/>/>Содержание
Введение.
§1. Система комплексных чисел
§2. Свойства комплексных чисел
§3. Полем комплексных чисел.
§4. Категоричность аксиоматическойтеории комплексных чисел.
§5. Непротиворечивость аксиоматическойтеории комплексных чисел
§6. Модели комплексных чисел.
Примеры.
Заключение
Список используемой литературы
/>Введение
Из курса математики известно, что отрицательныечисла введены прежде всего для того, чтобы операция вычитания, обратная коперации сложения, была всегда возможна. По аналогичной причине в математикепоявились комплексные числа. Если рассматривать только действительные числа, тооперация извлечения квадратного корня, обратная к операции возведения вквадрат, не всегда возможна, так как нельзя извлечь квадратный корень изотрицательного числа. Этого, однако, недостаточно, чтобы заводить в математикеновые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам надвыражениями, в которых встречается корень квадратный из отрицательного числа,то можно прийти к результату, уже не содержащему корень квадратный изотрицательного числа. В XVI веке Кардано нашел формулу для решения кубическогоуравнения. Оказалось, что именно в том случае, когда кубическое уравнение имееттри действительных корня, в формуле Кардано встречается корень квадратный изотрицательного числа. Обнаружилось таким образом, что производя вычисления свыражениями, содержащими корень квадратный из отрицательного числа, можнополучить вполне понятные результаты. Поэтому эти корни стали употреблять вматематике. Назвали их мнимыми числами — тем самым они как бы приобрели правона нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам на граниXVIII—XIX столетий дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал имгеометрическую интерпретацию и, что самое главное, доказал основную теоремуалгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительныйили комплексный корень. Комплексным числом называется всякая упорядоченная парадействительных чисел />.Два комплексных числа /> и/> равнытогда и только тогда, когда />.Рассмотрим комплексны числа более подробно. И найдем модели комплексных чисел.
/>§1. Система комплексных чисел
В поле действительныхчисел не всегда осуществима операция извлечения корня: не существует кореньчетной степени из отрицательного числа. Отсюда возникает задача дальнейшегорасширения поля действительных чисел с целью получения такого множества чисел,в котором уравнение /> имело бы решение.Такое минимальное требование задачи расширения поля действительных чиселоправдывается тем, что при ее осуществлении становятся разрешимыми любые уравнениявида
/>.
Полем комплексных чиселназывается минимальное поле С, содержащее поле Rдействительных чисел, т.е. множество С, обладающее свойствами:
1) Ссодержит поле действительных чисел, т.е. в С содержится такое подмножество R’,что />;
2) C – поле;
3) вС разрешимо уравнение />(целевоетребование);
4) С– минимальное поле, т.е. не содержит никакого подполя, отличного от него самогои обладающего свойствами 1 – 3.
Элементы поля С –комплексные числа.
Подсистемой комплексных чисел понимают минимальное поле, которое являетсярасширением поля действительных чисел и в котором есть элемент iсусловием i+1 = 0. В качестве первичных принимают следующие термины:
а)С — множество, его элементы называются комплексными числами;
б)+,• —сложение и умножение — бинарные операции на С;
в)0, 1 и i — элементы С;
г)R —подмножество С, его элементы называются действительными числами;
д) Åи 8— сложение и умножение — бинарные операции на R.
Для построения системыкомплексных чисел воспользуемся исходным элементом – парой (a,b)действительных чисел. В процессе построения будут определены различные операциидля таких пар.
Аксиомыразделяются на четыре группы и могут быть сформулированы так:
А
СI./>;
СII./>;
СIII./>;
CIV./>;
CV./>;
CVI./>;
CVII./>;
СVIII./>;
CIX./>;
СХ./>;
СХI./>.
Б
СХII./> - поледействительных чисел;
CХIII.R ÌC;
CХIV./>;
CХV./>.
В
CXVI./>.
Г
CXVII.(аксиома минимальности). Любое подмножество М множества С совпадает с С, еслионо удовлетворяет следующим четырем условиям:
а)/>;
б)/>;
в)/>;
г)/>.
