Контрольная работа
по логике
тема: Модальные логики. Положительные логики
Логика относится к числу древнейших наук, первые учения которой о формахи способах рассуждений возникли еще в цивилизациях Древнего Востока. В западнуюкультуру принципы и методы логики вошли главным образом благодаря усилиямантичных греков. Развитая политическая жизнь в греческих государствах-полисах,борьба разных партий за влияние на массы свободных граждан, стремление решатьвозникавшие имущественные и иные конфликты через суд – все это требовало уменияубеждать людей, защищать свою позицию на различных народных форумах, вгосударственных учреждениях, судебных заседаниях и т.п.
В конце прошлого — начале нынешнего века в логике произошла научнаяреволюция, в результате которой в корне изменились стиль рассуждений, методы, инаука как бы обрела второе дыхание. Теперь логика — одна из наиболеединамичных наук, образец строгости и точности даже для математических теорий.
Стихийно сложившиеся навыки логически совершенного мышления и научнаятеория такого мышления совсем разные вещи. Логическая теория своеобразна. Онавысказывает об обычном — о человеческом мышлении — то, что кажется на первыйвзгляд необычным и без необходимости усложненным. Отсюда сложность первогознакомства с логикой: на привычное и устоявшееся надо взглянуть новыми глазамии увидеть глубину за тем, что представлялось само собой разумеющимся.
Логика – наука о мышлении. Но в отличие от других наук, изучающихмышление человека, например физиологии высшей нервной деятельности илипсихологии, логика изучает мышление как средство познания; ее предметомявляются законы и формы, приемы и операции мышления, с помощью которых человекпознает окружающий его мир.
Логика, изучающая познающее мышление и применяемая как средство познания,возникла и развивалась как философская наука и в настоящее время представляетсобой сложную систему знаний, включающую две относительно самостоятельныенауки: логику формальную и логику диалектическую. Таково общее понятие о логикекак науке. Но чтобы раскрыть ее предмет, необходимо рассмотреть все вопросы,один из них — модальность суждений.
О модальностисуждений.
В естественном языке суждения могут характеризоваться не только какистинные или ложные, но и с других точек зрения. Такие характеристики содержатдополнительную информацию, которая выражает в одних случаях отношениеговорящего к высказываемой мысли, в других – обоснованность знания,содержащегося в суждениях, в третьих – предписание, норму или правило, котороенадлежит соблюдать. Подобные дополнительные характеристики выражают различныеточки зрения на суждение в зависимости от целей и задач, которые ставит передсобой человек.
В процессе аргументации и практических рассуждениях мы интересуемся нетолько истинной оценкой суждений, но дополнительно к этому стремимся узнать,насколько убедительны, а значит, обоснованны доводы оппонента в споре, являютсяли они логически или фактически истинными и т.д. В этике и юриспруденцииинтересуются также нормами поведения людей в обществе, выясняют, что запрещенои разрешено этими нормами. Суждение как форма мышления содержит двоякого родаинформацию – основную и дополнительную.
Основная информация находит явное выражение в субъекте и предикатесуждения, в логической связке и кванторах.
Дополнительная информация относится к характеристике логического илифактического статуса суждения, к оценочным и другим его характеристикам. Такаяинформация называется модальностью суждения. Она может быть выраженаотдельными словами, а может и не иметь явного выражения. В этом случае еевыявляют анализом контекста.
Модальность – это явно или неявно выраженная в суждении дополнительнаяинформация о степени его обоснованности, логическом или фактическом статусе, орегулятивных, оценочных и других его характеристиках.
Модальныехарактеристики суждений обычно выражают парными категориями:
· необходимость –случайность,
· обязанность — запрещение,
· доказано –опровергнуто и т.п.
Модальная логика — раздел неклассической логики, вкотором исследуются логические связи модальных высказываний, т. е.высказываний, включающих модальности. Модальная логика слагается из ряданаправлений, каждое из которых занимается модальными высказываниями определенноготипа.
