Применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике

Понятие о разностных уравнениях. Уравнение вида , 1 где - фиксированное число, а - произвольное натуральное число члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением -го порядка. Решить разностное уравнение означает найти все последовательности , удовлетворяющие уравнению 1. Разностные уравнения часто используются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а также для приближенного решения дифференциальных уравнений.

Разностное уравнение вида , 2 где - некоторые функции от , называется линейным разностным уравнением -го порядка. В случае, когда коэффициенты являются константами, методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим это для разностных уравнений второго порядка . 3 Так же как и для линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения 3 определяется по формуле

, 4 где - некоторое частное решение уравнения 3 общее решение соответствующего однородного уравнения случай . Для нахождения общего решения однородного уравнения необходимо сначала решить характеристическое уравнение . 5 После этого могут возникнуть варианты 1 Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится по формуле , 6 где и - произвольные константы. 2 Оба корня действительны и равны , тогда .

3 В случае комплексно-сопряженных корней . 8 Модель рынка с запаздыванием сбыта В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства. И в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута по времени относительно цены , т.е. будем полагать, что

, в то время как функция спроса одномоментно отвечает цене . Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены . 9 Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного объемов товара , откуда с учетом 9 имеем или . Поделив обе части этого равенства на и переходя для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка относительно цены с постоянными

коэффициентами . 10 Пусть тогда . Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения 10 удобно искать в виде постоянной величины . После подстановки в это уравнение оно легко определяется . 11 Величина является равновесной ценой. Общее решение уравнения 10 определяется формулой , 12 где - произвольная величина. Пусть в начальный момент времени известна цена задача

Коши, тогда подстановкой в равенство 12 находим или , так что в окончательном виде получаем или . 13 Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных параметров задачи и формул 9 динамика цены во времени может быть разной. Здесь возможны три варианта 1 - текущая цена расходится с равновесной ценой с увеличением размаха колебаний вокруг нее 2 - текущая цена стремится к равновесной цене с колебаниями около нее 3 - две точки равновесия в зависимости от четности имеет место колебание от одной точки к

другой. а б в 0 1 2 3 4 Рис. 1 Рыночная модель с запасами В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением и спросом . Примем следующие допущения. 1. Спрос и предложение представляют собой линейные функции от текущей цены . 2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна относительной величине запаса с некоторым коэффициентом

при наличиИ запаса цена на товар в последующий период падает . 15 Подстановка соотношений 14 в 15 приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены или . 16 Пусть , тогда , следовательно . Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения 16 удобно искать в виде постоянной величины .

Величина является равновесной ценой, или стационарным решением уравнения 16 Общее решение уравнения 10 определяется формулой . Пусть - значение цены в начальный момент времени , тогда решение этого уравнения имеет вид или . 17 Сходимость во времени к значению существенно зависит от величины и знака основания степени в 17 . Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи 1 , откуда - монотонная сходимость

к равновесному значению 2 , откуда , т.е. 3 , откуда - сходимость цены к равновесному значению с колебаниями около него 4 , т.е две точки равновесия и , на каждом шаге по времени цена перескакивает с одного значения на другое 5 , т.е цена расходится с увеличением амплитуды колебаний. а б в г д 0 1 2 3 4 Рис.2 Модель делового цикла Самуэльсона Хикса Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего применение линейных разностных уравнений, модель делового цикла

Самуэльсона Хикса динамический вариант модели Кейнса. В этой модели используется принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением , 18 где коэффициент - фактор акселерации величина инвестиций в период величины национального дохода соответственно в -м и -м периодах. Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от

величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е что . 19 Условие равенства спроса и предложения имеет вид . 20 Подставляя в 20 выражение для из 18 и выражение для из 19, находим . 21 Уравнение 21 известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами если предположить, что на протяжении рассматриваемых

