1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ1.1. Предел функции2.1.1. Предел функции в точке2.1.2. Предел функции на бесконечности2.1.3. Операции над пределами2.1.4. Бесконечный предел2.1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины2.1.6. Раскрытие неопределенностей. ^ 1.2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ2.2.1. Приращение аргумента и приращение функции2.2.2. Понятие производной. 2.2.3. Геометрический смысл производной2.2.4. Физический смысл производной2.2.5. Правила вычисление производных2.2.6. Производная сложной функции. Таблица производных2.2.7. Производные высших порядков2.2.8. Правило Лопиталя2.2.9. Монотонность и экстремумы функции2.2.10. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба2.2.11. Асимптоты графика функции2.2.12. Построение графиков функций^ 1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ2.3.1. Понятие дифференциала функции^ 1.1. Предел функции1.1.1. Предел функции в точке1.1.2. Предел функции на бесконечности1.1.3. Операции над пределами1.1.4. Бесконечный предел1.1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины1.1.6. Раскрытие неопределенностей. ^ 1.1.1. Предел функции в точке Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число называется пределом функции при , стремящемся к (записывается ), если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число (вообще говоря, зависящее от ), что для всех таких, что , , выполняется неравенство . Предел функции обозначается так:.^ 1.1.2. Предел функции на бесконечности Пусть функция f(x) определена на бесконечном промежутке . Число А называется пределом функции при x стремящемся к бесконечности (записывается ) если для любого числа e > 0 найдется такое число , что для всех значений имеет место неравенство | f(x) – А| Если число А является пределом функции f(x) при , стремящемся к бесконечности, то пишут .^ 1.1.3. Операции над пределами Пусть функциии определены в некоторой окрестности точки х0и имеют пределы , . Перечислим без доказательства свойства пределов от суммы (разности), произведения и частного этих функций. 1. Предел суммы (разности) этих функций равен сумме (разности) их пределов: 2. Предел произведения функций равен произведению их пределов:. Отсюда, в частности, вытекает, что постоянный множитель можно выносить за знак предела функции: 3. Предел частного функций равен частному их пределов (при условии В ¹0): .Пример 1.1 == = 2. Из этого примера следует, что указанный предел может быть найден, если в выражение подставить значение .Пример 1.2. Аналогично предыдущему примеру, нетрудно убедиться, что , а =11,поэтому .^ 1.1.4. Бесконечный предел Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, кроме быть может, самой точки x0. Говорят, что = ¥ (предел функции равен бесконечности), если для любого сколь угодно большого числа найдется такое число (вообще говоря, зависящее от М ), что для всех таких, что , , выполняется неравенство .^ 1.1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины Бесконечно малая. Функция называется бесконечно малой величиной (или просто бесконечно малой) при (или ), если( или )Например, – бесконечно малая при , – бесконечно малая при , функция – бесконечно малая при .Бесконечно малые функции будем обозначать ,, , . . . (или просто , , , . . . ). ^ Бесконечно большая. Функция называется бесконечно большой величиной (или просто бесконечно большой) при (или ), если( или )Бесконечно большие функции будем обозначать , , , . . . (или просто , , , . . . ). В дальнейшем, вместо слов “бесконечно малая” будем иногда писать БМ, а вместо слов “бесконечно большая” – ББ. Между бесконечно малыми и бесконечно большими существует связь. Если функция – БМ при , то функция – ББ при . И наоборот, если функция является ББ при , то функция – БМ при.Например, – бесконечно большая при , – бесконечно большая при , а функция – бесконечно большая при .Другими словами, деление конечной величины на бесконечно малую в результате дает бесконечно большую.Пример 1.3. Найдем . Не трудно убедиться, что числитель этой дроби стремится к 11, а знаменатель стремится к 0 (см. пример 1.2), поэтому == .