В предыдущих лабораторныхработах была изложена теория многочленной аппроксимации. Попробуем теперьизложить подобную теорию для аппроксимации периодических функций рядами Фурье.Ряд Фурье на интервале -N£t£N можнозаписать так:
где k=0, 1, 2, …)
(k=0, 1, 2, …)
1
-p 0 p
-1
В качестве примерарассмотрим разложение прямоугольного колебания в ряд Фурье. Подобное колебание,называемое меандром, находит широкое применение в технике. Итак,
Так как на практике мы неможем вычислить бесконечную сумму, проанализируем, как увеличение числаслагаемых влияет на приближение. При этом мы сталкиваемся с явлением Гиббса.
H(t)
0 p 2p 3p t
Прямоугольная
Рассмотрим это явление напримере прямоугольной волны H(t)с периодом 2p.
Если вычислить сумму первых2nчленов, то все члены с косинусами будут равны нулю и получаем:
H2n(t)
H(t)
1
½
явление Гиббса p t
Гиббс отметил, что частичнаясумма H2nпревосходит функцию на некоторую величину. Болееточно
H2n,08949…, при n®¥
Действительно, H2n(t) не только превосходит функцию H(t),но и имеет тенденциюколебаться около H(t), и колебания уменьшаются медленно, когда t удаляетсяот разрыва.
Чтобыобъяснить явление, запишем как
гдеиспользована формула
Из выведенной формулы ясно, что максимум иминимум для 0£t£p достигаются в точках ,
то есть при t= , m=1,2, …, 2n-1, ичто они чередуются.
То, что верно для этойспециальной функции, очевидно, верно и для более общих функций, так как разрывможно рассматривать как возникающий из прямоугольной волны, прибавленной кглавной функции.
Действительно, явлениеГиббса мы можем наблюдать и при приближении пилообразного сигнала с помощьюрядов Фурье. С пилообразными колебаниями часто приходится сталкиваться вустройствах для развёртки изображения в осциллографах.
Заметим, что при увеличениичисла слагаемых в рядах Фурье, приближение улучшается (уменьшается глубинаколебаний). Это наглядно показывают графики, приведённые в конце.
Задача следующего этапа этойработы — фильтрация зашумлённого сигнала с помощью быстрых преобразований Фурье(БПФ).
Рассмотрим произвольныйсигнал. В данном случае он задан как
На практике почти всегдаимеют дело с зашумлённым сигналом. Поэтому наложим на сигнал некоторый шум.Теперь попробуем очистить наш сигнал от шумов. Для этого применим БПФ, а затемцифровой фильтр.
Итак, если использоватькомплексное представление тригонометрических функций
то получим ,
где
Легко видеть, что
(akи bk-коэффициентыразложения в ряд Фурье)
Комплексная форма ряда Фурьеудобнее в обращении при теоретических исследованиях, но вычисления проводятся сдействительной формой. В комплексной форме существуют и положительные иотрицательные частоты: для каждой положительной частоты мы заменили двефункции, синус и косинус, единой экспоненциальной, но имеющей как положительную,так и отрицательную частоту.
Покажем, что соответственнопредставлению рядам Фурье периодической функции имеется представлениеинтегралом Фурье любой функции
, где
Функция F(s), грубоговоря, соответствует коэффициентам cлв ряде Фурье. Это — спектральная функция (спектральная плоскость); F(s) описываетамплитуду частоты (s)в функции f(t).Говорят, что функция F(s)является преобразованием Фурье функции f(t). Обе функции несут одну иту же информацию, так как каждая может быть найдена из другой, но только вразных формах:: f(t) в области времени, а F(s)в областичастот.
Итак, возвращаясь к нашейзадаче, переведём сигнал из временной области в частотную. После этого применимцифровой фильтр. С помощью этого фильтра мы отбрасываем шумовые составляющиесигнала, оставляя частотные составляющие. Но нужно заметить, что пытаясь избавитсяот шумовых составляющих сигнала, мы невольно отбрасываем часть частотных. чемвыше порог фильтрации, тем меньше шума мы получаем, но в то же время мы теряемвсё большую часть полезной информации, то есть сигнал искажается. В этом яубедился на практике. Чем выше был порог шума, тем более «гладкой» былаочищенная функция, но при наложении на неё исходного незашумлённогосигнала можно было убедиться в значительных расхождениях. И наоборот, чем нижебыл порог шума, тем функция была менее «гладкой», но совпадение с исходнымсигналом было лучше. При выборе определённого порога фильтрации нельзя неучитывать этот факт. Чтобы определить величину этого параметра прежде всегонужно руководствоваться особенностями поставленной задачи.
Фурье-анализ.
ak
Как в чистой, так и вприкладной математике, обычно ищут инварианты представления — инварианты поотношению к классу преобразований. В классе периодических функций перенос осей t=t’+bне должны менять в представлениифункции того, что не зависит от системы координат. Непосредственно видно, чтокоэффициенты Фурье akи bkне обладают этими свойствамии меняются при сдвиге оси, то есть когда изменяется начало отсчёта времени.Полагая t=t’+bи используя периодичность f(t),чтобы сдвинуть в интеграле пределы получаем:
Аналогично
Хотя akи bkне инвариантны, величина
очевидно, инвариантна.Величину называют мощностью частоты k и изображают в видедискретного спектра мощности.
В конце работы мы можемвидеть в графики двух наиболее важных характеристик импульса: график огибающейспектра прямоугольного импульса и график фазового сдвига гармоник.