировать влияние флуктуаций, является чрезвычайно важной.
Целью данной работы является изучениеэлемента квантового компьютера, кубита, на стадии считывания информации, и оптимизацияпараметров системы с целью минимизации ошибки считывания.
В первой главе приведены краткиетеоретические сведения о джозефсоновском контакте и устройстве кубита на основесверхпроводников. Во второй главе рассматриваются флуктуационные характеристикиСВЧ гистерезисного СКВИДа и оптимизация параметров прибора для уменьшения влиянияшума. Третья глава посвящена устройству и работе квантового интерферометра на постоянномтоке. В четвертой главе приводится оптимизация процесса считывания информационногосигнала с кубита.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>1. Джозефсоновский контакт и фазовыйкубит/>/>/>/>/>/>/>/>1.1 Теоретические сведения
Явление сверхпроводимости состоитв том, что при некоторой температуре, близкой к абсолютному нулю, электросопротивлениев некоторых материалах исчезает. Эта температура называется критической температуройперехода в сверхпроводящее состояние.
Джозефсоновский контакт представляетсобой систему, состоящую из двух сверхпроводников, разделенных тонкой диэлектрическойпрослойкой (рис.1). Носителями тока в сверхпроводнике являются так называемые куперовскиепары [1].
/>
Рис.1.
Движение куперовских пар, каки носителей тока в любых несверхпроводящих веществах, подчиняется квантовым законам.Так, в случае слабовзаимодействующих частиц в пренебрежении спиновыми эффектами,это движение можно описать обычным нестационарным уравнением Шредингера
/> (1)
где ψ — комплекснаяволновая функция данной частицы,
/> (2)
а Н — оператор Гамильтона.Согласно основам квантовой механики, модуль волновой функции пропорционален корнюиз плотности частиц. В стационарном состоянии, когда энергия Е частицы неменяется во времени, |ψ| можно считать постоянным во времени, а Нзаменить на Е. В итоге уравнение (1) приобретает вид
/> (3)
так что специфика квантовомеханическогоописания фактически сводится к своеобразному закону изменения во времени фазы волновойфункции частицы.
Куперовская пара в сверхпроводникепредставляет собой связанное состояние двух электронов с противоположными спинамии импульсами и, следовательно, имеет нулевой суммарный спин. Такие пары подчиняютсястатистике Бозе-Эйнштейна и «конденсируются» на одном нижнем энергетическомуровне. Поэтому скорости движения фаз куперовских пар точно совпадают.
Вторая характерная особенностькуперовских пар — их относительно большой размер, намного превышающий среднее расстояниемежду парами. В результате, волновые функции куперовских пар сильно перекрыты; пары«синхронизируются», т.е. не только скорости движения, но и их фазы в каждойточке становятся равными друг другу.
Таким образом, совокупность куперовскихпар, или «конденсат», является когерентной, т.е. описывается единой волновойфункцией ψ. В этом случае макроскопические величины, и в частности ток,могут явно зависеть от фазы χ единой волновой функции конденсата, так как этазависимость не выпадает при суммировании по частицам.
Единственным существенным требованиемк джозефсоновскому контакту является малость его длины d, т.е. расстояниямежду двумя ближайшими точками электродов (d/>см). Если это условиевыполнено, то ток I, текущий через слабый контакт, содержит «сверхток»Is, который является функцией не от напряжения V, а отразности фаз
/> (4)
где /> - фазы волновых функцийсверхпроводящего конденсата электродов.
Зависимость Is строго 2π-периодичнаи в простейшем случае имеет вид
/> (5)
где Ic— некотораяконстанта (существенно зависящая от физической природы и размеров слабой связи),обычно называемая критическим током джозефсоновского перехода. Эта константа положительна,если считать ток положительным при его направлении от электрода 1 к электроду 2(см. рис.1). Сама величина φ зависит от напряжения по закону
/> (6)
который содержит лишь фундаментальныефизические постоянные ћ и е (/>Дж/Гц, /> Кл).
Но в большинстве задач, связанныхс динамикой джозефсоновского перехода, необходимо учитывать не только сверхток,но и другие компоненты тока через контакт. Рассмотрим их подробнее.
1. Нормальный ток IN.Если температура сверхпроводника Т не равна нулю, то энергия kT(/>Дж/К- постоянная Больцмана) теплового движения вызывает разрыв некоторого числа куперовскихпар и появление в образце некоторого количества неспаренных электронов. В теориисверхпроводимости такие электроны называют квазичастицами, поскольку их свойстваотличаются от свойств электронов нормального металла из-за присутствия конденсата.
