Введение
Эффективность обучения, вчастности обучения математике, во многом зависит от того, насколько учащиесязаинтересованы в изучаемом предмете. Поэтому проблема развития познавательногоинтереса учащихся привлекает внимание, как исследователей, так и практиков.Познавательный интерес взаимосвязан со многими сторонами учебного процесса. Онвыступает одновременно как результат, обусловленный способом организацииучебной деятельности, так и как средство повышения эффективности обучения.
Успешностьобучения школьников напрямую зависит от степени заинтересованности в предмете.Достижения же учеников способствуют развитию познавательного интереса.Следовательно, успешность в обучении постоянно взаимодействует с познавательныминтересом учащегося, эти явления постоянно влияют друг на друга. Чтобы развитьэтот интерес, нами предлагаются старинные текстовые занимательные задачи,которые способствуют активизации познавательной деятельности на урокематематики с помощью своего занимательного, необычного, а иногда сложного дляпонимания содержания условия задачи, и сопровождение некоторых задачисторическим материалом.
Целью дипломной работыявляется рассмотрение возможности применения занимательного задачного материаладля активизации познавательной деятельности учащихся при обучении решениютекстовых задач.
Для достиженияпоставленной цели были поставлены следующие задачи:
1) анализпсихолого-педагогической литературы с целью выявления психологическихособенностей школьников 11 – 15-летнего возраста;
2) анализ учебнойлитературы различных авторских коллективов для 5 – 8 классов;
3) составление банкастаринных занимательных текстовых задач по некоторым темам основной школы;
4) составлениеметодических рекомендаций по их использованию.
Дипломная работа состоитиз введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.
В первой главе«Теоретические основы организации познавательной деятельности учащихся приобучении решению текстовых задач» рассматриваются психолого-педагогическиеособенности детей 11 – 15-летнего возраста, дан сравнительный анализсовременных учебников для общеобразовательных школ, говорится о приемах решениятекстовых задач и об активизации познавательной деятельности на этапе поискарешения задачи. А также говориться о роли и месте текстовых задач в обученииматематике.
Во второй главе«Применение занимательного задачного материала на уроках математики»представлены старинные текстовые задачи по некоторым темам школьного курса. Комногим задачам помимо стандартного приведены старинные способы решения, а такжеисторические сведения.
Глава 1. Теоретическиеосновы организации познавательной деятельности учащихся при обучении решениютестовых задач
§1. Психолого-педагогическиеособенности детей 11-15-летнего возраста
Одна изосновных трудностей профессии учителя состоит не только в необходимости знатьдосконально учебный материал уроков, в умении правильно выбрать и применитьметоды и приемы преподавания. Столь же важно и умение использовать в своей работезнания о возрастных особенностях учащихся данного возраста, знание возрастной ипедагогической психологии.
Далее мыподробнее рассмотрим психолого-педагогические особенности подростковоговозраста.
Подростковыйвозраст — стадия онтогенетического развития между детством и взрослостью (от 11до 15 лет), которая характеризуется качественными изменениями, связанными споловым созреванием и вхождением во взрослую жизнь. [27]
Л.С.Выгодский перечислил несколько основных групп наиболее ярких интересов подростка,которые он назвал доминантами [30; 145]:
— эгоцентрическаядоминанта (интерес подростка к собственной личности);
— доминанта дали (установка подростка на обширные, большие масштабы, которые длянего наиболее субъективно приемлемы, чем ближние, текущие, сегодняшние);
— доминанта усилия (тяга подростка к сопротивлению, преодолению, к волевымнапряжениям, которые иногда проявляются в упрямстве, хулиганстве, борьбе противвоспитательного авторитета, протесте и других негативных проявлениях);
— доминанта романтики (стремление подростка к неизвестному, к рискованному, кприключениям, к героизму).
Вподростковом возрасте ведущую роль играет общение со сверстниками в контекстесобственной учебной деятельности подростка. Присущая детям этого возрастадеятельность включает в себя такие ее виды, как учебная,общественно-организационная, спортивная, художественная, трудовая. Привыполнении этих видов полезной деятельности у подростков возникает осознанноестремление участвовать в общественно необходимой работе, становитьсяобщественно значимым. Он учится строить общение в различных коллективах сучетом принятых в них норм взаимоотношений, рефлексии собственного поведения,умения оценивать возможности своего «Я». Это наиболее сложный переходныйвозраст от детства к взрослости, когда возникает центральное психическое,личностное новообразование человека – «чувство взрослости». Специфическаясоциальная активность подростка заключается в большей восприимчивости кусвоению норм, ценностей и способов поведения, которые существуют в миревзрослых и в их отношениях.
Какотмечает В.А. Караковский [5; 176], младшему подростку особенно присущипотребность в достойном положении в коллективе сверстников и семье; стремлениеобзавестись верным другом; стремление избежать изоляции как в классе, так и вмалом коллективе; повышенный интерес к вопросу о «соотношении сил» в классе;стремление отмежеваться от всего подчеркнутого детского; отсутствие авторитетавозраста; отвращение к необоснованным запретам; восприимчивость к промахам учителей;переоценка своих возможностей, реализация которых предполагается в отдаленномбудущем; отсутствие адаптации к неудачам; тенденция предаваться мечтаниям;боязнь осквернения мечты; повышенный интерес к спорту и т.д. Наряду с этиммладший подросток характеризуется повышенной утомляемостью, ярко выраженнойэмоциональностью, иногда резкостью в суждениях (до грубости). К концу периодамладшего подростничества учащиеся начинают осознавать необходимостьсамостоятельного выбора дальнейшей программы образования, что предполагаетсформированность достаточно устойчивых интересов и предпочтений, ориентацию вразличных сферах труда и общественно полезной деятельности.Показательнодля подросткового возраста и отношение к авторитету. Если в младшем школьномвозрасте авторитет учителя не менее значим, чем авторитет семьи, то дляподростка проблема авторитета взрослого не самоочевидна. С одной стороны,позиция подростка «я — взрослый» как бы противопоставляет его взрослым, сдругой их авторитет остается важным фактором его жизни. Сохранению авторитетавзрослого (учителя) способствует следующее: «1) неизменность общественногоположения подростка, он был и остается учеником, школьником; 2) его полнаяматериальная зависимость от родителей, которые наряду с учителями выступают вроли воспитателя; 3) отсутствие у подростка умения… действоватьсамостоятельно». [5; 178]
В этомвозрасте главная ценность – система отношений со сверстниками, взрослыми,подражание осознаваемому или бессознательно следуемому «идеалу», устремленностьв будущее (недооценка настоящего). Отстаивая свою самостоятельность, подростокформирует и развивает на основе рефлексии свое самосознание, образ «Я»,соотношение «реального» и «идеального Я». На основе интеллектуализациипсихических процессов происходит их качественное изменение по линии все большейпроизвольности, опосредованности.
Этаэпоха отрочества соотноситься с макрофазой индивидуализации, которая, по А. В.Петровскому, «характеризуется поиском средств и способов для обозначения своейиндивидуальности…» [5; 177]
Поэтому,учителю на уроках не обойтись без учета важных особенностей возраста: тенденцияк утверждению своей исключительности, «индивидуальности» и эмоциональноеудовлетворение от исследовательской деятельности. Благоприятной ситуациейучения для подростков является ситуация успеха, которая обеспечивает имэмоциональное благополучие. Страх перед неуспехом, боязнь поражения поройприводит подростков к поиску благовидных причин, чтобы не пойти в школу илиуйти с урока. Поэтому надо обеспечить ему эту ситуацию успеха, с использованиемдифференцированного подхода.
Всетрудности, противоречия и преимущества непосредственно связаны с особенностямиразвития психических процессов подростков: ощущение, восприятие, память,внимание, мышление.
Ощущение
Очень важно, что ребёнокощущает, когда «прикасается» к тому, о чём до этого только слышал. В этотмомент главное, чтобы возникло ощущение лёгкости восприятия и понимания новогопредмета, что ничего сложного, например, в обыкновенных дробях, десятичной записичисла, или решении задач не «по действиям», а с помощью составления уравнениянет. Таким образом, если ученика не пугать контрольными, то ощущение в моментих написания не будет стрессовым, и как следствие, оценка за работу будетгораздо выше, понимание пройденной темы останется более глубоким.
Вообще, в психологииощущением называют «результат сознательной деятельности, дифференциации,выделения отдельных чувственных качеств внутри восприятия»[29; 177].
Во время уроков ощущениеот предметов, объектов, действий происходит на 90% за счет зрительнойинформации. Зрение даёт информацию о цвете, размере, объёме, отдалённостипредмета. Поэтому важно, при обучении математике, использовать принципнаглядности, а именно – использовать таблицы и схемы, модели предметов,раздаточный материал, постоянно приводить примеры из окружающего мира,связанные со свойствами изучаемых объектов, и т.д.
Кроме зрительноговосприятия, ведущую роль играет слуховое восприятие, то есть ощущение,вызванное раздражением слуховых рецепторов. Чем меньше постороннего шума науроке математики, из-за обсуждения школьниками посторонних тем, не связанных стемой урока, а тем более, шума, следствием которого является плохое поведениена уроке, тем больше шансов понять тот или иной материал гораздо быстрее икачественнее. Здесь, также стоит отметить, что голос учителя на уроке, егоинтонация, громкость дают разные ощущения и восприятия от преподаваемогоматериала.
Восприятие
Известно, что прием ипереработка человеком поступившей через органы чувств информации завершаетсяпоявлением образов предметов или явлений. Процесс формирования этих образовназывается – восприятием. Итак, «восприятие – целостное отражение предметов,ситуаций и событий, возникающее при непосредственном воздействии физических раздражителейна рецепторные поверхности органов чувств» [28]
Одну и ту же информациюдети воспринимают по–разному, в зависимости от своих интересов, потребностей,способностей и т. п. Восприятие зависит от прошлого опыта, от содержанияпсихической деятельности человека.
Восприятие обладает рядомсвойств:
1) целостность, т. е.восприятие есть всегда целостный образ предмета;
2) константность –благодаря ей окружающие предметы воспринимаются как относительно постоянные поформе, цвету, величине.
3) осмысленность –восприятие тесно связано с мышлением, с пониманием сущности предмета.
4) избирательность –проявляется в преимущественном выделении одних объектов над другими.
В зависимости от того, вкакой степени целенаправленна будет деятельность ребенка, восприятие разделяютна непреднамеренное и преднамеренное.
Непреднамеренноевосприятие может быть вызвано как особенностями окружающих предметов (ихнеобычность, яркость), так и соответствием этих предметов интересам. Внепреднамеренном восприятии нет заранее поставленной цели.
Преднамеренное восприятиес самого начала регулируется задачей – воспринимать тот или иной предмет,явление, ознакомиться с ним.
Стоит отметить, что вначале подросткового периода формируется преднамеренное восприятие. Ученикиначинают постепенно воспринимать те явления, предметы, которые необходимы длядостижения поставленной цели, даже если эти предметы и явления не столь ихинтересуют. Восприятие начинает становиться более избирательным,целенаправленным, анализирующим.
Память
Память — это психический процесс запечатления, сохранения ивоспроизведения прошлого опыта [32] .
