Обучение понятию функции в основной школе с помощью компьютерных технологий

Е.В. Громова,И.С. Сафуанов

В современном обучении математике важная роль отводится компьютерным технологиям. В настоящей статье рассматривается применение данного подхода при изучении понятия функции — понятия, которое по результатам международных и российских исследований (например, [1, 2, 8]) вызывает затруднения в понимании и осознании учащимися при его изучении в школьном курсе математики. О применении компьютерных технологий в обучении этому понятию писали ряд авторов [3, 5, 7]. Среди использованных средств такие программные продукты, как Mathematica, Geogebra, а на этапах пропедевтики Excel.

Использование нами компьютерных технологий при введении и усвоении понятия функции обуславливается тем, что понятие функции является абстрактным и, как показывает опыт, довольно сложным для восприятия учащимися. Учащимся функция видится просто некоей формулой, они не могут до конца увидеть, прочувствовать суть функций.

В соответствии с деятельностным подходом [7: с. 527-529], для того чтобы оперировать понятием функции (например, исследовать ее), нужно, чтобы интеллектуальные операции (скажем, выяснение поведения функции) выполнялись сначала как действия, т. е. как целенаправленные процедуры. Это согласуется и с концепцией Э. Дубине кого (последователя Ж. Пиаже), рассматривавшего овладение понятиями в последовательности «действие - процесс - объект - схема» [6]). Поэтому необходимо наметить операции (навыки), которыми должны овладевать учащиеся на промежуточных этапах усвоения понятия, действия, которые должны предшествовать овладению этими операциями.

В нашем исследовании мы используем информационные технологии в ключе деятельностного подхода. Упражнения и задания, составленные в соответствии с созданной методикой, направлены на развитие у учащихся умений вести самостоятельную исследовательскую работу, некоторые упражнения направлены на работу в парах или группах, где каждый ученик может играть роль учителя, объясняя материал остальным, тем самым реализуя один из аспектов деятельностного подхода.

Перед проведением самого исследования учащиеся седьмого класса общеобразовательной школы с гуманитарным уклоном были поделены на две группы: экспериментальную и контрольную. После того как в обеих группах были проведены первые уроки по изучению линейной функции, ее графика и некоторых ее свойств, учащимся было предложено ответить на вопросы первого тестирования. Данное тестирование выявляло особенности восприятия учащимися функции на начальном этапе, их понимание данного понятия. Учащимся были предложены вопросы, касающиеся их представлений о функции и ее определении.

Анализ ответов в тестах показал, что подавляющее большинство учащихся считают, что функция — это некоторое выражение (42 %), формула (23 %). Лишь 19 % определяли функцию как зависимость; однако ответы показали отсутствие хотя бы интуитивного понимания того, что такое зависимость, переменные. Ответы на вопросы указывали, что в качестве примеров функций учащиеся в основном представляют себе лишь недавно изученные линейные функции. Примеры из жизни привели только двое учеников.

В связи с этим одной из задач исследования стало развитие у учащихся восприятия функции как некоторой зависимости между переменными, расширение представлений о функциях, знакомство с функциональными зависимостями в жизни. При этом при разработке системы задач мы частично опирались на вышеупомянутую систему APOS (Actions-Process-Object-Scheme), разработанную Э. Дубинским [6]. Теория APOS развита в рамках конструктивизма, разработанного на основе генетической эпистемологии Пиаже [4]: человек учится (в том числе и математике) с помощью аккомодации, строя новые психологические структуры. Согласно этому принципу, для каждого математического понятия есть такая ментальная структура, которая развивается и может помочь изучить данное понятие. Согласно теории APOS, этими ментальными структурами являются схемы — последнее звено в последовательности «действия, процессы, объекты и схемы». Психические процессы, которые создают эти структуры, — интериоризация, в результате которой действие превращается в процесс, и инкапсуляция процесса в объект. Действия являются преобразованием физических или психических объектов, которые требуют специальных инструкций и должны быть выполнены явно, шаг за шагом.