Если напряжение на переходе равнонулю, то квазичастицы не дают вклада в ток. Однако, если фаза φ меняетсяво времени, и напряжение отлично от нуля, то в токе появляется квазичастичная компонента.
Если температура Т стремитсяснизу к критической температуре сверхпроводника Тc, то энергиясвязи куперовской пары стремится к нулю и становится существенно меньше тепловойэнергии kT. При этом концентрация куперовских пар относительно мала,а концентрация квазичастиц (а также их свойства) такая же, как в нормальном металле.В этом случае зависимость нормального тока от напряжения при Т≈Тcблизкак омической:
/> (7)
где GN=1/RN — нормальная проводимость джозефсоновского перехода
2. В случае, если не только напряжениеV, но и производная dV/dt отличны от нуля,становится существенным ток смещения, который обычно можно представить в виде
/> (8)
где С — емкость между электродамиджозефсоновского перехода. Хотя ток IDи не протекаетреально через слабый контакт, для внешней системы, в которую включен джозефсоновскийпереход, этот ток эффективно складывается с другими компонентами тока.
Величина емкости С значительноразличается не только для разных типов переходов, но и существенно зависит от размеровконтакта. Поэтому ее часто удобно характеризовать не абсолютным значением, а безразмернымпараметром (параметром Маккамбера — Стюарта), показывающим силу ее влияния на процессыв переходе:
/> (9)
Если ββ>>1 — о переходах с большой емкостью или малым затуханием.
3. Джозефсоновский контакт отличаетсявысокой чувствительностью к флуктуациям, поэтому их необходимо учитывать при решениимногих задач. С нормальным током связаны флуктуации двух типов: тепловые и дробовые.Для тепловых флуктуаций выражение для спектральной плотности дается формулой Найквиста:
/> (10)
справедливой при ћω,eVkT.
Силу воздействия тепловых флуктуацийна переход можно характеризовать величиной
/> (11)
Таким образом, если критическийток контакта существенно превышает величину IT(равную ~0,3 мкА при типичной рабочей температуре Т≈4,2 К),то влияние тепловых флуктуаций на переход можно считать малым.
Если напряжение на контакте становитсядостаточно большим, иeV превышает kT, существеннымистановятся дробовые флуктуации, связанные с дискретностью заряда квазичастиц. Прибольших напряжениях они описываются формулой Шоттки
/> (12)
справедливой при условии ћω,kT≤eV.
Таким образом, выражение для полноготока через контакт имеет следующий вид:
/> (13)
Введем определения плазменнойωри характерной ωс частот:
/> (14), /> (15)
Используя (14) и (15), равенство(13) удобно переписать в виде
/> (16)
где i=I/IC — безразмерный ток. Что касается флуктуационного тока IF,то в данной модели, которая называется резистивной (RN=const),он обычно считается тепловым белым гауссовским шумом со следующими характеристиками:
/>/> (17)
где /> - безразмерная интенсивностьшума.
Точечный джозефсоновский контактс малой емкостью хорошо описывается уравнением Ланжевена [2]
/> (18)
где U(φ) =1-cosφ-iφ — безразмерный потенциальный профиль (рис.2), i=I/IС — безразмерный ток, ωС — характерная частота контакта (15),iF=IF/IC— безразмерныйфлуктуационный ток (17).
/>
Рис.2. Безразмерный потенциальныйпрофиль: пунктирная линия — i=0.5; сплошнаялиния— i=1.2.
/>/>/>/>/>/>/>1.2Вольтамперная характеристика
Простейшей из всех электродинамическихситуаций для джозефсоновского контакта является случай протекания через него постоянноготока I(t) =I=const. Если этот ток не слишком велик, │I│IC, то в отсутствиифлуктуаций стационарное решение имеет вид
/>/> (19)
Любое такое решение описывает«сверхпроводящее» или «стационарное» S-состояниеджозефсоновского перехода: при протекании не слишком большого тока падение напряженияна переходе отсутствует:
/> (20)
Факт существования S-состоянияполучил специальное название «стационарный эффект Джозефсона». Если жепостоянный ток Iпревышаеткритическое значениеIC, то он, согласноформуле (5), уже не может полностью переноситься сверхтоком IS, и, следовательно, часть его должна переноситься нормальным током IN. Однако IN может быть отличен от нуля лишь при />. Таким образом,по крайней мере при │I│>ICпереходможет находиться только в резистивном (R) состоянии, в которомсреднее напряжение отлично от нуля, и, следовательно, происходит процесс генерациис частотой
/> (21)
Это явление называется «нестационарнымэффектом Джозефсона» или «джозефсоновской генерацией».
