ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ1 год, 3 курс, отделение математики 1. Предмет функционального анализа. Основные этапы развития. Связь с другими разделами математики и естественно-научными дисциплинами. 2. Гильбертово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные системы. Неравенство Бесселя. Ортогонализация. Базисы. Теорема об изоморфизме. 3. Теорема об ортогональном дополнении. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. 4. Метрические пространства и их пополнения. Нормированные пространства. Полинормированные линейные пространства. Топологические пространства. 5. Компактность, счётная компактность, полная ограниченность в топологических и метрических пространствах. 6. Критерий предкомпактности в пространствах , и . 7. Выпуклые и линейные непрерывные функционалы. Теорема о продолжении выпуклого функционала (теорема Хана-Банаха). 8. Сопряжённое пространство. Естественное вложение пространства во второе сопряжённое. Рефлексивные пространства. Слабая компактность единичного шара в сопряжённом пространстве. 9. Общий вид линейных непрерывных функционалов в пространствах , и 10. Линейные операторы. Норма оператора. Сопряжённые операторы. Принцип равномерной ограниченности. 11. Обратный оператор. Устойчивость обратимости. Теорема Банаха об обратном операторе. 12. Спектр и резольвента оператора. Аналитические свойства резольвенты. Непустота спектра. Формула для спектрального радиуса. 13. Спектр самосопряжённого оператора, принадлежность спектру крайних точек числового образа, совпадение спектрального радиуса с нормой. 14. Компактные операторы, теорема Рисса о спектре компактных операторов. Теорема Фредгольма. 15. Теорема Гильберта о компактных самосопряжённых операторах. 16. Функции от самосопряжённых операторов. Спектральная теорема для самосопряжённых операторов. 17. Унитарные операторы. Оператор Фурье. Теорема Планшереля. 18. Пространства основных функций , , как полинормированные пространства. Плотность в . 19. Обобщённые функции и операции над ними. Регулярные и сингулярные обобщённые функции. Примеры. 20. Теоремы о представлении функций из и . 21. Преобразование Фурье основных и обобщённых функций. Прямое произведение и свёртка обобщённых функций.Литература 1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981, 1989.2. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М., Наука,1979.3. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М., Наука, 1979, 1988.Дополнительная литература 1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., Наука,1979.2. Рисс Ф., Сëкефальви-Дадь Б. Лекции по функциональному анализу. М., Мир, 1979.