/>§2. Свойствакомплексных чисел
Мыпредполагаем, что />— системакомплексных чисел. Таким образом, для этой системы выполнены все названные впредыдущем разделе аксиомы.
Теорема2.1. Всякое комплексное число /> можнопредставить и только одним способом в виде />.
Доказательство.Предположим сначала, что /> для некоторыхдействительных чисел a,b, a1,b1. Поскольку /> — поле, то />. Если />, то/>.
Аэто не может быть в силу теоремы о том, что в линейно упорядоченном кольцеквадрат любого не равного нулю элемента положителен. Возможность представлениялегко следует из аксиомы минимальности.
Определение 2.1. Суммойкомплексных чисел (a,bi)и (c,di)называется комплексное число />.
Сумму обозначают знаком«плюс». Поэтому определение можно записать так: />.
Так как сложениекомплексных чисел сводится к сложению действительных чисел, то сложениекомплексных чисел всегда выполнимо и однозначно.
Теорема 2.2. Сложениекомплексных чисел коммутативно и ассоциативно.
Доказательство. Проведемдля ассоциативного закона. Вычислим />. С другойстороны, />. Следовательно,/>.
Комплексное число /> является нулем,ибо для любого комплексного числа /> справедливо />.
Обычным образом, как,например, для рациональных чисел, доказывается единственность нуля.
Для всякогокомплексного числа (a,b)существует противоположное ему комплексное число, обозначаемое />. Проверим, что />. В самом деле, />. Единственностьпротивоположного число доказывается обычным образом.
Теорема 2.3. Вычитаниекомплексных чисел всегда выполнимо и однозначно.
Доказательство.Проверим, что />. Для этоговычислим сумму />.
Итак, />. Последнееравенство удовлетворяет определению разности, следовательно, />. Итак,вычитание выполнимо.
Докажем единственностьразности. Пусть /> есть разностьвида />. Это значит,что />. Прибавим кобеим частям />. Получим />. Этим доказанаоднозначность вычитания.
Определение 2.2.Произведением комплексных чисел /> и /> называетсякомплексное число />.
Умножение обозначаем точкой,и определение тогда запишем так: />.
Так как умножениекомплексных чисел сводится к арифметическим действиям с действительнымичислами, то умножение всегда выполнимо и однозначно.
Теорема 2.4. Умножениекомплексных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительносложения, т.е.:
1) />;
2) />;
3) />;
Доказательство.Проверим только дистрибутивный закон. Вычислим левую часть />.Вычислим правую часть />.
Как видим левая иправая части оказались равными одному и тому же комплексному числу.Следовательно, они равны, т.е.: />.
Комплексное число /> являетсяединицей, ибо для любого комплексного числа /> справедливо />.
Единственность единицыпроверяется обычным образом. Пусть /> есть единица.Тогда />, ибо /> – единица. Но /> – тоже единица,поэтому />. Изоднозначности умножения следует, что/>.
Теорема 2.5. Длявсякого комплексного числа /> существуетобратное ему число, обозначаемое />, т.е. такое,что их произведение равно единице.
Доказательство. Даночисло />, где /> или />, т.е. />. Найдем такоечисло />, чтобы />, откуда />. Из определенияравенства комплексных чисел следует />
Определитель системы />, следовательно,система имеет решение, притом единственное: />, />. Таким образом,/>.
Следствие. Делениекомплексных чисел всегда выполнимо (исключая деление на нуль) и однозначно.
Проверим, что /> есть />. Вычислим: />.
Итак, />. Последнееравенство удовлетворяет определению частного, следовательно, />. Итак, делениевыполнимо.
Докажем единственностьчастного. Пусть />. Это значит,что />. Умножив обечасти на />, получим />. Этим доказанаоднозначность деления.
На основанииизложенного можно заключить, что множество комплексных чисел С является полем.
/>§3. Полем комплексныхчисел
Выделим из поля Скомплексных чисел множества CRпар вида />. Комплексноечисло вида /> назовемдействительным комплексным числом.
Теорема 3.1. Множество CRдействительных комплексных чисел изоморфно полю Rдействительных чисел.