У вольтамперной характеристикипри │I│ICбудет«сверхпро-водящая» или "S-ветвь",а при │I│>IC— резистивная или"R-ветвь":
/>при/>(22)
При │I│>ICсуществуютлишь резистивные состояния.
Ограничиваясь в данном разделеслучаем контактов с малой емкостью, рассмотрим следующее уравнение движения фазы:
/> (23)
Решение ищем численным методомХюна:
/> (24)
где />/>.
В отсутствии флуктуаций, R-ветвьВАХ будет иметь гиперболическую форму (рис.3). Если же учесть флуктуации тока, тона вольтамперной характеристике при токах │I│IСпоявляется напряжение, отличное от нуля.
/>
Рис.3. Вольтамперная характеристикаджозефсоновского контакта. Сплошная линия — без учета флуктуаций D = 0, пунктирная D=0.5
При слабом высокочастотном воздействии(амплитуда А тока, воздействующего на переход, достаточно мала) внешний сигналс частотой /> может производить захватывание (синхронизацию)джозефсоновских колебаний перехода. Это явление сопровождается появлением на ВАХперехода горизонтального участка — «джозефсоновской ступеньки тока» — при напряжениях
/>/> (25)
Вид ВАХ перехода в таком режимебудет рассмотрен в главе об СВЧ СКВИДе. 1.3 Устройство фазового кубита
Любая квантовая двухуровневаясистема имеет основное |0ñ и не основное |1ñ базисные состояния.При этом волновая функция состояний двухуровневой системы — квантового бита, можетпредставлять собой суперпозицию базисных состояний следующего вида |yñ = a|0ñ + b|1ñ, где a,b — комплексные амплитудысостояний, |a|2 + |b|2= 1. Помимо вероятностей P (0) = |a|2и P (1) = |b|2,заполнения базисных состояний |0ñ и |1ñ, состояние кубита характеризуется когерентнымиили интерференционными слагаемыми в вероятности состояния |yñ, определяемых произведениями комплексных амплитуд ab* и a*b.
Принципиальная схема работы любого квантового компьютера можетбыть представлена следующим образом (рис.4). Основной его частью является квантовыйрегистр — совокупность некоторого числа L кубитов. До ввода информации вкомпьютер все кубиты регистра должны быть приведены в основные базисные (булевые)состояния. Эта операция называется подготовкой начального состояния или инициализацией(initializing). Далее каждый кубит подвергается селективному воздействию, например,с помощью импульсов внешнего электромагнитного поля, управляемых классическим компьютером,которое переведет основные базисные состояния определенных кубитов в не основноесостояние |0ñ |1ñ. При этом состояние всего регистра перейдетв суперпозицию базисных состояний вида |nñ= |n1,n2,n3,. nLñ, где ni = 0,1.
/>
Рис.4. Схематическая структураквантового компьютера
При вводе информации в квантовыйкомпьютер состояние входного регистра, с помощью соответствующих импульсных воздействийпреобразуется в соответствующую когерентную суперпозицию базисных ортогональныхсостояний. В таком виде информация далее подвергается воздействию квантового процессора,выполняющего последовательность квантовых логических операций, определяемую унитарнымпреобразованием, действующим на состояние всего регистра. К моменту времени tв результате преобразований исходное квантовое состояние становится новой суперпозицией,которая и определяет результат преобразования информации на выходе компьютера.
Считается, что для реализацииполномасштабного квантового компьютера, превосходящего по производительности любойклассический компьютер, на каких бы физических принципах он не работал, следуетобеспечить выполнение несколькихосновных требований. Одно из основных требованийи задач квантовых вычислений — проблема измерения конечного квантового состояния.
Рассмотрим кубит, основанный наиспользовании джозефсоновских переходов. Джозефсоновские переходы представляют собойнекоторую слабую электрическую связь между двумя сверхпроводниками. Все сверхпроводящиеэлектроны образуют связанные парные состояния, получившие название куперовских парэлектронов. Куперовская пара объединяет два электрона с противоположными спинамии импульсами и, следовательно, имеет нулевой суммарный спин. Вся совокупность (конденсат)куперовских пар является когерентной, то есть описывается в квантовой механике единойволновой функцией.
