Розрахунково-графічнезавдання
з теми:
«Статистична обробкарезультатів прямих багаторазових вимірювань з незалежними рівноточними спостереженнями»
Виконала:
Студентка групиАП-48б
Арсентьєва К.Г.
Харків 2010
Исходные данные
Экспериментально получены результаты серии наблюденийнапряжения U постоянного размера. Результаты наблюдений считаются независимымии равноточными (по условиям эксперимента). В общем случае они могут содержатьсистематическую и случайную составляющие погрешности измерений. Указанадоверительная вероятность P=0,95 результата измерения.
Задание
По результатам многократных наблюдений определить наиболеедостоверное значение измеряемой физической величины и его доверительныеграницы.
Таблица 1U(1)=170.02 U(17)=170.20 U(2)=170.41 U(18)=170.30 U(3)=169.95 U(19)=169.59 U(4)=170.17 U(20)=169.95 U(5)=169.95 U(21)=169.77 U(6)=170.01 U(22)=169.84 U(7)=170.26 U(23)=169.95 U(8)=190.23 U(24)=159.84 U(9)=169.84 U(25)=170.33 U(10)=169.73 U(26)=169.73 U(11)=169.74 U(27)=169.91 U(12)=170.21 U(28)=170.35 U(13)=169.76 U(29)=170.20 U(14)=169.67 U(30)=169.88 U(15)=169.83 U(31)=169.60 U(16)=170.35 U(32)=170.50
Доверительная вероятность: P= 0, 99
Доверительные границы: />
Разрядность: 5 разрядов*/>
Количество наблюдений: n = 32
Обработка результатов измерений
Анализируем серию наблюдений на наличие промахов. Если ониимеются, то их необходимо исключить из дальнейшей обработки.
При анализе обнаружен один промах U(8)=190.23 иU(24)=159.84 (В). Исключим его из результатов измерений.
Таблица 2U(1)=170.02 U(16)=170.20 U(2)=170.41 U(17)=170.30 U(3)=169.95 U(18)=169.59 U(4)=170.17 U(19)=169.95 U(5)=169.95 U(20)=169.77 U(6)=170.01 U(21)=169.84 U(7)=170.26 U(22)=169.95 U(8)=169.84 U(23)=170.33 U(9)=169.73 U(24)=169.73 U(10)=169.74 U(25)=169.91 U(11)=170.21 U(26)=170.35 U(12)=169.76 U(27)=170.20 U(13)=169.67 U(28)=169.88 U(14)=169.83 U(29)=169.60 U(15)=170.35 U(30)=170.50
Проверим соответствие экспериментального закона распределениянормальному закону.
Для этого используем составной критерий согласия. Он включаетв себя два независимых критерия, их обозначают I и II. Первый из этих критериев(критерий I) обеспечивает проверку соответствия распределения экспериментальныхданных нормального закона распределения вблизи центра распределения, а второйкритерий (критерий II) – на краях распределения. Если при проверке неудовлетворяется хотя бы один из этих критериев, то гипотеза о нормальностираспределения результатов наблюдений отвергается.
Для проверки гипотезы о нормальности распределения исходнойсерии результатов наблюдений по критерию I вычисляют параметр d, определяемыйсоотношением:
/> (1),
где />/>(В) – среднееарифметическое результатов наблюдений Ui, />;
/> (В) – смещённая оценка СКО результатов наблюдений Ui,/>.
Для облегчения дальнейших расчетов сведём значения />/> и/> в таблицу:
Таблица 3i
/>
/>
/> 1. 0.02 0.0004 0.02 2. 0.41 0.1681 0.41 3. -0.05 0.0025 0.05 4. 0.17 0.0289 0.17 5. -0.05 0.0025 0.05 6. 0.01 0.0001 0.01 7. 0.26 0.0676 0.26 8. -0.16 0.0256 0.16 9. -0.27 0.0729 0.27 10. -0.26 0.0676 0.26 11. 0.21 0.0441 0.21 12. -0.24 0.0576 0.24 13. -0.33 0.1089 0.33 14. -0.17 0.0289 0.17 15. 0.35 0.1225 0.35 16. 0.20 0.04 0.20 17. 0.30 0.09 0.30 18. -0.41 0.1681 0.41 19. -0.05 0.0025 0.05 20. -0.23 0.0529 0.23 21. -0.16 0.0256 0.16 22. -0.05 0.0025 0.05 23. 0.33 0.1089 0.33 24. -0.27 0.0729 0.27 25. -0.09 0.0081 0.09 26. 0.35 0.1225 0.35 27. 0.20 0.04 0.20 28. -0.12 0.0144 0.12 29. -0.4 0.16 0.4 30. 0.5 0.25 0.5
/>
/>
/>
Рассчитаем параметр d в соответствии с формулой (1):
/>
Результаты наблюдений Ui считаются распределённымипо нормальному закону, если выполняется следующее условие
/>,
где />, /> - квантили распределенияпараметра d. Их находят по таблице П.1 α-процентных точек распределенияпараметра d по заданному объёму выборки n и принятому для критерия I уровнюзначимости α1. Выберем α1 и α2из условия α≤α1+α2, гдеα=1-Р=1-0,99=0,01.