Так, теория логических модальностейизучает логическое поведение высказываний, включающих модальные понятия«логически необходимо», «логически возможно», «логически случайно». Логикаэпистемическая исследует высказывания, содержащие разного родатеоретико-познавательные понятия: «верифицируемо», «непроверяемо»,«фальсифицируемо», «полагает», «сомневается», «отвергает» и т. п. Деонтическаялогика изучает логические связи нормативных высказываний. Оценок логиказанимается аксиологическими модальностями, логика времени — временнымимодальностями и т. д. Модальные понятия разных типов имеют общие формальныесвойства. Так, независимо от того, к какой группе относятся эти понятия, ониопределяются друг через друга по одной и той же схеме. Нечто возможно, еслипротивоположное не является необходимым; разрешено, если противоположное необязательно; допускается, если нет убеждения в противоположном. Случайно то,что не является ни необходимым, ни невозможным. Безразлично то, что необязательно и не запрещено. Неразрешимо то, что недоказуемо и неопровержимо, ит. п. Подобным же образом сравнительные модальные понятия разных группопределяются по одной и той же схеме: «первое лучше второго» равносильно«второе хуже первого», «первое раньше второго» равносильно «второе позжепервого», «первое причина второго» равносильно «второе следствие первого» и т.д. В каждом направлении Модальной логики доказуема своя версия принципамодальной полноты, являющегося модальным аналогом закона исключенного третьего.В теории логических модальностей принцип полноты утверждает, что каждоевысказывание является или необходимым, или случайным, или невозможным; вдеонтической логике — что всякое действие или обязательно, или нормативнобезразлично, или запрещено; в логике оценок — что всякий объект является илихорошим, или оценочно безразличным, или плохим и т. д.
В каждом направлении Модальной логики есть и своя версия принципамодальной непротиворечивости, являющегося модальным аналогом законанепротиворечия: высказывание не может быть как обязательным, так и запрещенным;объект не может быть и хорошим, и плохим, и т. д. Модальные понятия,относящиеся к разным группам, имеют разное содержание. При сопоставлении такихпонятий (напр., «необходимо», «доказуемо», «убежден», «обязательно», «хорошо»,«всегда») складывается впечатление, что они не имеют ничего общего. ОднакоМодальная логика показывает, что это не так. Модальные понятия разных группвыполняют одну и ту же функцию: они уточняют устанавливаемую в высказываниисвязь, конкретизируют ее. Правила их употребления определяются только этойфункцией и не зависят от содержания высказываний. Поэтому данные правилаявляются едиными для всех групп понятий и имеют чисто формальный характер. Впоследние десятилетия Модальная логика бурно разрастается, включая в своюорбиту все новые группы модальных понятий. Существенно усовершенствованыспособы ее обоснования. Это придало Модальной логике новый динамизм и поставилоее в центр современных логических исследований.
Модальные логики
Уже первые изложения трехзначной логики в 1920 г. содержалиявную связь модальности и многозначности. Лук/>асевич считал, чтов двузначной логике не удастся согласовать интуитивные трактовки модальныхфункторов. Эта мысль является следствием объяснения формализации модальностейне как операторов, а как функторов, уравненных концептуально в правах слогическими знаками. Это свое убеждение Лукасевич последовательно выражал напротяжении всего своего научного творчества.
Первое систематическое изложение модальной логики даноЛукасевичем в работе с названием «Философские замечания о многозначныхсистемах исчисления предложений.»[1930] Правда, здесь не представленасистема модальной логики как таковая, но только показаны требования, которымдолжна, по мнению Лукасевича, удовлетворять такая система. Модальнымипредложениями Лукасевич называет следующие четыре выражения:
(1) возможно, что p — символически: Mp;
(2) невозможно, что p — символически: NMp;
(3) возможно, что не-p — символически: MNp;
(4) невозможно, что не-p — символически: NMNp.
Традиционные утверждения о модальностях по мнению Лукасевичаможно разделить на три группы. К первой группе относятся предложения следующеговида: (a) Ab oportere ad esse valet consequentia (Если что-либо необходимо, тооно существует); (b) Ab esse ad posse valet consequentia (Если что-либосуществует, то оно возможно); (с) Ab non posse ad non esse valet consequentia(Если что-либо невозможно, то оно не существует). Общим представителем этойгруппы является предложение
(I): Если невозможно, что p, то не-p.
Вторую группу составляет утверждение Лейбница из«Теодицеи»: (d) Unumquodque, quando est, oportet esse (Чтобы то нибыло, когда оно существует — оно необходимо). Лукасевич замечает, что последнеевысказывание в действительности происходит от Аристотеля и разбирает возможныеинтерпретации Стагирита. В результате анализа оказывается, что слово«quando» в предложении (d), как и соответствующее ему«hotan» у Аристотеля, являются частицами, выражающими не условие, новремя. Однако временная форма переходит в условную форму, поскольку в связанныхвременными рамками предложениях определение времени оказывается включенным всодержание предложений.
Предложение (d) имеет следующую эквивалентную формулировку
(II): Если предполагается, что не-p, то невозможно, что p.
Третью группу представляет аристотелевский принцип обоюднойвозможности
(III): Для некоторого p, возможно, что p, и возможно, чтоне-p.