Здесь (и в дальнейшем) запись в квадратных скобках означает, что знаменатель этой дроби не равен 0, а только стремится к этому значению (соответственно и числитель не равен, а только стремится к 11). ^ 1.1.6. Раскрытие неопределенностей. При определении пределов часто возникают ситуации, называемые неопределенностями. Мы рассмотрим неопределенности следующих видов 1) – неопределенность “ноль делить на ноль”.2) – неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”.3) –неопределенность “ноль умножить на бесконечность”. Нахождение пределов в этих случаях называется раскрытием неопределенностей. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия каждой неопределенности в отдельности.Неопределенность появляется при нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций .Пример 1.4.Здесь = 4 – 10 + 6 = 0 и = 0. Числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми при , т.е. имеет место неопределенность . Для раскрытия неопределенности в рассматриваемом случае числитель и знаменатель дроби разложим на множители и сократим на величину , дающую 0 в числителе и знаменателе:=== = = –.Пример 1.5Найти предел: .РешениеЗдесь также имеем дело с неопределенностью . Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение , которое называется сопряженным выражению , тогда======= .Для раскрытия неопределенности в некоторых случаях могут быть полезны следующие определения и теоремы.Определение 1.1. Пусть и две БМ при . Если , (1.1) то БМ и называются эквивалентными. Эквивалентность БМ и обозначается . Теорема 1.1. (Первый замечательный предел). Можно показать [ ], что , (1.2) Предел (1.2) называется первым замечательным пределом. Из теоремы 1.1 и определения 1.1 следует, что . Приведем еще некоторые примеры эквивалентных БМ при a® 0: Таблица 1.1 1. sina ~ a 2. a 3. 4. a 5. a 6. a Теорема 1.2. Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения бесконечно малых, эквивалентных данным.Поясним, что утверждает теорема. Пусть и две бесконечно малые функции. Известны еще две БМ и , причем и . Тогда . Доказательство:= , что и требовалось доказать.Каждый из пределов в рамках равен единице, т.к. это пределы отношений эквивалентных бесконечно малых. Пример 1.6Найти . Решение Здесь имеет место неопределенность , которая раскрывается переходом к эквивалентным величинам: sin5x~5x, sin3x~3x, по теореме 1.2 получаем:= = = .Неопределенность появляется при нахождении предела отношения двух бесконечно больших .Пример 1.7Найти .Решение Здесь имеет место неопределенность . Отметим, что самая большая степень, в которой переменная входит в числитель и знаменатель дроби. Для раскрытия неопределенности вынесем за скобки и в числителе и в знаменателе и сократим. Получим= == .Отметим, что в данном примере высшая степень в числителе равна высшей степени в знаменателе. Предел равен отношению коэффициентов при высших степенях в числителе и знаменателе.Пример 1.8=== = 0.Отметим, что в данном примере высшая степень в числителе меньше высшей степени в знаменателе. Предел равен нулю.Пример 1.9==== = .В данном примере высшая степень в числителе больше высшей степени в знаменателе. Предел равен бесконечности. В результате рассмотрения примеров 1.7, 1.8 и 1.9 сформулируем общее правило нахождения предела вида== Пример 1.10.РешениеЗдесь , , , поэтому предел равен :.Задачи для самостоятельного решения № Задания Ответы 1 1 2 3 3 1 4 6 5 6 7 8 9 ^ 1.2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ1.2.1. Приращение аргумента и приращение функции1.2.2. Понятие производной. 1.2.3. Геометрический смысл производной1.2.4. Физический смысл производной1.2.5. Правила вычисление производных1.2.6. Производная сложной функции. Таблица производных1.2.7. Производные высших порядков1.2.8. Правило Лопиталя1.2.9. Монотонность и экстремумы функции1.2.10. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба1.2.11. Асимптоты графика функции1.2.12. Построение графиков функций^ 1.2.1. Приращение аргумента и приращение функцииПусть дана функция . Зафиксируем некоторое значение . Дадим переменной произвольное приращение . В точке функция будет иметь значение . Разность между новым значением функции и ее старым значением называется приращением функции и обозначается . Таким образом, приращением функции называется величина.Пример Пусть , тогда . Найдем : = . 