Доказательство.Действительному комплексному числу /> поставим всоответствие является взаимно-однозначным. Покажем, что указанное соответствиеесть изоморфизм относительно сложения и умножения. Пусть />, тогда />и />, т.е. />. Следовательно,множество CR изоморфно полю R.Поэтому можно отождествить соответствующие элементы этих множеств и считать,что поле комплексных чисел С содержит поле действительных чисел. Действительноекомплексное число /> в дальнейшембудем обозначать действительным числом а.
Комплексное число, неравное действительному, называется мнимым числом, т.е. />, где /> есть мнимоечисло. Мнимое число /> называют чистомнимым числом. Число /> назовем мнимойединицей и обозначим буквой i.
Покажем, что мнимаяединица является решением уравнения />. Действительно,/>. Итак, /> или />.
Теорема 3.2. Всякоекомплексное число может быть представлено в виде суммы действительного и чистогомнимого чисел.
Доказательство.Представим />. Таким образом,/>. Выражение /> называетсяалгебраической или линейной формой комплексного числа />.
На основании определений2.1, 2.2 и теорем 2.3, 2.5 действия над комплексными числами в алгебраическойформе можно записать так:
1) />;
2) />;
3) />;
4) />.
Сделаем такоезаключение. При оперировании с комплексными числами их следует рассматриватькак двучлены относительно буквы i.Получаемый при умножении член i2надо заменить на (-1).
Теорема 3.3. Полекомплексных чисел С является минимальным расширением поля действительных чисел R.
Доказательство. Пустьподполе /> и отлично от />. Это значит,что есть число />, причем />.
Возьмем число />. Так как К –подполе, то вычитание и деление чисел из К снова принадлежат К. Следовательно />. По тем жесоображениям заключаем, что /> при любых а и b,т.е. К=С. Это значит, что собственных подполей, содержащих R,в С нет.
Теорема 3.4. Полекомплексных чисел не упорядоченное поле, т.е. не существует такого отношения«>», при котором выполняются условия:
1) длявсякого комплексного числа zлибоz>0, либо z
2) если/> и />, то /> и />;
3) если/>, то />, и наоборот.
Доказательство. Прилюбом отношении «>» должно выполняться 1>0 (если предположить противное:10 и, согласно п.2, (-1)(-1)>0 или 1>0, чтопротиворечит предположению 1
Предположим, что длякомплексных чисел существует такое отношение «>», при котором поле С будет упорядоченнымполем. Возьмем />. Так как />, то />, либо />.
Рассмотрим />. Тогда,согласно п.2, /> или -1>0.Получили противоречие.
Пусть />. Тогда,согласно п.3, />, откуда,согласно п.3, /> или />. Получилипротиворечие. Предположив, что в поле комплексных чисел существует такоеотношение «>», при котором поле С становится упорядоченным, мы установили,что для /> и /> нельзя определить,в каком они находятся отношении. Следовательно, поле комплексных чиселневозможно расположить никаким отношением «>».
/>§4. Категоричностьаксиоматической теории комплексных чисел
Теорема4.1. Пусть /> и /> — системыкомплексных чисел. Тогда существует изоморфное отображение fсистемы /> на />.
Доказательство.Прежде всего условливаемся в целях краткости пользоваться одинаковыми знакамиопераций в С' и R', а также вС" и R". Далее,условливаемся элементы из С' снабжать одним штрихом: />, а элементы изС" двумя: /> Поскольку любыеполя действительных чисел изоморфны, существует взаимно-однозначное отображениеφ множества R' наR" такое,что:
1)/>;
2)/>.
Определимоднозначное отображение fмножества CʹвС" следующим условием: />.
Нетрудноубедиться в том, что f— взаимно-однозначное отображение СʹнаС".
Пусть/>. Имеем
/>.
Аналогичнопроверяется и условие />.
/>§5. Непротиворечивость аксиоматической теориикомплексных чисел
Теорема5.1. Аксиоматическая теория комплексных чисел непротиворечива относительноаксиоматической теории действительных чисел.
