Содержание
Вступление
Стационарное движение жидкости междудвумя бесконечными неподвижными пластинами
Стационарное движение жидкости междудвумя бесконечными пластинами, двигающимися относительно друг друга.
Выводы
Литература
Вступление.
Всем известно, чтотепловое движение существенно сказывается на результатах большого числафизических явлений. Теоретическое описание во всех случаях можно провести спомощью метода временных корреляционных функций молекулярных переменных. Точныйрасчёт не возможен из-за трудности описания систем с большим числом частиц.Поэтому анализ опытных данных описывают чаще всего на модельных представлениях.
Было подтверждено наличиеколлективных движений атомов жидкости. Коллективный характер дальнодействующихкорреляций ярко проявляется в степенном убывании временной корреляционнойфункции их скорости. Этот результат стимулировал большой поток работ поисследованию долгоживущих корреляций в неупорядоченных системах и их проявленийв кинетических процессах.
В настоящее времянакоплен большой экспериментальный материал, который убедительно показывает,что реологические свойства жидкостей в микро- и макрообъемах могут существенноразличаться. Многочисленные эксперименты свидетельствуют о том, что сдвиговаявязкость некоторых жидкостей μ, вычисленная из экспериментальных данных поформулам классической гидродинамики Навье-Стокса, теряет смысл материальнойпостоянной вблизи твердой поверхности. Она становится эффективной величиной μе,зависящей от расстояния до стенки и стремится при его уменьшении к конечномупределу – граничной вязкости, которая является материальной характеристикойданной пары жидкость-поверхность и может в несколько раз отличаться от стенки (вобъеме).
Многочисленныеэксперименты говорят о том, что около твердой поверхности изменяется структуражидкости (плотность, упаковка и ориентация молекул) и вращательная подвижностьмолекул жидкости. Под действием сил межмолекулярного взаимодействия вблизитвердой поверхности образуется граничный слой ориентированных молекул жидкости,который отделен от твердой поверхности еще одним сверхтонким твердоподобным слоемжидкости, толщина которого ~ 10–3 микрона. Здесь жидкость теряет текучестьи приобретает свойства пластичности и упругости. Границы между слоями плавные,но характерные толщины определяются из опыта. Более подробно описано в работе[4].
Феноменологическоеописание теплового движения жидкости, состоящей из несферических молекул, и изучениеспектрального состава рассеянного света было выполнено М. Леонтовичем [7]. Втеории предполагается, что состояние жидкости в любой ее точке можно описатьнабором обычных гидродинамических переменных (плотность, давление, температураи скорость) и тензором анизотропии, который характеризуется отклонением осейанизотропных молекул элемента объёма жидкости от изотропного распределения.
Молекулы, которыесовершают в жидкости вращательное движение, характеризуются тензором моментовинерции. Поэтому вводят локальный тензор инерции элемента объёма. В равновесномсостоянии тензор инерции имеет некоторое значение, которое может зависеть отдавления и температуры. Если давление и температура изменяются, то новоеравновесное значение тензора моментов инерции достигается не мгновенно, а поэтомуего можно рассматривать как независимую переменную, определяющую состояниежидкости. Отклонение этого тензора от равновесного значения должно эффектноописывать механическую анизотропию жидкости [7].
В настоящей работе будетпоставлена задача о стационарном движении жидкости, в которой наряду слокальной скоростью движения u(r,t) учитывается и тензор моментов инерции Iab(r,t), и будут найдены решения некоторых задач. Этиуравнения могут быть использованы для исследования корреляционной функциифлуктуаций тензора моментов инерции жидкой частицы в лагранжевой формулировкеуравнений гидродинамики. Такая корреляционная функция являетсягидродинамическим аналогом молекулярной корреляционной функции, котораяиспользуется для описания опытов по деполяризированному рассеянию света и т.п.,а также нужна для анализа механизма поворотных тепловых движений анизотропныхмолекул в жидкости.