Приведем фрагменты системы задач, распределенных по этапам работы с понятием функции. Первый блок задач направлен на пропедевтику в 6-7-х классах, когда учащиеся уже знакомы с понятием координатной плоскости, абсциссы и ординаты точки, что соответствует первому компоненту схемы Дубинского — Action (действие). Предложенные задачи затрагивают те моменты жизни, с которыми учащиеся уже встречались или могли бы встретиться.

Какое расстояние пройдет автомобиль, двигаясь со скоростью 70 км/ч, за 2 ч; за 3 ч; за 5 ч; за 9 ч?

Сколько литров воды нужно налить в квадратный аквариум, чтобы заполнить его полностью, если ребро аквариума равно 10 см, 15 см, 20 см, 30 см?

В банку попал 1 микроб. Сколько микробов будет в банке через 3 минуты (5 минут, 10 минут), если известно, что каждую минуту число микробов в банке удваивается.

Измерьте температуру на улице в 9:00, 12:00, 15:00, 19:00, 21:00 и отметьте результаты своих измерений на графике.

Блок задач, направленный на пропедевтику, необходим, так как осуществляемую сейчас функциональную, в особенности графическую, подготовку учащихся в 5-6-х классах нельзя считать удовлетворительной. Функциональная пропедевтика в этих классах ограничена рассмотрением вопросов о взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий, об изменении результата в связи с изменением одного из компонентов действий, введением буквенной символики и решением ряда задач с меняющимися данными. Упражнения на вычисление значения выражения с одной или несколькими переменными как в пятом, так и в шестом классах выполняются эпизодически, при этом довольно редко учащимся предлагается сделать более одной подстановки. На предусмотренное программой пятого класса ознакомление с координатной прямой, системой прямоугольных координат, простейшими графиками изменения величин и закрепление соответствующих представлений и навыков отводится крайне незначительное время. Изложенные выше краткие замечания позволяют прийти к выводу об актуальности проблемы совершенствования функциональной пропедевтики.

Следующий блок задач следует рассматривать на этапе первоначального знакомства с понятием функции, на примере линейной. В учебниках для общеобразовательных учреждений, разработанных коллективом авторов под руководством А.Г. Мордковича, где приоритет функционально-графической линии заключается в том, что изучение других содержательных линий курса проходит через призму понятия функции, само понятие вводится постепенно. Причем на первом этапе, после того как учащимся дается определение линейной функции, отмечается, что сначала ее будут рассматривать как форму записи линейного уравнения с двумя неизвестными, а при дальнейшей работе у учащихся формируется интуитивное представление о том, что функция — это зависимость одной величины от другой. Учащиеся же на первых этапах воспринимают функцию как некоторую формулу, с помощью которой можно «находить одну переменную через другую», просто строить графики и т. п., не осознавая до конца сущность функции, как она «работает» на самом деле. Следующий блок, соответствующий компоненту Process (процесс), направлен на создание у учащихся восприятия, что функция «что-то делает».

По данному уравнению функции у = х2 — 2х + 3 дополнить таблицу значений:

По данному уравнению функции у = 2|х + 2| — 1 дополнить таблицу значений:

3. Начертить какой-нибудь график по данным следующей таблицы:

В программе Excel построить графики по данным таблиц № 1-3.

Составить таблицу по данному графику функции, выбрав пять любых подходящих значений х:

Следующий блок задач рассчитан на то, что при выполнении данных заданий функция будет выступать уже не в качестве какого-то процесса, а как самостоятельный объект, что соответствует составляющей структуры APOS Дубинского — Object. На данном этапе учащимся предлагается работать с аналитическим заданием функций, т. е. с формулами уже известных линейной функции и прямой пропорциональности:

Найдите формулу функции у = кх + 1, если ее график проходит через точки А (0;3) и В (-2;0)

Постройте графики функций у = ах — 3 иу = (2а — 1)х + а, если эти графики параллельны.