На рис.5 представлена схема фазовогокубита [3] (управление кубитом осуществляется на основе фазы волновой функции, ане числа куперовских пар).
/>
Рис.5. Схема фазового кубита
Катушка в левой части схемы обеспечиваетмагнитный поток Фq черезкубит (в центре). Чувствительный датчик магнитного потока (справа на схеме) черезвзаимную индукцию MR считываетсостояние кубита. Разница между |0> и |1> состояниями кубитабудет определяться одним квантом внешнего для СКВИДа потока. Регистрация происходитметодом переключения прибора в резистивное состояние [4] (R-ветвьна вольт-амперной характеристике). Вероятностное значение измеряемого критическоготока и будет являться показателем считывания [5]. На данной схеме изображен СКВИДпостоянного тока, но прибор так же будет работать и на основе гистерезисного СКВИДапеременного тока. Подробнее о работе такого интерферометра в следующей главе.
/>/>/>/>/>/>/>2.Гистерезисный СВЧ СКВИД/>/>/>/>/>/>/>2.1Теоретические сведения
Гистерезисный СВЧ сверхпроводящийквантовый интерферометр (СКВИД) состоит из сверхпроводящего кольца, замкнутого джозефсоновскимпереходом и индуктивно связанного с ним СВЧ резонатора с собственной частотой ω0.Через этот контур пропускается переменный ток «накачки» с частотой ω=ω0.
/>
Рис.6. Схема кольца СКВИДа, индуктивносвязанного с СВЧ резонатором.
Принцип действия СКВИДа переменноготока прост: измеряемый поток Фх, наложенный на некоторый специальносозданный постоянный поток смещения ФB, изменяетсреднее значение фазы φ джозефсоновского перехода. Из-за нелинейностиперехода это изменение ведет к изменению амплитуды Vω переменного напряжения на контуре.Это изменение превращается в выходной сигнал V, который пропорционаленФх.
/>/>/>/>/>/>/>2.2Характеристики СВЧ СКВИДа
Флуктуационная динамика магнитногопотока в кольце СКВИДа, индуктивно связанного с резонатором, может быть описанаследующими уравнениями:
/> (26)
где /> Ф — захваченный поток,/>,Фm — измеряемый поток и ψ (t) — сигнал накачки, время нормированона характеристическую частоту СКВИДа /> /> - характеристическая частотаджозефсоновского контакта, ηr — коэффициентзатухания резонатора, aS и ar соответственно,коэффициенты связи кольца СКВИДа и резонатора и ω0= ωr/ωs безразмерная частотасигнала накачки.
Шумовой источник /> - белыйгауссовский шум:
/> (27)
где /> - безразмерная интенсивностьфлуктуаций.
Система уравнений (26) была решеначисленно методом Хюна, что позволяет найти вольт-амперную СВЧ характеристику и вольтполевую характеристику.
На Рис.7 изображена СВЧ вольт-ампернаяхарактеристика (т.е. зависимость амплитуды напряжения на резонаторе /> от амплитуды СВЧ тока a, при различных значениях измеряемого магнитногополя />=0, π/2, π) для случая низкойчастоты накачки /> = 0.01, при l = 3, /> = 0.01,/>=/>=/>. Как видно из графика, для случая γ = 0 награфике существуют ступеньки, и они практически вертикальны. При γ =0.01 и γ = 0.03 ступенька становятся наклонными и расположены левеекривых γ = 0.
/>
Рис.7. Вольт-амперная характеристикаСВЧ гистерезисного СКВИДа для
/> = 0.01; сплошная линия- γ = 0, серая линия γ = 0.01, пунктирная γ = 0.03.
Вольт-полевая характеристика длятех же параметров и a = 0.47представлена на Рис.8. Видно, что при увеличении интенсивности шума γ соответствующиекривые опускаются вниз и их края закругляются.
v
Ф />
Рис.8. Вольт-полевая характеристикаСВЧ гистерезисного СКВИДа для
/> = 0.01; сплошная линия- γ = 0, серая линия γ = 0.01, пунктирная γ = 0.03, кругами γ= 1
К счастью, при увеличении частотынакачки ситуация существенно изменяется и при /> = 0.3, точки пересечения движутсяк середине плато и для разных γ сближаются. Видно, что существует широкаяобласть 0.7 ,для того, чтобы сместить рабочую точку в данную область, и измерения проводить сучетом добавленного потока.