Доказательство.Мы укажем модель данной теории. Пусть /> — поледействительных чисел. Рассмотрим множество Р пар /> действительныхчисел и определим на Р бинарные операции Å и 8(сложение и умножение) следующими условиями: />
/>.
Намизвестно, что /> — поле. Выберемв Р подмножество R0 парвида (а, 0). Сопоставим с каждым действительным числом а пару />. Легко видеть,что φ — взаимно-однозначное отображение RнаR0. Далее, имеем: />
/>.
Такимобразом, φ — изоморфное отображение /> на /> Следовательно: а)/> — поледействительных чисел;
б)поле /> — расширениеполя />.
Заметимтакже, что (1, 0) и (0,0) — единица и нуль поля />>. Полагаем />. Имеем />.
Итак,на системе /> выполняютсяпервые 15 аксиом нашей теории. Пусть, наконец, М — подмножество Р такое, что:
а)/>;
б)/>;
в)/>;
г) />.
Докажем,что в таком случае любой элемент множества Р принадлежит множеству М. В самомделе, имеем />.
Теорема доказана.
/>§6. Модели комплексныхчисел
Построение моделейсистем комплексных чисел способствовало лучшему пониманию их природы.
Пусть М – множество матрицвторого порядка над полем действительных чисел вида />. Множеству Мпринадлежит: нулевая матрица 0, единичная матрица Е и матрица I:
/>.
Проверим, что множествоМ замкнуто относительно сложения и умножения матриц, т.е. что сумма ипроизведение матриц принадлежат М:
/> (1)
Легко проверить, чтоумножение матриц коммутативно. Так как для матрицы /> определитель />, то существуетобратная матрица /> и,следовательно, в М осуществляется деление. Так что множество матриц из Мобразует поле.
Матрицу /> можнопредставить суммой
/>,
т.е. />.
Из (1) следует правиласложения и умножения:
/> (2)
Установимвзаимно-однозначное соответствие между комплексными числами /> и матрицами />.
Из (2) вытекает, чтосоответствие сохраняется при выполнении арифметических операций. Следовательно,поле комплексных чисел изоморфно М; т.е. множество М является моделью полякомплексных чисел.
Представим матрицы /> в виде />, где />.
Так как />, то существуеттакой угол />, что />. Отсюда />.
Известно, что такиематрицы определяют последовательное выполнение поворота плоскости вокруг началакоординат и растяжение плоскости с центром в начале координат с коэффициентомрастяжения ρ. Таким образом, получено истолкование комплексного числа какхорошо известное преобразование плоскости.
Рассмотрим еще однумодель. Пусть М – множество многочленов /> одногопеременного над полем действительных чисел. Множество М есть коммутативноекольцо. Будем говорить, что два многочлена /> и /> находятся вотношении (обозначим />), если /> делится намногочлен />. Очевидно, что /> тогда и толькотогда, когда равны остатки от деления /> на />. Отмечу, чтоостатки будут многочлены /> первой степени.
Теорема 6.1. Если /> и />, то /> и />.
Доказательство.Преобразуем />. Каждая скобкаделится на />, следовательно,сумма делится на />. Таким образом,/>. Аналогичнодоказывается для суммы.
Указанное отношениеявляется отношением эквивалентности, ибо выполняются свойства:
1) рефлексивности:/>;
2) симметричности:если />, то />;
3) транзитивности:если /> и />, то />.
Отсюда следует, чтокольцо многочленов распадается на непересекающиеся классы эквивалентныхмногочленов. Все многочлены одного класса имеют равные остатки от деления на />, т.е. остаток(многочлена />) являетсяхарактеристикой класса. Определим множество К, элементами и которого являютсяклассы эквивалентных многочленов.
Сумма /> и произведение /> определяютсяследующим образом. Выбирают любые два многочлена />, />. Вычисляют /> и /> и находятклассы, которым принадлежат сумма и произведение. Пусть />. Тогда полагают/>. Согласнотеореме 1, сумма и произведение не зависят от выбора представителей />. Поэтому вкачестве представителя будем всегда брать многочлен (единственный для данногокласса) первой степени. Итак, множество К состоит только из многочленов первойстепени.
