БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТВыпускная работа по«Основам информационных технологий» Магистранткафедры функционального анализа Жук Анастасия Игоревна Руководители: доцент Олег Леонидович Яблонский, ст. преподаватель Кожич Павел Павлович Минск – 2008 г. Оглавление Оглавление 2 Список обозначений ко всей выпускной работе 3 Реферат на тему «Анализ эффективности применения современных ИТ при решении дифференциальных уравнений» 4 Введение 4 Глава 1 (обзор литературы) 5 Глава 2 (методика исследования) 5 Глава 3 (основные результаты) 5 Возможности системы Mathematica 6 Возможности системы Maple 10 Некоторые примеры применения средств пакета Mathematica при решении дифференциальных уравнений 14 Глава 4 (обсуждение результатов) 17 Заключение 17 Список литературы к реферату 18 Предметный указатель к реферату 19 Интернет ресурсы в предметной области исследования 20 Действующий личный сайт в WWW 21 Граф научных интересов 22 Презентация магистерской диссертации 23 Список литературы к выпускной работе 25 Приложения 26 ^ Список обозначений ко всей выпускной работе ДУ Дифференциальные уравненияИТ Информационные технологииОДУ Обыкновенные дифференциальные уравнения^ Реферат на тему «Анализ эффективности применения современных ИТ при решении дифференциальных уравнений» Введение Процессы информатизации современного общества, свидетелями которых мы сегодня являемся, характеризуются совершенствованием и распространением информационных технологий во многие сферы человеческой деятельности, и особенно в науку. Как известно, обыкновенные дифференциальные уравнения широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью однородных дифференциальных уравнений. В процессе решения ОДУ преодолеваются следующие математические трудности: дифференцирование и интегрирование громоздких математических выражений, включая интегральные уравнения, применение приближенных методов решения и т.д. На это тратится много времени, есть вероятность сделать ошибку в вычислениях, которая может привести к неверному результату и ошибочным выводам. Использование компьютерных математических пакетов, например Maple, Mathematica, Matlab, MathCad и другие, позволяет: расширить диапазон реальных приложений;для наглядного анализа строить графики сложных функций и поверхностей, с помощью которых, например, оцениваются решения ОДУ, что существенно облегчает их анализ;находить решения различных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений;сочетать профессиональную направленность, научность, системность, наглядность, интерактивность, межпредметные связи при решении ОДУ;находить аналитические и приближенные решения для некоторых ОДУ.Целью данной работы является ответ на ряд наиболее актуальных вопросов, связанных с применением ИТ при решении ДУ:какие компьютерные математические пакеты лучше всего использовать при решении ДУ;какие усовершенствования необходимы в этих системах для наиболее эффективного решения ДУ;какие дополнительные вычислительные возможности необходимо ввести для наиболее результативного применения ИТ в решении ДУ.^ Глава 1 (обзор литературы) Применения ИТ при решении ДУ это достаточно актуальный вопрос в наше время. По этой причине многие авторы посвятили свои работы именно этой тематике. Например, книга Тарасевич Ю.Ю. «Информационные технологии в математике» рассматривает вопросы, касающиеся решения математических задач с использованием пакетов Maple и MathCad, подготовки математических и естественнонаучных текстов с использованием издательской системы LaTeX. Так же в книге приводятся необходимые сведения по численным методам. Отдельная глава посвящена решению ДУ, в которой описываются различные методы решения ОДУ и уравнений в частных производных. Книга снабжена упражнениями и контрольными заданиями к каждой главе. В книге В. Гандера, И. Гржебичека «Решение задач в научных вычислениях с применением Maple и Matlab» представлена подборка интересных задач, иллюстрирующих некоторые приемы решения в научно-технических вычислениях. Техника решения каждой задачи обсуждается и демонстрируется с применением Maple или Matlab. Примеры представлены так, чтобы читатель мог легко расширить приемы в отношении более трудных задач. Книга учит способам решения на примере реальных сложных задач.