Ф
v />
Рис.9. Вольт-полевая характеристикаСВЧ гистерезисного СКВИДа для
/> = 0.3; сплошная линия — γ = 0, серая линия γ = 0.01, пунктирная γ = 0.03, кругами γ= 1
Измеряемый слабый поток Фхизменяет приложенный к СКВИДу внешний поток Ф = ФB+ Фх и тем самым меняет напряжение на контуре на малую величину/>, />, которая и служит выходным сигналом СКВИДа. ЧувствительностьСКВИДа можно характеризовать такой величиной (Фх) min, при которой выходной сигнал равен среднеквадратичному значению её суммарноговыходного шума:
/> (28)
где под /> понимают спектральнуюплотность шума />. Таким образом, мы можем сказать,что мера выходного шума СКВИДа обратно пропорциональна передаточной характеристике│Н│max.
На Рис.10 показана зависимостьпередаточной характеристики гистерезисного СКВИДа от шума. Видно, что при увеличенииинтенсивности шума γ, почти ступенчатая функция становится квазисинусоидальной,а максимум модуля передаточной характеристики уменьшается. │Н│max соответствует серединелинейного участка вольт-полевой характеристики.
/>
Рис.10. Передаточная характеристикаСВЧ СКВИДа. Пунктирная линия — γ = 0.03, сплошная — γ = 0.8
На Рис.11 показана зависимостьвыходного шума СКВИДа от интенсивности флуктуаций на входе интерферометра. Видно,что в пределах малых шумов увеличение флуктуаций тока на входе линейно увеличиваетшумовые характеристики на выходе прибора. На участке γ > 0.5, наблюдаетсярезкий рост выходного шума.
/>
Рис.11. Обратная функция передачиСВЧ СКВИДа от интенсивности флуктуаций на входе интерферометра
Хорошо известно [6], что наклонсигнальной характеристики гистерезисного СВЧ СКВИДа H растет с увеличением частоты накачки. На Рис.12 показанаэта зависимость для частот /> = 0.3, /> = 0.01, /> = 0.5 и шума γ= 0.3. Таким образом, мы находим, что частота накачки /> = 0.3 приближает работуприбора к минимуму ошибки измерения (Рис.13). Подобный результат, используя другуюхарактеристику — отношение сигнал / шум, был получен в работе [7].
/>
Рис.12. Передаточная характеристика.Красная линия — /> = 0.01, черная линия — /> = 0.3,синяя — />= 0.5.
/>
Рис.13. Обратная функцияпередачи СВЧ СКВИДа от частоты накачки />
/>/>/>/>/>/>/>3.СКВИД постоянного тока/>/>/>/>/>/>/>3.1Теоретические сведения
На Рис.14 представлена базиснаясхема двухконтактного интерферометра. Здесь сигнал с датчика можно снимать и напостоянном токе, и поэтому такие СКВИДы часто называют СКВИДами постоянного тока.
/>
Рис.14. Базисная схемадвухконтактного интерферометра.
В двухконтактном интерферометрезадается ток />, лишь немного превышающий критическоезначение />. При этом на интерферометре возникаетпостоянное напряжение />, которое поступает на усилитель. Измеряемыйслабый поток /> изменяет приложенный к СКВИДу внешнийпоток /> и тем самым меняет напряжение на интерферометрена малую величину />, которая, после усиления и пропусканиячерез фильтр низких частот с полосой />, и служит выходным сигналом СКВИДа.
/>/>/>/>/>/>/>3.2Характеристики СКВИДа постоянного тока
Флуктуационная динамика магнитногопотока в кольце двухконтактного СКВИДа, может быть описана следующими уравнениями[8]:
/> (29)
где /> - разность фаз параметрапорядка джозефсоновских переходов, Ф — захваченный поток, />, Фm — измеряемый поток, время нормировано на характеристическую частоту джозефсоновскогоконтакта />.
Шумовой источник /> - белыйгауссовский шум:
/> (30)
где /> - безразмерная интенсивностьфлуктуаций.
Система уравнений (29) была решеначисленно методом Хюна [9], что позволяет найти вольт-амперную и вольт-полевую характеристикидвухконтактного интерферометра.