периодов величины и постоянны. Замечание. Можно легко найти частное решение уравнения 21, если предположить, что , 22 т.е использовав в качестве частного решения равновесное решение . Из 21 в силу 22 имеем , 23 откуда . 24 Заметим, что выражение в формуле 24 носит название мультипликатора Кейнса и является одномерным аналогом матрицы полных затрат. Паутинные модели рынка Свойство непрерывной функции теорема о существовании корня находит неожиданное

применение в математических моделях рынка. Как известно, две основные категории рыночных отношений спрос и предложение. И то и другое зависят от многих факторов, среди которых главный это цена товара. Обозначим цену товара , объем спроса , величину предложения . При малых имеем спрос превышает предложение, при больших , наоборот Считая и непрерывными функциями, приходим к заключению, что существует такая цена , для которой , т.

е. равен спрос равен предложению. Цена называется равновесной, спрос и предложение при этой цене также называются равновесными. Установление равновесной цены одна из главных задач рынка. Рассмотрим простую модель поиска равновесной цены так называемую паутинную модель. Она объясняет феномен регулярно повторяющихся циклов изменения объемов продажи и цен. Предположим, что решение о величине объема производства принимается в зависимости от цены товара в

предыдущий период времени. Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 3. Пусть в начальной точке предложение товара имеет значение и выбрано так в зависимости от цены товара в предыдущий период. Поскольку эта цена больше равновесной, то на кривой спроса ей соответствует объем покупок . Производителю, исходя из такой информации о состоянии рынка, приходится опустить цену товара до величины . Цена ниже равновесной, поэтому на рынке увеличивается спрос до величины .

На кривой предложения этой величине соответствует цена предложения и т.д. В этом случае спираль сходится к точке рыночного равновесия . Рис. 3 Впрочем, описанная спираль не всегда скручивается. В некоторых случаях она может и раскручиваться, как показывает, например, рис. 4. От каких свойств функций и зависит сходимость или расходимость описанной выше спирали

Этот вопрос очень сложен. Поэтому, укажем лишь один фактор, влияющий на сходимость эластичность спроса, соответственно, предложения. Рис. 4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно не простая задача расчета связи между отраслями через выпуск и

потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в трудах известного американского экономиста В. Леонтьева в 1936 году, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и используют аппарат матричного анализа. Балансовые соотношения. Предположим, что производственная сфера хозяйства представляет собой отраслей, каждая их которых производит

свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей производственное потребление. Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период в ряде случаев такой единицей служит год. Введем следующие обозначения - общий объем продукции -й отрасли ее валовой выпуск - объем продукции -й отрасли, потребляемый -й отраслью при производстве объема продукции - объем продукции -й отрасли, предназначенный для реализации потребления в непроизводственной сфере,

или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление, удовлетворение общественных потребностей и т.д. Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой продукт -й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме балансовые отношения имеют вид ,

10 Уравнения 24 называются соотношениями баланса. Линейная модель многоотраслевой экономики. В. Леонтьевым, на основании анализа экономики США в период перед Второй Мировой Войной, был установлен важный факт в течение длительного времени величины меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же

уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления -й отраслью продукции -й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа. В силу указанного факта можно сделать следующее допущение для производства продукции -й отрасли объема нужно использовать продукцию -й отрасли объема , где - постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой

линейности. При этом числа называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности, 24 Тогда уравнение 24 можно переписать в виде системы уравнений 25 Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции вектор валового выпуска, объемов продукции конечного потребления вектор конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат 26 Тогда система уравнений 25 в матричной форме имеет вид 27

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления 26 это уравнение носит название модели Леонтьева. Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления . Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования

со следующей формулировкой задачи для периода например, год известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Необходимо решить систему линейных уравнений 27 с неизвестной матрицей и заданным вектором . Также система 27 имеет особенности, вытекающие из прикладного характера данной задачи все элементы матрицы и векторов и должны быть неотрицательными. Продуктивные модели Леонтьева Матрица , все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной,

если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения 27 вектор , все элементы которого неотрицательны. Для уравнения типа 27 разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особенностей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы. Теорема. Если для матрицы с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными компонентами

