Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова

Теоремы Перрона-Фробен уса та МарковаВ робот дано елементарне доведення в домих теоремПеррона-Фробен уса та Маркова для матриць другого порядку. Робота ма певнуметодичну ц нн сть може бути використана на заняттях шк льних гурк в тафакультатив в В домо 1 - 10 , яку важливу рольв д грають нев д мн матриц в математичних моделях економ ки, б олог ,теор ймов рностей тощо. Одними з основоположних факт втеор цих матриць теореми

Перрона. Перрона-Фробен уса та Маркова. Доведенняцих теорем в загальному випадку потребу застосування теорем з такихнеелментарних розд л в математики, як теор я екстремум в функц багатьохзм нних, жорданова нормальна форма тощо. Мета роботи дати елементарне доведеннявищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробен уса та Маркова для матриць другогопроядку, яке ц лком доступне для школяр в 9-го класу. Це дозволить,наприклад, на заняттях шк льних математичних гуртк в чи факультатив врозглянути

та проанал зувати зм стовн математично-економ чн татеоретико-ймов рносн модел наприклад, модель Леонть ва, випадкове блуканняна в др зку з повним доведенням вс х тверджень.1. Важливою числовою характеристикою матриц визначник, який познача тьсяdetA.

Для 2x2 матриц . Матриц А та В однакових розм р в називаються р вними, якщо х в дпов дн елементи однаков , що записують так А В. Зматрицями можна зд йснювати так операц 1. Множити на числоПриклад 2. Додавати матриц однакових розм р в Приклад 3. Множити матриц Приклад Взагал ,добутком матриц А розм р в m x r та матриц В розм р в rx n назива ться матриця

С розм р в m x n, яка познача тьсяАВ. Елемент cij ц матриц це сума попарних добутк в елемент в i-горядка матриц А та елемент в j-го рядка матриц В, а саме ЯкщоА та В квадратн матриц однакового порядку, то х завжди можна перемножити. Квадратнаматриця порядку n, у яко лементи , а нш елементи нулями, назива ться одиничною матриц ю порядку n.Однична матриця ма таку властив сть АЕ ЕА А, де А квадратна матриця порядкуn,

Е одинична матриця такого ж порядку. НехайА квадратна матриця, тод матриця А-1 зветься оберненою до матриц А, якщо Нев кожно матриц обернена до не , а саме А-1 сну тод т лькитод , коли . Беспосередньоможна перв рити, що для Визначення Число l назива ться власним значенням n x nматриц А, якщо знайдется стовпчик такий, що АХ lХ. При цьому

Хназива ться власним вектором матриц А, що в дпов да власному значенню l. Якщовласний вектор Х в дпов да власному значенню l, то сХ, де с - const, також власний вектор, щов дпов да l. Власне значення коренем характеристичного р вняння . Зв дки видно, що не у кожно матриц власн значення.Визначення Матриця А зветьсядодатною, якщо вс елементи додатн , це познача ться

А gt 0. Теорема Перрона Нехай А - додатна матриця, тод А ма додатневласне значення r gt 0 таке, що 1.r- в дпов да диний з точн стю до множення на число власний вектор. 2. нш власн значення по модулю lt r.3. власнийвектор, що в дпов да r, можна вибрати додатним тобто з додатнимиелементами .Доведення теореми для 2х2матриць.Нехай .Тод .Напишемо характеристичне р вняннядля матриц

А .Це квадратне р вн ння здискрим нантом томуТобто твердження теореми 1 2 доведен ,якщо r l1.Знайдемо власний вектор , що в дпов да власному значенню l1 з р вност Тод , або Враховуючи, щоперепишемо систему у вигляд Але тому р вняння системипропорц ональн , а це означа , що одне з них можна в дкинути.Знайдемо x1 з першого р вняннясистеми Щоб довести, що власний векторможна вибрати додатним, достатньо

перев рити, що ,тому що поклавши отрима мо x1 gt 0. Враховуючи, щоb gt 0 треба довести, що ,але це виплива з того, що , бо cb gt 0. Визначення Матриця А n-го порядкузветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядк в та стовпц в неможна привести до виду , де А1, А2 - квадратн матриц розм р в k x kта n-k x n-k в дпов дно.