1.2.2. Понятие производной. Пусть — произвольная функция переменной х. Зафиксируем некоторое значение аргумента х и вычислим соответствующее значение функции . Придадим аргументу приращение , получим новое значение и вычислим соответствующее приращение функции . Составим отношение и рассмотрим предел.Этот предел называется производной функции у = f(x) в точке х и обозначается у', у'x , f'(x) или . Таким образом, производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.1.2.3 Геометрический смысл производной Пусть функция у = f(x) имеет производную в точке x0. Тогда к графику функции в точке М0(x0, y0) можно провести касательную, уравнение которой имеет вид , В этом уравнении = tga – где a – угол наклона касательной к оси Ох. Рис.2.1 Таким образом, геометрически производная есть угловой коэффициент касательной к кривой в рассматриваемой точке. 1.2.4. Физический смысл производной Пусть точка движется по прямой так, что – путь, пройденный точкой к моменту времени t. Тогда путь, пройденный точкой за промежуток времени Dt от момента t до момента t+Dt, равен DS = f(t+Dt)–f(t). В этом случаеесть средняя скорость точки за промежуток времени от t до t+Dt.Скоростью точки в данный момент называется предел ее средней скорости за промежуток времени Dt, т.е.Из (1.2) и определения производной (1.1) следует, что , т.е. производная от пути по времени при прямолинейном движении есть скорость.1.2.5. Правила вычисление производных Справедливы следующие формулы, выражающие правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций, а также вычисления производной от постоянной величины . ^ 1) Производная постоянной величины С равна нулю: С'=0 2) Производная суммы равна сумме производных: .Пример 2.1.3) Производная произведения:.Пример 2.2.4) Постоянную можно выносить за знак производной: . Это правило является следствием правила 1) и правила 3).Пример 2.3 .^ 5). Производная частного: .Здесь предполагается, что рассматриваемые значения знаменателя не равны нулю.Пример 2.4 ==.^ 1.2.6. Производная сложной функции. Таблица производных Пусть где , тогда называется сложной функцией от переменной x. Рассмотрим примеры сложных функций.Пример 2.5, , тогда – сложная функция переменной x.Пример 2.6 , , тогда – сложная функция переменной x.Пример 2.7 , , тогда – сложная функция переменной x.Пример 2.8, , , тогда – сложная функция переменной t. Пусть имеет производную по переменной , а – по переменной . Рассмотрим вопрос о нахождении производной сложной функции y(u(x)) по x. Используя определение производной, последовательно получаемÞ Þ . Таким образом, если сложную функцию записать в виде цепочки , , то производная от y по x вычисляется по формуле или (2.1) Пример 2.9 Найти производную функции . Положим , тогда и по формуле (2.1) получаем.Пример 2.10Найти производную функции .Решение. В таблице производных 2.1 все формулы приведены при условии, что , (в формуле 14 табл. 2.1).Таблица 2.1 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 14 ^ 1.2.7. Производные высших порядков Пусть функция задана на промежутке Х и имеет на нем производную. Производная от производной, если она существует, называется производной второго порядка (второй производной) функции и обозначается , или , , . Итак, по определению .Аналогично определяется производная 3-го порядка: Производная от производной (n–1)-го порядка называется производной п-го порядка или п-й производной и обозначается , или . Таким образом, по определениюили .Задание 2.1 Найдите производные следующих функций 1) 8) 2) (4x+1)2 9) 3) 10) 4) 11) 5) 12) (x2–4x+8)ex/2 6) 1–2x3 13) (x–1) 7) 14) x2(2x–1) Ответы к заданию 2.1 1) 8) 2) 8(4x+1) 9) 3) 10) 4) 11) 5) 12) 6) –6x2 13) 7) 14) 6x2–2x ^ 1.2.8. Правило Лопиталя Теорема 2.1. (Теорема Лопиталя). Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки, и g'(x)¹ 0 для всех хÏU(х0), . Тогда если f(x) = g(x) = 0 (или f(x) = g(x) = ¥) и существует , то существует и , причем =. Если отношение в свою очередь представляет собой неопределенность вида или , то правило Лопиталя можно применять второй раз и т. д.Пример 2.10= = .Пример 2.11.Пример 2.12Найти xlnx.Решение^ 1.2.9. Монотонность и экстремумы функции Если функция f(x) дифференцируема на интервале и , то возрастает (соответственно убывает) на этом интервале. Точка x0 называется точкой локального максимума (локального минимума), если существует такая окрестность U(х0) этой точки, что f(x) f(х0) /" x Î U(х0) , x¹x0 ). Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции. Если — точка локального экстремума для функции , то в этой точке производная функции либо равна нулю ((x0) = 0), либо не существует. Точки области определения функции , в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции. В силу сформулированной теоремы, экстремумы функции находятся среди ее критических точек. Пусть функция f(x) непрерывна в точке и дифференцируема в некоторой ее окрестности (кроме, быть может, самой точки ). Тогда, если ( меняет знак при переходе через точку х0, то х0 — точка локального экстремума (если с «+» на «–» — локальный максимум, если же с «–» на «+» — локальный минимум). Если x1, x2,..., xп — критические точки непрерывной на отрезке [а;b] функции , то наибольшее и наименьшее значения этой функции есть соответственно наибольшее и наименьшее из чисел , , ,..., , .^ 1.2.10. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба Функция f(x), определенная на интервале , называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на этом интервале, если точки любой дуги графика функции расположены выше (соответственно, ниже) хорды, стягивающей эту дугу. Иногда выпуклость вверх (соответственно, выпуклость вниз) называют просто выпуклостью (соответственно, вогнутостью). График выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (а; b) функции также называют выпуклым вверх (соответственно, выпуклым вниз). Можно дать другое, эквивалентное, определение выпуклости вверх (выпуклости вниз): функция f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (a; b), если график этой функции при xÎ (а; b) расположен ниже (соответственно, выше) касательной, проведенной в любой его точке (рис. 2.1 а и б). Рис. 2.1Достаточное условие выпуклости вверх (вниз). Пусть функция f(x) имеет вторую производную на интервале (a;b). Тогда, если (x ) 0) на этом интервале, то функция f(x) выпукла вверх (соответственно, выпукла вниз) на нем. Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Тогда если при переходе через точку x0 функция меняет направление выпуклости, то эта точка называется точкой перегиба функции f(x). Точка (x0, f(x0)) при этом называется точкой перегиба графика функции f(x) (рис. 2.2 а и б). Рис. 2.2Необходимое условие точки перегиба. Если x0 — точка перегиба функции f(x), то в этой точке вторая производная функция либо равна нулю ((x0) = 0), либо не существует. Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2-го рода.Точки перегиба следует искать среди критических точек 2-го рода. ^ Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f(x) имеет первую производную в точке x0 и вторую производную в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может, самой точки x0). Тогда если при переходе через точку x0 вторая производная меняет знак, то x0 — точка перегиба. ^ 1.2.11. Асимптоты графика функции Прямая линия т называется асимптотой графика функции у = f(x) , если расстояние d от точки М, лежащей на этом графике, до прямой т стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в бесконечность (рис. 2.3 а, б, в). Рис. 2.3 Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные. Если хотя бы один из односторонних пределов f(x) или f(x) равен бесконечности, то прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции f(x) (рис. 2.3 а).Если существуют конечные пределы, то прямая является наклонной асимптотой графика функции f(x) (рис. 2.3 б). Если хотя бы один из указанных пределов не существует или равен бесконечности, то график y = f(x) наклонных асимптот не имеет. Если k = 0, то асимптота y = b параллельна оси Ox (рис. 2.3 в). Такую асимптоту называют горизонтальной. 1.2.12. Построение графиков функций При построении графика данной функции целесообразно пользоваться следующей схемой: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность; 3) найти точки пересечения графика с осями координат; 4) найти интервалы знакопостоянства функции; 5) найти асимптоты; 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 7) найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.