В книге Голоскокова Д. П. «Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple» непосредственно рассказывается о способах решения различных видов ДУ, приводятся подробно разобранные примеры решения ДУ и их систем, даются некоторые комментарии и советы. Внимательно ознакомившись с найденной литературой, можно сделать вывод, что ни в одной из книг не был проведен анализ эффективности применения ИТ при решении ДУ, по этой причине основными задачами реферата являются:поиск наиболее эффективного символьного пакета для решения ДУ;анализ символьных математических пакетов;поиск необходимых усовершенствований в математических символьных пакетах для наиболее эффективного решения ДУ. ^ Глава 2 (методика исследования) В реферате наряду с общими методами теории познания (индукция, дедукция, анализ, синтез) использовались классические методы теории дифференциальных уравнений. ^ Глава 3 (основные результаты) Длительная эволюция применения компьютеров для численных расчетов привела к развитию методов компьютерного моделирования и вычислительного эксперимента. Активное использование компьютеров для проведения символьных и графических вычислений, освобождающее исследователя от проведения трудоемких и чреватых ошибкам преобразований и существенно сокращает время реализации научных и технических проектов. Развитие компьютерных телекоммуникаций позволяет получать доступ к таким информационным и вычислительными ресурсам, которыми ранее располагали только крупные научные организации.Существует целый ряд систем высокого уровня, среди которых Mathematica, Maple, MathCad, Mathlab и др., позволяющих решать различные математические задачи. Однако самыми распространенными в мире системами высокого уровня являются системы Mathematica и Maple. Дело в том, что MathCad и Mathlab занимают совсем другое положение, нежели Mathematica и Maple. Оба при вычислении используют численные алгоритмы, а не символьные. Символьные вычисления являются слабо развитыми (по сравнению c пакетами символьных вычислений) дополнениями1. По этой причине остановимся на описании пакетов Mathematica и Maple.^ Возможности системы Mathematica Дифференциальные уравнения широко используются в практике математических вычислений. Они являются основой при решении задач моделирования — особенно в динамике. Немногие математические системы имеют реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений. Но система Mathematica имеет средства как для символьного, так и для численного решения дифференциальных уравнений и их систем. Для решения дифференциальных уравнений в символьном виде используются следующие средства: DSolve[eqn, y[x], х] – решает дифференциальное уравнение относительно функций у[ х ] с независимой переменной х; DSolve[{eqnl, eqn2,...}, {yl [xl,...],...}, {xl,...}] – решает систему дифференциальных уравнений. У функции DSolve и ее численного варианта NDSolve есть пара опций, на которые следует обратить внимание: DSolveConstants – опция к DSolve, определяющая постоянные интегрирования, которые будут использованы в результате; StartingStepSize – опция к NDSolve, определяющая величину начального шага. В решении дифференциальных уравнений встречаются постоянные интегрирования. По умолчанию они обозначаются как С[ i ].Как нетрудно заметить, аналитические решения дифференциальных уравнений могут содержать не только элементарные, но и специальные математические функции, что заметно расширяет возможности применения системы Mathematica в решении задач динамического моделирования.Многие дифференциальные уравнения не имеют аналитических решений – например, нелинейные. Однако они могут с приемлемой точностью решаться численными методами. Для численного решения систем дифференциальных уравнений используется функция NDSolve: NDSolve [eqns, у, {x, xmin, xmax }] – ищет численное решение дифференциальных уравнений .eqns относительно функции у независимой переменной х в интервале от xmin до xmax; NDSolve [eqns, {yl, y2,...}, {x, xmin, xmax }] – ищет численные решения относительно функций yi. MaxSteps — опция к NDSolve, которая определяет максимальное количество шагов.Часто весьма желательно выводить результаты решения дифференциальных уравнений в графической форме. Рисунок 1 поясняет, как это делается при решении системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих достаточно сложный колебательный процесс. Нередко решение предпочитают представить на фазовой плоскости. Рисунок 2 иллюстрирует такую возможность. Более того, поскольку решается система из трех дифференциальных уравнений, фазовая траектория решения находится в трехмерном пространстве. Простота задания решения и вывода его результатов в графической форме открывает широкие возможности применения системы для математического моделирования сложных явлений. При этом, в отличие от такого решения с помощью обычных языков высокого уровня (например, Фортран, Бейсик, Паскаль или С), не требуется составления каких-либо программ по реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений, таких как, скажем, метод Рунге – Кутта. Они представлены в виде уже готовых функций. Рисунок 1. Решение системы дифференциальных уравнений с выводом решения в виде графиков временных зависимостей. Рисунок 2. Решение системы дифференциальных уравнений с выводом решения в форме кривых на фазовых плоскостях.