АВТОР: В.А. Шлык Математическая логика___________________________________________________________________________________________ Введение1. Дедуктивный характер математикиМатематика представляет собой совокупность доказательств. Математики доказывают теоремы, то есть выводят следствия из определенных допущений. Основное средство доказательства — дедукция (от лат. deductio — выведение), что означает вывод по правилам логики, то есть построение такой цепи умозаключений (рассуждения), звенья которой (высказывания) связаны отношением логического следования. В широком смысле дедукция — такая форма мышления, когда новая мысль выводится по одному из законов логики из некоторых данных мыслей (посылок), которые могут быть либо аксиомами, либо ранее доказанными утверждениями. Последняя мысль рассуждения называется выводом или заключением. Как правило, математические доказательства являются дедуктивными умозаключениями, и, следовательно, математические теории имеют дедуктивный характер. Например, а b, b c a c (силлогизм) посылки заключение2. Доматематическая логикаЗаконы мышления, предмет изучения логики, законы проведения рассуждений перехода от одних утверждений к другим, вывода логических следствий устанавливались в древней Индии, Китае крупнейшими философами того времени, начиная с VI века до нашей эры. Их формирование происходило в ответ на требования астрономии и математики, они служили основой разрешения юридических и политических споров. Одновременно у древних народов создавались правила приведения их к истинным или ложным выводам. В развитии доматематической классической логики можно выделить 2 основных этапа: античная логика (~500 г. до н.э. - начало н.э.), схоластическая логика (начало н.э. - 1-я пол. XIX в.). В период античной логики были заложены основы классической логики. Парменид (~540 - 480 гг. до н.э.) впервые поставил вопрос о логическом обосновании чувственного мира.Платон (427 - 347 гг. до н.э.) разработал свою знаменитую теорию идей, в которой понятие признавалось основой суждения, а суждение — основным элементом мышления.Аристотель (384 - 322 гг. до н.э.) свел отдельные логические учения в систему. До наших дней дошло его большое, специально посвященное логике сочинение “Аналитики”. Позднее, в I в. до н.э. книги Аристотеля по логике были объединены в логический свод “Органон” (включающий книги “Категории”, “Об истолковании”, ”Аналитики” (1-я и 2-я), ”Топика”), что означает “орудие знаний”. Аристотель разработал теорию силлогизма и впервые в явном виде сформулировал два важнейших логических принципа классической логики:принцип непротиворечивости: логически противоположные друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. По Аристотелю: “Невозможно, чтобы одно и то же вместе было и не было присуще одному и тому же и в одном и том же отношении”; “Об одной и той же вещи, в одном и том же отношении нельзя одновременно и утверждать что-либо и отрицать” (например, «Петр — женатый холостяк»);принцип исключенного третьего: из любых двух логически противоположных высказываний одно высказывание истинно. По Аристотелю: “не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать”.Хрисипп (281 - 204 гг. до н.э.), глава философской школы стоиков, вместе со своими учениками разработал логику стоиков, явившуюся исторически первым вариантом логики высказываний. В ней использовались переменные для обозначения высказываний, правило вывода Modus Ponens, исследовались конъюнкция, дизъюнкция, импликация и другие логические отношения между высказываниями. В период схоластической логики исследуются философские основания классической логики, подчеркивается значение логики как науки о рациональном знании в противовес сверхрациональному знанию или мистическому откровению.Декарт (1596 - 1650 гг.) обосновывает тезис о том, что основой всякого знания является разум (“мыслю, следовательно, существую”), а главным методом познания логическая дедукция следствий из аксиом.^ Арно и Николь (~1620 - ~1695 гг.) создали логику Пор-Рояля, в рамках которой логика рассматривается как методология всех других наук и подразделялась на четыре части: учение о понятиях, учение о суждениях, учение об умозаключениях, учение о методах и правилах доказательства. Качественный скачок в развитии схоластической логики связан с именем Г.Лейбница (1646 - 1716 гг.).