Процессзапоминания у подростков приобретает целенаправленный характер. Их памятьстановится продуктивной и точной, у них развиваются навыки преимущественносмыслового запоминания, и в связи с этим проявляется резко отрицательноеотношение к механической памяти — «зубрежке». Такое пренебрежение можетсопровождаться отрицательным отношением вообще к необходимости серьезноработать над запоминанием, заучиванием учебного материала.
Повремени хранения материала у подростков преобладает кратковременная идолговременная память.
Кратковременная память: в среднем время удержания информациив памяти составляет несколько минут. Чтобы продлить его, надо повторятьинформацию, так как новая информация немедленно вытесняет первую. Результатыэкспериментов [32] показывают, что объем кратковременной памяти — 7 ± 2структурные единицы (объем измеряется в тех единицах, в которых предъявляетсяматериал). Поскольку объем памяти ограничен, необходимо:
— создатьприоритетность информации;
— организовать информациюв блоки, сжать ее в меньшее число оперативных единиц.
Долговременнаяпамять не ограничена ни объемом, ни временем хранения. Чтобы лучше сохранитьинформацию, надо повторить ее через 15 — 20 минут, затем через 8-9 часов, инаконец, через 24 часа. Наилучшее время для запоминания — с 8 до 12 утра.Информация в долговременной памяти не пропадает, а лишь затрудняется доступ кней.
По типузапоминаемого материала подростки обладают двигательной, эмоциональной иобразной памятью. Последняя в свою очередь делится на зрительную и слуховую.Внимание
Внимание – это особоесвойство человеческой психики. Оно не существует самостоятельно, вне мышления,восприятия, работы памяти. Нельзя быть просто внимательным – можно бытьвнимательным, выполняя какие-либо действия. Поэтому вниманием называютизбирательную направленность сознания на выполнение определенной работы. Формыпроявления внимания многообразны. Оно может быть направлено на работу органовчувств (зрительное, слуховое внимание), на процессы запоминания, мышления, надвигательную активность.
Внимание обладаетопределенными особенностями, которые во многом являются характеристикойчеловеческих способностей и возможностей. Основные свойства внимания: объем,сосредоточенность (концентрация), распределяемость, устойчивость, колебание,переключаемость.
Объем внимания измеряетсятем количеством объектов, которые воспринимаются одновременно. Объем вниманиязависит не только от генетических факторов и от возможностей кратковременнойпамяти человека, но и от жизненного опыта, от поставленной цели, отособенностей воспринимаемых объектов. Объединенные по смыслу объектывоспринимаются в большем количестве, чем не объединенные. У ребенка объемвнимания равен 2 — 4 объектам.
Концентрация вниманиявыражается в степени сосредоточенности на объекте. Чем меньше круг объектоввнимания, чем меньше участок воспринимаемой формы, тем концентрированнеевнимание. Концентрация внимания обеспечивает углубленное изучение познаваемыхобъектов, вносит ясность в представление человека о том или ином предмете, егопредназначении, конструкции, форме.
Распределение вниманиявыражается в умении одновременно выполнять несколько действий или вестинаблюдение за несколькими процессами.
Устойчивость вниманияхарактеризуется длительностью сосредоточенности, умением не отвлекаться втечение определенного периода времени. Необходимым условием устойчивостивнимания является разнообразие впечатлений или выполняемых действий. И об этомне стоит забывать учителю при подготовке к уроку.
Свойством,противоположным устойчивости, является отвлекаемость. Отвлекаемость вниманиявыражается в колебаниях внимания, которые представляют собой периодическоеослабление внимания к конкретному объекту или деятельности. Следует учесть, чтоколебание внимания происходит даже при очень сосредоточенной работе.
Переключение вниманиясостоит в перестройке внимания, в переносе его с одного объекта на другой.
Различают три видавнимания: непроизвольное, произвольное и послепроизвольное.
Непроизвольное внимание –это сосредоточение внимания на предмете в силу его каких-то особенностей. Здесьотсутствуют усилия ребенка направленные на сосредоточение. Внимание привлекаеттак называемый раздражитель. Новизна раздражителя также вызывает непроизвольноевнимание. Большое значение в возникновении непроизвольного внимания имеютинтеллектуальные, эстетические и моральные чувства. Предмет, вызвавший уребенка интерес, удивление, восхищение, восторг продолжительное время приковываетего внимание.
Произвольное внимание –это сознательно регулируемое сосредоточение на объекте. Здесь учениксосредотачивается не на том, что ему интересно и приятно, а на том, что емунадо сделать. Произвольно сосредотачиваясь на объекте, ребенок прилагает некиеволевые усилия, которые и поддерживают внимание в течение процессадеятельности. Произвольное внимание возникает, когда ученик ставит перед собойцель деятельности, достижение которой требует сосредоточенности. Важнымусловием поддержания внимания является психическое состояние ученика.Утомленному ребенку очень сложно сосредоточить внимание. Значительно ослабляетпроизвольное внимание эмоциональное возбуждение, вызванное постороннимипричинами.
Если говорить оподростках, то их внимание характеризуется несколько большим объемом, посравнению с младшими школьниками. Ребята уже в состоянии восприниматьдостаточно большое количество объектов одновременно. Стоит отметить, чтовнимание становится более устойчивым, но, в то же время, для этого возраста характерначастая отвлекаемость. Также внимание обладает специфичной избирательностью. Вэтот период происходит становление произвольного внимания.
Мышление
Любое проявлениепонимания связано с двумя универсальными субъектно-личностными факторами — мышлением и языком. Если говорить о мыслительной деятельности людей, то онасовершается с помощью мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение,абстрагирование, обобщение, конкретизация). Чем большим числом операций владеетчеловек, тем быстрее и осознаннее он воспринимает новый материал.
«Мышление – это движениемысли, раскрывающее связь, которая ведёт от отдельного к общему и от общего котдельному. Мышление – это опосредованное – основанное на раскрытии связей,отношений, опосредований – и обобщённое познание объективной реальности» [29; 310].
Человек много знает обокружающем его мире. Он знает химический состав далеких звезд, ему знаком мирэлементарных частиц, он познает законы высшей нервной деятельности, он знает осуществовании рентгеновских лучей, ультразвуков, хотя не имеет возможностивоспринимать все это. Человек отражает в сознании не только предметы и явления,но и закономерные связи между ними. Например, люди знают закономерную связьмежду температурой и объемом тела, им известно отношение между сторонамипрямоугольного треугольника, они понимают связь между господствующими ветрами,широтой, высотой местности над уровнем моря, отдаленностью от моря, с однойстороны, и климатом — с другой.
Что у данной фигуры триугла или, что потолок белый, доказывать не надо. Это воспринимается человекомнепосредственно, с помощью анализаторов. А вот что квадрат гипотенузыпрямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов — этого никто неспособен видеть непосредственно, как бы внимательно он ни вглядывался впрямоугольный треугольник и каким бы острым зрением ни обладал. Такого родапознание не является непосредственным показанием наших анализаторов, аявляется, как говорят, опосредованным познанием.
Мышление представляетсобой опосредованное сознание, то есть, например, мы не видели, как решализадачу и получили ответ, но мы видим решение и ответ, значит, мы делаем вывод,что задача решена. Или, например, человек, сидящий в комнате, хочет узнать,какова температура снаружи. Для этого есть разные возможности — почувствоватьэту температуру своим кожным анализатором непосредственно (выйдя на улицу) илипосмотреть на термометр, прикрепленный снаружи у окна. В последнем случаечеловек о температуре узнает опосредованно. Воспринимая одно, человек судит о другом.Иначе говоря, опосредованное познание предмета или явления осуществляетсяпосредством восприятия другого предмета или явления, закономерно связанного спервым.
Вообще говоря, мы мыслимс помощью понятия явлений окружающего мира. Возникает понятийное мышление несразу, а появляется только к 13-15 годам. Значит, у подростков оно находится настадии развития, и этому виду мышления надо уделять огромную роль. В качествесредств понимания многие исследователи предлагают использовать определённуюорганизацию учебного материала: индивидуальные задания; различныеинтерпретации, раскрывающие смысл понятия; перевод с одного языка на другой (срусского на язык математики, то есть язык символов); системы вопросов; диалог идр.
Подростки в основномнаходятся на эмпирическом уровне мышления, они практически не задают вопросовучителю, отвечают формально, заученно. Возраст учеников таков, что они частослушают и даже внимательно, но не слышат, не могут самостоятельно увидетьпроблему, и организовать полноценный диалог становится проблематичным.
Учитывая специфику школьного предметаматематики: высокую абстрактность его понятий, которая выражается впреобладании синтаксиса изложения (формы) в ущерб семантике, большую роль дляорганизации обучения, нацеленного на понимание (в узком смысле), имеют двафактора — содержательный анализ учебного материала и диалог. Умение проводитьсодержательный анализ составляет первый уровень теоретического мышления — аналитический. Он состоит в умении находить закономерные связи, внутренниеотношения, то есть раскрывать сущность вещей, закономерности их развития,выделять генетическую основу рассматриваемых объектов, устанавливать связиединичных явлений внутри некоторого целого.
Мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляетсяпри решении задач. Любая мыслительная деятельность начинается с вопроса,который ставит перед собой человек, не имея готового ответа на него. Иногдаэтот вопрос ставят другие люди, но всегда акт мышления начинается сформулировки вопроса, на который надо ответить, задачи, которую надо решить, сосознания чего-то неизвестного, что надо понять, уяснить.
§2. Текстовые задачи в обученииматематике
1. Место и роль текстовыхзадач в курсе алгебры современной школы
Обучение математике черезрешение задач означает такую организацию учебного процесса, при которой череззадачи, через их решение реализуется триединая цель обучения (обучающая,развивающая и воспитательная цели).
Под обучающей функцией,понимаются те задачи которые направлены на формирование у школьников системызнаний, умений и навыков. Эти знания, умения и навыки могут быть предусмотреныпрограммой или служить ее расширению и углублению на различных этапах ееусвоения.
Под воспитательнымифункциями задач понимают:
1) возбуждение и поддержаниеинтереса к математике;
2) воспитание ушкольников ответственного отношения к математике;
3) воспитание потребностиумения учится математике.
Развивающие функции задач:
1) формирование уменийэффективно в изучении математики при использовании методов научного познания,такие как: наблюдение, сравнение, противопоставление, анализ, синтез, обобщениеи др.;
2) овладение элементарнойлогической грамотностью;
3) овладение умениемвыполнять умозаключения индуктивного и дедуктивного характера;
4) умение правильноставить мыслительный и/или практический опыт, выдвигать гипотезы, проверять их;
5) умение осуществлятьвыбор средств и методов для достижения поставленной цели, учитывая конкретныеусловия;
6) умение переводитьпростейшие ситуации жизненного характера на математический язык.
В соответствии с этимзадачи в процессе обучения выступают как средство организации и управленияучебно-познавательной деятельностью школьников на различных ее этапах:репродукция, эвристика, исследование.
Задачи играют большуюроль и в формировании мышления. Советский психолог О.К. Тихомиров такохарактеризовал связи между решением задач и мышлением «мышление психологическивыступает как деятельность по решению задач».[6] Таким образом, можноутверждать, что решение текстовых задач позволяет более эффективно формироватьмышление школьников.
Задачи в школьном курсетакже выступают как средство связи теории с практикой, что соответствует одномуиз дидактических принципов обучения, а именно принципу прикладнойнаправленности обучения.