Средства пакета Mathematica дают возможность построить поле направлений различных ДУ и провести несколько интегральных кривых, обращая внимание на их взаимное расположение. Результат решения этой задачи для ДУ отображает рисунок2 3.Рисунок 3.Функция DSolve легко решает ДУ с постоянными коэффициентами, многие ДУ высших порядков, решения которых выражаются через специальные функции, но для остальных классов ДУ это функция не применима. Не во всех случаях дает желаемый результат и функция NDSolve, для этого входной язык Mathematica содержит большое количество конструкций, позволяющих для каждой конкретной задачи выбрать оптимальный метод программирования. Помимо обычного процедурного программирования с применением условных переходов и операторов цикла, имеется еще несколько методов3:основанный на операциях со списками (list-based); этот метод использует особенности универсального объекта программы - списка выражений, с которыми можно производить математические операции, как с алгебраическими выражениями, при этом заданные операции выполняются всеми элементами списка; основанный на операциях над строками (string-based); функционального программирования (functional programming), позволяющий создавать сложные функции и последовательности вложенных функций; на базе правил преобразования выражений (rule-based); объектно-ориентированный (object-oriented).Конечно же, для пользователей, которые испытывают некоторые сложности в программирование, это вызывает ряд неудобств. В связи с этим возникает желание появления дополнительных функций, которые бы позволили избежать самостоятельного программирования. Необходимо так же отметить, что Mathematica имеет не только удобный графический интерфейс, но и развитую помощь, включающую помимо примеров, полное описание программы в гипертекстовом формате. Так же этот символьный пакет имеет высокую скорость и практически не ограниченную точность вычислений, что позволяет ему работать как на очень мощных компьютерах, так и не очень сильных персональных компьютерах.^ Возможности системы Maple Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Maple. Пакет DEtools предоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями. Этот пакет дает самые изысканные средства для аналитического и численного решения дифференциальных уравнений и систем с ними. Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть в системe Maple:DEnormal — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений; DEplot — строит графики решения дифференциальных уравнений; DEplot3d — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений; Dchangevar — изменение переменных в дифференциальных уравнениях; PDEchangecoords — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных; PDEpTot — построение графиков решения дифференциальных уравнений в частных производных; autonomous — тестирует дифференциальные уравнения на автономность; convertAlg — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений; convertsys — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнений; dfieldplot — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля; indicialeq — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные; phaseportrait — строит график решения дифференциальных уравнений в форме фазового портрета; reduceOrder — понижает порядок дифференциальных уравнений; regularsp — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка; translate — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов; untranslate — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения; varparam — находит общее решение дифференциальных уравнений методом вариации параметров.Как известно, численное решение дифференциальных уравнений можно получить используя различные методы (метод Рунге – Кутта, Гира, метод разложения в ряд Тейлора и т. д.). Обилие используемых методов расширяет возможности решения дифференциальных уравнений в численном виде, Maple реализует адаптируемые к ходу решения методы, при которых шаг решения h автоматически меняется, подстраиваясь под условия решения. Более того, система Maple способна автоматически выбирать наиболее подходящий для решаемой задачи метод решения.