Для 2х2 матриць це означа , що та Визначення Матриця А зветьсянев д мною, якщо вс елементи нев д мн . Зауваження Фробен ус дов в, щотвердження теореми Перрона залишаються в сил для нерозкладних нев д мнихматриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для2х2 матриць у випадку, коли один або обидва д агональних елемента дор внюютьнулю.

Визначення Квадратна матрицяназива ться стохастичною, якщо2 Теорема Маркова Нехай для стохастично матриц P сну натуральне число k0 таке, що тобто вс елементи додатн . Тод 1. снування границ матриц означа ,що сну границя кожного елементу 2.Матриця - ма однаков рядки. 3.Вс елементи цих рядк в додатн .Доведення теореми для 2х2матриць.Запишемо стохастичну матрицю увигляд , де Запишемо характеристичнер вняння ,

Це квадратне р вняння з дискр м нантом томуЗ урахуванням ма мо , але якщо , то це значить, що p q 1 або p q 0, в дк ляматриця P буде мати вигляд , або тод Pn м ститьнул , що суперечить умов . Таким чином .Беспосередньою перев ркою зурахуванням стохастичност встановлю мо, що власному значенню в дпов да власний вектор , де x1 x2, тобто, наприклад власний вектор. Знайдемо власнийвектор , що в дпов да власному значенню .

За визначеннямЗв дкиЗгадуючи, що отриму мо Очевидно,що р вняння системи пропорц йн , тому одне з них можна в дкинути. Знайдемо y1з першого р вняння або зв дки , але , бо в протилежному випадку данаматриця мала б вигяд , а тод матриця мала б нульовий елемент , що суперечить умов . Тому можна записати, що Доведемо тепер твердження 1теореми. Розглянемоматрицю S, стовпцями яко власн вектори матриц

P. Нам необх дно отриматизручну формулу для Pn.Позначимо . Оск лки , то сну S-1. Перепишемо р вняння та у матричн й форм або .В дк ля взагал Знайдемо границю Pn Твердження 1теореми доведено. Доведемотепер, що рядки матриц однаков . Для цього обчиcлимо .Оск льки , то Ми бачимо, що рядки матриц - однаков .

Доведемо тепер, що хелементи додатн . Для цього враху мо отриману ран ше залежн сть Для того, щоб довести требадовести, що , треба довести, що та .Ма мо тому що p gt 0 q gt 0Теорема доказана.Зауваження1 В процес доведення мививели, що для 2х2 матриць Зауваження2 Позначимо рядки гранично матриц . Тод можна знайти зумови

Доведення.Оск льки З вдки Або Зв дки Зокрема, для 2х2 матриц Умовою рядок визнача ться однозначно, що для 2х2 матриц можна перев рити. В робот дан для матриць другого порядкуелементарн доведення таких фундаментальних теорем теор нев д мних матриць.як теореми Перрона, Перрона-Фробен уса, Маркова. Ув дом й нам л тератур повне доведення цих теорем да ться для загальноговипадку матриць n-

го порядку з використанням неелемнтарних теорем метод в. Аматематичний апарат, який використову ться в дан й робот , це анал з повед нкирозв язк в квадратного р вняння та розв язк в системи двох л н йних р внянь взалежност в д коеф ц нт в. Роботаможе бути використана при проведенн додаткових занять, присвячених розглядувибраних неелементарних питань математики, за допомогою метод в, як доступн школярам.

Список л тератури 1. С.А. Ашманов.Математические модели и метод в экономике.МГУ. 19802. С.А. Ашманов. Введение вматематическую экономику. Наука .М 19843. Р. Беллман. Введение втеорию матриц. Наука . М. 19694. Ф.Р. Гантмахер. Теорияматриц. Наука . М 19675. Б.В. Гнеденко. Курстеории вероятностей. Наука .

М 19886. С. Карлин. Математическиеметод в теории игр, программирования и экономике. Мир . М 19647. Дж. Кемени, Дж. Скелл,Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. Иностранная литература. М. 19638. П. Ланкастер. Теорияматриц. Наука . М. 19789. Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет.Устойчивость биологических сообществ.

Наука . М. 197810.В. Феллер. Введение втеорию вероятностей и ее приложение.Т1. Мир .М. 1984