^ 1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ^ 1.3.1. Понятие дифференциала функции Пусть задана на промежутке X. Производная в точкеравна . При этом , при ; тогда приращение функции можно выразить так: (2.1) Определение. Дифференциалом функции (обозначается ) называется произведение производной функции на приращение аргумента . (2.2) Если независимую переменную отождествить с функцией , тогда последовательно получаем: . ^ Таким образом, дифференциал независимой переменной равен ее приращению: . (2.3) Поскольку , выражение для дифференциала можно записать так: . Отсюда следует, что производную у'x можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента : . (2.4) Геометрический смысл дифференциала Рассмотрим график функции (рис. 2.4): АС = dy = ; ВС = Dу. Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции . Рис. 2.4^ Формулы для вычисления дифференциалов Используя правила дифференцирования, получим формулы для нахождения дифференциалов:1) ; 2) d (и + ) = d и + d; 3) d (и) = и d+ dи, в частности, d(Си) = С dи;4) .Таблица 2.2 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 14 Рассмотрим теперь сложную функцию у =f(и), где . Будем предполагать, что функция g(x) дифференцируема в точке , а функция f(u) – в соответствующей точке и. Найдем дифференциал сложной функции у. По определению дифференциала функции имеем , но, как известно, , этому = . Таким образом, . Отсюда следует, что дифференциал сложной функции у(u(x)) выражается через промежуточную переменную и точно так же, как если бы промежуточная переменная была независимой. Это свойство называют свойством инвариантности формы дифференциала. ^ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ2.1. Первообразная и неопределенный интеграл2.2. Непосредственное интегрирование по таблице2.3. Замена переменной интегрирования2.4. Интегрирование по частям2.5. Определенный интеграл и его вычисление. Формула Ньютона-Лейбница2.6. Замена переменной в определенном интеграле2.7. Интегрирование по частям^ Первообразная и неопределенный интеграл Выше было рассмотрено действие – дифференцирование: нахождение по заданной функции ее производной. При изучении многих разделов математики, физики возникает обратная задача – отыскание функции по заданной ее производной – интегрирование. Ранее было установлено, что если известен закон s = s(t) прямолинейного движения материальной точки, выражающий зависимость пути s от времени движения t, то скорость точки выражается производной пути по времени:= s/(t). Обратная задача: известна скорость прямолинейного движения точки = (t) как функция времени. Надо найти закон движения. Ясно, что искомой функцией s = s(t) будет такая, для которой s'(t) = (t). Определение 3.1. Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции если .Пример 1.1 Функция является первообразной функции = = так как (х3)' =3x2 . Отметим при этом, что вместе с функцией первообразной для является всякая функция , где – произвольное постоянное число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю). Таким образом, если известна какая-нибудь первообразная данной функции , то все множество первообразных для исчерпывается функциями . Другими словами, нахождение первообразной для функции возможно лишь с точностью до некоторого постоянного слагаемого. Определение 2. Выражение F(x) + С, где F(x) — первообразная функции и – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , причем называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, знак – знаком интеграла. Таким образом, по определению, , если . Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная, а значит и неопределенный интеграл. Ответ на этот вопрос дает теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то на этом отрезке для функции f(x) существует первообразная.Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие два свойства.=f(x) и, значит, d =f (x)dx., что может быть переписано так:=F(x) +C.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:Действительно, имеем:cf(x).Совершенно так же доказывается свойство 4.Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:^ 2.2. Непосредственное интегрирование по таблице Таблица содержит формулы, легко проверяемые непосредственным дифференцированием.Таблица 1.1 1 +С; 7 + C; 2 +С; 8 ; 3 +С; 9 ; 4 +С; 10 ; 5 +С; 11 ; 6 +C; 12 . Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путем преобразований и применения свойств неопределенного интеграла.Пример 1.2.Пример 1.3+CПример 1.4==+C.