Большинство нелинейных дифференциальных уравнений не имеет аналитического решения. Кроме того, часто аналитическое решение и не нужно, но требуется получить ответ в виде графических зависимостей. Для графического отображения Maple предлагает ряд возможностей. При этом используется функция plot[odeplot] из пакета odeplot, предназначенного для визуализации решений дифференциальных уравнений. Иногда решение системы из двух дифференциальных уравнений (или одного дифференциального уравнения второго порядка) представляется в виде фазового портрета. Обычное решение, как правило, более наглядно, чем фазовый портрет решения. Однако для специалистов (например, в теории колебаний) фазовый портрет порою дает больше информации, чем обычное решение. Он более трудоемок для построения, поэтому возможность Марle быстро строить фазовые портреты трудно переоценить.С помощью Maple можно получить решения, представленные в виде векторного поля рисунок 4, стрелки которого являются касательными к кривым решения (сами эти кривые не строятся). Рисунок 4. Решение системы дифференциальных уравнений Лотки –Вольтерра, с выводом в виде графика векторного поля.Графическая функция dfieldplot служит для построения поля направления с помощью векторов по результатам решения дифференциальных уравнений. Фактически эта функция как бы входит в функцию DEplot и при необходимости вызывается последней. Но она может использоваться и самостоятельно, что демонстрирует рисунок 5, на котором показан пример решения системы дифференциальных уравнений.Рисунок 5. Построение комбинированного графика с помощью функции PDEplot.В целом надо отметить, что возможности визуализации решений дифференциальных уравнений с помощью системы Maple весьма велики и приведенные выше примеры лишь частично иллюстрируют сказанное. В справочной системе можно найти ряд других весьма эффектных решений систем дифференциальных уравнений с визуализацией последних.Необходимо отметить, что система Maple не в силах разрешить сложные и, зачастую, нетривиальные преобразования промежуточных результатов (основанные, например, на исследовании асимптотического поведения функций). Так же использование рекуррентных соотношений для некоторых специальных функций пока недоступны средствам Maple4. Более того, при решении сложных задач требуется программирование отдельных этапов решения с последующим объединением промежуточных результатов, а также создания комплексов программ (например, при комплексном – аналитическом и численном решении уравнений и различных способах визуализации и интерпретации результатов).^ Некоторые примеры применения средств пакета Mathematica при решении дифференциальных уравнений Уравнение вида (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции . Это означает, что имеет место соотношение . Необходимым и достаточным условием того, что ДУ есть уравнение в полных дифференциалах, является справедливость соотношения (2). Если удалось найти функцию , полным дифференциалом которой является левая часть (1), то все решения уравнения (1) определяются равенством: (3). В общем интеграле (3) функция должна удовлетворять системе уравнений: (4).^ Пример. Решить ДУ .Решение. Здесь , . Проверим выполнение условия (2). Поскольку N в Математике обозначает встроенную функцию для преобразования точных чисел в приближенные, вместо N будем использовать обозначение N1.Поскольку условие (2) выполняется, pассматриваемое уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Функцию будем искать в виде:Чтобы найти неизвестную функцию , продифференцируем по и результат приравняем к .Полученное относительно уравнение легко интегрируется.Тогда общий интеграл рассматриваемого уравнения имеет вид:Произвольная постоянная автоматически появляется при интегрировании уравнения eq1.Функция называют интегрирующим множителем для уравнения если после умножения на эту функцию уравнение (1) становится уравнением в полных дифференциалах. Функция существует для уравнения (1), если функции и имеют непрерывные частные производные и одновременно не обращаются в нуль. Предположим, что существует интегрирующий множитель, зависящий только от одной переменной , т.е. . Тогда функция должна удовлетворять следующему соотношению:илиОтсюда получаем ДУ для определения :. (5)Пример. Решить ДУ Решение. Здесь , . Запишем уравнение (2) и найдем интегрирующий множитель.Далее, интегрируя соотношение , найдем функцию , дифференциалом которой является левая часть (1) после умножения на .Неизвестную функцию найдем из уравнения Тогда общий интеграл исходного уравнения имеет вид:Для проверки найденного решения продифференцируем уравнение и из полученного уравнения и исключим постоянную .Как видим, полученное уравнение совпадает с исходным.