α1=0,02 и α2=0,01.
Для n=15, р=0,95, α=0,02
/>
/>
a)Для n=30,P=0.99 />.
/>26 0.8901 30 У 31 0.8827
Проведём интерполяцию:
Y(d )=0.8901+0.8(0.8827-0.8901)=0.8901-0.0059=0.8842
Для n=30,P=0.99
/>26 0.7040 30 У 31 0.7110
Проведём интерполяцию:
Y( )=0,7040+0,8(0,7110-0,7040)=0,7040+0,0056=0,7096
/>
0,7096
Распределение результатов наблюдений соответствует критериюI.
По критерию II, распределение результатов наблюденийсоответствует нормальному закону распределения, если не более m разностей /> превзошли значение
/>,
где /> (В) –несмещенная оценка СКО результатов наблюдений Ui;
/> - верхняя квантиль распределения интегральной функциинормированного нормального распределения, соответствующая доверительнойвероятности Р2. Значение m и Р2 находим по числунаблюдений n и уровню значимости α2 для критерия II по таблицеП.2 приложения. m=2, Р2=0,99. Затем вычисляем:
/>
По таблице П.3 приложения интегральной функции нормированногонормального распределения находят />,соответствующее вычисленному значению функции Ф(/>):при Ф(/>)=0,995;/>=2,82;
/>=2,82*0,2597=0,7323 (В).
Ни одно значение /> непревосходит величину />, следовательнораспределение результатов наблюдений удовлетворяет и критерию II, поэтомуэкспериментальный закон распределения соответствует нормальному закону.
Проведём проверку грубых погрешностей результатов наблюдений(оценки анормальности отдельных результатов наблюдений). Для этого:
а) Составим упорядоченный ряд результатов наблюдений,расположив исходные элементы в порядке возрастания, и выполним ихперенумерацию:
Таблица 4U(1)=169.59 U(16)=169.95 U(2)=169.60 U(17)=169.95 U(3)=169.67 U(18)=170.01 U(4)=169.73 U(19)=170.02 U(5)=169.73 U(20)=170.17 U(6)=169.74 U(21)=170.20 U(7)=169.76 U(22)=170.20 U(8)=169.77 U(23)=170.21 U(9)=169.83 U(24)=170.26 U(10)=169.84 U(25)=170.30 U(11)=169.84 U(26)=170.33 U(12)=169.88 U(27)=170.35 U(13)=169.91 U(28)=170.35 U(14)=169.95 U(29)=170.41 U(15)=169.95 U(30)=170.50
б) Для крайних членов упорядоченного ряда U1 и U15,которые наиболее удалены от центра распределения (определяемого как среднееарифметическое Ū этого рядя) и поэтому с наибольшей вероятностью могутсодержать грубые погрешности, находим модули разностей />=/>(В) и />=/>(В), и для большего из нихвычисляем параметр:
/>
в) Для n=30, /> />из таблицы 4 определим />=3,071.
Так как ti
Вычислим несмещенную оценку СКО результата измерения всоответствии с выражением:
/> (В).
Определим доверительные границы /> случайнойсоставляющей погрешности измерений с многократными наблюдениями в зависимостиот числа наблюдений n 30 в выборке, не содержащей анормальных результатов, поформуле: />, где Z– коэффициент позаданной доверительной вероятности Р=0,99; Z =2,58
/>
/> (В).
Определим доверительные границы /> суммарнойне исключённой систематической составляющей погрешности результатов измерений смногократными наблюдениями:
/> (В).
Определим доверительные границы /> суммарной(полной) погрешности измерений с многократными наблюдениями.
Так как />, тогда
/>/>В.
Запишем результат измерений с многократными наблюдениями:
U= (170,000±0,151) В; Р=0,99