Дана функция у = (а + 1)х + 2а, а Ф 0. Найдите точку графика этой функции, если ее координаты равны. Объясните смысл условия аф 0.

Постройте графики функций: у = 2х — 5 и у = 2 | х| — 5.

Некоторые программные продукты позволяют облегчить введение

понятия функции через обеспечение наглядности. Обладая возможностью

построения двумерных и трехмерных неявно заданных регионов, поддержкой произвольных областей построения графиков и другими возможностями, система Mathematica делает возможным безотлагательное создание высокоэстетичных и технически правильных двумерных и трехмерных визуализаций. Встроенные в программу функции содержат обширный набор функций. Поэтому одним из рассмотренных нами программных продуктов является Mathematica, которую можно предложить как учителям, так и учащимся в помощь при работе с понятием функции.

С помощью данной программы можно на первых этапах изучения линейной функции наглядно показать, как меняется положение графика в зависимости от коэффициента к (рис. 1) или взаиморасположение прямых (рис. 2):

ln[2B]:= Plot Их, -х, — х[, {х, -14, 14}, AspectRatio -> Automatic

4

Out[28}=

Рис. 1. Графики линейной функции

ln(32]:= Plot[{x, х + 4, -х + 4}, {х, -14, 14}, AspectRatio-> Automatic]

Рис. 2. Взаиморасположение прямых на плоскости

При изучении квадратичной функции у = ах2 тоже было бы целесообразно использовать эту программу, чтобы показать зависимость расположения графика от коэффициента а:

Рис. 3. Графики квадратичной функции у = ах2

In[40):~ Plot[{х, -х2], {х, -3, 3}, AspectRatio -> Automatic]

■2 -1 1 2

Рис. 4. Графики параболы

Таким образом, основными идеями разрабатываемой нами методики становятся постепенное развитие у учащихся восприятия функции как некоторой зависимости и обеспечение наглядности работы с этим понятием.

На данном этапе эксперимент еще не закончен, но по итогам анализа промежуточных результатов можно сделать вывод, что у учащихся в экспериментальной группе возрос интерес к работе с функциями по сравнению с учащимися контрольной группы, где занятия велись согласно базовой программе. Понятие функции стало для них яснее. В дальнейшем планируется уделить особое внимание развитию у учащихся навыков работы как с элементарными функциями, так и с более сложными конструкциями.

Список литературы

ДорофеевГ.В. Понятие функции в математике и в школе / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. - 1978. - № 2. - С. 10-27.

Колмогоров А.Н. Что такое функция? / А.Н. Колмогоров // Математика в школе. - 1978. - № 2. - С. 27-29.

Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики / А.Н. Леонтьев. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. - 584 с.

Пиаже Ж. О механизмах аккомодации и ассимиляции / Ж. Пиаже // Психологическая наука и образование. - 1998. - № 1. - С. 22-26.

Сафуанов И.С. Влияние современных информационных технологий на методы, формы и средства осуществления методической подготовки будущего учителя математики / И.С. Сафуанов, Э.Х. Галямова // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия«Информатикаиинформатизацияобразования». - 2011. - № 2 (22) 2011. - С. 86-90.

Dubinsky E. Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking / E. Dubinsky, D. Tall // Advanced mathematical thinking. - Clair Academic Publishers, Dordrecht - Boston - London, 1991. - P. 95-123.

Falcade R. Approaching functions: Cabri tools as instruments of semiotic mediation / R. Falcade, C. Laborde, M. Mariotti // Educational Studies in Mathematics. - 2007. - № 66 (3). - P. 317-333.

Paz T. The Slippery Road from Actions on Objects to Functions and Variables / T. Paz, U. Leron // Journal for Research in Mathematics Education. - 2009. - Vol. 40. - № 1. - P. 18-39.