Решение системы нелинейных уравнений

Теоретическая часть. Вданной расчетно-графической работе далее РГР требуется составить программу для решения системы нелинейныхуравнений методом последовательной итерации обратной матрицы Якоби.Суть метода в следующем Пустьтребуется решить систему нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений F1 X1,X2 Xn 0 i 1,2 n, сначальным приближением к решению X0 x10,x20 xn0 . Вычислительная схема реализованного метода состоит в следующем

Вначале итерационного процесса матрица H полагается равной единичной H0 E. Затемдля k 0,1.Вычисляется Pk - Hk F Xk 2.Находятся Xk 1 Xk tk Pk. Первоначально tk 1. Затем путем последовательного деления tk на 2находим такое tk, чтобы выполнялось неравенство F Xk 1 lt F Xk Итерационный процесс заканчивается при выполненииусловия F Xk 1 lt E,где E - заданная точность. 3.Определяется

Yk F Xk 1 - F Xk 4.Находится новое приближение матрицы Hk 1 Hk - Hk Yk - Pk tk Pk T Hk T Pk T Hk Yk иснова повторяется вычислительный процесс с пункта 1. Порядок работы спрограммой Данная РГР представлена в виде 3 исполняемых модулей OBRJ.M, OBRF.M и FUN1.M. Решением поставленной задачи занимаетсямодуль OBRF.M, а два остальных являются вспомогательными OBRJ.

M - головной модуль, в котором вводятся входные данные и выводятсярезультаты вычислений, а FUN1.M - модуль, который пишет сам пользователь икоторый возвращает вычисленные левые части для требуемого уравнения. Вголовной программе задаются начальные приближения, в виде вектора X0 а также запрашивается допустимаяошибка. Затем вызывается модуль OBRJ.M, который и реализуетрешение данной системы уравнений методом последовательной итерации обратной

матрицы Якоби. Внутри себя данный модуль по мере необходимостивызывает функцию FUN1.M, которую пишет сам пользователь. Описание работы программ Всвязи с тем, что данная РГР состоитиз 3 частей, то опишем их поодиночке распечатки данных модулей приведены в приложении 1.OBRJ.M Головной модуль Входные данные отсутствуют. Выходные данные отсутствуют. Язык реализации PC MathLab.

Операционная система MS-DOS 3.30 or Higher. Пояснения к тексту модуля Стандартный головной модуль. В данном модуле задаютсяначальные значения в виде вектора, например 0.9 Такжев данном модуле запрашивается допустимая ошибка,очищается экран, а такжепроизводятся другие подготовительные действия. Затемпроисходит вызов модуля OBRF.M сполученными входными данными. Форматвызова данного модуля описан далее в описании самого модуля

. Послевычислений в головную программу возвращаются результаты вычислений на основе которых строятся графики а такжевыводятся оценки по затратам машинного времени и быстродействия. 2.OBRF.M Вычислительный модуль Входные данные FunFcn - имя функции, написаннойпользователем, которая вычисляет левыечасти для требуемой системы в определенной точке. X0 -вектор-строка, определяющий начальныезначения начальное приближение .

E -допустимая ошибка. Выходные данные Tout- Столбец итераций Время Xout- Столбцы значений вычисленных на каждом этапе длякаждой итерации DXout- Столбцы погрешностей по каждой компоненте, вычисленные на определенном этапе Языкреализации PC MathLab Операционная система MS-DOS 3.30 or Higher Пояснения к тексту модуля Данный вычислительный модуль реализует методпоследовательной итерации

обратной матрицы Якоби. Общая структура вызоваданного модуля Tout,Xout,DXout OBRF FunFcn,X0,E Значения каждого из параметров были описаны выше. Наначальном этапе в данном модуле инициализируются внутренние переменные например, задается единичная матрицаH, в соответствии с размерностью X0 , формируются наоснове начальных значений первичные элементы матриц Tout,Xout,DXout.Затем данная функция, как и многие другие вчисленных методах,имеет вид

WhileОШИБКА gt ДОПУСТИМОЙ ОШИБКИ Оператор1 Оператор2 ОператорN End Внутри данного цикла происходят вычисления внутренней переменной Pk накаждом шаге K и, вычисляется начальноеприближение Xk 1. Первоначально t 1 Не номер итерации, а внутреннийпараметр Затем, в очередном цикле While End в случае, если F

Xk 1 lt F Xk t t 2 и снова вычисляетсяXk 1. Когда очередное Xk 1 найдено, вычисляется Yk, а затем и новое приближениематрицы H. Итерационный процесс заканчивается, если F Xk 1 lt E. Если данное условие невыполняется - итерационный процесс продолжается заново. Формирование выходных значений-матриц происходит внутри данногоцикла и поэтому никаких дополнительных

действий не требуется, то естьс окончанием данного цикла заканчивается и сама функция. 3.FUN1.M Модуль, вычисляющий левые части Входные данные X -вектор-строка, задающий точки длявычислений по каждой компоненте. Выходные данные FF- вектор-строка, возвращающий значения каждой компоненты вопределенной точке Языкреализации PC MathLab Операционная система MS-DOS 3.30 or

Higher Пояснения к тексту модуля Впринципе, текст данного модуля нетребует пояснений. В нем пользователь реализует систему уравнений, котораяподлежит решению. То есть на входные значения X данная функция возвращает левые части по каждому уравнению.Единственное требование к данному модулю - соблюдение формата, то есть входные и выходные данные должны быть представлены ввиде вектор-строк. Сравнительный анализ и оценка быстродействия.

Сравнительный анализ показал, чтоданный метод обладает неплохойсходимостью, так как попробованный метод простой итерации с параметром вообщеотказался сходиться для данной системы.Однако хорошо подходит для сравнения дискретный метод Ньютона, так как данные методыпрактически одинаковы что поточности что по затратам. 1.Метод последовательной итерации обратной матрицы

Якоби Число операций порядка 682 Быстродействие порядка 0.11 секунды 2.Метод Ньютона дискретный Числоопераций порядка 990 Быстродействие порядка 0.22 секунды Каквидно из вышеприведенных данных, эти два метода очень близки между собой, нометод Ньютона дискретный более сложен в реализации, однако обладает лучшей сходимостью, например при начальных значениях X0 2.02.0 метод последовательной итерацииобратной матрицы

Якоби уже не справляется, в то время как дискретный метод Ньютонапродолжает неплохо работать. Однакометод Ньютона требует больших затратмашинного времени и поэтому при выборе метода необходимо исходить их конкретных условий задачи и еслиизвестно довольно точное приближение и требуется быстрота вычислений, то к таким условиям отлично подходит разработанный метод последовательной итерации обратнойматрицы Якоби. Выводы Вданной РГР был разработан и реализован метод последовательной

итерации обратной матрицы Якоби, предназначенный для решения системынелинейных уравнений. Программа, реализованная на языке PC MathLab хотя и неявляется оптимальной, однако выполняет поставленную задачу и решает системыуравнений. Реализованный метод неотличается повышенной сходимостью и требует довольно точного начальногоприближения, однако довольно быстро сходится к точному решению, то есть его можно порекомендовать длявычисления непростых систем нелинейных уравнений при наличии довольно точного

начальногоприближения и наличия временных ограничений. Список литературы 1.О.М.Сарычева. Численные методы вэкономике. Конспект лекций , Новосибирский государственный техническийуниверситет, Новосибирск 1995г. 2.Д.Мак-Кракен, У.Дорн. Численные методы и программирование наФортране , Издательство Мир , М. 1977г. 3.Н.С.Бахвалов. Численныеметоды ,

Издательство Наука , М. 1975г.