53 Найти неопределенный интеграл
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Применяли формулу интегрирования по частям [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
63 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
[pic]
Решение:
Сделаем чертеж к данной задаче. Для чего построим указанные линии [pic]
гипербола, [pic] прямая, [pic].
Найдем точки пересечения данных линий. Для чего решим уравнения:
[pic] и [pic]
[pic] [pic]
Значит фигура ограничена сверху функцией [pic] снизу функцией [pic] на
интервале от 1 до 4.
Площадь [pic]
Ответ: [pic].
73. Найти общее решение дифференциального уравнения.
[pic]. Это уравнение однородное решается с помощью подстановки [pic], тогда
[pic]. Подставим полученные выражения в уравнение полученное из исходного
делением обеих частей на [pic].
[pic]
Ответ: [pic]
[pic]
Составляем характеристическое уравнение
[pic] [pic]
[pic]
тогда [pic]
Ответ: [pic]
83 Исследовать сходимость числового ряда.
Решение:
[pic]. В этом задании [pic] и [pic]
Применим признак Даламбера. Найдем [pic], так [pic] то ряд расходится по
признаку Даламбера.
Ответ: ряд расходится.
93. Найти интервал сходимости степенного ряда [pic]
Решение:
Здесь [pic] [pic].
Применим признак Даламбера. Найдем [pic]
Ряд сходится если [pic] или [pic] то есть [pic].
Проверим сходимость на концах этого интервала при [pic]
[pic]
Найдем предел [pic] значит в силу теоремы о необходимом условии сходимости
данный ряд расходится.
Исследование при [pic] аналогично. Тоже получится, что предел n-ного члена
при n стремящемся к бесконечности не равен нулю.
Ответ: ряд сходится при [pic]. На границах интервала он расходится.
103. С помощью рядов вычислить приближенное значение интеграла с точностью
до 0,001
[pic]
Разложим в степенной ряд arctgx, используя известное разложение:
[pic], тогда [pic]
Почленно проинтегрируем данный ряд [pic]Ответ: [pic]