Каждая задача вопределенном месте учебного процесса может выполнять различные функции.Например, одна и также задача может выполнять функцию мотивации при введениинового математического понятия. Также эта задача может служить демонстрациейлогики рассуждений и образцом оформления условия и решения. Эту же задачу можноприменять для отработки навыка в решении задач под руководством учителя, а такжепри самостоятельном решении ее учеником. Задача может нести функции контролязнаний и умений. Задача может развивать творчество учащихся, если задачапредполагает несколько способов решения.
2. Этапы решениятекстовой задачи
В школьном образованиитекстовые задачи всегда занимали особое место. Ещё задолго до нашей эры вДревнем Египте, Вавилоне, Китае, Индии были известны разнообразные методы решениятекстовых задач.
Текстовая задачапредставляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т.п.Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление,а лишь его количественные и функциональные характеристики. [4; 7] Основнаяособенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо,какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответана требование задачи. Задачи в обучении выступают в процессе обучения исредством стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельностишкольников. В своей работе мы рассматриваем текстовые задачи, которые могутспособствовать активизации познавательной деятельности учащихся на уроке, дляэтого были подобраны задачи с необычным содержанием, задачи в стихах,нестандартные методы решения задач.
Существуют различныеметоды решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический,логический и др.
Решить задачуарифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредствомвыполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можнорешить различными арифметическими способами. [4; 14]
Решить задачуалгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составиви решив уравнение или систему уравнений. Одну и ту же задачу можно также решитьразличными алгебраическими способами. Задача считается решенной различнымиспособами, если для ее решения составлены различные уравнения или системыуравнений, в основе составления которых лежат различные соотношения междуданными и искомыми. [4; 15]
Решить задачугеометрическим методом – значит найти ответ на требование задачи, используягеометрические построения или свойства геометрических фигур. [4; 15]
Решить задачу логическимметодом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняявычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задачмогут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых являетсязадача о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание». [4; 16]
Решение любой текстовой задачисостоит из нескольких этапов: [4]
1. Анализ содержаниязадачи.
2. Поиск путирешения задачи и составление плана ее решения.
3. Осуществлениеплана решения задачи.
4. Проверка решениязадачи.
5. Формулировкаокончательного ответа на вопрос задачи.
6. Дополнительнаяработа над решенной задачей.
Рассмотрим некоторыеэтапы решения задачи.
1. Анализ содержаниязадачи.
Основная цель ученика напервом этапе — это понять задачу. Ученик должен четко представить себе: о чемэта задача? Что в задаче известно? Что нужно найти? Как связаны между собой данные(числа, величины, значения величин)? Какими отношениями связаны данные инеизвестные, данные и искомое? Что является искомым: число, отношение,некоторое утверждение?
Можно выделить следующиевозможные приемы выполнения первого этапа решения текстовой задачи.
1. Представлениежизненной ситуации, описанной в задаче, мысленное участие в ней. С этой цельюполезно после чтения задачи предложить учащимся представить себе то, о чемговорится в задаче, и предложить нарисовать словесную картинку.
2. Разбиение текстана смысловые части и выделение на этой основе необходимой для поиска решенияинформации.
Например: «Один человек выпьет кадь пития в 14дней, а с женою ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особенно выпьет туже кадь?»
3. Переформулировкатекста задачи: замена описания данной в ней ситуации другой, сохраняющей всеотношения и зависимости и их количественные характеристики, но более явно ихвыражающие.
Цель переформулировки —опустить несущественные детали, уточнить и раскрыть смысл существенныхэлементов.
Рассмотрим на примерепростой задачи: «Утром в магазине было 30 книжных шкафов. К концу рабочего дняосталось 12 шкафов. Сколько шкафов продали за день?» — удобнее искать, еслитекст ее будет сформулирован так: «Было 30 шкафов. Осталось 12 шкафов. Сколькошкафов продали?»
4. Очень важно приработе над задачей научить учащихся выделять основные (опорные) слова, которыесвязаны с действием, соответствующим сюжету.
2. Поиск пути решения задачи исоставление плана ее решения
Цель ученика на второмэтапе — выделить величины, данные и искомые числа, входящие в задачу,установить связи между данными и искомым и на этой основе выбратьсоответствующее действие.
Использование различныхметодических приемов при обучении решению текстовых задач способствует развитиюкругозора учащихся, правильному пониманию математического смысла различныхжизненных ситуаций, активизирует их познавательную активность. На данном этапеиспользуются различные способы моделирования.
1. Предметноемоделирование.
Рассматривается,например, задача: «У Лены было 6 карандашей, а у Тани 4 карандаша. Сколькокарандашей у обеих девочек?» К доске выходят две девочки. У одной из них в руке6 карандашей, у другой — 4 карандаша. Такое воспроизведение уточняетпредставления детей, возникшие при восприятии ими задачи.
2. Графические модели(это рисунки и чертежи, которые помогают понять задачу, организовать поиск еерешения).
Рисунок может быть таким,что по нему, не выполняя арифметического действия, легко дать ответ напоставленный в задаче вопрос, например: Задача Л. Эйлера[1]«Крестьянка принесла на рынок некоторое число яиц. Первому покупателю онапродала половину того, что имела, и еще пол-яйца; второму – половину того, чтоу нее осталось, и еще пол-яйца; третьему – половину нового остатка и ещепол-яйца; четвертому – половину того, что осталось, и еще пол-яйца. После этогоу нее ничего не осталось. Сколько яиц было у нее вначале?»
Решение:
Что было у крестьянкиперед встречей с четвертым покупателем? Что-то, половина чего была продана,после чего осталось пол-яйца. Но, значит, пол-яйца были второй половиной того,что у нее было. Значит, перед встречей с четвертым покупателем у крестьянкибыло одно яйцо. Нарисуем его в виде одной клетки. Перед встречей с третьимпокупателем у нее было это яйцо и те пол-яйца, которые она продала третьему, ивсе это составляло половину того, что она имела. Значит, пририсуем пол-яйца иудвоим полученное – эти три яйца были у крестьянки перед встречей с третьимпокупателем. Аналогично, пририсовав к трем яйцам пол-яйца и удвоив полученное,будем иметь семь яиц, имевшиеся у нее перед встречей со вторым покупателем. Проделавеще раз эту операцию, узнаем, сколько было у нее яиц в самом начале.
текстовыйзадача математика познавательный
/>
Ответ: 15 яиц.
Заметим, что полученный ответ следует проверить: 1-мупокупателю продано 15/>2 + 0,5 = 8 яиц, после чего осталось7 яиц, 2-му покупателю продано 7/>2 + 0,5 = 4 яйца, после чегоосталось 3 яйца, 3-му покупателю продано 3/>2 + 0,5 = 2 яйца, после чегоосталось 1 яйцо, 4-му покупателю продано 1/>2 + 0,5 = 1 яйцо, после чего не осталосьничего.
3. Схематическая модель —это краткая запись задачи (в методической литературе рассматриваются различныевиды краткой записи). Например: «Средний из трех братьев старше младшего на два года, авозраст старшего брата превышает сумму лет двух остальных братьев четырьмягодами. Найти возраст каждого брата, если вместе им 96 лет»
Схематическая запись: Первому брату x – лет, второму 2+x, а третьему x+2+x+4
3. Осуществление планарешения задачи
Выбрав какой-нибудь методрешения, учащиеся переходят к его выполнению, т. е. к третьему этапу решениязадачи.
Выполнение плана решениязадачи представляется учеником устно или письменно (целиком или фрагментарно).Иногда выполняемые записи или построения сопровождаются устным комментарием.
4. проверка решениязадачи
Способов проверки решениязадачи много:
· Самыйэлементарный – прикидка ответа (установление границ искомого числа). Прикидкапозволяет заметить неправильность рассуждения, несоответствие между величинами,но для многих задач она не применима.
· Самый полезный,универсальный – составление и решение обратной задачи. Этот способ проверкиразвивает мышление, способность рассуждать, но является громоздким и отнимаетмного времени.
· Самый надежныйспособ проверки – решение задачи другим способом. Во второй главе приведеномножество задач, решенных двумя способами.
6. Дополнительная работа над решеннойзадачей.
Эффективным средствомформирования творческой активности и мышления учащихся, дающим возможностьболее полно реализовать обучающие, развивающие и воспитывающие функции задач,является дополнительная работа над уже решенной задачей:
· изменение условиязадачи;
· постановка новоговопроса;
· сравнениесодержания данной задачи и ее решения с содержанием и решением другой задачи;
· анализ выполненногорешения;
· обоснованиеправильности решения;
· составление задачпо аналогии.
Таким образом,практическая ценность обучения школьников решению текстовых задачразнообразными методами в современных условиях заключается совсем не в том, чтоэто обучение раз и навсегда вооружит их примерами решения различных задач,возникающих на практике и в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит ихопыт мыслительной деятельности. Использование на уроках математики старинныхзанимательных задач способствует развитию мышления и речи, развитиюсообразительности и памяти.
§3. Активизация познавательнойдеятельности учащегося. Познавательный интерес
Обучение – самый важный и надежный способполучения систематического образования. Оно отражает все существенные свойствапедагогического процесса (двусторонность, направленность на всестороннееразвитие личности, единство содержательной и процессуальной сторон).
Будучи сложным и многогранным, специально организуемым процессомотражения в сознании учащегося реальной действительности, обучение есть не чтоиное, как специфический процесс познания, управляемый педагогом. Именнонаправляющая роль учителя обеспечивает полноценное усвоение учащимися знаний,умений и навыков, развитие их умственных сил и творческих способностей.
Проблема активизации познавательной деятельности учащихся одна изактуальных задач педагогики.
Познавательная деятельность – это единство чувственного восприятия,теоретического мышления и практической деятельности. Она осуществляется накаждом жизненном шагу, во всех видах деятельности и социальных взаимоотношенийучащихся (производительный и общественно полезный труд,ценностно-ориентационная и художественно-эстетическая деятельность, общение), атакже путем выполнения различных предметно-практических действий в учебномпроцессе (экспериментирование, конструирование, решение исследовательских задачи т.п.). Но только в процессе обучения познание приобретает четкое оформление вособой, присущей только человеку учебно-познавательной деятельности или учении.
Обучение всегда происходит в общении и основывается навербально-деятельностном подходе. Слово одновременно является средствомвыражения и познания сущности изучаемого явления, орудием коммуникации иорганизации практической познавательной деятельности учащихся.
Обучение, как и всякий другой процесс, связано с движением. Оно, как ицелостный педагогический процесс, имеет задачную структуру, а, следовательно, идвижение в процессе обучения идет от решения одной учебной задачей к другой,продвигая учащегося по пути познания: от незнания к знанию, от неполного знанияк более полному и точному. Обучение не сводится к механической «передаче»знаний, умений и навыков, т.к. обучение является двусторонним процессом, вкотором тесно взаимодействуют педагоги и учащиеся: преподавание и учение.
Отношение учащихся к учению преподавателя обычно характеризуетсяактивностью. Активность – это такое качество деятельности, которое характеризуетсявысоким уровнем мотивации, осознанной потребностью в усвоении знаний и умений,результативностью, она определяет степень (интенсивность,прочность) «соприкосновения» обучаемого с предметом его деятельности.