^ Глава 4 (обсуждение результатов) Как уже отмечалось, Mathematica и Maple – мощные программы аналитических и численных расчетов, которые использует идеологию интерактивных документов, включающих собственно программы, текст и графику. Так же эти символьные пакеты имеет удобный графический интерфейс и развитую помощь, включающую помимо примеров, полное описание программы в гипертекстовом формате. Огромное количество заложенных разработчиками функций, а также открытая среда, позволяющая дополнять пакет своими собственными расширениями, делает их возможности воистину безграничными. Но при более подробном анализе возможностей рассматриваемых символьных пакетов наблюдаются некоторые преимущества и недостатки. Например, по диапазону задач, выполняемых аналитически, Mathematica несколько отстает от программы Maple, однако, по диапазону и скорости выполнения численных задач во многих случаях превосходит ее благодаря использованию компилятора5. Программа Maple имеет более удобный интерфейс, в частности имеет широкие возможности для непосредственной настройки многих параметров построения графиков. Рассматриваемые символьные пакеты широко используются в качестве дополнения к другим приложениям, например, программа Maple – для выполнения расчетов в программах Scientific Word (программа Scientific WorkPlace) и Microsoft Word (MathOffice), а также в качестве инструмента аналитических расчетов в программах Matlab и MathCad. С другой стороны, программа Mathematica включает модуль MathLink, позволяющий подключать ее к интерфейсам других программ. Кроме того, в самой программе есть языковые возможности для самостоятельной организации взаимодействия Mathematica с другими программами6.Программы имеют электронную поддержку пользователей через Internet, которые могут получить информацию по новым статьям и книгам, по улучшенным версиям, новым функциям и приложениям. Однако программа Mathematica позволяет также создавать электронные публикации для Internet, а ее документы могут конвертироваться в формат HTML.Какой из пакетов выбрать? У каждого из них, как мы видим, есть свои преимущества и недостатки. Лучший выход – ознакомиться с возможностями каждого, чтобы в дальнейшем умело интегрировать их при решении различных задач. Заключение С помощью описываемых пакетов можно сэкономить массу времени и избежать многих ошибок при математических вычислениях. Естественно, системы не ограничиваются только этими возможностями. Отметим, что спектр задач, решаемых подобными системами, очень широк:проведение математических исследований, требующих вычислений и аналитических выкладок; разработка и анализ алгоритмов; математическое моделирование и компьютерный эксперимент; анализ и обработка данных; визуализация, научная и инженерная графика; разработка графических и расчетных приложений.При этом отметим, что поскольку исследуемые системы содержат операторы для базовых вычислений, то почти все алгоритмы, отсутствующие в стандартных функциях, можно реализовать посредством написания собственной программы Mathematica.Однако, в следствии того, что Mathematica и Maple требуют некоторых усовершенствований и для решения некоторой специфической задачи пользователю иногда необходимо интегрировать их, хотелось бы, чтобы была разработана программа, объединяющая все известные понятия и методы математики в единую универсальную систему. В идеале эта система должна представлять собой базу данных по всем существующим математическим понятиям, методам, доказательствам, решениям и алгоритмам; уметь для каждой конкретной задачи выбрать оптимальный метод решения, аналитический или численный; функционировать на любой вычислительной платформе. Такая идея, несмотря на всю свою амбициозность, весьма плодотворна, причем не только с чисто коммерческой точки зрения - увеличения количества потенциальных потребителей. Действительно, было бы очень удобно решать совершенно различные математические задачи, обращаясь к одной и той же системе. При этом отпадает необходимость в поиске и освоении новых программ. ^ Список литературы к реферату В. Гандер, И. Гржебичек. Решение задач в научных вычислениях с применением Maple и Matlab. М.: Вассамедина, 2005. – 520 с.Тарасевич Ю.Ю. Информационные технологии в математике. - М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 144 с.Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. СПб: Питер, 2004.– Режим доступа: http://www.matsoft.ru. – Дата доступа: 22.11.2008.– Режим доступа: http://www.exponenta.ru. – Дата доступа: 22.11.2008.– Режим доступа: http://www.wolfram.com. – Дата доступа: 22.11.2008.