Написание программ вычисления факториалов

Каждый оператор в программе Harmonic определял переход из одного множества состояний в другое.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 10.1. Написать программу вычисления f(n)=n! , где n - натуральное, либо равно 0.

Program Factorial (input, output);

{ Программа Factorial вычисляет значение функции п!

Input: (nÎ N)Ù(n ³ 0)

Output: (Fctrl Î N)Ù(Fctrl ³ 1)Ù(Fctrl=)

}

var i, n, fctrl : integer ; { n - исходноезначение;

fctrl - результат;

i - параметр цикла

}

begin

{Ввод исходных данных}

write (¢Введите значение n = ¢) ;

readln ( n ) ;

{Проверка корректности исходных данных}

if n<0 then writeln (¢Ошибка.¢п ¢не может быть меньше 0¢)

else

begin

if n=0 then fctrl:=1

else

begin

fctrl:=1 ;

for i:=2 to n do fctrl:=fctrl * i

end {if n=0};

{Вывод результата}

writeln (¢ При n = ¢ , n , ¢_ n! = ¢ , fctrl )

end {if n<0}

end {Program}.

Рис. 10.1.

В этой программе в строке 1 мы определяем типы переменных, которые мы будем использовать при вычислениях. В строке 2 пользователю выдается приглашение ввести исходное значение п , а в строке 3, с помощью оператора readln (n) значение, заданное пользователем, полагается текущим значением переменной п . Строка 4 - это проверка корректности исходных данных. Если текущее значение n < 0 , то пользователю будет выдано сообщение об ошибке.

В соответствии с определением функции n!

в строке 5, в зависимости от текущего значения, происходит выбор способа вычисления n! . Если n=0 , то переменная fctrl принимает значение 1. Если n¹0 , то в строках 6 и 7 в цикле вычисляется произведение 1´2´3´…..´(п-1)´п . В строке 6 определяется начальное значение переменной fctrl . Обратите внимание, до этого момента значение этой пременной было не определено. Строка 7 - это оператор цикла. Переменная i - это параметр цикла, который последовательно принимает значения 2, 3, 4 и т.д. до п включительно. Для каждого значения параметра цикла выполняется тело цикла:

fctrl:= fctrl * i .

Ну и наконец, строка 8 - вывод полученного результата.

Последовательность итераций цикла в строке 7 для п = 6 показана на рисунке 10.2. Под итерацией цикла мы будем понимать выполнение тела цикла для конкретного значения параметра цикла.

Итерации		Cостояние
1-я итерация i£n ®		i 2	fctrl 1	n 6
2	2	6
2-я итерация i£n®		3	2	6
3	6	6
3-я итерация i£n®		4	6	6
4	24	6
4-я итерация i£n®		5	24	6
5	120	6
5-я итерация i£n®		6	120	6
6	720	6

Рис. 10.2.

Введение
Pre
и
Post
условий.

В зависимости от исходного значения п , мы будем иметь разное число итераций цикла и разные состояния. Итак, на основе сделанного, мы можем сделать вывод: всякий оператор в программе определяет переход из одного множества состояний в другое.

Мы уже умеем определять множество с помощью предикатов. Пусть Q и R - предикаты, определяющие множество состояний до выполнения оператора S и после выполнения оператора S соответственно.

Это записывается так:

{Q} S {R} .

Это преобразование множества Q во множество R и определяет семантику оператора S.

Определение 10.1. Предикат Q называется предусловием оператора S, а предикат R - постусловием оператора S, если

{Q} S {R} .

Например, оператор fctrl : =1 ; из строки 7 рис. 10.1, любое состояние вычислительного процесса перерабатывает в состояние, где fctrl=1, т.е.

QºT , а R ºfctrl =1.

Семантика оператора присваивания.

Наша задача определить семантику оператора присваивания в терминах множеств состояний. Это означает, что нам надо определить взаимосвязь пред и постусловий для оператора присваивания. Эту задачу мы рассмотрим применительно к простым переменным.

Определение 10.2. Обозначим wp(S,R) - предикат, определяющий множество всех состояний, для которых выполнение оператора S, обязательно заканчивается за конечное время и обязательно в состоянии, удовлетворяющем предикату R.

Пример 10.1.

Пусть S - это оператор присваивания

i : = i+1 ,

а R º i £ 1 , тогда

wp(i : = i+1 , i £ 1)=( i £ 0).

Действительно, выполнение i : = i+1 может завершиться в состоянии

i£ 1 только, если i было меньше или равно нулю. Как следует из свойства операции сложения, если i > 0 , то i+1 >1 .

Пример 10.2.

Множество состояний, определяемых предикатом wp(S,T) для некоторого оператора S, есть множество всех состояний, таких, что выполнение оператора S, начавшееся в одном из этих состояний, обязательно заканчивается.

Определение 10.3. Обозначим предикат, который получается из предиката R , если в нем заменить все свободные вхождения переменной x на выражение е .

Например, если R(x,y)=(x+y) , то

Пусть

E=x<y Ù("i : 0 £ i < n : b_i
< y) .

Тогда

, т.к. i не свободно в Е.

Определение 10.4. wp(x : = e , R) = если domain(e) , то ;

где domain(e) - предикат, описывающий множество состояний, для которых значение выражения е определено.