Он дал точную формулировку принципа тождества:любой объект тождественен, равен лишь самому себе, уникален, единственен; по Аристотелю: ”Всякое А есть А”(где А — некоторое имя); по Лейбницу: “^ В силу незаметных различий две индивидуальные вещи не могут быть совершенно тождественными”; По Больцано (1781 - 1848 гг.): “Во вселенной нет двух совершенно равных вещей, а следовательно, и двух совершенно равных атомов или простых субстанций”. Лейбниц впервые сформулировал принцип достаточного основания: любое истинное высказывание имеет достаточное основание, в силу которого оно истинно, а не ложно. По Лейбницу: “Ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение — справедливым без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе, хотя эти основания в большинстве случаев вовсе не могут быть нам известны”, “...все существующее имеет достаточное основание для своего существования”, ”ничто не происходит без причины, и должна быть причина, почему существует это, а не другое”, ... отсюда — Бог. Он также выдвинул тезис о сводимости математики к логике: все исходные математические понятия могут быть определены в терминах логики, а математические теоремы доказаны исключительно логическими средствами, — и тезис о возможности создания универсального логического языка. Античную и схоластическую логики, так как они опираются на содержательные представления и символические средства аристотелевской силлогистики, объединяют под общим названием традиционной (или аристотелевской) формальной логики. Есть ветви логики, не относящиеся к классической: модальная, многозначная, интуицианистская и др.Логика — наука об общезначимых формах рационального мышления, методах дедуктивной формализации содержательных теорий. Название «логика» происходит от греческого слова ^ Logos, что означает слово, понятие, рассуждение, разум. Доминирующая тема логики анализ правильных рассуждений, формализация законов и принципов, соблюдение которых является необходимым условием получения в процессе логического вывода истинных заключений из истинных посылок. Правильность рассуждения определяется только его логической формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него символов (суждений). Заключение в рассуждении вытекает из посылок в силу некоторого общего правила (например, Modus Ponens), логического закона или группы законов. Логика изучает и другие вопросы: проблемы смысла, значения и определения языковых терминов; логические ошибки и парадоксы; формы и методы рассуждений, используемых в конкретных естественных языках и др.3. Математическая или символическая логикаМатематическая логика, вторая ступень в развитии формальной логики, с внешней стороны отличается от традиционной тем, что она широко пользуется языком математических и логических знаков, исходя из того, что в принципе они могут совсем заменить слова обычного языка и принятые в обычных живых языках способы объединения слов в предложения. Мышление исследуется с помощью формализованных языков (исчислений), т.е. математических методов. Довольно рано возникла идея о том, что, записав все исходные допущения на языке специальных знаков, похожих на математические, можно заменять рассуждения вычислениями. И тогда точно сформулированные правила таких логических вычислений можно перевести на язык вычислительной машины, которая будет способна автоматически выдавать интересующие нас следствия из введенных в нее исходных посылок. Своего рода “логическую машину” сконструировал еще в средние века Раймунд Луллий (1235-1315 гг.), дав ей, впрочем, совершенно фантастическое применение. Более определенный и близкий к реально осуществленному впоследствии замысел универсального логического исчисления развивал Лейбниц. Он надеялся даже, что в будущем философы вместо того, чтобы бесплодно спорить, будут брать бумагу и вычислять, кто из них прав. В 1667 году в работе “Искусство комбинаторики”, Лейбниц представил логику в виде алгебраического исчисления. Однако попытка Лейбница математизировать логику была забыта, потому что ни в одной области науки в то время не было потребности в новом логическом аппарате они пока успешно обходились “старой” логикой. Попытки использования символики для записи логических рассуждений с новой силой возобновились в середине IX - начале XX века, прежде всего благодаря трудам ирландского математика Джорджа Буля (1815-1864 гг.). В своих трудах “Математический анализ логики” и “Исследование законов мышления” Буль применил к исследованию законов логики методы современной ему математики язык формул, составление и решение уравнений. Логико-математические языки и теория их смысла были затем значительно развиты в работах ^ Фреге (1848 - 1925 гг.). Изложение больших разделов математики на языке математической логики было осуществлено Пеано (1858 - 1932 гг.).Главной целью первого периода развития математической логики являлась задача обоснования математики. В связи с развитием аксиоматического метода математическая логика стала оказывать огромное влияние и на развитие математики.