^ Предметный указатель к реферату M Maple 4, 5, 6, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 25 Mathematica 4, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 17, 18, 20 Matlab 4, 5, 17, 18, 25 а аналитическое решение 4, 7, 10, 11, 14 д дифференциальное уравнение 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 22 ^ Интернет ресурсы в предметной области исследования http://library.wolfram.com - здесь представлены различные пособия в формате ноутбук для начинающих. Здесь всегда можно выбрать наиболее подходящее для Вас. Также здесь собраны примеры использования программы Mathematica во взаимодействии с другими программами. Примеры разбиты на группы по областям применения.http://support.wolfram.com/ - здесь собраны ответы на часто встречающиеся вопросы по продукции Wolfram Research.http://documents.wolfram.com/flash/ - здесь собраны анимации, которые графически иллюстрируют некоторые встроенные функции программы Mathematica. Очень занимательный раздел. http://library.wolfram.com/conferences/ - здесь собраны материалы по всем конференциям, посвященным системе Mathematica.http://library.wolfram.com/graphics/ - здесь представлены различные двумерные, трехмерные графики, анимации, диаграммы и многое другое. http://www.exponenta.ru – очень полезный сайт для математиков. На сайте можно найти электронные книги, статьи по популярным математическим пакетам, ознакомиться с примерами их применения, получит новую информацию. Если вы пользователь одного из математических пакетов, вы можете обсудить свои проблемы на форуме, посвящённом этому пакету.http://elibrary.ru – научная электронная библиотека. Один из наиболее полезнейших источников информации.http://lib.mexmat.ru – в этом разделе можно посмотреть аннотации на различные книги, журналы и статьи. Существуют форумы по разным естественным дисциплинам, в том числе и по механике. На форуме можно обсудить имеющиеся у вас проблемы, посмотреть ссылки на литературу по интересующей теме. Сайт постоянно снабжается свежими новостями из мира науки.http://novamedium.infolib.mexmat.ru – здесь представлены исследования и разработки в естественных науках и образовательных технологиях. Решение типовых задач по различным разделам высшей и элементарной математики с помощью пакета Mathematica.http://vac.org.by – cайт Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь. Здесь собраны все нормативные акты, касающиеся оформления и защиты диссертаций. Сайт, без которого не может обойтись ни один научный деятель!http://www.mathnet.ru – общероссийский математический портал, предоставляющий российским и зарубежным математикам различные возможности в поиске информации о математической жизни в России.^ Действующий личный сайт в WWW http://aizhuk.narod.ru/ Граф научных интересов магистранта Жук А. И. механико-математический факультет Специальность математика Смежные специальности 01.01.02 – Дифференциальные уравнения 1. Обоснования численных методов решения дифференциальных уравнений. 2. Развитие теории уравнений в частных производных. ^ 01.01.05 – Теория вероятностей и математическая статистика 1. Случайные процессы и поля. 2. Предельные теоремы. 3. Последовательный анализ. ^ 01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел Логические и логико-математические языки, логические системы и логико-математические теории, теории моделей, алгоритмическая разрешимость логических и логико-математических теорий, теории множеств. ^ 01.01.07 – Вычислительная математика Теория приближенных методов и численных алгоритмов решения задач алгебры, дифференциальных и интегральных уравнений, задач дискретной математики, экстремальных задач, задач управления, некорректных задач других задач линейного, нелинейного и стохастического анализа. Основная специальность ^ 01.01.01 – математический анализ Теория функций действительного и комплексного переменного, обобщенные функции. Специальные функции и интегральные преобразования. Теория приближений и методы численного анализа. Вариационное исчисление и общая теория экстремальных задач. Сопутствующие специальности ^ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 1. Развитие качественных, аналитических, приближенных, численных и имитационных методов для подготовки и реализации этапов вычислительного эксперимента. 2. Развитие, обоснование и применение математических моделей для решения актуальных научных задач естествознания (физики, химии, биологии и др.), а также техники, медицины, экологии, экономик, социологии и других отраслей, рассмотрение вопросов точности, устойчивости и достоверности математического моделирования. 3. Разработка специализированных численных и имитационных методов с целью создания проблемно-ориентированных комплексов программ для решения актуальных научно- технических задач. ^ Презентация магистерской диссертации Смотреть презентацию на сайте Смотреть презентацию локально