В структуре активности выделяются следующие компоненты: ·готовность выполнять учебные задания; ·стремление к самостоятельной деятельности; ·сознательность выполнения заданий; ·систематичность обучения; · стремлениеповысить свой личный уровень и другие.
С активностью непосредственно сопрягается еще одна важная сторонамотивации учения учащихся – этосамостоятельность, которая связана с определением объекта, средствдеятельности, её осуществления самим учащимся без помощи взрослых и учителей.Познавательная активность и самостоятельность неотделимы друг от друга: болееактивные школьники, как правило, и более самостоятельные; недостаточнаясобственная активность учащегося ставит его в зависимость от других и лишаетсамостоятельности.
По мнению Т.И. Шамовой [36] познавательная активность – одно из ведущихкачеств личности, проявляющееся в направленности и устойчивости познавательныхинтересов, стремлении к эффективному овладению знаниями и способамидеятельности, в мобилизации волевых усилий на достижение учебно-познавательнойцели. Здесь в комплексе появляются эмоциональные, интеллектуальные инравственно-волевые процессы. Это качество деятельности личности формируетсяглавным образом в процессе познания, которое по своей природе связано сцеленаправленной активностью субъекта. В данном случае активность выступает каксредство и условие достижения цели. И, наконец, приведение субъекта в активноесостояние является результатом его взаимодействия с внешней средой.
В педагогических целях целесообразно понимать, что познавательнаяактивность носит индивидуальный характер. Именно потому, что мышление,например, есть мышление данного определенного индивида, всегда остается егомышлением, определяемым его индивидуальностью и теми отношениями, в рамкахкоторых он живет.
С учетом тенденций преобразования школы и общества Т.И. Шамова предлагаетразличать уровни познавательной активности, во-первых, по отношению ученика к учению, котороепроявляется в интересе к содержанию усваиваемых знаний и самому процессудеятельности, во-вторых, по стремлению проникнуть в сущность явлений и ихвзаимосвязей, а также овладеть способами деятельности, а, в-третьих, помобилизации учеником нравственно-волевых усилий на достижение целидеятельности.
Опираясь на этипоказатели, она выделила три основных уровня познавательной активности ипредложила следующие характеристики:
Первый уровень –воспроизводящая активность – характеризуется стремлением ученика понять,запомнить и воспроизвести знания, овладеть способом их применения по образцу.Критерием этого уровня активности может служить стремление ученика понятьизучаемое явление, которое проявляется на уроке в обращении к учителю свопросом, в практической деятельности по выполнению заданий учителя (работа спечатным материалом, дидактическими средствами обучения, решение задачи ит.д.), в систематическом выполнении домашней работы. Этот уровень активности отличаетсянеустойчивостью волевых усилий школьника. Характерным показателем первогоуровня активности является отсутствие у учащихся интереса к углублению знаний, проявляющееся,например, в отсутствии вопросов типа «почему?». При организации воспроизводящейдеятельности учитель пользуется объяснительно-иллюстративным методомпреподавания, что и обеспечивает воспроизводящую активность ученика.
Второй уровень – интерпретирующаяактивность. Она характеризуется стремлением ученика к выделению смыслаизучаемого содержания, проникновению в сущности явления, стремлением познатьсвязи между явлениями и процессами, овладеть способами применения знаний визмененных условиях. Критерием оценки сформированности этого уровня активностибудет являться наличие у школьника стремления узнать у учителя или из другогоисточника причину возникновения явления, проявляющегося в постановке вопросовтипа «почему?», умение объяснить самому природу возникновения явлений,объяснить их взаимосвязь, умение применить знания в измененной ситуации, гдеобразец нужно узнать и для этой цели необходимо самому привести предварительныепреобразования с учебным материалом. Характерным показателем второго уровняпознавательной активности является большая устойчивость волевых усилий, котораяпроявляется в том, что ученик стремиться довести начатое дело до конца, призатруднении не отказывается от выполнения задания, а ищет пути решения. На этомуровне активности ученик проявляет эпизодическое стремление к самостоятельномупоиску ответа на заинтересовавший его вопрос. Сущность деятельности педагога,стремящегося развивать познавательную активность школьников на втором уровне,связана с использованием информационно-поисковых методов обучения, что иобеспечивает частично-поисковый характер деятельности ученика.
Третий уровень –творческий уровень активности – характеризуется интересом и стремлением ученикане только проникнуть глубоко в сущность явлений и их взаимосвязей, но и найтидля этой цели новый способ. На этом уровне активности учащиеся проявляют стремлениеприменить знания в новой ситуации, т.е. произвести перенос знаний и способовдеятельности в условия, которые до сих пор школьнику не были известны.Критерием оценки сформированности третьего уровня познавательной активностиможет служить интерес ученика к теоретическому осмыслению изучаемых явлений ипроцессов, к самостоятельному поиску решения проблем, возникших в процессепрактической и познавательной деятельности. Характерная особенность этогоуровня активности – проявление высоких волевых качеств ученика, упорство инастойчивость в достижении цели, широкие и устойчивые познавательные интересы.Данный уровень активности обеспечивается возбуждением высокой степенирассогласования между тем, что ученик знал, что уже встречалось в его опыте, и новойинформацией, новым явлением. Педагогическим средством, позволяющим включитьуказанный механизм в действие, является организация исследовательскойдеятельности учащихся.
Понятие познавательнойактивности тесно связано с понятием активизации учебно-познавательнойдеятельности, которая рассматривается как процесс создания определенных условийобучения, способствующих повышению познавательного потенциала школьника.
Познавательный интерес
Познавательный интерес выступает как ценнейший мотив учебной деятельности школьников, и это наиболее существенное его проявление. Он усиливает и углубляет другие познавательные мотивы, с которыми он переплетается и взаимодействует: возможность получать знания, узнавать новое, успехи в учении и др.
Также познавательный интерес взаимодействует и с моральными мотивами, главным образом с чувством долга и ответственности. Познавательный интерес выступает не только как мотив и средство обучения, но и как устойчивое качество личности. Пытливость, любознательность, готовность к познавательной деятельности, “жажда знаний” — все это различные выражения познавательной направленности личности, в основе которой лежит познавательный интерес, определяющий активное отношение к миру и к процессу его познания. Познавательный интерес определяет активность в учении, инициативу в постановке познавательных целей. Он определяет поисковый, творческий характер любого вида познавательной деятельности, благоприятствует формированию способностей к творчеству в самых разных видах деятельности.
Г. ИЩукина так определяет познавательный интерес: «Познавательный интерес – этоизбирательная направленность личности, обращенная к области познания, к еепредметной стороне и самому процессу овладения знаниями». [37]
Особое значение, котороеучёные придают познавательному интересу, связано с его важностью для обучения.Важность состоит в том, что познавательный интерес является одним из главныхмотивов обучения. Так по данным Г. И. Щукиной познавательный интерес фигурируетсреди других мотивов обучения как центральный. [37]
Г. И. Щукинасформулировала признаки, отличающие познавательный интерес от других мотивовучения:
1. Познавательный интерес — наиболее предпочитаемыйшкольниками мотив среди других мотивов учения.
2. Познавательный интерес как мотив учения «раньше и болееосознаётся школьниками».
3. Познавательный интерес как мотив носит «бескорыстныйхарактер».
4. Познавательный интерес, «создавая внутреннюю среду развития,существенно меняет силу деятельности, влияет на её характер протекания ирезультат».
5. Познавательный интерес, развивается в кругу других мотивов ивзаимодействует с ними.
Большую роль для формирования интереса к изучению математики играет личность учителя, причем наиболее важной чертой в этом является его увлечённость предметом и преподаванием, желание учителя поверить в возможности ученика, готовность прийти ему на помощь. Учитель должен быть сдержан и терпелив и никогда не допускать грубости по отношению к ученику.
Благотворно влияет на формирование интереса поощрение учителя, его похвала.
Поэтому, задача учителя: сформировать познавательный интерес как устойчивый мотив познавательной деятельности, что составляет прочную основу и направленности личности и её отношение к учению, к духовным ценностям.
Учение – основа развития познавательных интересов учащихся. В учебном процессе, организующем и направляющем познавательную деятельность школьника, заключены важнейшие условия и возможности прямого и косвенного влияния на познавательный интерес. Эти влияния, выступающие как стимулы познавательного интереса систематически и повседневно формируют не только ситуативный интерес, но и содействуют становлению его как самого значимого мотива познавательной деятельности.
Стимуляция познавательных интересов в учебном процессе имеет разные источники и, чтобы управлять формированием интереса, учитель должен ясно осознавать, что именно способствует их возникновению и укреплению.
По мнению Г.И. Щукиной существует три важнейших источника стимуляции познавательных интересов [37]:
1) Содержание учебного материала вызывает удивление перед новыми открытиями, уважение к науке и её представителям, понимание значимости науки для жизненной и общественной практики.
2) Организация познавательной деятельности – рациональная организация обучения рождает удовлетворение собственным продвижением, стремление к преодолению трудностей.
3) Отношения, которые складываются в учебном процессе между учителем и учащимися – учение с учителем, товарищами, в результате чего складываются многозначительные отношения, сопутствуют возникновению иного строя моральных и интеллектуальных переживаний, являющихся также сильными побудителями познавательного интереса. Здесь возникают коллективные сопереживания, радость за успех товарища, стремление оказать ему помощь.
Повышение интереса на уроках математики может достигаться следующим образом:
1) Обогащение содержания материалом по истории науки.
2) Решение задач повышенной трудности и нестандартных задач.
3) Подчеркивание силы и изящества методов вычислений, доказательств, преобразований и исследований.
4) Разнообразие уроков, нешаблонное их построение, включение в уроки элементов, придающих каждому уроку своеобразный характер, использование Т.С.О., наглядных пособий, разнообразие устного счета.
5) Активизация познавательной деятельности учащихся на уроке с использованием форм самостоятельной и творческой работы.
6) Использование различных форм обратной связи: систематическое проведением опросов, кратковременных устных и письменных контрольных работ, различных тестов, математических диктантов наряду с контрольными работами, предусмотренными планом.
7) Разнообразие домашнего задания.
8) Установление внутри и межпредметных связей, показом и разъяснением применения математики в жизни и в производстве.
Развитие познавательногоинтереса на уроках математики.
Интерес к учебномупредмету – направленность личности на процесс овладения знаниями, избирательнообращенная к определенному учебному предмету (к предмету математика). Интерес кучебному предмету выступает как разновидность, частный случай познавательногоинтереса, базирующегося на специфической человеческой потребности в новыхвпечатлениях, новой информации. Выделение интереса к учебному предмету какособого вида познавательного интереса обусловлено спецификой учебнойдеятельности в среднем и старшем звеньях школы.
Любой уровень динамикиразвития познавательного интереса имеет свой основной признак, отличающий егоот других уровней. Выделим четыре уровня развития познавательного интереса курокам математики: любопытство, любознательность, склонность к математическимдисциплинам, устойчивый интерес к обучению.
Раскроем основныедиагностические признаки и проявления интереса к учебной деятельности уучащихся на каждом уровне.
1.Любопытство. Эпизодический интерес к внешнейстороне задач и занимательному материалу. Интересующий предмет непостоянен.Проявляется у учащихся в виде наблюдения различного рода мероприятий, возможнократковременное участие в них, если они чем-либо вызывают положительные эмоции.Вне яркого, занимательного материала интерес отсутствует. Низкий познавательныйинтерес к уроку математики.