На Рис.15 изображена вольт-ампернаяхарактеристика (т.е. зависимость напряжения на СКВИДе /> от тока i, при различных значениях измеряемого магнитного поля />=0, π/2,π/4) при l = 3.Как видно из графика, при увеличении интенсивности шума γ, ступенькана ВАХ опускается и сглаживается.
/>
Рис.15. Вольт-ампернаяхарактеристика СКВИДа постоянного тока сплошная линия — γ = 0, пунктирная линияγ = 0.01, серая линия γ = 0.03.
Вольт-полевая характеристика длятех же параметров и i = 2.1представлена на Рис.16. Видно, что при увеличении интенсивности шума γ соответствующиекривые поднимаются вверх и амплитуда колебаний уменьшается.
/>
Рис.16. Вольт-полеваяхарактеристика двухконтактного СКВИДа; сплошная линия — γ = 0, пунктирная линияγ = 0.01, серая γ = 0.03, кругами γ = 0.7
Обратимся к характеристикам выходногошума СКВИДА (Рис.17.).
/>
Рис.17. Передаточная характеристика.Черная линия — γ = 0.3, зеленая линия — γ = 1.
На Рис.18. показано, как с увеличениеминтенсивности входного гауссовского шума уменьшается чувствительность СКВИДа [10],увеличивается влияние флуктуаций на выходные характеристики двухконтактного интерферометра.Из графика видно, что в пределах малых шумов увеличение флуктуаций тока на входелинейно увеличивает шумовые характеристики на выходе прибора. На участке γ> 0.5, наблюдается резкий рост выходного шума.
/>
Рис.18. Обратная функцияпередачи СКВИДа постоянного тока от интенсивности флуктуаций на входе интерферометра
/>/>/>/>/>/>/>4.Считывание информационного сигнала с кубита/>4.1 Модель фазового кубита
В работе рассматривалась модель[11] с потенциальным полем /> (Рис. 19, сплошная линия) где/> -Джозефсоновская энергия, x — фаза, /> - нормированная индуктивность перехода,внешнее магнитное поле />.
/>
Рис. 19. Потенциал кубита. Сплошнаялиния — реальный потенциал. Пунктирная — потенциал с эффективным демпфированием.Вставка — форма импульса f(t)
В начальный момент времени внешнееполе имеет только постоянную компоненту aтакую, что влевой потенциальной яме помещаются два или более энергетических уровня. Таким образом,кубит будет находиться либо на нулевом, либо на первом уровне, что соответствуетбазисным состояниям |0ñ и |1ñ. Считывание состояния кубитапроисходит методом быстрого импульсного считывания сигналом амплитуды Aи различнойформы f(t) (Рис. 19). Во время импульса барьер уменьшается так, чтов яме остается только нижний уровень, а по окончании импульса в момент />, потенциалвозвращается в начальное состояние. Таким образом, если кубит находился на первомэнергетическом уровне, то после поданного импульса, кубит будет в правой потенциальнойяме. Если же базисное состояние кубита было |0ñ, тогда послесчитывания волновая функция измениться не должна.
Исследование проведено с помощьюкомпьютерного моделирования [12] уравнения Шредингера для волновой функции Ψ(x,t):
/>,(31)
где /> - обратная нормированнаяемкость контакта. Граничные условия /> задаются для далеко удаленных точек,слева и справа от ямы. Ошибка считывания с кубита Nбудет определяться суммой вероятностейP10 (не-туннелированиеиз состояния |1ñ по окончанию импульса) и P01 (туннелирование из состояния |0ñ), /> тогда как надежность /> Для предотвращенияошибки вторичного заселения из-за отсутствия демпфирования в нашей модели [13],введем эффективное демпфирование. Так как нас интересует только туннелирование излевой потенциальной ямы, изменим V(x,t) так, что вминимуме правой ямы потенциал не растет, а остается постоянным далеко по оси x.Тогда точки c и d для граничных условийбудут — 3 и 797 соответственно.