Мы опустим здесь технические подробности решения Лукасевичемпроблемы модальностей, но онвидит в использовании трехзначной логики, а точнее — в нахождении в L3 такогоопределения возможности, которое бы выполняло условия, очерченные в (I)-(III).Удовлетворительная дефиниция должна быть прочитана следующим образом:«возможно, что p значит то, что „или предложение p и не-pравнозначны, или не существует такой пары противоречивых предложений, которыебы следовали из предложения p“.
В более общем значении аналогичное в этом контексте понятиевозможности предложил в 1921 г. Тарский: Mp=CNpp. Дефиниенс этого определенияложен тогда и только тогда, когда p=1/2. Из этого определения и таблиц для C иN получаем равенства: M0=0, M1/2=1, M1=1. Согласно этим равенствам, еслипредложение p ложно, то ложно также и предложение Mp, но Mp истинно, когда pистинно или p принимает третье значение. Этот результат Лукасевич посчиталнаиболее согласованным с интуицией. Определение необходимости имеет видLp=NCpNp в соответствии с общепринятой схемой Lp=NMNp.
Заканчивая свое первое систематическое изложение модальнойлогики в духе логики многозначной Лукасевич полностью принимает изложенные вышеопределения возможности и необходимости: » Решительно не высказываясь обинтуитивном смысле приведенной выше дефиниции, мы должны однако признать, чтоэта дефиниция удовлетворяет всем условиям, определенным в утверждениях(I)-(III), и в частности, как это доказал г.Тарский, что это единственнаявозможная в трехзначной системе дефиниция, выполняющая эти условия".
Поскольку позже Лукасевич вернулся к проблематике модальной логики,то естественно считать, что первое ее изложение не удовлетворяло его. Новоеизложение [1953] модальной логики Лукасевич начинает с изложения условий,которым по его мнению должна удовлетворять такая логика:
(1) утверждается импликация CpMp;
(2) отбрасывается импликация CMpp;
(3) отбрасывается предложение Mp;
(4) утверждается импликация CLpp;
(5) отбрасывается импликация CpLp;
(6) отбрасывается предложение NLp;
(7) утверждается эквивалентность EMpNLNp;
(8) утверждается эквивалентность ELpNMNp.
Понятия «утверждения» и «отбрасывания»принадлежат системе и обозначаются соответственно "½¾"и "¾½".
Первое условие соответствует принципу Ab esse ad posse valetconsequentia.
Второе условие соответствует высказыванию A posse ad esse nonvalet consequentia.
В третьем условии говорится, что не все выражения,начинающиеся с M утверждаются, поскольку в противном случае Mp было быравносильно функции «verum от p», которая не является модальнойфункцией.
Четвертое условие соответствует принципу Ab oportere ad essevalet consequentia.
Пятое условие соответствует высказыванию Ab esse ad oporterenon valet consequentia.
В шестом условии говорится, что не все выражения,начинающиеся с NL являются утверждениями, поскольку в противном случае Lp былобы равносильно функции «falsum от p», которая не является функциеймодальности. Последние два условия представляют очевидные связи междувозможностью и необходимостью.
Лукасевич предлагает для «основной модальнойлогики» следующую совокупность формул в качестве аксиом: (A1) ½¾CpMp, (A2) ¾½CMpp, (A3) ¾½Mp, (A4) ½¾EMpMNNp с правилами замены по определению (Lx=NMNx), подстановки в утвержденноевыражение, подстановки в отбрасываемое выражение (если а отбрасывается и а естьподстановка b, то b должно быть отброшено), отделения для утвержденныхвыражений и отделения для отбрасываемых выражений (если Cxy утверждено, а y — отброшено, то x также отброшено). С использованием знака необходимости(A1)-(A4) преобразуются в: (A5) ½¾ CLpp, (A6) ¾½CpLp,(A7) ¾½NLp, (A8) ½¾ ELpLNNp.
Особенно важными по мнению Лукасевича являются аксиомы (A4) и(A8). Поскольку они весьма похожи, то возникает мысль, что они имеют в своемосновании некий общий принцип, из которого их можно вывести. А это значит, что«основная модальная логика» не полна.
Это допущение подтверждается тем фактом, что формулы MKpqMp,CMKpqMq (если возможна конъюнкция, то возможен каждый из ее членов), а такжеCLKpqLp, CLKpqLq (если необходима конъюнкция, то необходим каждый из ее членов)независимы от «основной модальной логики».