Примеры 10.3. :

wp(x : =5 , х=5) = (5=5) = Т ,

т.е. любое состояние оператор x : =5 перерабатывает в состояние, на котором предикат х=5 выполняется.

wp(x : =5 , х¹5) = (5¹5) = F ,

т.е. нет такого состояния, которое бы оператор x : =5 , перевел в состояние х¹5 .

wp(x : =x+1 , х<0) = (x+1<0) =(x<-1) .

wp(x : =x´x , х⁴
=10) = ((x´x)⁴
=10) = (x⁸
=10) .

Пусть с - константа, тогда

wp(x : =е , х=с) = (е=с) ,

т.е. оператор x : =е обязательно завершится и даст в результате состояние, где x имеет значение с, если, и только если, значение выражения е при выполнении этого оператора будет равно с .

Пусть с - константа, а х и y - имена двух разных переменных, тогда

wp(x : =е , у=с) = (у=с) ,

т.е. выполнение оператора x : = е не может изменить значение переменной у.

В последнем примере предполагается, что x : =е может изменить только значение переменной х. Вычисление выражения е не может изменить значения никакой переменной, т.е. нет, так называемого, побочного эффекта. Побочный эффект мы рассмотрим позднее в лекции 15.

Запрещение побочных эффектов исключительно важно, т.к. это позволяет рассматривать выражения в программе, так же, как в математике. Это означает, что выражение в программе обладает многими свойствами выражений в математике.

Идея описания семантики оператора в терминах пред- и постусловий применима не только к отдельному оператору, но и к группе операторов. Покажем, что последовательность операторов

t : =х ; x : =y ; y : = t ;

обеспечивает обмен значениями у переменных х и y .

Пусть начальное значение {x=Y , y=X}.

{x=Y Ù y=X}

t : =х ;

{x=Y Ù y=X Ù t=Y}

x : =y ;

{x=X Ù y=X Ù t=Y}

y : = t ;

{x=X Ù y=Y Ù t=Y}

или

{x=Y Ù y=X} t : =х ; x : =y ; y : = t ; {x=ХÙ y=Y}.

Что и требовалось доказать.

Условный оператор.

Условный оператор в большинстве языков программирования реализует операцию композиции “выбор”. Этот оператор позволяет выбрать ту или иную последовательность операторов в зависимости от текущего состояния вычислительного процесса.

Пример 10.4.

if x=>0 then z: =x else z: =-x.

В результате выполнения этого условного оператора, переменная z получит значение, равное абсолютной величине х .

Согласно синтаксису языка Pascal, между ключевыми словами if и then должно стоять логическое выражение. Если значение этого логического выражения Т, то выполняется оператор, стоящий после then, если - F, то оператор, стоящий после else.

Определение 10.3.

wp(if B then S₁
else S₂
, R) =

= domain (B)Ù(B ÚØB)Ù((B Þ wp(S₁
, R))Ù(ØBÞwp(S₂
, R))) ,

где domain (B) - предикат, определяющий область определения для логического выражения В.

Обычно, B - всюду определенный предикат, поэтому член domain (B) опускают, и остается

wp(if В then S₁
else S₂
, R)= B Þ wp(S₁
, R) ÙØBÞwp(S₂
, R)

Покажем, что при любых начальных условиях, выполнение оператора из примера 10.4. дает в результат в z абсолютную величину х.

wp( if x=>0 then z: =x else z: = -x , z =abs(x))=

= x ³ 0 Þ wp(z: =x , z =abs(x)) Ù x < 0 Þ wp(z: = -x , z = abs(x))=

= x ³ 0 Þ x = abs(x) Ù x < 0 Þ -x = abs(x) = TÙT = T ,

т.е., при любом предусловии этот оператор даст в качестве значения

z =abs(x).

Пример 10.5. Покажем, что при любом начальном состоянии оператор

if x=>y then z: =x else z: = y

дает z =max(x,y).

wp(if x ³ y then z: =x else z: = y , z =max(x,y))=

=((x ³ y) Þ( z: =x, z =max(x,y))) Ù ((x<y) Þ ( z: =y, z =max(x,y)))=

=(x ³ y) Þ (x=max(x,y)) Ù ((x<y) Þ (y= max(x,y))= TÙT = T.

Пример 10.6. Покажем, что

wp(if x=>y then z: =x else z: = y , z =y)= (x £ y).

wp(if x=>y then z: =x else z: = y , z =y)=

(x ³ y) Þ ( z: =x, z =y) Ù (x<y) Þ ( z: =y, z =y)=

(x ³ y) Þ (x=y) Ù (x<y) Þ (y=y)=(x £ y).

У читателя может сложиться мнение, что для доказательства того, что было сделано в этих примерах, потрачено слишком много усилий. В конце концов, это можно было получить, руководствуясь интуитивными соображениями. Однако, важно уже сейчас научиться проделывать подобные формальные преобразования. Это приведет к лучшему пониманию условного оператора. При построении и анализе некоторых программ, эта техника будет совершенно необходима. Даже выполнение небольшого числа упражнений будет способствовать изменению привычных для нас способов обдумывания программ и того, что называется интуицией программиста.