Задачи для самостоятельного решения № Задания Ответы 1 2 3 4 5 x2–2x +C 6 7 +C 8 9 4x+ x+ +C 10 x ++C 2.3. Замена переменной интегрирования Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к форме табличного интеграла. Сделаем подстановку , где j (t) — функция, имеющая непрерывную производную. Тогда: f(x) =f[j(t)], dx= иЭта формула называется формулой замены, переменной в неопределенном интеграле.Пример 1.5 Интеграл найдем подстановкой . Тогда:и =2dt=2et +C=2+C.Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выражение мы принимаем за новую переменную. Вычисления удобно располагать так, как указано в следующих примерах.Пример 1.6 .Пример 1.7 .Пример 1.8.^ 2.4. Интегрирование по частям Пусть и == u(x) и J= J(x) – непрерывно дифференцируемые функции. По формуле для дифференциала произведения имеем d(иJ) = Jdи + иdJ, откуда иdJ = d(иJ) —J du. Интегрируя последнее соотношение, получим:или (1.1) (произвольная постоянная интегрирования здесь включена в слагаемое ). Это и есть формула интегрирования по частям. Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл.Пример 1.9. К интегралам, вычисляемым по частям, относятся, например, интегралы вида: , где – многочлен (в частности, степенная функция xn), – одна из следующих функций: , , , , , , , . При этом для интегралов вида , , , за и принимается многочлен P(x), а для интегралов вида , , , , , за и принимается ,,,, .Пример 1.10.Пример 1.11.Пример 1.12 = – = – + С.Пример 1.13.Иногда необходимо повторное интегрирование по частям.Пример 1.14 == .Задачи для самостоятельного решения № Задания Ответы 1 2 +C 3 +C 4 sin2x +cos2x + C 5 6 7 8 xarccos2x++C 9 10 +C 11 (x2–2x+3)ex +C 12 x (ln2x–2lnx+2)+C 13 – ^ Интегрирование дробно-рациональных функций Дробно-рациональная функция называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, ниже степени многочлена в знаменателе, и неправильной в противном случае. Например, дроби, , – правильные, а дроби , , – неправильные. При интегрировании неправильной дроби следует предварительно перейти к правильной дроби путем выделения целой части. Пример 1.14 Вычислить . Имеем: = , поэтому=ln|x2 –1| + C.Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрирования правильных дробей. 1. =A ln| x – a |+C 2. 3. I = При вычислении интеграла I следует различать два основных случая. а) Квадратный трехчлен является полным квадратом. Тогда интеграл I сводится к уже рассмотренным интегралам в случаях 1 и 2. б) Квадратный трехчлен не является полным квадратом. Тогда его дополняют до полного квадрата, после чего интеграл I сводится к табличным интегралам.Пример 1.15I = Сделаем подстановку . Тогда: , иI= =ln(x2–x+1)–Пример 1.16 Сделаем подстановку х– = t. Тогда: х=t+, dх=dt и+=.При вычислении интеграла вида можно также воспользоваться тождеством. ^ 2.5. Определенный интеграл и его вычисление. Формула Ньютона-Лейбница Если для непрерывной на отрезке [a;b] функции может быть найдена ее первообразная , то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница (x)dx=F(x) =F(b)–F(a). (1.2) ^ 2.6. Замена переменной в определенном интеграле При вычислении определенных интегралов часто используется метод подстановки или метод замены переменной интегрирования. Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка . Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , причем то справедлива формула , которая называется формулой замены переменной интегрирования в определенном интеграле.Отметим, что:1) функцию следует подбирать так, чтобы, подставив ее вместо х в подынтегральное выражение, получить более простой интеграл;2) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется ( в отличие от неопределенного интеграла)3) вместо подстановки x=j(t) применяют подстановку t=y(x).^ 2.7. Интегрирование по частям Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формулаЭто формула интегрирования по частям для определенного интеграла.Пример 1.17.^ Пример 1.18 . 3. Дифференциальные уравнения3.1. Общие понятия3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка 3.3. Уравнения с разделяющимися переменными.3.4. Однородные уравнения первого порядка3.