Не выводимы из (A1)-(A4) (либо же из (A5)-(A8)) следующиезаконы, известные уже Аристотелю: (a) CCpqCMpMq, (b) CCpqCLpLq, (c) CLCpqCMpMq,(d) CLCpqCLpLq. Можно показать, что из (a) следует (c), а из (b) — (d). Поэтомуследовало расширить «основную модальную логику», присоединяя к ееаксиомам формулы (a)-(d). Формулы (a) и (c) можно считать частными случаямизакона экстенсиональности CEpqCfpfq («f» означает переменныйфунктор). Присоединяя (a) к (A1)-(A3) можно доказать (A4); аналогично присоединяя(c) к (A5)-(A7) можно доказать (A8). Однако обе конструкции Лукасевич считаетнедостаточно общими.
Окончательная формулировка модальной системы основывается наупоминавшемся выше результате ученика Лукасевича — Мередита, утверждавшего, чтоL2 и закон экстенсиональности следуют из формулы CfpCfNpfq.
Окончательно аксиоматика модальной логики у Лукасевичапринимает следующий вид: ½¾CfpCfNpfq, ½¾CpMq, ¾½CMpp,¾½Mp. L-система содержит исчисление высказываний L2, но неявляется двузначной. Лукасевич показал, что адекватной матрицей для L-системыявляется следующая четырехзначная матрица (1 является выделенным значением):СС 11 22 33 44 ТN MM 11 11 32 33 44 44 11 22 11 11 33 33 33 22 33 11 12 11 22 22 33 44 11 11 11 11 11 33
Из того факта, что существуют две опосредующие истину и ложьоценки (2 и 3) не следует делать вывод, что в системе модальной логикиЛукасевича существуют два понятия возможности. Тем не менее, в L-системе имеют место т.н.возможности-близнецы M и M1. Они неразличимы, когда выступают отдельно, но разнятся,когда входят в одну формулу, например, формулы MMp и M1M1p эквивалентны, аформулы M1Mp и MM1p неэквивалентны.
Этот факт в системе модальной логики Лукасевича не имеетинтуитивной интерпретации. Четырехзначная матрица вообще изменила взгляд Лукасевичана значение многозначных логик: если раньше он считал, что выбор следует делатьмежду трехзначной логикой или бесконечнозначной, то теперь он призналчетырехзначную систему адекватной для выражения понятия возможности.
Некоторые неясные вопросы Лукасевич пытается выяснить путемсравнения с другими модальными системами, в частности, с системой фон Вригта, ане более известными системами Льюиса, поскольку они основываются на т.н.«строгой импликации», которая более сильна, нежели «материальнаяимпликация», используемая Лукасевичем. Он подвергает сомнению т.н. правилонеобходимости: если x является формулой системы, то Lx — также формула.Лукасевич считает, что предложение является непосредственно ложным или истинными не видит причины, по которой тавтология должна быть «болееистинной», чем «обычное» истинное предложение, а контрадикторноепредложение «более ложно», чем «обычная» ложь. В этойпозиции чувствуется влияние Твардовского, подкрепленное взглядами Лесьневского.
Лукасевич спрашивает: «Почему мы должны вводитьнеобходимость и невозможность в логику, если не существуют истинныеаподиктические предложения? На этот упрек я отвечаю, что прежде всего мыинтересуемся проблематическими предложениями вида Mx и MNx, которые могут бытьистинны и используемы, хотя их аргументы и отбрасываются, а вводяпроблематические предложения мы не можем обойти их отрицания, т.е.аподиктических предложений ибо предложения, обоих видов неразрывно между собойсвязаны».(S.295) Важной для понимания Лукасевичем понятия возможностиявляется формула CKMpMqMKpq, не имеющая места в системе Льюиса. Лукасевичрассматривает следующий пример:
Пусть n будет целым положительным числом. Я утверждаю, чтоследующая импликация истинна для всех значений n: Если возможно, что n четно, ивозможно, что n нечетно, то возможно, что n четно и n нечетно". Если n=4,то истинно, что n может быть четно, но не может быть истинной, что n может небыть четным; если n есть 5, то истинно, что n может быть нечетным, но неявляется истинной то, что n может быть четным. Обе посылки никогда не являютсяодновременно истинными и пример не может быть опровергнут.
Эти рассуждения показывают, что Лукасевич понимал возможностьэкстенсионально, тогда как в системах Льюиса функторы L и M интенсиональны.
Так решение Аристотелевой проблемы в контексте борьбы сфатализмом привело Я. Лукасевича к созданию нового, оригинального направления влогике, которое впоследствии получило бурное развитие.
Список использованной литературы:
1. А.А.Ивин ЛОГИКА Учебное пособие Издание 2-е МоскваИздательство «Знание» 228 с.
2. Фейс Р. Модальная логика. М., 1974.
3. Ивлев Ю. В. Содержательная семантика модальной логики.М., 1985.
4. Ивлев Ю. В. Модальная логика. М., 1991.