2.Любознательность. Положительная реакция насодержательную сторону задачи и занимательного материала вообще. Диапазонинтересов сужается. Интерес концентрирован на одном объекте. Обучаемыестремятся к познанию содержательной стороны объекта: интересуются условиями,содержанием предмета. Однако интерес к математике ситуативен. Учащиесяоживляются, задают вопросы, включаются в деятельность, но интерес не устойчив,быстро угасает. Средний познавательный интерес к уроку математики.
3.Склонность кматематическим дисциплинам. Стремление коткрытию, новые пути реализации полученных решений. Проявляется у обучаемых вактивном стремлении участвовать в различных видах деятельности: выполнятьдолговременные поручения и дополнительные задания, посещать факультативы иклубы. Высокий познавательный интерес.
4.Устойчивый интерес кматематике. Потребностьв апробировании теоретических знаний на основе имеющейся базы. Интерес кматематике имеет профессиональную направленность. Учащиеся положительнооценивают собственные способности, стремятся совершенствовать собственныеумения и навыки. Высший познавательный интерес к урокам математики.
Поэтому, можно сделать вывод, о том,что формирование положительных мотивов учения в качестве одной из самых главныхв обучении математике, т.к. высокий уровень мотивации учебнойдеятельности на уроке и интереса к учебному предмету – это первый фактор,указывающий на эффективность современного урока.
В моей работе былрассмотрен один из факторов побуждения учащихся к активизации познавательнойдеятельности — занимательностьучебного материала. Занимательныетекстовые старинные задачи интересны нетолько формулировкой, но иметодами решения, некоторые решения очень необычны, такие как решение с конца или методложных положений. Проанализировав учебную литературу, мы пришли к выводу, что можно дополнить представленныйзадачный материал стариннымизанимательными задачами.Эти задачибыли отнесены к определенным разделам изучения. Они могут использоваться какпри изучении нового материала, так и при закреплении. На уроке, гдезакрепляется и повторяется материал, ученики как правило, теряют интерес ивнимание, ведь нового они ничего не узнают. Поэтому в учебный материал таких уроков можно инужно включать старинные занимательные текстовые задачи, которые представлены вследующей главе.
§4. Анализучебно-методической литературы
С.М. Никольский, М.К.Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин (5, 6, 7, 8 кл.)
В данных учебникахиспользуются специальные символы для обозначения типа задания. Излагаемыйматериал учебника представлен в виде тем, все из которых начинаются сопределения, введения какого-то понятия, изложения правила, каких-либо свойств,просто объяснительного текста по новой теме. В учебнике имеется достаточноечисло сложных задач. Для каждого нового действия, приема решения задач вучебнике имеется достаточное число упражнений, которые не перебиваютсяупражнениями на другие темы. А упражнения для повторения ранее пройденногоматериала помещены в конце учебника отдельным пунктом.
В учебниках имеетсямножество нестандартных развивающих старинных задач, которые находятся восновном в разделах «Дополнительные задачи», либо «Занимательные задачи», и привведении и нового материала не используются; также имеются историческиесправки, такие как: обозначение дробей и записи чисел, вавилонский способзаписи дробей без знаменателей, исторические сведения о выдающихся математикахразных веков, использование комплексных чисел, решения квадратных уравнений вдревние времена и т.д.
Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И. Шварбурд (5, 6, 8 класс) Знакомство с новымматериалом в учебнике разбито на части, после каждой из которых учащимсяпредлагается решить несколько заданий на новую тему. После изложения нового материалаучащимся предлагается ответить на ряд вопросов, проверить, как они поняли иусвоили материал параграфа.
Практическая частьучебника представлена различными типами заданий, отмеченных каждый своимспециальным символом. Задания располагаются по возрастанию от легких к сложным.
Излагаемый материалучебника представлен в виде тем, которые начинаются с ввода каких-то понятий,определений и правил. Зачастую введение нового материала начинается спостановки проблемной ситуации – учащимся предлагаются задания, в процессевыполнения которых они самостоятельно или с помощью учителя приходят к новымопределениям, правилам или новым свойствам.
Исторических задач вучебнике нет, но в каждом встречаются после определенных параграфов рассказы обистории возникновения и развития математики. Например, говорится о достоинствахмонет, о появлении дробей, о записи десятичных дробей в XV веке, что такое фигурные числа ит.д.
И.И. Зубарева, А.Г.Мордкович (5, 6 классы)
В данных учебниках кподаче нового материала предпринят подход, называемый методом целесообразныхзадач, суть которого состоит в том, что учащимся предлагается система заданий,в процессе выполнения которых они получаютвозможность самостоятельно или с помощью учителя познакомиться с новымсвойством, сформулировать правило, «придумать» новый термин и, даже порой,найти путь доказательства некоторого утверждения.
Кроме самой структурыознакомления с новым материалом несомненным преимуществом этого учебникаявляется наличие заданий на проверку истинности высказываний.
Практическая частьучебника представлена различными типами заданий, отмеченными каждый своимспециальным символом. Задания на повторение ранее пройденного материала,которые позволяют проверить усвоение учениками минимума по соответствующейтеме, содержатся в конце параграфа.
Учебники содержатмножество увлекательных текстовых задач, задач современного характера(упоминается мотоцикл «Харлей Дэвидсон» и т.п.), также есть задачи с участиемсказочных персонажей (Вини-Пух, Карлсон, кот Матроскин и т.п.)
А.Г. Мордкович, Т.Н.Мишустина, Е.Е. Тульчинская (7, 8 классы)
Комплект состоит из двухчастей – учебника и задачника. В данных учебниках используются специальныесимволы для обозначения типа задания. Излагаемый материал учебника представленв виде тем, все из которых начинаются с определения, введения какого-топонятия, изложения каких–либо свойств, алгоритма решения, замечания, после чеговсегда приводятся примеры помогающие лучшему пониманию новой темы. Стильизложения учебников легкий, доступный; в то же время изложение характеризуетсячеткостью, алгоритмичностью. Решение практически всех текстовых задач оформленов виде трех этапов:
Первый этап. Составлениематематической модели.
Второй этап. Работа сматематической моделью.
Третий этап. Ответ на вопросзадачи.
А также рассматриваютсявиды математических моделей: словесная, алгебраическая, графическая игеометрическая модели.
Задачники полностьюсоответствуют структуре изложенных тем в учебнике.
Г.В. Дорофеев. С.Б.Суворова, Е.А. Бунимович и др. (5, 6, 7, 8)
Введение нового материаланачинается с примеров, которые дают четкое и наглядное представление будущегоопределения или понятия, подлежащего изучению. После каждого параграфа даетсядостаточное количество примеров на изученную тему. Также имеются пункты — проверьсебя, для тех, кому интересно, вопросы для повторения и задания длясамопроверки. В учебниках имеется небольшое количество старинных задач, которыенаходятся в разделах для тех, кому интересно, дополнительные задачи, такжеимеется сведения из истории математики.
Все представленные вышекомплекты в большей или меньшей мере содержат материал, способствующий развитиюпознавательного интереса учащихся. Во второй главе нами будут предложенытекстовые занимательные старинные задачи, дополняющие задачный материалдействующих учебников по некоторым темам.
Глава 2. Применениезанимательного задачного материала на уроках математики
Во второй главепредставлены текстовые старинные занимательные задачи — это задачи с интересным содержанием или интереснымиспособами решения. Элемент занимательности облегчит обучение.
Данные задачи разделены последующим разделам:
1) задачи, которыерешаются с помощью различных действий с обыкновенными и десятичными дробями;
2) задачи, решениекоторых может быть осуществлено с конца;
3) задачи, решаемыес помощью составления линейных уравнений;
4) задачи, решаемыес помощью составления систем линейных уравнений;
5) задачи, решаемыес помощью составления квадратных уравнений;
6) задачи по теме«Алгебраические дроби» (8класс).
Ко всем задачам приведенырешения, причем многие из этих решений относятся к старинным методам и, какправило, не представлены в современных учебных пособиях. Однако, на наш взгляд,как было сказано в первой главе, демонстрация учащимся таких методовспособствует развитию интереса к математике, даже тех учеников, которыеувлечены гуманитарными науками, так как приводиться краткая историческаясправка к той или иной задаче.
1. Задачи, которыерешаются с помощью различных действий с обыкновенными и десятичными дробями
В этом разделе подобранызадачи, которые решаются с помощью различных действий с обыкновенными идесятичными дробями. Для решения учащиеся предварительно должны уметь:
· выполнятьарифметические действия с натуральными числами, обыкновенными и десятичнымидробями;
· решать текстовыезадачи арифметическим способом; составлять графические и аналитические моделиреальных ситуаций;
· составлятьалгебраические модели реальных ситуаций и выполнять простейшие преобразованиябуквенных выражений;
· переходить отодной формы записи чисел к другой; представлять десятичную дробь в видеобыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной;
· решать текстовыезадачи, включая задачи, связанные с отношением величин и дробями;
· решать уравненияметодом отыскания неизвестного компонента действия.
В этом разделепредставлены исторические задачи, которые мы рекомендуем для закрепления новогоматериала. Первую задачу лучше дать после изучения темы «умножение и делениесмешанных дробей», вторую задачу после темы «нахождение дроби от числа», третью- «задачи на совместную работу», четвертую после изучении главы «обыкновенные идесятичные дроби», пятую после изучения темы «отношения и пропорции».
1. Лев съел овцуодним часом, а волк съел овцу в два часа, а пес съел овцу в три часа. Инохочешь ведати, сколько бы они все три – лев и волк и пес – овцу съели вместевдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели сами, сочти ми?
Решение: За один час лев,волк и пес вместе съели бы /> овцы. Действительно, /> (овцы)
Тогда одна овца имивместе будет съедена за /> часа.
Задача взята изматематической рукописи XVIIв.
Сам составитель решал этузадачу так: за 12 часов лев съедает 12 овец, волк – 6, а пес – 4. Всего же онисъедят за 12 часов 22 овцы. Следовательно, в час они съедят /> овцы, а одну овцу всевместе – в /> часа.
2. Некто пришел вряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил /> часть всех своих денег,за другую /> остаткаот первой покупки, за третью игрушку заплатил /> остатка от второй покупки, а поприезде в дом нашел остальных в кошельке денег 1 руб. 92 коп. Спрашивается,сколько денег в кошельке было и сколько за вторую игрушку денег заплачено?
Решение:
/> - остаток;
/> (денег) – за первую игрушку;
/> - остаток от второй игрушки;
/> (денег) – стоит вторая игрушка;
/> (денег) – осталось в кошельке;
/> (руб.) было в кошельке;
/> (руб.) – стоила 1 игрушка;
/> (руб.) стоила 2 игрушка;
/> (руб.) стоила 3 игрушка.
3. Один человек выпьеткадь пития в 14 дней, а с женою ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, вколико дней жена его особенно выпьет ту же кадь?
Решение: Решение этойзадачи очень простое. Человек выпивает в день /> кади, а вместе с женой — /> кади.Следовательно, жена выпивает в день />кади. Таким образом, всю кадь женавыпьет за 35 дней.
4. Некий человек нанялработника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю,поработав 7 месяцев, восхотел уйти и попросил достойную плату с кафтаном. Емудали по достоинству 5 рублей и кафтан. Какой цены был оный кафтан?
Решение: За год работникдолжен был получить 12 рублей и кафтан, то есть за каждый проработанный месяцему должны начислять 1 рубль и /> стоимости кафтана. Запроработанные 7 месяцев работник должен был получить 7 рублей и /> стоимости кафтана, аполучил 5 рублей и кафтан. Следовательно, /> стоимости кафтана соответствуют 2рублям. Таким образом, цена кафтана была /> (рубля).
5. Древнеримская задача (II в.)
Некто, умирая, завещал:«Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано /> имения, а жене – остальная часть.Если же родиться дочь, то ей />, а жене />». Родилась двойня – сын и дочь.Как же разделить имение?
Решение: Имение нужноразделить между сыном, женой и дочерью пропорционально числам 4:2:1 (1 — таккак дочери достанется в 2 раза меньше чем матери, 2 – так как матери достанетсяв 2 раза меньше чем сыну, а сыну — следовательно 4, так как у сына по условию вдва раза больше чем матери). Меньше всего дочке (1 доля), потом маме (2 доли),а потом сыну (4 доли), значит всего долей 7, получается так: />, />, />.
2. Задачи, решениекоторых может быть осуществлено с конца
Учащиеся должны уметь:
· те же пункты чтои в первом разделе;
· приводить дроби кобщему знаменателю;
· находить дробь отчисла и число по его дроби.
Эти задачи могутприменяться на уроках итогового повторения в 6 -8 классах. Задачи такого характера заставляют учащихся искатьнестандартные пути решения, развивают мышление и интерес к предмету.
1. Назови мне число,которое, умноженное на три, сложенное с /> произведения, разделенное на 7,уменьшенное на /> частного, уменьшенного на самосебя, уменьшенное на 54, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 иделения на 10 будет равняться 2.
Решение: Индийскиематематики пользовались арифметическим приемом, который они широко применяли.Это – «правило обращения», или «правило инверсии». Суть его заключается вследующем: если нужно найти число, которое после ряда операций приводит кнекоторому известному числу, то для этого необходимо над этим последним числомпроизвести в обратном порядке все обратные операции.
Решение данной задачизаключается в том, что, начиная с числа 2, производят обратные действия вобратном порядке:
/>
/>
/>
/>
Число 28 и есть искомое.
2. Найти число, которое,будучи умножено на 3, а затем разделено на 5, увеличено на 6, после чего изнего извлечен корень квадратный, отнята единица и результат возведен в квадрат,дает 4.
Решение:
Следуя «правилуобращения», получим:
/>; 2+1=3; 32=9; 9-6=3; />; />
Число 5 и будет искомым.«Правило обращения», которым пользовались индийские ученые, стало широкоизвестно и за пределами Индии. Позднее им стали пользоваться сначала в странахАрабского халифата, а потом и в Европе.
3. Французская задача XVII в.
Трое имеют по некоторойсумме денег каждый. Первый дает из своих денег двум другим столько, сколькоесть у каждого. После него второй дает двум другим столько, сколько каждый изних имеет. Наконец, и третий дает двум другим столько, сколько есть у каждого.После этого у всех троих, оказывается, по 8 экю[2].Спрашивается, сколько денег было у каждого вначале.
Рассуждения удобно начатьс конца и решение представить в виде следующей таблицы:I 8
/>
/>
/> II 8
/>
/>
/> III 8
/>
/>
/>
4. Одна женщинаотправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти 4двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщинаотдала половину собранных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдалаему половину оставшихся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником; акогда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нееосталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?
Решение:
Стандартное решение.
/>
/>
/>
/>
Ответ: 160 яблок, женщинасобрала в саду.
Решение с конца.
1) 10 яблок – это половина того, что осталось перед 4-ой дверью, />, значит, 20яблок осталось перед четвертыми дверями.
2) 20 яблок – это половина того чтоосталось перед 3-ей дверью, />, значит, 40 яблок осталось передтретьими дверями.
3) 40 яблок – это половина того чтоосталось перед 2-ой дверью, />, значит, 80 яблок осталось передвторой дверью.
4) 80 яблок – это половина того что осталось перед 1-ой дверью, />, значит, 160яблок было перед первой дверью.
5. Чешская задача
По преданию,основательница чешского государства принцесса Либуша обещала отдать свою рукутому, кто сумеет решить задачу: «Если бы я дала первому жениху половину слив изэтой корзины и еще одну сливу, второму жениху половину оставшихся слив и ещеодну сливу, а оставшиеся сливы поделила пополам и половину их и еще три сливыдала бы третьему жениху, то корзина опустела бы». Сколько слив в корзине?
Решение:
Стандартное решение.
Пусть первоначально вкорзине было x слив. Первый жених получил бы /> слив
Второй />
Третий />
Так как />
То
/>
/>
/>, />
Ответ: у принцессы Либушипервоначально было 30 слив.
Решение с конца:
1) После того как принцесса Либуша отдала третьему жениху половину слив иеще 3, у нее ничего не осталось, следовательно 3 сливы и были половиной тогочто осталось перед встречей с третьим женихом.
3+3=6 слив, было перед третьим женихом.
2) Так как перед встречей со вторым женихом осталось 6 слив и еще одна, чтоявлялось половиной того что было перед встречей со вторым женихом, то
/>слив,осталось перед вторым женихом.
3) Перед встречей с первым женихом осталось 14 слив и еще одна, чтоявлялось половиной того что было у принцессы первоначально, т.е.
/> слив,первоначально.
3. Задачи, решаемые спомощью составления линейных уравнений
Задачи, представленные вданном разделе имеют довольно сложную формулировку и поэтому они могут бытьиспользованы скорее на уроках обобщения, закрепления и в качествеиндивидуальных домашних заданий, нежели на уроках введения нового материала.
Учащиеся должны уметь:
· использоватьсимволический язык алгебры, выполнять тождественные преобразования простейшихбуквенных выражений, применять приобретенные навыки в ходе решения задач;
· решать линейныеуравнения, применять данные умения для решения задач.
1. Задача из арифметикиЛ.Ф. Магницкого[3]
У некоторого человекабыли для продажи вина двух сортов. Первое ценою 10 гривен[4]ведро, второе же – по 6 гривен. Захотелось ему сделать из тех двух вин, взяв почасти, третье вино, чтобы ему цена была по 7 гривен. Какие части надлежит изтех двух вин взять к наполнению ведра третьего вина ценою 7 гривен?
Решение:
Стандартное решение.
Пусть для составленияодного ведра требуемой смеси нужно взять /> ведер первого сорта и />ведер второгосорта. Первая часть вина стоит 10xгривен, а вторая /> гривен.
Составим уравнение:
/>,
откуда
x=/>, />.
Итак, нужно взять /> ведра вина по10 гривен и /> ведравина по 6 гривен за ведро.
Старинный способ решения:
Запишем цены вин каждогосорта и цену смеси так:
/>
Вычислить прибыль 7-6=1 иубыток 10-7=3 на каждом ведре и запишем результат по линиям:
/>
Таким образом, 3 части изчетырех приходиться на более дешевое вино и 1 часть – на более дорогое.
2. Найти число, еслиизвестно, что от прибавления к нему /> его и вычитания от полученнойсуммы ее трети получается число 10.
Решение задачи сводитьсяк решению уравнения:
/>
/>
/>
/>
/>
Ответ: число 9
3. Задача изАкмимского папируса (VI в.)
Некто взял из сокровищницы/>. Из того,что осталось, другой взял />, оставил же он в сокровищнице150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
Решение:
/>
/>
/>
/>
4. Требуется число 100разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвоеболее меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго делениябыла втрое более меньшей части от первого деления.
Решение: Обозначимменьшую часть от второго деления через x, тогда большая часть от первого деления будет 2x. Найдем теперь меньшую часть отпервого деления. Она будет равна (100- 2x). Следовательно, большая часть второго деления равняется(300-6x). Ясно, что обе части от второго делениядолжны составить 100, то есть:
/>,
откуда x=40
Следовательно, результатпервого деления: меньшая часть равна 20, большая часть – 80.
Результат второгоделения: меньшая часть равна 40, большая часть – 60.
5. Задача из «ГреческойАнтологии»[5]
— Скажи мне, знаменитыйПифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
— Вот сколько, — ответилфилософ, — половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая частьпребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.
Решение:
Задача сводится куравнению:
/>
/>
/>
/>
Следовательно, школуПифагора посещают 28 человек, что и нужно было найти.
6. Задача из «ГреческойАнтологии»
Здесь погребен Диофант. Икамень могильный
При счете искусномрасскажет нам,
Сколь долог был его век.
Велением бога онмальчиком был шестую часть своей жизни;
В двенадцатой частизатем, прошла его светлая юность.
Седьмую часть жизни прибавим– перед нами очаг Гименея.
Пять лет протекли, иприслал Гименей ему сына.
Но горе ребенку! Едваполовину он прожил
Тех лет, что отец, какскончался несчастный.
Четыре года страдалДиофант от утраты такой тяжелой
И умер, прожив для науки.Скажи мне,
Скольких лет достигнув,смерть воспринял Диофант?
Решение: Условие задачиприводит к уравнению
/>
/>
/>
/>
Следовательно, Диофантумер в 84 года.
7. Задача из трактата«Начала искусств вычисления»[6]
Пятая часть пчелиного роясидит на цветке кадамба, одна треть на цветках силиндхата. Утроенная разностьдвух последних чисел направилась к цветкам кутая. И осталась еще одна пчелка,летающая взад и вперед, привлеченная ароматом жасмина и пандануса.Спрашивается, сколько всего пчел?
Решение: Задача сводитьсяк уравнению
/>
/>
/>
Следовательно, всего было15 пчел.
8. Некто сказал своемудругу: «Дай мне сто рупий, и я буду вдвое богаче тебя», на что последнийответил: «Если ты мне дашь только 10 рупий, я стану вшестеро богаче тебя».Спрашивается, сколько было у каждого?
Решение: Пусть у первогобыло /> рупий,а у второго /> рупий.Ясно, что первое условие будет выполнено. Имея в виду второе условие, находим
/>
/>
/>
/>
Следовательно, у первогобыло 140-100=40 рупий, у второго 70+100=170 рупий.
9. Купец, будучи должен753 руб., попросил у того же заимодавца еще 303 руб. Последний согласилсяудовлетворить его просьбу на условии, чтобы весь долг был уплачен в течении 8месяцев и притом так, чтобы должник, внеся к концу первого месяца некоторуюсумму на покрытие части долга, ежемесячно увеличивал свой взнос на половину,т.е. уплатил бы во второй месяц полторы таких суммы, в третий месяц две такихже суммы, в четвертый две с половиной и т.д. Обсудив эти условия, купецсогласился на них. Спрашивается, какую сумму должен он внести в первый месяц исколько в каждый из следующих месяцев?
Решение:
Пусть к концу первогомесяца купец должен внести xруб., тогда
/>
/>
/> (рублей)
2–ой месяц 48+24=72
3-ий месяц 48+48=96
4-ый месяц 48+48+24=120
5-ый месяц 48+48+48=144
6-ой месяц48+48+48+24=168
7-ой месяц48+48+48+48=192
8-ой месяц48+48+48+48+24=216
10. Задача из «Курсаалгебры» А.Н. Страннолюбского.
Два работника прожили ухозяина равное время; один из них получал по 15, а другой по 10 рублей внеделю. При окончательном расчете оказалось, что первый работник долженполучить более второго именно на ту сумму, которую он забрал в течение работы,а забрал он сперва 4/>руб., потом 3/>руб., и наконец 7рублей. Сколько продолжалась работа?
Решение:
Пусть x — число недель, в течении которыхпродолжалась работа, (15-10) разница в полученных деньгах, тогда:
/>
/>
/> (недели)
11. Отец завещал /> своего имениясыну и /> дочери;из оставшегося затем капитала 2500 руб. должны были пойти на уплату долга, а3000 руб. в пользу вдовы. Как велик был оставленный отцом капитал и по сколькудолжны получить сын и дочь?
Решение: Обозначимоставленный отцом капитал через x,тогда
/>
/> (руб.)
Сыну завещал />
Дочери завещал />
12. Некто на вопрос овозрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, аобоим им вместе столько лет, сколько было бы мне 29 лет тому назад; мне теперь45 лет». Найти лета обоих сыновей.
Решение: Обозначим летавторого сына через x, тогда
/>
/>
/>
4 года второму сыну
А первому /> (лет)
13. Задача Магницкого
Спросил некто учителя:«Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так хочу отдать тебе в учение своегосына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, ипол столько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100».Спрашивается, сколько было у учителя учеников?
Решение:
I способ (стандартное решение)
Пусть было x учеников. Составим уравнение
/>
/>; /> (учеников)
II способ
Эту задачу Магницкийрешает «фальшивым правилом» (или методом «двух ложных положений»), которому всвоей «Арифметике» отводит особое место.
/>
Далее по формуле
/>
Искомое число учеников:
/>
Ответ: 36 учеников.
Метод «двух ложныхположений» Сущность этого метода покажем на примере решения уравнения:
/> (1)
Для решения этогоуравнения предположим, что искомое />. Подставив x1 в уравнение (1), получим:
/> (2)
где n1 – первая ошибкаправой части уравнения (1). Теперь предположим, что x=x2, тогда,подставив x2 в уравнение (1), получим:
/> (3)
Вычтем почленно изуравнения (2) уравнение (3) и получим:
/> (4)
Теперь обе частиуравнения (2) умножим на x2, аобе части уравнения (3) на x1 изатем почленно вычтем полученные уравнения:
/> (5)
Из уравнения (4) найдём a, а из уравнения (5) найдём b. Так как из исходного уравнения (1) />, то получим:
/>
Получили следующееправило, которое арабский автор сформулировал следующим образом:
«Возьми для неизвестногочисло, которое ты хочешь, назови его первое положение и поступай согласноусловию задачи. Если оно подходит к условию, то это и есть неизвестное. Но еслионо отклоняется в ту или иную сторону, назови разницу первым отклонением. Затемвозьми другое число и назови вторым положением; если оно не удовлетворяетусловию, то оно даёт второе отклонение. После этого умножай первое положение навторое отклонение и назови первым результатом; потом второе положение умножайна первое отклонение, это есть второй результат. Если оба отклонения в одно ито же время больше или оба меньше, дели разность двух результатов на разностьдвух отклонений; если дело обстоит иначе, дели сумму двух результатов на суммуотклонений, частное и есть искомое число».
14. Задача Этьенна Безу[7]
По контракту работникампричитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждыйнеотработанный день с них взыскивается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось,что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течениеэтих 30 дней?
Решение: если x – число дней, отработанныхработниками, то
/>
/>
/>
/>
Ответ: 6 дней отработалиработники в течение 30 дней.
15. Каков возрастбратьев?
Средний из трех братьевстарше младшего на два года, а возраст старшего брата превышает сумму лет двухостальных братьев четырьмя годами. Найти возраст каждого брата, если вместе им96 лет.
Решение: Первому брату x – лет, второму 2+x, а третьему x+2+x+4
Получим
/>
/>
/>
Первому 22 года, второму22+2=24 года.
Третьему 22+24+4=50 лет.
4. Задачи, решаемые спомощью составления систем линейных уравнений
В данном разделепредставлены задачи, решение которых осуществляется с помощью составлениясистем уравнений. Для решения таких задач учащиеся должны уметь:
· составлятьбуквенные выражения и формулы по условиям задач;
· осуществлять ввыражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующиевычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое;
· выражать изформул одну переменную через остальные;
· выполнятьосновные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и салгебраическими дробями;
· выполнятьтождественные преобразования рациональных выражений;
· решать линейные,квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двухлинейных уравнений и несложные нелинейные системы.
Данные задачи подходятдля изучения параграфа «Системы линейных уравнений». 1 и 2 задачи подходят дляпроверки полученных знаний учащимся при изучении данной темы. Первую задачуможно давать для проверки как домашнее задание, и на следующем уроке со всемклассом разобрать эту задачу, причем это будет делать не учитель, а ученик удоски. Задача под номером два может пойти как самостоятельная работа (проверказнаний, умений, навыков по пройденной теме), она систематизирует и обобщаетвесь пройденный материал по данной теме. Задачи под номерами 3, 4, 7 могут бытьиспользованы при введении нового материала, в частности задача № 3 позволяетсразу активизировать познавательную деятельность учащихся из-за нестандартногоизложения, но, в то же время, она проста для понимания и интересна ученикам.Задачи под номерами 5, 6 лучше использовать при закреплении изученногоматериала.
1. Задача Евклида[8]
Мул и осёл под вьюком, подороге с мешками шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Этоподметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл ирыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мнемеру, если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нескаждый из них, о геометр, поведай нам это.
Решение: I способ
Если x – груз мула, то (x-1) груз осла, увеличенный на 1, аследовательно, первоначальный груз осла был (x-2). С другой стороны, /> в два раза больше, чем груз осла,уменьшенный на 1, т.е. />. Т.о.,
/>.
Отсюда, груз мула /> и груз осла7-2=5.
II способ (через систему линейныхуравнений)
Обозначив через x поклажу осла, а через y – поклажу мула, сводим задачу ксистеме уравнений с двумя неизвестными
/>
Или
/>
/>
/>
Груз мула y=7, груз осла x=5.
2. Задача Диофанта[9](из трактата «Арифметика»)
Найти три числа так,чтобы наибольшее превышало среднее на данную часть /> наименьшего, чтобы среднеепревышало меньшее на данную часть /> наибольшего и чтобы наименьшеепревышало число 10 на данную часть /> среднего числа.
Решение: Исходя изусловий задачи, составим систему
/> />
/>
подставим 3-е уравнение в1-е, получим
/>
/>
в первое уравнение вместоy подставим (3z-30), и рассмотрим только первое уравнение
/>
Подставим z в 3 уравнение и найдем y
/>
/>
И найдем x из второго уравнения
/>
Ответ: />, />, />
3. Задача Китая, изтрактата «Девять отделов искусства счета»
5 волов и 2 барана стоят11 таэлей[10],а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоят отдельно вол и баран?
Решение: пусть x цена вола, а y – цена барана
Решение задачи сводитьсяк рассмотрению следующей системы уравнений
/>
/>
/>
/>
/>
Следовательно, один волстоит 2 таэля, а один баран /> таэля.
4. Задача из рассказаА.П. Чехова «Репетитор»
Купец купил 138 аршин[11]черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин он купил тогои другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное – 3 рубля?
Решение: I способ условие задачи сводится ксистеме
/>
/>
/>
/>
/>
63 – аршин синего сукна,75 аршин черного сукна.
II способ Пусть синего сукна было x аршин, тогда черного /> аршин.
/>
/>
/>
X=63 (аршина) – синего
138-63=75 (аршин) –черного.
Ответ: синего 63 аршина,черного 75 аршин.
5. Задача ЛеонардоПизанского[12]
Один говорит другому:«Дай мне 7 динариев[13],и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я будув 7 раз богаче тебя». Сколько у каждого?
Решение: условие задачисводиться к системе
/>
/>
/>
/>
/>
Следовательно, первыйимел /> динария,а второй — /> динария.
6. Задача из сказки «1001ночь» (ночь 458)
Стая голубей подлетела квысокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась поддеревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы одиниз вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а еслибы один ин нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну». Сколько голубейсидело на ветвях и сколько под деревом?
Решение: если x и y – число голубей на дереве и под деревом, то по условию имеем
/>
/>
/>
/>
Ответ: 5 голубей надереве и 3 голубя под деревом.
7. Задача Адама Ризе[14]
Трое торгуют[15]лошадь за 12 флоринов[16],но никто в отдельности не располагает такой суммой. Первый говорит двум другим:«Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю лошадь». Второй говоритпервому и третьему: «Дайте мне по одной трети ваших денег, и я приобретулошадь». Наконец, третий говорит первым двум: «Дайте мне только по четвертойваших денег, и лошадь будет моя». Теперь спрашивается, сколько денег было укаждого?
Решение: Пусть x, y, z – количествофлоринов соответственно у первого, второго и третьего покупателей. Составимсистему
/>
/>
Выразим в первомуравнении /> иподставим во второе уравнение
/>
Теперь поставим x в первое уравнение, получим
/>
Подставим x и z в третье уравнение и найдем y
/>
Зная y, найдем x и z.
/>
/>
/>
Ответ: />, />, />– количество флориновсоответственно у первого, второго и третьего покупателей.
5. Задачи, решаемые спомощью составления квадратных уравнений
Для решенияпредставленных здесь задач учащиеся должны предварительно уметь:
· решать неполныеквадратные уравнения;
· решать полныеквадратные уравнения;
· решать приведенныеквадратные уравнения;
· находить ошибки врешенных уравнениях и исправлять их;
· делать проверку.
1. Задача Бхаскары[17]:
На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их вквадрате
В роще весело резвилась.
Криком радостнымдвенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, тыскажешь,
Обезьян там было в роще?
Решение: если обозначимчисло всех обезьян через x, тозадача сводится к решению квадратного уравнения
/>
/>
Прибавляя к обеим частямквадрат 32, будем иметь
/>
После извлеченияквадратного корня найдем
/>
В данном случае, говоритБхаскара, отрицательные единицы первой части таковы, что единицы второй частименьше их, а потому последнее можно считать и положительными и отрицательными,и получаем двойное значение неизвестного: 48 и 16.
Стандартное решениеквадратного уравнения:
/>
/>
2. Задача Бхаскары
Сколько обезьян в стае,если квадрат пятой части, уменьшенной тремя, спрятался в пещере, и только однаосталась на виду, взобравшись на дерево?
Решение: задача сводитьсяк решению квадратного уравнения
/>
/>
/> и />
В заключении Бхаскараделает такое замечание: «Так как /> есть число отрицательное, тогодится только первое решение».
Но комментатор БхаскарыКришна Бхатта говорил, что если бы по условию вопроса было сказано: одна пятаячасть стаи вычитается из трех, то второе решение, а не первое удовлетворяло быусловию.
3. Задача Магавиры[18]:
Найти число павлинов встае, /> которой,умноженная на себя, сидит на мандариновом дереве, а квадрат /> остатка вместе с 14другими павлинами – на дереве тамала.
