РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Метрология, стандартизация и технические измерения
Специфика проведения измерений и обработки результатов
Задание 1. Однократное измерение
Условие задания
При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений согласно данным таблицы 1.
Экспериментальные данные:
/>
Информация о средстве измерения:
Вид закона распределения нормальный
Значение оценки среднего квадратичного отклонения />
Доверительная вероятность />
Мультипликативная поправка />
Расчет
Предел, в котором находится значение измеряемой величины без учета поправки определяется как:
/>; />,
где Е — доверительный интервал. Значение Е определяется в зависимости от закона распределения вероятности результата измерения. Для нормального закона
/>,
где t — квантиль распределения для заданной доверительной вероятности. Его выбирают из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения />, при этом следует учитывать, что />. t = 1,64 при P=0,9
/>.
Используя правила округления, получим:
/>.
С учетом поправки значение измеряемой величины определяется как:
/>; />.
Вносим мультипликативную поправку:
/>, />,/>.
Записываем результат:
/>; P=0,9
Задание 2. Многократное измерение
Условие задания
При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений />. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Определить результат измерения.
/>
1
2
3
4
5
6
7
8
/>
485
484
486
482
483
484
484
481
/>
9
10
11
12
13
14
15
16
/>
485
485
485
492
484
481
480
481
/>
17
18
19
20
21
22
23
24
/>
484
485
485
484
483
483
485
492
Для обработки результатов измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15критерия.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов измерений.
/>
Далее определяем значения />критерия для каждого значения результата измерений />по формуле:
/>
В соответствии с доверительной вероятностью />с учетом />находим из соответствующей таблицы значение />, которое зависит от числа измерений />и />. --PAGE_BREAK--
/>
При />/>, следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие />.
/>
/>
1
2
3
4
5
6
7
8
/>
485
484
486
482
483
484
484
481
/>
9
10
11
12
13
14
15
16
/>
485
485
485
484
481
480
481
484
/>
17
18
19
20
21
22
/>
485
485
484
483
483
485
/>
Заново определяем значения />критерия для каждого значения результата измерений />по формуле:
/>
В соответствии с доверительной вероятностью />с учетом />находим из соответствующей таблицы значение />, которое зависит от числа измерений />и />.
/>
Условие />выполняется для всех результатов измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов измерений лежит в диапазоне 10…15
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
/>
и сравнить с />и />.
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью />и для уровня значимости />определяем из соответствующей таблицы квантили распределения />и />.
/>
Значение />соответствует условию />. Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью />и для уровня значимости />с учетом />по соответствующим таблицам определяем значения />и />.
/>
Для />из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения />определяем значение />и рассчитываем E:
/>/>, />
Используя правила округления, получим:
/>
Далее сравниваем значения />и />.
1
2
3
4
5
6
7
8
/>
1,41
0,41
2,41
1,59
1,59
0,41
0,41
1,59
9 продолжение
--PAGE_BREAK--
10
11
12
13
14
15
16
/>
1,41
1,41
1,41
0,41
2,59
3,59
2,59
0,41
17
18
19
20
21
22
/>
1,41
1,41
0,41
0,59
0,59
1,41
Мы видим, что не более m разностей />превосходят />, следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью />.
Определяем стандартное отклонение среднего арифметического.
Так как закон распределения нормальный, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется следующим образом:
/>
Определяем доверительный интервал
Закон распределения нормальный, следовательно доверительный интервал для заданной доверительной вероятности />определяется из распределения Стьюдента />, где />определяется из соответствующей таблицы.
/>/>, />
Используя правила округления, получим:
/>
Результат измерений запишется в виде:
/>
Задание 3. Обработка результатов нескольких серий измерений
Условие задания
При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (/>) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Вычислить результат многократных измерений.
Серия измерений 1.
/>
1
2
3
4
5
6
/>
485
484
486
482
483
484
/>
7
8
9
10
11
12
/>
484
481
485
485
485
492
Серия измерений 2.
/>
1
2
3
4
5
6
/>
484
481
480
481
484
485
/>
7
8
9
10
11
12
/>
485
484
483
483
485
492
Обработка результатов производится для каждой серии отдельно.
Для обработки результатов серий измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15критерия.
Серия измерений 1.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 1.
/>
Далее определяем значения />критерия для каждого значения результата серии измерений />по формуле:
/>
В соответствии с доверительной вероятностью />с учетом />находим из соответствующей таблицы значение />, которое зависит от числа измерений />и />. продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
При />/>, следовательно, значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие />.
/>
/>
1
2
3
4
5
6
/>
485
484
486
482
483
484
/>
7
8
9
10
11
/>
484
481
485
485
485
/>
Заново определяем значения />критерия для каждого значения результата серии измерений />по формуле:
/>
В соответствии с доверительной вероятностью />с учетом />находим из соответствующей таблицы значение />, которое зависит от числа измерений />и />.
/>
Условие />выполняется для всех результатов серии измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
/>
и сравнить с />и />.
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью />и для уровня значимости />определяем из соответствующей таблицы квантили распределения />и />.
/>
Значение />соответствует условию />. Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью />и для уровня значимости />с учетом />по соответствующим таблицам определяем значения />и />. продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Для />из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения />определяем значение />и рассчитываем E:
/>/>, />.
Используя правила округления, получим:
/>
Далее сравниваем значения />и />.
/>
1
2
3
4
5
6
/>
1
2
2
1
/>
7
8
9
10
11
/>
3
1
1
1
Мы видим, что не более />разностей/>превосходят значение />. Следовательно, второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняются полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью
/>.