Для реальных систем быстрого импульсногосчитывания, возьмем значение длительности импульса />. Ясно, что эволюцияволновой функции, и, следовательно, ошибка считывания Nбудут зависетьот формы импульса, амплитуды импульса А, постоянной компоненты поля a, и емкости контакта D.Наша задача состоит в разработке метода оптимизации данных параметров для увеличениянадежности работы прибора. Особенностью квантовой системы является невозможностьиспользования прямоугольного импульса, который в классической системе дает минимальнуюшумовую ошибку. Использование меандра приводит к возбуждению системы, переходу наболее высокие уровни и туннелированию с них, что в свою очередь приводит к большойошибке. Рассмотрим компромиссные формы импульсов. 4.2 Параметры системы
Рассмотрим различные формы импульсов:
1. Трапецоид, изменяющийся позакону /> в интервале /> (Рис. 20)
/>
Рис.20 Форма импульса
На Рис.21 показана зависимостьN(A) для постоянной амплитуды смещения a= 0.81 и различных значенийобратной емкости D. Видно, что зависимость имеет четкий минимум по амплитуде.Это объясняется квантовой природой системы. Так же можно заметить, что, подбираяD, мы можем менять минимум Nmin(A). Таким образом,минимум ошибки считывания Nmin(A,D) ≈ 0.036 при D = 1.15; A = 0.0285. Надежностьв этом случае />.
/>
Рис.21 Ошибка считывания N в зависимости отамплитуды импульса А для различных значений D; a= 0.81.
Аналогично, находим кривые с абсолютнымминимумом ошибки Nmin(A,D) для других значений a(для разных aзначение D,при котором достигается абсолютный минимум N, различно).На Рис.22 приведены кривые N(A) с минимальной ошибкой для различных a.
/>
Рис.22 Оптимальные кривые N от амплитуды импульсаА для различных значений D и a.
Таким образом, мы получили минимумN = 0.031/>для параметров:a= 0.77;D = 1.9;A = 0.0625.Видно, при уменьшении aувеличиваетсязначение амплитуды импульса A для техже D. Мы можем дать рекомендацию при известных параметрах aи D,где искать минимум N по А.Глубину потенциальной яме можно характеризовать количеством дискретных уровнейэнергии />. В приближении квантового гармоническогоосциллятора [14]:
/> (32)
где /> - глубина левой ямы, /> - частотаосцилляций. Здесь x — значениефазы в минимуме ямы. (зависит от формы ямы, от aи A),а /> -эффективная масса (/> — квант потока). Для оптимальногосчитывания нам необходимо, чтобы внешнее максимальное поле φ1меняло глубину ямы до значения /> чуть большего 1. Так, для a= 0.82 и D = 1.2 минимум находитсяв районе A = 0.0166…0.0236;а для a= 0.7и D = 2 минимум- в районе A = 0.131…0.139,что полностью подтверждается результатами численного счета.
2. Трапецоид, изменяющийся позакону /> в интервале /> (Рис.23)
/>
Рис.23 Форма импульса />.
На Рис.24 сплошной линией показаназависимость N(A) для разных Dи a= 0.81 (пунктирные линии — предыдущий импульс /> длятех же параметров).
/>
Рис.24. Зависимость N(A) для разныхD и a= 0.81. Сплошная линия — импульс формы />. Пунктирная- />
Как мы и предполагали, чем ближеформа импульса к прямоугольной, тем сильнее проявляется эффект осцилляций: наблюдаютсянесколько локальных минимумов N (для D = 1.1, N = 0.044; для D = 2.1, N = 0.045). Но поабсолютному значению, ошибка при данной форме импульса больше, чем для предыдущегослучая.
3. Трапецоид, изменяющийся позакону /> в интервале /> (более узкаяполка по сравнению с предыдущими импульсами), Рис.25.
/>
Рис.25 Форма импульса
Используя разработанный метод,находим кривые с абсолютным минимум ошибки Nmin(A,D) для различныхзначений a. На Рис.26сплошной линией показана зависимость N(A) для импульса />.(пунктирные линии — импульс /> с длинной полкой для тех же a, но своих наилучших параметровD).
/>
Рис.26. Зависимость N(A) для разныхD и a. Сплошная линия — импульс/>,пунктирная — />
Так, если для /> сдлинной полкой минимум N = 0.031соответствовал параметрам a= 0.77;D = 1.9То для />, минимум смещается в сторону уменьшенияaи увеличенияA: N ≈0.034 для параметров: a= 0.7;D = 3.2;A = 0.126.
4. Для более широкого импульса(Рис.27) эволюция кривых N(A) для разных Dи aтакая же, как и для импульса /> (Рис.28),но значение ошибки Nmin(a,A,D) больше: N ≈ 0.033 (a= 0.76; D = 2.8; A = 0.065).