^ 4. Отступление об аксиоматическом методе Этот параграф сейчас исключен из программы курса5. Теория множеств — основание матаматики И этот тоже. Здесь говорится о том, что к концу XIX века математика строилась на базе теории множеств. И все, казалось, было хорошо и красиво.6. “Крах” математики. Парадоксы.И тут, когда казалось, что в математике произошло достаточно полное наведение порядка, то есть она оказалась логически обоснованной, произошли совершенно драматические события. Были открыты парадоксы. Прежде всего эти парадоксы коснулись построенной в то время немецким математиком Георгом Кантором теории множеств, которая легла в основу построения практически всей математики того времени(~ 1873г.). На базе теории множеств была построена вся теория чисел. ?? Первые парадоксы еще оставляли надежду на их разрешение в рамках существующей теории множеств. Конец оптимистическому настроению нанес Бертран Рассел (1902г.). Он предложил парадокс, затрагивающий самые основы теории множеств:^ Пусть Т множество всех множеств, которые не являются элементами самого себя. Т={SSS}. Вопрос: является ли утверждение ТТ верным? Попробуйте ответить каким-либо способом. Другой парадокс Ришара (1905г.) содержится в определении: Некоторое число определяется следующим образом: наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать посредством меньше, чем 33 слогов. Он состоит в том, что это предложение определяет число, хотя содержит меньше 33 слогов (посчитайте!).7. Программа обновления математики Д. ГильбертаКому неинтересно, это может не читать!В начале века с программой обоснования математики на основе математической логики выступил немецкий математик Гильберт. Классическая математика должна быть сформулирована в виде формальной аксиоматической теории. Относительно нее следует доказать ее непротиворечивость, то есть доказать, не прибегая к интерпретации, что в ее рамках нельзя доказать противоречие. Чтобы такое доказательство было возможным, Гильберт предложил сделать само доказательство в аксиоматической теории предметом специальной математической дисциплины — метаматематики или теории доказательств. Чтобы доказательство непротиворечивости было убедительным, Гильберт решил использовать в метаматематике лишь убедительные интуитивные методы, которые он называл финитными. Эти методы должны удовлетворять следующим условиям: не должны использовать понятия “актуальной” или “завершенной” бесконечности, то есть бесконечное множество никогда не рассматривается, как завершенное; есть много теорем в математике, в которых доказывается существование некоторого объекта; но если этот объект при доказательстве не строится, то такое доказательство не принимается; при рассуждении о бесконечных множествах не допускается применение закона исключенного третьего. Программа Гильберта не выполнена до сих пор, хотя уже в первой половине XX века большинство разделов в математике были аксиоматизированы таким образом, что противоречия в них не были обнаружены. Дальнейшее развитие математической логики было достигнуто благодаря трудам Гильберта, Рассела, Тьюринга и других математиков. На основе математической логики были решены проблемы, касающиеся общих свойств аксиоматической теории.^ Проблема полноты. Теорема Геделя о неполноте утверждает, что любая достаточно богатая теория обязательно содержит утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках данной теории.Проблема разрешимости. Для элементарной геометрии доказано, что для любого утверждения можно проверить, верно оно или нет, с помощью ?? одного общего алгоритма.Проблема непротиворечивости. В алгебре, анализе, элементарной геометрии - доказано, в более сложных теориях существуют вопросы. ??8. Значение математической логики для учителя Математическая логика является необходимым элементом математической культуры. Она позволяет представить себе, как обоснована сама математика, и как она развивалась.?? Математическая логика дает возможность вникнуть в сущность доказательства, выявить суть логического следования, установить связи между теоремами. Математическая логика раскрывает суть понятия алгоритма и его сложности, тем самым помогая разрабатывать алгоритмы решения задач. Математическая логика помогает понять принципы работы ЭВМ и построения алгоритмических языков. Символика математической логики позволяет сжато и точно представить запись теорем и их доказательств. Математическая логика дает средства учителю для выработки у учащихся точного и алгоритмического мышления.Только, пожалуйста, не заучивайте все это наизусть. Если вы с какими-то из этих утверждений согласны, обоснуйте их.