Серия измерений 2.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 2.
/>
/>
1
2
3
4
5
6
/>
484
481
480
481
484
485
/>
7
8
9
10
11
12
/>
485
484
483
483
485
492
/>
Далее определяем значения />критерия для каждого значения результата серии измерений />по формуле:
/>
В соответствии с доверительной вероятностью />с учетом />находим из соответствующей таблицы значение />, которое зависит от числа измерений />и />.
/>
При />/>, следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, когда не будет выполнятся условие />.
/>
/>
1
2
3
4
5
6
/>
484
481
480
481
484
485
/>
7
8
9
10
11
/>
485
484
483
483
485
/>
Заново определяем значения />критерия для каждого значения результата серии измерений />по формуле: продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
В соответствии с доверительной вероятностью />с учетом />находим из соответствующей таблицы значение />, которое зависит от числа измерений />и />.
/>
Условие />выполняется для всех результатов серии измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
/>
и сравнить с />и />.
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью />и для уровня значимости />определяем из соответствующей таблицы квантили распределения />и />.
/>
Значение />соответствует условию />. Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью />и для уровня значимости />с учетом />по соответствующим таблицам определяем значения />и />.
/>
Для />из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения />определяем значение />и рассчитываем E:
/>/>, />.
Используя правила округления, получим:
/>
Далее сравниваем значения />и />.
/>
1
2
3
4
5
6
/>
0,82
2,18
3,18
2,18
0,82
1,82
/>
7
8
9
10
11
/>
1,82
0,82
0,18
0,18
1,82
Мы видим, что не более />разностей />превосходят значение />. Следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью />.
Далее необходимо проверить значимость различия средних арифметических серий.
Для этого необходимо вычислить моменты закона распределения разности:
/>
Задавшись доверительной вероятностью />, определяем из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения />значение />и сравниваем />с />.
/>
Условие />выполняется. Различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью />можно признать незначимым.
Далее необходимо проверить равнорассеянность результатов измерений в сериях.
Для этого определяем значение:
/>
И, задавшись доверительной вероятностью />, определяем из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера />.
/>
Условие />выполняется. Серии с доверительной вероятностью />считаем рассеянными.
Выше было показано, что серии равнорассеяны и с незначимым различием средних арифметических. Исходя из этого все результаты измерений объединяются в единый массив и затем для него выполняется обработка по алгоритму, согласно которому необходимо определить оценку результата измерения />и среднеквадратического отклонения />.
/>
Задавшись доверительной вероятностью />, определяем из таблиц распределения Стьюдента значение />для числа степеней свободы
/>
Затем определяем доверительный интервал />: продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
/>
Используя правила округления, получим:
/>
Результат измерений запишется в виде:
/>.
Задание 4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)
Условие задания
При многократных измерениях независимых величин />и />получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить результат вычисления />, (вид функции />и характер величин />представлены в таблице 3).
Вид функциональной зависимости />.
Характер и единицы величин:
/>— ЭДС, мВ;
/>— сопротивление, Ом;
/>— сила тока, А.
Обработка результатов измерений величин />и />проведена в задании 3 первой расчетно-графической работы.
Средние значения и среднеквадратические отклонения для величин />и />имеют вид
/>
/>
Гипотеза о нормальности распределения величин />и />подтверждается.
Определим оценку среднего значения функции:
/>
Определим поправку
/>
Определим оценку стандартного отклонения функции
/>
Определяем доверительный интервал для функции
/>
Законы распределения вероятности результатов измерения />и />признаны нормальными, />можно определить для принятой доверительной вероятности />из таблиц для распределения Стьюдента. При этом число степеней свободы />определяется из выражения
/>
Используя правила округления, получим:
/>
Результат запишется в виде:
/>
Задание 5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей
Условие задания
При многократных совместных измерениях величин />и />получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии />по />: />.
/>
1
2
3
4
5
6
7
/>
61;602
62;613
63;620
64;631
65;639
66;648
67;656
/>
8
9
10
11
12
13
14
/>
68;662
69;667
70;682
9;87
19;188
29;286
39;386
/>
15
16
17
18
19
20
/>
49;485
59;575
69;667
79;770
89;868
99;966
/>
В качестве прямой регрессии будем использовать прямую вида
/>.
Параметры прямой определим по методу наименьших квадратов.
/>
Далее проверяем правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует применить критерии серий и инверсий.
Рассчитываем отклонения экспериментальных значений от соответствующих расчетных значений, рассчитанных для того же аргумента:
/>
/>
1
2 продолжение
--PAGE_BREAK--
3
4
5
6
7
/>
-4,67
-0,67
0,33
3,33
5,33
-1,67
5,93
/>
8
9
10
11
12
13
14
/>
7,23
4,53
5,83
4,13
3,43
1,73
-1,97
/>
15
16
17
18
19
20
/>
-6,67
-6,67
-1,37
-0,67
0,33
1,33
последовательность ∆Yi записана по мере возрастания Х
/>
Критерий серий:
Рассчитываем число серий в полученной последовательности: N=6
Задавшись доверительной вероятностью />/>, для n=20 определяем по таблице допустимые границы />и />:
/>
Критерий инверсий:
Рассчитываем число инверсий А в полученной последовательности />: А=106.
Задавшись доверительной вероятностью />/>для n=20 определяем по таблице допустимые границы />и />:
/>
Оба неравенства выполняются />и />. Поэтому можно считать, что рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость.