--PAGE_BREAK--В следующих двух параграфах рассматривается отрицание общих высказываний и отрицание высказываний о существовании. Здесь ученики учатся формулировать отрицание не только грамотно с точки зрения русского языка, но и для дальнейшего использования в рассуждении. Рассмотренный материал используется уже в следующем параграфе при построении отрицаний утверждений с кванторами, а также часто будет использоваться при построении цепочки рассуждений при доказательстве утверждений и теорем.
Во втором параграфе автор рассматривает понятие переменной, выражения с переменными, предложения с переменными, переменные и кванторы. Здесь он явно дает понятие переменной, выражений с переменной. Здесь же автор знакомит ребят с понятием квантора. Это позволяет ребятам уже сейчас записывать высказывания в компактной, легко обозримой форме. В этом параграфе ученики узнают математический язык как точный язык. Например, ученики имеют возможность узнать о таком факте, что истинное высказывание вообще высказыванием не является. Материал, изученный в рассмотренном параграфе, используется при изучении главы «Арифметика». Здесь во многих задачах необходимо найти значение переменной.
В третьей главе рассматривается понятие логического следования. Понятие дается на примерах из жизни и из математики. В следующих пунктах ученики знакомятся с понятием отрицания логического следования и понятием обратного утверждения.
На данном этапе ученики уже знакомы с понятием равносильности. В следующем пункте автор связывает понятие равносильности с понятием логического следования.
И в последнем пункте автор рассматривает следование и свойства предметов. Рассмотрение данной темы упрощает изучение следующей главы «Геометрия», где при введении различных понятий и утверждений используется логическое следование. Рассматриваются обратные утверждения и отрицание утверждений, их истинность.
Хотелось бы отметить то, что учебник содержит много нестандартных задач с интересными формулировками, много задач на доказательство. Многие задачи даются в виде схем, алгоритмов, таблиц, что развивает зрительное восприятие учеников. Учебник содержит задания для самостоятельной работы, повторения, выделено домашнее задание и задания для работы на уроке. Материал изложен в доступной форме. В конце изученного материала ученики могут проверить свои знания с помощью тестов, «Блиц турниров», игр.
3) Дорофеев, Г. В. Математика. 5 класс. Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова// Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 3-е изд.- М.: Просвещение, 2000. –С. 368.
4) Дорофеев, Г. В. Математика. 6 класс. Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова// Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 2-е изд.- М.: Дрофа, 1997. –С. 416.
Материал учебника разделен на 8 глав, которые подразделены на параграфы и пункты. Упражнения, которые сопровождают теоретический материал, поделены на уровни А и В. В конце каждой главы даны «Задачи для самопроверки», которые включают в себя упражнения отвечающие обязательным требованиям.
Содержание материала богато и разнообразно, позволяет выйти за рамки круга обязательных вопросов. Упражнения разнообразны по форме содержанию и сложности, причем нижний уровень усвоения материала обозначен явно. Это дает возможность учителю дифференцировать обучение.
Очень важная особенность данного учебника – это линейно-концентрическое построение содержания. То есть ко всем важным вопросам учащиеся возвращаются неоднократно, двигаясь по спирали.
Виленкин
Учебник разработан для средней общеобразовательной школы. Авторы придерживаются традиционной формы изложения.
Учебник поделен на главы, каждая из которых имеет несколько параграфов. Параграф начинается с объяснительного текста, затем идут вопросы к нему. Далее даны упражнения для работы в классе по теме данного пункта. Также даны упражнения для домашней работы и упражнения для повторения ранее пройденного материала.
В учебнике выделены сведения, на которые надо обратить внимание, хорошо запомнить, знать наизусть. Также выделена рубрика, где ребята смогут найти рассказы об истории возникновения и развития математики, что заметно повышает интерес к предмету.
В специально выделенной рубрике находятся примеры и пояснения, с помощью которых ребята могут научиться говорить правильно. Также ребята смогут развивать такие качества как внимательность и сообразительность, умение хорошо и быстро запоминать, обладать силой воли с помощью игр и упражнений.
Данный учебник не содержит элементов логики.
1. Согласны ли вы с утверждением:
а) равные фигуры имеют равные площади;
б) неравные фигуры имеют различные площади;
в) любой квадрат есть прямоугольник;
г) некоторые прямоугольники являются квадратами;
д) если периметры прямоугольников равны, то равны и эти прямоугольники?
2. В номере 1494 Ребятам рассказывается о двоичной системе счисления, затем дается следующее задание:
Попробуйте записать в десятичной системе счисления числа, которые в двоичной системе пишутся так:
10; 100; 101; 110; 1110.
Запишите в двоичной системе все натуральные числа от 1 до 15 включительно.
Подумайте, почему двоичная система широко используется в вычислительной технике, но она неудобна в повседневной практике.
3.Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 расставьте в клетки так, чтобы равенства были верными.
_ _ * _ = _ _ _ =_ *_ _
5) Ончукова, Л. В. Введение в логику. Логические операции. Л. В. Ончукова // Учебное пособие для 5 класса. – 2-е изд.- Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. – С. 124.
Учебное пособие [7] предназначено для работы по программам Открытого лицея и ориентировано на развитие творческих способностей и повышения культуры мышления школьников. Овладение основами логики поможет учащимся в изучении школьных предметов, в том числе на расширенном и углубленном уровне в профильных, гимназических и лицейских классов.
Материал дается в доступной форме, в виде рассказа. В ходе рассказа автор приводит исторические сведения, что вызывает еще больший интерес к теме. Даются все основные понятия, связанные с логикой и необходимые для успешного обучения школьников в 5 классе. После теоретических сведений даются задачи по новой теме для работы в классе, причем автор помогает разобраться в некоторых из них, а к некоторым дает пояснения. После практики автор предлагает написать тест, ответы к которому есть в конце книги. Также предлагается и домашнее задание.
В этом пособии рассматриваются следующие темы: отрицание высказываний, понятие отрицания, решение задач с помощью отрицания, свойства отрицания, отрицание отрицания, поиск противоречия, утверждения, одинаковые по смыслу, умозаключения. А так же такие темы как логические операции и признаки делимости, свойства импликации, конъюнкция высказываний, дизъюнкция высказываний, отрицание конъюнкции и дизъюнкции. Здесь много нестандартных задач, и на многие дается решение.
К каждой теме даны задачи, решения некоторых задач подробно рассмотрены, во многих задачах рассматривается не один способ решения. Почти в каждой теме присутствуют тесты, на каждый тест отводится определенное количество времени. В конце пособия даны ответы к задачам и тестам.
Знакомясь с логикой с помощью данного пособия, ребята научатся логически правильно мыслить, составлять таблицы истинности, а в конце ответив на вопросы теста, смогут оценить свои успехи.
Проведенный анализ учебников показывает, что количество задач содержащие элементы логики намного меньше ожидаемого и недостаточно для формирования логической культуры у учащихся. Обучение математике сводится к проработке отдельных частей курса элементарной математики, к решению типичных задач и обучению, основным приемам их решения.
Учитель вынужден идти по пути решения задач заданного типа с последующим формированием и развитием навыков подведения под тип. Такое преподавание является одной из причин того, что, за редким исключением, учащиеся не умеют решать задачи. Они с трудом выделяют из задачи данные и искомые величины, плохо анализируют их взаимосвязь, неудачно строят логические цепочки и делают выводы, то есть говоря более широко, у них отсутствуют навыки логического конструирования.
Многолетний опыт показал, что чаще всего добиваются хороших результатов в учебе, успешно поступают в ВУЗы те, кто в среднем звене школы овладел умением самостоятельно мыслить, творчески подходить к выполнению любого задания, искать различные варианты решения и отбирать среди них наиболее оптимальный. И целиком успех зависит от учителя, от его умения и желания подойти к обучению творчески, не зацикливаясь на учебнике, предусмотренном учебным планом.
Равносильность предложений
Цель: сформировать понятие равносильности, научиться применять на практике полученные знания.
Эту тему дают обычно уже в конце 5 класса, когда ученики уже знакомы со знаком равносильности, который они использовали для краткой записи свойств делимости.
Следует отметить, что понятие равносильности предложений относится не столько к математике, сколько к естественному языку. Как в обычном, так и в математическом языке одну и ту же мысль можно выразить несколькими разными способами. Например:
1) 32 32.
2) Саша – брат Кати, Катя – сестра Саши.
3) 5x + 10 = 15, x= 1.
Обратите внимание на знак равносильности, который употребляется для краткой записи утверждения и обозначает, что два предложения означают одно и то же. Например:
3 5 > 3
Обратите внимание на то, что если убрать из него стрелки слева и справа, то останется знак равенства. Знак равенства между двумя числовыми выражениями показывает, что эти выражения имеют одно и то же значение. Точно так же, как при преобразованиях числовых выражений мы пишем цепочку равенств:
Так же следует отметить, что равносильные высказывания одновременно истинны или ложны. Например, высказывания «Некоторые цветы бывают синими» и «Встречаются синие цветы» истинны. Но даже очень похожие по виду выказывания могут быть одно истинным, а другое ложным. Например, высказывания «Все кошки четвероногие» и «Все четвероногие — кошки», не являются эквивалентными, так как первое высказывание истинное, а второе ложное.
На этом этапе следует закрепить материал. Задания могут быть следующего содержания:
2) Выяснить, какие из приведенных пар высказываний являются эквивалентными:
а) Число x делится на 2.
Число x оканчивается на 2.
б) Хищники не едят траву.
Нет хищников, которые не едят траву.
в) Не все металлы тонут в воде.
Есть металлы, которые не тонут в воде.
3) Используя знак равносильности, записать решение уравнений:
а) 2а – 3 = 25
б) 34 + 18 * в = 43
3) Записать в виде равенств утверждения, равносильные следующим:
а) Число mна 5 больше числа р.
б) При делении числа а на число b получается в частном с.