Пусть />. Произведение />. Найдем класс,которому принадлежит произведение, т.е. остаток от деления его на />. Очевидно, />, и остатокравен />.
Следовательно,произведение /> вычисляется поправилу />.
Сумма />.
Тем самым показано, чтовзаимно-однозначное соответствие между комплексными числами /> и элементами /> множества Кустанавливает их изоморфизм. Итак, множество К есть поле комплексных чисел.Многочлен х играет роль мнимой единицы iи является решением уравнения />.
/>Примеры.
Разберем несколькопримеров моделей комплексных чисел.
№1.
Пусть М – множествовсех матриц второго порядка над полем действительных чисел вида />. Докажите, чтомножество М относительно операций сложения и умножения матриц изоморфно полювсех комплексных чисел С.
Решение:
комплексныйдействительный число матрица
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> – отображение.
/>
/>
/>
/>
/> - биектция
/>
/>
/>
/> сохраняетоперацию «+»
/>
/>
/> – сохраняетоперацию «/>». Значитоперации «+» и «/>» биективно
/>
№2.
В множестве R×Rопределены операции: а) />; b)/>. Докажите, чтоалгебра > изоморфнаполю комплексных чисел. Укажите в этой алгебре образ мнимой единицы и элементы,обратный к (a,b).
Решение:
a) />;
b) />
Доказать: />изоморфна полю />, a,bϵR
Доказательство: />.
/> ????
/>
№3
Пусть M=R[x]– кольцо многочленов от одной неизвестной над полем R.На М определим отношение /> дают одинаковыеостатки при делении на многочлен />. Докажите, что ρ– конгруэнция относительно сложения и умножения многочленов и фактор-кольцоизоморфно полю комплексных чисел.
Решение:
М=R[x]
/> дают одинаковыеостатки при делении на многочлен />
Пусть /> в отношение />.
/> /> />
/> />
/>
/>
/> />
/>.
/>
/>
/>
/>, где />
/>, где />
При сложение у насполучится одинаково />
/>
/>разделив на />
Получим />
№4.
Пусть Т=R×R×R– множество троек действительных чисел, на котором определены операции Åи 8и бинарное отношение ρ:
/>,
/>,
/>.
Докажите: алгебра - коммутативное кольцо;
1. /> коммутативностьвыполняется
2. /> ассоциативностьвыполняется
/> , /> — нейтральныйэлемент
/> , /> – симметричныйэлемент
Дистрибутивность />
1) />
2) />.Дистрибутивностьвыполняется, т. к. (1)=(2) – доказано.
/>
Заключение
Комплексные числаобразуют алгебраически замкнутое поле – это означает, что многочлен степени nс комплексными коэффициентами имеет ровно nкомплексных корней. Это одна из главных причин широкого применения комплексныхчисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чиселпозволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели,применяемые в математической физике и естественных науках.
Что же такое моделькомплексного числа?
Модель системы аксиом –это какой-либо математических объект, который отвечает данной системе аксиом.Истинность системы аксиом можно доказать, только построив модель в рамкахдругой системы аксиом, которая считается «истинной». Кроме того, модельпозволяет наглядно продемонстрировать некоторые особенности даннойаксиоматической теории.
И так моделькомплексного числа это система аксиом применимых к данному комплексному числу,которую нужно доказать с помощью определенных операций.
/>Список используемойлитературы
1. БлохШ.А. Числовые системы. – Минск: Высшая школа, 1982.
2. НечаевВ. И. Числовые системы. – М.: Просвещение, 1975.
3. http://kvant.mirror1.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm- Понтрягин Л., Комплексные числа. — журнал Квант №3, 1983. Электронная версия
4. http://ru.wikipedia.org/wiki/ — «Википедия» электронная энциклопедия
5. ФеферманС., Числовые системы. – М.: Наука, 1971.
6. ЛаринС. В., Числовые системы. – М.: Академия, 2001.
7. Reslib.com/book/Sbornik_zadach_po_algebre_i_teorii_chisel.– сборник задач по алгебре и теории чисел.