Решение: задача сводитьсяк решению квадратного уравнения
/>, где x – число павлинов в стае.
Отсюда />, а /> не подходит по смыслузадачи.
6. Задачи по теме«Алгебраические дроби» (8 класс)
1. Один путник идет отграда в дом, а ходу его будет 17 дней, а другой путешественник от дому во градтот же путь творяше, может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша воедин и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдуться?(Магницкий)
Решение: Пусть x – км весь путь, тогда /> км/дн – скоростьпервого, /> км/дн– скорость второго
/> км/дн – скорость сближения
/> дн
Ответ: встретятся через /> дней.
2. Задача Ньютона
Некий торговец каждый годувеличивает на одну треть свое состояние, уменьшенное на 100 фунтов, которые ежегодно затрачивает на свою семью. Через три года обнаруживает, что егосостояние удвоилось. Спрашивается, сколько у него было денег вначале?
Решение Ньютона. «Чтобырешить вопрос, заметьте, что в нем содержатся в скрытом виде некоторыепредложения, которые все должны быть выявлены и выражены».Словесно Алгебраически У торговца имеется состояние, из которого он в первый год затрачивает 100 фунтов
/>
/>
/> или /> Остаток он увеличивает на одну треть
/> или />
/> или /> В третий год он опять тратит 100 фунтов и остаток также увеличивает на одну треть, причем оказывается вдвое богаче, чем был в начале
/> или
/>
/>=2х
Таким образом, вопросвыражается уравнением
/>
приведя которое, мынайдем x
Умножьте уравнение на 27,и вы получите 64х-14800=54х,
Вычтите из обеих сторон54х, и останется 10х-14800=0 или 10х=14800; разделив на 10, вы найдете, чтох=14800. Т.о., состояние торговца вначале, а также его последующая прибыль, илидоход, были равны 14800 фунтов.
3. Обмен зайцев на кур.
Крестьянин менял зайцевна кур: брал за всяких двух зайцев по три курицы. Каждая курица снесла яйца –третью часть от числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца, брал за каждые 9яиц по столько копеек, сколько каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки.Сколько было кур и сколько зайцев?
Решение: обозначим за x количество кур, которое выменял крестьянин.
Каждая курица снесла, каксказано в условии, /> яиц и общее число яиц укрестьянина составляет /> штук.
Каждые 9 яиц крестьянинпродал по /> копейки,то есть одно яйцо за /> и выручил поэтому /> копеек, что по условиюравно 72 копейки. Из равенства />
Находим />
Итак, крестьянин выменял18 кур, а зайцев было у него /> штук.
Заключение
Практическая ценностьобучения школьников решению текстовых задач разнообразными методами всовременных условиях заключается совсем не в том, что это обучение раз инавсегда вооружит их примерами решения различных задач, возникающих на практикеи в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их опыт мыслительнойдеятельности. Отдельный метод решения задач может быть забыт учащимися. Норазвивающиеся в процессе обучения продуктивное мышление и речь,сообразительность и память помогут им не только восстанавливать утраченное,если потребуется, но и находить решения новых встающих перед ними задач.
Таким образом, всовременных условиях цели обучения школьников решению текстовых задач должнывключать обогащение опыта мыслительной деятельности школьников различнымиметодами рассуждений, воспитание у них умения ориентироваться в различных посвоей природе взаимоотношениях величин.
Целью данной дипломнойработы было рассмотрение возможности применения занимательного задачногоматериала для активизации познавательной деятельности учащихся при обучениирешению текстовых задач.
Для достижения этой целибыла изучена психолого-педагогическая литература по проблеме развитияпознавательного интереса подросткового возраста. Одним из способов развитияпознавательного интереса традиционным является использование старинныхзанимательных задач на уроках математики. Также были выявлены психологическиеособенности школьников, которые необходимо знать и учитывать учителю при работес учениками 5 — 8 классов.
Проанализировав содержание учебников по математике для 5 — 8класса, мы пришли к выводу о возможности дополнения и разнообразияпредлагаемого там задачного материала старинными занимательными задачами.Подобные задания способствуют активизации познавательной деятельности учащихся,а также развивают интерес к математике не только детей, увлеченных этимпредметом, но и детей, ориентированных на гуманитарные науки, за счет ярковыраженных здесь межпредметных связей (ко многим задачам приводятсяисторические справки, есть задачи в стихах и т. п.). Последнее обстоятельствоспособствует также и расширению мировоззрения учащихся.
Во второй главе дипломаприведены старинные текстовые задачи к некоторым разделам программы 5–8классов, а также методические рекомендации по их использованию. Ко всем задачамприведены решения.
Такимобразом, цель дипломной работы, на наш взгляд, достигнута, задачи, поставленныев начале работы, выполнены.
Библиография
1) Алгебра: учеб. для учащихся 8 кл. с углубл. изучениемматематики [Текст] / [Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилл и др.]; подред. Н.Я. Виленкина.– 7-е изд., дораб.– М.: Просвещение, 2005.– 303с.: ил.
2) Баврин, И.И. Старинные задачи [Текст]: Кн. для учащихся./ И.И. Баврин, Е.А. Фрибус.– М.: Просвещение, 1994.– 128 с.: ил.
3) Глейзер, Г.И. История математики в школе [Текст] /. М.:Просвещение, 1964. 376 с. ил.
4) Демидова, Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач[Текст]: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / Т.Е. Демидова,А.П. Тонких.– М.: Академия, 2002.– 288с.
5) Зимняя, И.А. Педагогическая психология [Текст]: Учебникдля вузов. / И.А. Зимняя.– 2-е изд., доп., испр. и преобр. М.: Логос, 1999.–384 с.
6) Зубарева, И.И. Математика. 5 кл. [Текст]: Учеб. дляобщеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.– 6-е изд., стер.–М.: Мнемозина, 2007.– 270с.: ил.
7) Зубарева, И.И. Математика. 6 кл. [Текст]: Учеб. дляобщеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.– 7-е изд., испр.–М.: Мнемозина, 2008.– 264с.: ил.
8) Математика [Текст]: Учеб. для 5 кл. общеобразоват.учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.– М.: Просвещение, 1994.– 272 с.: ил.
9) Математика. 6 класс [Текст]: Учеб. для общеобразоват.учреждений: В 2 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; подред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.– 6-е изд.– М.: Дрофа, 2002.– 208 с.: ил.
10) Математика. 6 класс [Текст]: Учеб. для общеобразоват.учреждений: В 2 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; подред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина.– 6-е изд., перераб.– М.: Дрофа, 2002.– 224с.: ил.
11) Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс[Текст]: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева.– 2-е изд.– М.: Дрофа,1998.– 288 с.: ил.
12) Математика [Текст]: Учеб. для 5 кл. общеобразоват.учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков и др.– 5-е изд.– М.:Мнемозина, 1997.– 384с.: ил.
13) Математика [Текст]: Учеб. для 6 кл. общеобразоват.учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков и др.– 11-е изд.,стереотип.– М.: Мнемозина, 2003.– 304с.: ил.
14) Методика и технология обучения математике. Курс лекций[Текст]: пособие для вузов / под ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой.– М.:Дрофа, 2005.– 406 с.: ил.
15) Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл. [Текст]: Учеб. дляобщеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.– 3-е изд., доработ.– М.: Мнемозина,2000.– 160 с.: ил.
16) Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл. [Текст]: Задачник дляобщеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.– 3-е изд., доработ.– М.: Мнемозина,2000.– 160 с.: ил.
17) Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл. [Текст]: Учеб. дляобщеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.– 3-е изд., доработ.– М.: Мнемозина,2001.– 233 с.: ил.
18) Мордкович, А.Г. Алгебра. 8 кл. [Текст]: Задачник дляобщеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.–3-е изд., доработ.– М.: Мнемозина, 2001.– 239 с.: ил.
19) Муравин, К.С. Алгебра. 8 кл. [Текст]: Учеб. дляобщеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев.–3-е изд., стереотип.– М.: Дрофа, 2000.– 208 с.: ил.
20) Нагибин, Ф.Ф. Математическая шкатулка [Текст] / Ф.Ф. Нагибин.– Ярославль:Просвещение, 1964.– 168 с.
21) Немов, Р.С. Психология [Текст]: В 3 кн.: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений / Р.С. Немов.– 4-е изд. М.: Владос, 2003.– Кн. 2:Психология образования.– 608 с.
22) Никольский, С.М. Арифметика [Текст]: Учеб. для 5 кл.общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников,А.В. Шевкин.– 2-е изд.– М.: Просвещение, 2000.– 255с.: ил.
23) Никольский, С.М. Арифметика [Текст]: Учеб. для 6 кл.общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников,А.В. Шевкин.– 2-е изд.– М.: Просвещение: Моск. учебники, 2001.– 270 с.: ил.
24) Никольский, С.М. Алгебра [Текст]: Учеб. для 7 кл.общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников,А.В. Шевкин.– 2-е изд.– М.: Просвещение, 2000.– 285с.: ил.
25) Никольский, С.М. Алгебра [Текст]: Учеб. для 8 кл.общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников,А.В. Шевкин.– М.: Просвещение, 2000.– 287с.: ил.
26) Олехник, С.Н. Старинные занимательные задачи [Текст] / Ю.В. Нестеренко, М.К.Потапов.– 2-е изд.,испр.– М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1988.– 160 с.
27) Планея: Психологический словарь, [Электронный документ] (http://www.pbi.ru/dic/v/v_39.htm).19.10.09
28) Психологический словарь, [Электронный документ] (http://psi.webzone.ru/st/081500.htm). 17.09.09
29) Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии [Текст] / С.Л.Рубинштейн.– СПб.: Питер, 2000.– 712 с.: ил.
30) Столяренко, Л.Д. Педагогическая психология [Текст].– 2-еизд., перераб., и доп.– Ростов н/Д.: Феникс, 2003.– 544с.– (Учебники и учебныепособия)
31) Талызина, Н.Ф. Педагогическая психология [Текст]: Учеб. для студ. сред. пед. учеб.заведений / .– 3-е изд., стереотип.– М.:Академия, 1999.– 288 с.
32) Тихомиров, О.К. Психология мышления [Текст] / О.К. Тихомиров.– М.: Академия,2005.– 288 с.
33) Фридман, Л.М. Психология детей и подростков [Текст] /Л.М. Фридман.– М.: Просвещение, 2003.
34) Фридман, Л.М. Сюжетные задачи по математике. История,теория, методика [Текст]: Учеб. пос. дляучителей и студентов педвузов и колледжей / Л.М. Фридман.– М.: Шк. пресса,2002.– 208 с.– (Б-ка журн. «Математика в шк.». Вып. 15)
35) Чистяков, В.Д. Старинные задачи по элементарной математике [Текст] / В.Д. Чистяков. 3-е изд., испр.– Минск.: Вышейш. шк., 1978.– 272 с. ил.
36) Шамова, Т.И. Активизацияучения школьников [Текст]/ Т.И. Шамова.– М.: Педагогика, 1982.– 208 с.: ил.
37) Щукина, Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике [Текст] / Г.И. Щукина.– М.: Педагогика, 1971.– 352 с.
38) www.ukraina.com/index2.php?option=com_content&task=view&id=
43&pop=1&page=0&Itemid=32. 07.11.2009