Методы преобразования сигналов

Основные сведения Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции: 1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т. 2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период . 3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство . Тригонометрический ряд. Ряд Фурье Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд: (1) ,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

, где n=1,2, . . . Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке. ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной). ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье Исходные данные :
(Рис. 1) Функция периодическая с периодом .( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода. Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.

Рис. 1 Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье. 1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале . 2) F(x) - кусочно-монотонна. Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.


Представление функции рядом Фурье.
Из разложения видим, что при n нечетном принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.
Поэтому формулу для можно записать в виде:
( так как ). Отдельно рассмотрим случай когда n=1: . Подставим найденные коэффициенты в получим: и вообще
. Найдем первые пять гармоник для найденного ряда: 1-ая гармоника ,
2-ая гармоника ,
3-ая гармоника ,
4-ая гармоника ,
5-ая гармоника ,
и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.

Запишем комплексную форму полученного ряда Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)

, но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 : (т.к. см. разложение выше)
и случай когда n=-1: (т.к. ) И вообще комплексная форма:


или

или

Цифровые фильтры Как правило, цифровой фильтр ЦФ является специализирован­ной ЭВМ. Иногда в качестве цифрового фильтра используется универсальная ЭВМ. Рассмотрим принцип работы ЦФ. На его вход подается сигнал х(пТ) • последовательность числовых значений, следующих с интервалом Т. При поступлении каждого очередного числа х(пТ) ЦФ производит расчет по соответствующему алгоритму и на вы­ходе появляется выходное число у(пТ). В общем случае число у(пТ) является функцией ряда предыдущих значений как вход­ных х^ так и выходных у чисел:
у (nT) = f [х (п Т), х (п Т— Т), х(пТ — 2Т), ., На выходе фильтра вырабатывается последовательность чисел у(пТ), следующих с интервалом Т. Таким образом, тактовый ин­тервал Т является общим для входных и выходных чисел. Остановимся на основных структурных схемах линейных ЦФ. Цифровые фильтры делятся на два большие класса: нерекур­сивные и рекурсивные. В нерекурсивных фильтрах отклик зависит только от значений входной последовательности у(пТ) = Р[х(пТ),х-(пТ — Т),.,.]. В рекурсивных фильтрах отклик зависит как от значений вход­ной последовательности, так и от предшествующих значений вы­ходной последовательности y(nT)=f{x(nT),x(nT—T), .,у(пТ—Т),у(пТ—2Т), .}. Нерекурсивный цифровой фильтр. На рис. 10.19 изображена структурная схема нерекурсивного цифрового фильтра, обрабаты­вающего сигнал в соответствии с алгоритмом
+ . + Ьмх(пТ—МТ). На схеме обозначены: z~l - - регистры сдвига, осуществляющие сдвиг цифровой последовательности на один такт Т\ bi — умно­жители на числа be, Е - сумматор. Нерекурсивный ЦФ может быть практически осуществлен, если заданная импульсная характеристика содержит сравнитель­но небольшое число членов, т. е. быстро убывает с ростом п. В противном случае для получения заданной импульсной характе­ристики потребуется очень много ячеек памяти. Рекурсивный цифровой фильтр. Рекурсивный ЦФ характери­зуется тем, что выходное число у(пТ) зависит от ряда поступив­ших на вход чисел и от предшествующих выходных чисел (1) Запишем алгоритм (1) ЦФ JV-ro порядка в виде разност­ного уравнения соответствующего порядка y(nT)-aly(nT—T) — .—aNy(nT-NT) = bQx(nT) + .+ Ьмх(пТ—МТ), которое эквивалентно линейному дифференциальному уравнению Лт-го порядка для аналогового фильтра. Правая часть уравнения (10.65) описывает нерекурсивную, ле­вая - - рекурсивную части ЦФ. Коэффициенты ао, а\, ., un, b\> &2, ., Ьм определяются значениями элементов схемы фильтра. Структурная схема рекурсивного фильтра, осуществляющего обработку в соответствии с алгоритмом (1), изображена на рис. 2. Определим системную функцию Н (z) цифрового фильтра. Для этого применим к уравнению (10.65) г-преобразование и теорему смещения (3) Выражение (3) связывает системную функцию фильтра со зна­чениями его элементов. По известной (заданной) системной функ­ции Н (z) может быть определена структура .и значения коэффи­циентов ЦФ. Основным достоинством рекурсивных фильтров является со­кращение числа элементов структурной схемы по сравне­нию с числом элементов в не­рекурсивных фильтрах. Благо­даря этому они позволяют реа­лизовать медленно.затухающие х(пт-т) импульсные характеристики. Недостатком рекурсивных фильтров являются большие ошибки округления, нежели в нерекурсивных фильтрах. Рекурсивные фильтры позволяют реализовать любые алго­ритмы типа (1), т, е. получить весьма разнообразные частот­ные характеристики при соблюдении следующих условий: а) все полюса системной функции Н (z) должны лежать на 2-плоскости внутри окружности радиуса ]z| = l, т. е. система дол­ жна быть устойчивой; Рис. 4 б) ошибки округления не должны нарастать в такой степени, чтобы нарушать нормальную работу фильтра рекурсивный цифровой фильтр. Канонический рекурсивный ЦФ является результатом модификации структурной' схемы на рис. 2, реализующей фильтр с системной функцией вида (3).
Алгоритм определения M(z) no X(z) осуществляется рекурсивным фильтром N-ro порядка, а алгоритм опреде­ления Y-(z) по найденному М (z) —нерекурсивным фильт­ром М-го порядка. Из рис. 4 видно, что часть бло­ков задержки можно объеди­нить.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК 1. Гонаревский И. С. «Радиотехнические цепи и сигналы» , Москва, 1986 г. 2. Баскаков И. С. «Радиотехнические цепи и сигналы» , Москва , 1988 г. 3. Самойло К. А. «Радиотехнические цепи и сигналы» , изд. «Энергия» , 1975 г.