/>
Рис.27 Форма импульса
/>
Рис.28. Зависимость N(A) для разныхD и a. Сплошная линия — импульс/>,пунктирная — />
Таким образом, удалось разработатьметодику поиска оптимальных параметров считывания информационного сигнала с кубитаметодом быстрого единичного импульса с заданной длительностью и понизить ошибкудо 0.031 (то есть увеличить надежность почти до 97%).
/>/>/>/>/>/>/>Заключение
В работе рассматривался логическийэлемент квантового компьютера на основе джозефсоновских контактов. Кубит рассматривалсякак отдельные составляющие: сверхпроводящее кольцо, замкнутое джозефсоновским переходоми чувствительный датчик магнитного потока. Были исследованы модели СВЧ гистерезисногоСКВИДа и СКВИДа постоянного тока при учете тепловых флуктуаций. Численно полученыосновные зависимости СКВИДов, построены графики вольт-амперной и вольт-полевой характеристик.Изучено влияние флуктуаций на выходные характеристики приборов. В частности, построеныграфики передаточной характеристики и меры выходного шума в зависимости от интенсивностифлуктуаций тока на входе прибора. Из графиков видно, что в пределах малых шумовувеличение флуктуаций тока на входе линейно увеличивает шумовые характеристики навыходе прибора. На участке γ > 0.5, наблюдается резкий рост выходногошума.
Для СВЧ гистерезисного СКВИДанайдена область вольт-полевой характеристики, слабо зависящей от интенсивности шума,показано, что частота накачки /> = 0.3 приближает работу прибора кминимуму ошибки измерения магнитного потока. Данные выводы хорошо согласуются срезультатами других авторов. Следует отметить, что использованный нами подход дляулучшения характеристик СВЧ гистерезисного СКВИДа является более универсальным таккак легко может быть проверен на практике.
Изучен режим считывания информационногосигнала с кубита методом быстрого одиночного импульсного считывания в модели с учетомошибки туннелирования и введенным эффективным демпфированием. Получен алгоритм выборапараметров системы для заданной длительности импульса. В частности, для импульса/> удалосьпонизить ошибку до 0.031 (то есть увеличить надежность считывания почти до 97%).
Все результаты работы в целомпозволяют снизить влияние шумов на работу прибора и могут быть использованы дляреальных экспериментов по измерению и считыванию сигналов с квантовых битов.
/>/>/>/>/>/>/>Списоклитературы
1. Гольцман Г.Н. Эффекты Джозефсона в сверхпроводниках. — Соросовский образовательныйжурнал, т.6., №4, 2000, стр.96-102.
2. Лихарев К.К. Введение в динамику джозефсоновских переходов — Москва: Наука,1985.
3. Ustinov A. V. High-contrast readout of superconductingqubits beyond the single-shot resolution limit // Applied physics letters 2000.V.15. P.218-314
4. Castellano M. G. et. al. Magnetic field dependenceof thermal excitation in Josephson junctions // IEEE Transactions on appliedsuperconductivity. 1997. V.7. P.2430-2433.
5. Voss R. F. Macroscopic quantum tunneling in 1 — μmNb Josephson Junctions // Physical Review Letters 1991. V.47, 265-268.
6. Barone, A. Physics and Applications of the JosepsonEffect // New York: Wiley, 1982. — p.551.
7. Pankratov A. L. Optimal pump frequency for ac hystereticSQUID // Physical Review 2003. V.68, 024503-024507.
8. Braginski A.I. Progress in understanding of high-transitiontemperature SQUIDs. Physica 2000. V.4. P.341-348.
9. Mannela R. Integration of stochastic differentialequations on a computer // Applied physics letters 1988. V.5. P.218-232.
10. Koelle D. High-transition-temperature SQUIDs — TRW// Electronics & Technology Division. 1999. V.71. P.631-686.
11. Pankratov A. L., Gavrilov A. S. Optimal fast single-pulsereadout of qubits. // Physical Review B. 2010. V.81. P.052501-1-4.
12. Press W. Numerical Recipes in C. // Cambridge University2002.
13. Kofman G. Theoretical analysis of measurement crosstalkfor coupled Josephson phase qubits. // Physical Review B. 2007. V.7. P.524--541
14. Kofman G. Analysis of measurement errors for a superconductingphase qubit. // Physical Review B. 2006. V.4. P.214518-1-214518-14.