уравнения 27 имеет решение с неотрицательными компонентами, то матрица продуктивна. Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы 27 хотя бы для одного положительного вектора , чтобы матрица была продуктивной. Перепишем систему 27 с использованием единичной матрицы в виде . 28 Если существует обратная матрица , то существует и единственное решение уравнения 28 . 29 Матрица называется матрицей полных затрат. Существует несколько критериев продуктивности матрицы

. Первый критерий продуктивности. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны. Второй критерий продуктивности. Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу строке не превышает единицы , 30 причем хотя бы для одного столбца строки эта сумма строго меньше единицы. Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложном примере.

Пример 1. Таблица 1 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период. Требуется найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30. Таблица 1. ппОтрасльПотреблениеКонечный продуктВаловой выпуск1231Добыча и переработка углеводородов53520401002Энергетика101020 601003Машиностроение2010101050Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат.

Согласно формулам 24 и 26, Матрица удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид Требуется найти новый вектор валового выпуска , удовлетворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица не изменяется. В таком случае компоненты неизвестного вектора находятся из системы уравнений, которая, согласно 25, имеет в данном случае вид В матричной форме эта система выглядит следующим образом

, или , где матрица имеет вид Отсюда расчитывается новый вектор как решение этого уравнения баланса . Найдем обратную матрицу матрицу полных затрат , с использованием формулы 31 Определитель матрицы , так что обратная матрица и решение указанной системы уравнений существуют. Вычисление обратной матрицы дается с точностью до третьего знака . Заметим, что найденная обратная матрица удовлетворяет первому критерию продуктивности матрицы .

Теперь можно вычислить вектор валового выпуска . Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски добычу и переработку углеводородов на , уровень энергетики на и выпуск машиностроения на по сравнению с исходными величинами, указанными в табл. 1. Динамическая модель Леонтьева Так как мы рассмотрели продуктивную модель межотраслевого баланса безотносительно ко времени,

т.е. все ее компоненты полагались осредненными за некоторый временной интервал и одномоментными. В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период , определяется не текущим выпуском, а выпуском в последующий период . Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности инерцией планирования и перенастройки, мобилизацией внутренних ресурсов и изменение транспорта сырья и т.д.

С учетом этого система уравнений баланса, в предположении о постоянстве доли внутреннего потребления каждой отраслью, будет иметь следующий вид 32 Соотношения 32 составляют систему линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами . Как и прежде, введем вектор валового выпуска , матрицу прямых затрат и вектор конечного потребления . Тогда систему 32 можно переписать в матричной форме .

33 Теперь задача формулируется следующим образом при заданном векторе конечного потребления и матрице определить динамику изменение во времени вектора валового выпуска . Одна из основных задач прогноза с использованием динамической модели Леонтьева такова известны динамика вектора конечного потребления и вектор валового выпуска в начальный момент времени требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени .

Эту задачу можно решить при помощи формулы . 33 Пример 2. Обратимся к данным табл. 1. Пусть известны продуктивная матрица , а также заданные в момент времени векторы валового выпуска и , указанные в этой таблице Требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени , если все компоненты вектора конечного потребления увеличиваются на за каждый период. Решение.

Вектор конечного потребления, согласно условию задачи, имеет вид . Применяя формулу 33, получаем . Теперь нужно вычислить матрицу изменяя состояния и вектор и подставить их в это уравнение. Выполняя указанные действия, получим решение поставленной задачи . Таким образом, при указанном темпе роста продукта конечного потребления необходимо через два временных цикла увеличить компоненты валового выпуска соответственно на , и по сравнению с исходными величинами

на начальный момент времени. Список литературы 1. А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов Математика в экономике - М Финансы и статистика, 1999 2. М. С. Красс Математика для экономических специальностей М ИНФРА М 1999 3. Математика в экономике Учебно-методическое пособие Под редакцией Н. Ш. Кремера М Финстатинформ, 1999