4) Какие из следующих утверждений верны:
а) Число xв 2 раза больше y x= y+ 2
б) Число m составляет 30 % числа n m= n/ 100 * 30
в) Углы А и В смежные Сумма углов А и В равна 180 градусов.
Отрицание высказываний
Эту тему можно ввести в начале 6 класса, т. к. здесь ученики начинают решать более сложные задачи, которые требуют правильности в рассуждениях.
Цель: сформировать понятие отрицания, научиться строить отрицание высказываний, изучить закон исключенного третьего, научиться применять на практике полученные знания.
Мотивация: нередко в жизни людям приходится спорить. Каждый в споре, доказывая свою правоту, убеждает собеседника, что тот не прав. Но всегда в споре кто-то прав, а кто-то ошибается. Тогда говорят, что их утверждения отрицают друг друга. Каждое из них называется отрицанием другого.
Приведем примеры предложений, в которых в каждой паре высказываний одно является отрицанием другого.
№
Высказывание
Отрицание
1.
У Маши есть котенок.
У Маши нет котенка.
2.
100 больше, чем 50.
100 не больше, чем 50.
3.
Верно, что все птицы летают.
Неверно, что все птицы летают.
4.
10 делится на 4.
10 не делится на четыре.
5.
Щенок Миши спит на кресле.
Щенок Миши не спит на кресле.
Вывод: из таблицы ясно, что как высказывание, так и отрицание может быть ложным. Если высказывание – истина (ложь), то его отрицание - ложь (истина).
Далее необходимо переключить внимание учеников на математику, отметив, что в математике также нередко встречаются задачи, в которых приходится строить отрицания. Это необходимо для того, чтобы отбросить все лишние, «ненужные» случаи и получить единственно правильное решение.
Так как с отрицаниями нам приходится встречаться и в математике, и в жизни, очень важно научиться правильно формулировать отрицание любого заданного предложения. И на этом этапе необходимо дать определение отрицанию.
Отрицание есть логическая операция, превращающая истинное высказывание в ложное, а ложное высказывание в истинное.
Символически отрицание записывается как , где – сложное или простое высказывание, а символы означают операцию отрицания. Читается: неверно, что А. Например:
В нашем доме живет белая кошка.
Его отрицание будет звучать следующим образом:
Неверно, что в нашем доме живет белая кошка.
Делаем вывод о том, что для формулировки отрицания сначала «мысленно» присоединяем к предложению слова «Неверно, что», а затем «обрабатываем» полученное отрицание так, чтобы оно звучало грамотно. Для этого рассмотрим таблицу:
№
Предложение
Первая формулировка отрицания
Вторая формулировка отрицания.
1.
Полуостров Таймыр – родина апельсинов.
Неверно, что полуостров Таймыр – родина апельсинов.
Полуостров Таймыр не является родиной апельсинов.
2.
У бабушки в деревне живут только куры.
Не верно, что у бабушки в деревне живут только куры.
У бабушки в деревне живут не только куры, но и гуси.
3.
Оля и Вася учатся в одной школе.
Не верно, Оля и Вася учатся в одной школе.
Оля и Вася учатся в
разных школах.
4.
Все спотрсмены ловкие.
Не верно, что все спотрсмены ловкие.
Не все спотрсмены ловкие.
5.
Есть дома, которые
имеют больше десяти этажей.
Не верно, что есть дома, которые
имеют больше десяти этажей.
Нет домов, которые
имеют больше десяти этажей.
Необходимо сформулировать закон исключенного третьего: если данное предложение истинно, то его отрицание ложно, и наоборот, если данное предложение ложно, то его отрицание истинно.
Примерные задания:
1. Скажите то же самое по-другому:
а) Неверно, что все млекопитающие живут на суше.
б) Неверно, что 5 делится на 2.
в) Неверно, что некоторые рыбы летают.
2. Построить отрицание предложений с помощью слова неверно и в более простой форме.
а) Сегодня будет солнечно.
б) Все собаки любят кошек.
в) Курица – домашняя птица.
г) Весной снег всегда тает.
д) 150 меньше 200.
е) Математика – точная наука.
3) Придумать свои предложения и построить их отрицание.
4) Доказать, что высказывание является ложным и построить его отрицание:
а) Число 0 является натуральным.
б) Между числами 4 и 5 нет натуральных чисел.
в) Неправильная дробь меньше единицы.
Логическое следование
Так как эта тема не входит в минимум содержания обучения, ее следует давать на кружках в 6 классе.
Цель: сформировать понятие логического следования, научиться применять на практике полученные знания.
Мотивация: Вспомните такие знаменитые высказывания:
Тише едешь – дальше будешь.
Подальше положишь – поближе возьмешь.
Или совсем простой пример из жизни:
Если вода нагревается, то она испаряется.
Что объединяет эти предложения?
Во всех трех предложениях мы из чего-то делаем вывод.
Рассмотрим следующее высказывание:
Если прошел дождь (А), то асфальт мокрый (В).
продолжение
--PAGE_BREAK--