Расширенная системагидродинамических уравнений в работе [5] имеет вид:
/>
Систему замыкаютуравнения непрерывности, роста энтропии и уравнение состояния:
/>
Независимыефеноменологические коэффициенты η1, ζ1, η3,μ1 – коэффициенты первой, второй и третьей (вращательной )вязкости и коэффициент диффузии внутреннего момента те же, что и в [2]коэффициенты η2, η12, η21, μ2– новые, появившиеся из-за дополнительной гидродинамической переменной. Такжебудем считать, что все вязкости постоянные величины и не меняются вблизиповерхности.
В движении жидкости будемучитывать только влияние наличия тензора момента инерции />:
/> (1)
Мы будем рассматриватьстационарное движение жидкости при постоянной температуре. Тогда, если учесть,что /> – коэффициент диффузии тензорнойвеличины/>, />, />, получим:
/> (2)
/>Стационарноедвижение жидкости между двумя бесконечными неподвижными пластинами.
Пусть пластины расположеннымина расстоянии 2а друг от друга.
Выберем начало координатмежду пластинами на расстоянии а от каждой.
Скорость жидкости должнаиметь вид: u= u(0,0,uz(x)), где />. Условие /> выполняется автоматически. Будем считать, что всистеме поддерживается постоянный градиент давления: />. Видно, что из всехкомпонент тензора момента инерции остаётся всего одна ненулевая />. Система уравнений,описывающая стационарное состояние нашей системы имеет вид:
/> (3)
Третье и четвертое уравнения есть краевые условия дляскорости и тензора момента инерции, где α и β –некоторые постоянные величины.
Продифференцируем второе уравнение по xи подставим вместо второй производной скорости её выражение из первого уравнения:
/> (3а)
Введем вектор дивергенции избыточной части тензораинерции, как qz:
/>, (4)
тогда уравнение (3а) примет вид
/> (5)
Произведем замены: />; />; /> (6)
и (5) примет вид: /> (7)
Решение однородной части является комбинациягиперболических синуса и косинуса. Учет неоднородности дает: />, (8)
где С1 и С2 – константыинтегрирования.
Подставим (8) в первое уравнение системы (3) и вводяобозначение /> находим скорость uz:
/> (9)
/> (10)
/>, (11)
где К1 и К2 – константы интегрирования.
Подставим (10) во второе уравнение системы (3):
/> (12)
Решение: />, (13)
где М1 и М2 –константыинтегрирования.
Если подставить (13) в первое уравнение системы (3) томожно убедиться, что М1 = М2 = 0.
Для простоты введём обозначение: /> (14)
Теперь систему (3) перепишем:
/> (15)
Используем краевые условия для скорости:
/>/> /> (16.1)
/> /> (16.2)
и для тензора момента инерции:
/> /> (16.3)
/>/>/> 16.4)
Прибавив и отняв (16.1) и (16.2), (16.3) и (16.4), получимсистему для четырёх неизвестных констант интегрирования:
/> (17)
/> (18)
Из четвертого уравнения системы (18) /> (19)
Третье уравнение системы (18):
/>
/>/> />
Обозначим />, (20)
Тогда все неизвестные константы находим из системы:
/> (21)
Теперь, если будем считать, что нет градиента давленияили он равен нулю, то есть нет причины, которая вызывает движение жидкости, товсе константы равны нулю и соответственно uz(x)=0 и δIab(x)=0. Этого и требовалось ожидать.
Рассчитаем расход вещества, то есть количествовещества, проходящее через поперечное сечение в форме квадрата со стороной 2аза единицу времени:
/>
Расход жидкости в классическом случае через тоже поперечное сечение, то есть если не учитывать влияние тензора момента инерции,равен: />
/> (22)
То, что Q(δI=0)отрицательно, объясняется тем, что выбирая за положительное направлениескорости направление оси z, мы тем самым задаем отрицательный градиент давления.