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка3.6. Дифференциальные уравнения второго порядка3.7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами^ 3.1. Общие понятия Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие производные некоторой функции . В дальнейшем вместо слов дифференциальное уравнение будем писать ДУ. Если ДУ содержит обычные производные функции одной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если уравнение содержит частные производные функции нескольких переменных, то оно называется ДУ в частных производных. В данном разделе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения. Исходя из этого определения, в качестве примеров, рассмотрим три простых дифференциальных уравнения: , (6.1) , (3.2) . (3.3) ДУ может содержать также производные различных порядков, выше первого: , . . . , . Например, уравнение (3.4) содержит производную второго порядка , а уравнение (3.5) содержит производную третьего порядка . Самый высокий порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Поэтому уравнения (3.1), (3.2) и (3.3) это ДУ первого порядка, а уравнения (3.4) и (3.5) это ДУ второго и третьего порядков соответственно.Решением ДУ называется функция , которая обращает это уравнение в тождество. График решения на плоскости называется интегральной кривой. Например, решением уравнение (3.2) является функция , (3.6) график которой (интегральная кривая) представляет собой параболу. Очевидно, что если к правой части равенства (3.6) прибавить любое число (например, ) то такая функция также будет решением уравнения (3.2). В этом случае говорят, что решение определяется с точностью до произвольной постоянной. Решение, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется общим решением ДУ. Например, общее решение уравнения (3.2) имеет вид . (3.7) Это решение, содержащее одну произвольную постоянную, является общим решение ДУ первого порядка (3.2).Очевидно, что решением уравнения (3.1) является любая постоянная. Таким образом общее решение уравнения (3.1) можно записать в виде . (3.8) Подставляя конкретные значения постоянной , будем получать решения уравнения, которые называются частными решениями. Используя понятие производной второго порядка, перепишем уравнение (3.4) в виде (3.9) Тогда аналогично уравнению (3.2), получим . (3.10) И далее . (3.11) Это общее решение уравнения второго порядка (3.4), оно содержит две произвольные постоянные. Аналогично можно найти общее решение ДУ третьего порядка (3.5): . (3.12) Оно содержит три произвольные постоянные. Решить уравнение (3.3) сложнее. Для этого нужно использовать один из методов решения ДУ первого порядка.^ 3.2. Дифференциальные уравнения первого порядка В самом общем случае ДУ первого порядка содержит независимую переменную , неизвестную функцию и производную первого порядка этой функции . Поэтому в общем виде ДУ первого порядка можно представить так: . (3.13) Примером записи ДУ в форме (3.13) является уравнение (3.3). Если из соотношения (3.13) можно выразить в виде , (3.14) то такая форма записи ДУ называется уравнением, разрешенным относительно производной. В качестве примера, из уравнения (3.3) выразим , получим . (3.15) В уравнении (3.15) . Функция , удовлетворяющая уравнению (3.14) и содержащая одну произвольную постоянную, называется общим решением этого уравнения. Часто это решение можно получить только в неявной форме . (3.16) или . (3.17) В этом случае соотношение (3.16) или (3.17) называется общим интегралом уравнения (3.14).Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение — значит найти его общее решение в той или иной форме. Постоянную можно найти, если задано начальное условие – значение искомой функции в некоторой точке . (3.19) Здесь это некоторое известное число. Решение, которое получается из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной постоянной , называется частным решением. Задача отыскания решения ДУ (3.14), удовлетворяющего начальному условию (6.19), называется задачей Коши.ДУ первого порядка может быть записано также в форме: . (3.20) Отметим, что формы записи уравнений (3.14) и (3.20) эквивалентны. От записи уравнения в форме (3.14) можно перейти к записи в виде (3.20) и наоборот.^ 3.3. Уравнения с разделяющимися переменными. Пусть ДУ первого порядка записано в виде (3.14). Это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция имеет вид , (3.21) то есть представляет собой произведение функции только от переменной на функцию только от