"Основы логики"1. Этапы развития логики. Логика очень древняя наука. 1-й этап связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 г.г. до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос “Как мы рассуждаем”, изучал правила мышления. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы – понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика. 2-й этап – появление математической, или символической, логики. Основы ее заложил немецкий ученый и философ Г.В. Лейбниц (1646-1716). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменит простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Но он выдвинул только идею, а развил её окончательно англичанин Д. Буль (1815-1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику.^ 2. Формы мышления.Опр.1 Логика – эта наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств. Основными формами мышления являются понятие, суждение, умозаключение. ^ Опр.2 Понятие – это форма мышления, выделяющая существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющих отличить их от других.Например: компьютер, трапеция, портфель, ураганный ветер.Упражнение 1 (устно). Приведите свои примеры. Понятие имеет две стороны: содержание и объем. ^ Содержание понятия – совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. Например, содержание понятия персональный компьютер-это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя.^ Объем понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятий. Например: 1. Объем понятия город – это множество, состоящее из городов, носящих имя Москва, Одесса, Казань, Уфа, Нижнекамск и др. 2. Объем понятия персональный компьютер – совокупность существующих в мире персональных компьютеров.Упражнение 2 (устно)1. Перечислите существенные признаки, составляющие содержание понятий: добродетель, истинна, ложь.2. Определите объем понятий: столица России, столица, река.Опр.3 Суждение (высказывание, утверждение) – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, и может быть либо простым, либо составным (сложным). Например: 1. Истинное и простое высказывание: Буква “т” - согласная.2. Ложное и сложное высказывание: Осень наступила, и грачи прилетели. Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями, так как в них ни чего не утверждается и не отрицается.Например:1. Уходя, гасите свет!2. Кто хочет быть счастливым? Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Например: 5>3, H2O+SO2=H2SO4. Упражнение 3 (устно). Объясните, почему следующие высказывания не являются высказываниями:1. Какого цвета твой велосипед?2. Число Х больше пяти?3. 5Х-24. Посмотрите в окно.5. Пейте томатный сок!6. Вы были в музее?7. Разность чисел 12 и Х равна 6.Упражнение 4 (устно). Какие из следующих высказываний являются истинными, а какие ложными?1. Город Москва – столица России.2. Число 12 – простое.3. 7*3=1.4. 125. Сканер – устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.6. Клавиатура – устройство ввода информации.Упражнение 5 (устно). Приведите свои примеры истинных и ложных высказываний.Опр.4 Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение. Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.Например: ^ 1. Все металлы – простые вещества.Литий – металл.Литий – простое вещество. 2. Все школьники – отличники.Вовочка – школьник.Вовочка – отличник. Упражнение 6. 1. Дано высказывание “Все углы равнобедренного треугольника равны”. Путем умозаключений получить высказывание “Этот треугольник равносторонний”.2. Оцените правильность следующего рассуждения: сидящий встал; кто встал, тот стоит; значит, сидящий стоит.^ 3. Алгебра высказываний. Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составного высказывания, не вникая в их содержание. Опр.5 Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.^ Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно или ложно. В алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Например:А= “Листва на деревьях опадает осенью”.В= “Земля прямоугольная”. Высказывания, как говорилось уже ранее, могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – значение 0 .Например:А=1В=0^ Опр.6 В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: “истинна” (1) и “ложь” (0). В алгебре высказываний над высказываниями можно производить логические операции, в результате которых получаются новые, составные (сложные) высказывания. Опр.7 Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Рассмотрим три базовых логических операций – инверсию, конъюнкцию, дизъюнкцию и дополнительные – импликацию и эквивалентность. ^ Логическая операция Название Соответствует союзу Обозначение знаками Таблица истинности Логическая операция Инверсия (от лат. inversion – переворачиваю) отрицание не А А 1 0 0 1 Опр. 8 Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна. Конъюнкция (от лат. conjunction – связываю) Логическое умножение А и В А В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Опр.9Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны. Дизъюнкция (от лат. disjunction – различаю) Логическое сложение А или В А В 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Опр. 10 Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Импликация (от лат. implication – тесно связывать) Логическое следование Если А, то В; Когда А, тогда В А–условие В-следствие А В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Опр. 11 Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие. Эквивалентность (от лат. equivalents - равноценность) Логическое равенство А тогда и только тогда, когда В А В 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Опр. 12 Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны Упражнение 7. Даны два простых высказывания:А= “Щука – рыба”;В=“Ворона – певчая птица”.^ Составьте из них все возможные составные (сложные) высказывания и определите их истинность. При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.Например: дана формула ^ Порядок вычисления:- инверсия- конъюнкция- дизъюнкция- импликация- эквивалентность.Упражнение 8.Дана формула . Определите порядок вычисления.^ II. Закрепление изученного материала. 1. Среди следующих высказываний укажите составные, выделите в них простые, обозначьте их каждое из них буквой. Запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание. Число 456 трехзначное и четное. Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Луна – спутник Земли. На уроке химии ученики выполняли лабораторную работу, и результаты исследований записывали в тетрадь. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10. Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя. Если у меня будет свободное время и не будет дождя, тоя не буду писать сочинения, а пойду на дискотеку. Без Вас хочу сказать Вам многоПри Вас я слушать Вас хочу. Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны. 2. Постройте отрицания следующих высказываний. На улице сухо. Сегодня выходной день. Ваня не был готов сегодня к урокам. Неверно, что число 3 не является делителем числа 198. Некоторые млекопитающие не живут на суше. Неверно, что число 17 – простое. 3. Из каждых трех выберите пару высказываний, являющихся отрицаниями друг друга. “Луна – спутник Земли”, “Неверно, что Луна спутник Земли”, “Неверно, что Луна не является спутником Земли”; “2007 2008”, “2007 ? 2008”; “Прямая а перпендикулярна прямой с”; “Прямая а не параллельна прямой с”; “Прямая а не пересекается с прямой с”. 4. По данным формам сложных высказываний запишите высказывания на русском языке. 1.2.3. 4.5. 5. Найдите значения логических выражений: 6. Даны два высказывания: А = “2 х 2 = 4”, В = “2 х 2 = 5”. Очевидно, что А=1, В=0. Какие из высказываний истинны? а)б) в) Аг) д) е) 7. Даны простые высказывания: А= {15>13}, В={4=5}, C= {7 8. При каких значениях числа Х логическое выражение не ((Х>15) или (Х ложь, истинна. 9. Какие из высказываний А, В должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложное высказывание ? 10. Даны высказывания: А = {На улице светит солнце},В = {На улице дождь},С = {На улице пасмурная погода},В = {На улице идет снег}. Составьте два сложных высказывания, одно из которых в любой ситуации всегда будет ложным, а другое истинным. 11. Переведите сложное высказывание на русский язык.12. Какое логическое выражение описывает условие: “Точка Х не принадлежит отрезку [А; В]”? не (Х А) или Х X B, не (X B и X A), X A или X В.