Найдем отношение Q кQ(δI=0).
/>
Видно, что расход жидкости уменьшается, при наличиитензора момента инерции, что видимо связано с торможением жидкости из-завращения молекул.
Стационарное движение жидкости между двумябесконечными пластинами, двигающимися относительно друг друга.
/>Пусть пластины расположены на расстоянииа друг от друга. Выберем одну из пластин неподвижной, а вторую двигающейсяотносительно первой со скоростью V(a)=аГ.
Начало координат расположим на нижней неподвижнойплоскости.
Общее решение будет идентично с решение первой задачи.Здесь мы будем иметь другие граничные условия. Поэтому система уравнений, описывающаястационарное течение в нашем случае имеет вид:
/> (23)
Используем краевые условия, в результате чего получимновую систему:
/> (24)
Будем решать систему относительно констант К1и К2 из-за того, что некоторые слагаемые в этих константахизвестны заранее в стацинарной задаче без тензора момента инерции. Например,константа К1 предположительно имеет слагаемое равное Г.Поэтому система (24) принимает вид:
/>(25) Умножим третье уравнение на βА2и сделаем следующие замены:
/>, (26)
где К3 – дополнительная константа.
Константа Р0 в основном и естьрезультат, который был известен ранее, тоесть в случае без учета тензорамомента инерции.
В результате таких замен получим систему для К3и К2.
/> (27)
/> (28)
Далее выразим первоначальные константы:
/>(29)
Анализ поля скорости немного труден из-загромоздкости. Значительно интересен другая задача. Ограничимся стационарнымдвижением без наличия в системе градиента давления. Система (24) принимает вид:
/> (30)
И окончательно получим, при этом заменяя громаднуюдробь буквой J:
/> (31)
Посмотрим на вид поля скорости:
/>
Видно, что скорость содержит старый вклад плюснекоторая прибавка, которая появляется из-за влияния тензора момента инерции..
Какой точно вид имеет поле скорости и тензора моментаинерции зависит во многом от коэффициентов α и β, то есть отграничных условий для тензора момента инерции.
Нужно сказать, что в основном все вводимые константыне имеют физического смысла, а вводились лишь для простоты окончательного ответа.
Выводы.
В настоящей работе были найдены в общем виде решениянескольких задач. Получили, что поле скорости содержит старый вклад и новый,зависящий от коэффициента диффузии D, времени />, и новых вязкостей η12,η21. То есть зависит от наличия в системе тензора моментаинерции.
В капиллярных явлениях классические уравненияНавье-Стокса не дают правильных результатов, что было показано в рядеэкспериментов [4]. В капиллярных явлениях большую роль играет влияниеповерхности или твердой границы. Учет этих факторов в дальнейшем будет учтён иисследован.
Литература
1. С. де Гроот, П. Мазур,Неравновесная термодинамика, Москва, “Мир”,1964
2. M. Шлиомис. К гидродинамике жидкости с внутреннимвращением. ЖЭТФ, том 51, 1966, с. 258-265.
3. Ю. Каган, Л.А. Максимов, О полнойсистеме гидродинамических уравнений для газов с вращательными степенямисвободы, ЖЭТФ, Т.59, выпуск № 6(12), 1970.255-257
4. Э. Л. Аэро, Н. М. Бессонов, А.Н.Булыгин. Аномальные свойства жидкостей вблизи твердой поверхности имоментальная теория. Колодный журнал, том 60, № 4, 1998, с.446-453.
5. A.V. Zatovsky, A.V. Zvelindovsky. Hydrodynamicfluctuations of a liquid with anisotropic molecules.Physica A,V.298, № 1-2,237-254.
6. A. Perez-Madrid. J.M.Rubi and. J. Casas-Vazques. On Brownian in fluids with spin. Physica 119A(1983)212-229
7. V.A. Leontovich,J.Phys. USSR 4 (1941) 499