Задача 20. Показать, что функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.1. />
y'= e-x^2/2-x2e-x^2/2= e-x^2/2(1-x2)
xe-x^2/2(1-x2)=xe-x^2/2(1-x2)
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.2. />
y'= (xcosx-sinx)/x2
(xcosx-sinx)/x+sinx/x=cosx
cosx=cosx
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.3. />
y'= -10e-2x+ex/3
-10e-2x+ex/3+10e-2x+2ex/3=ex
ex=ex
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.4. />
y'= -cx/√(1-x2)
-cx(1-x2)/√(1-x2)+2x+cx√(1-x2)=2x
2x=2x
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.5. />
y'= √(1-x2)-x2/√(1-x2)= (1-2x2)/√(1-x2)
x√(1-x2)(1-2x2)= x-2x3
√(1-x2)
x-2x3=x-2x3
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.6. />
y'= c*tgx/cosx
c*tgx/cosx-c*tgx/cosx=0
0=0
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.7. />
y'= 3/(3x+c)2
3/(3x+c)2=3/(3x+c)2
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.8. />
y'= ex/(c+ex)
ex/(c+ex)= ex/eln(c+e^x)
ex/(c+ex)=ex/(c+ex)
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.9. />
dy= (2x-c)dx/(2√(x2-cx))
(x2+x2-cx)dx-(2x√(x2-cx)(2x-c)dx)/(2√(x2-cx))=0
0=0
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.10. />
dy= (cx-xlnx+1)dx
(x-x(c-lnx))dx+x(cx-xlnx+1)dx=0
0=0
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.11. />
y'= etgx/2/(2cos2x/2)= etgx/2/(cosx+1)
sinx*etgx/2/(cosx+1)= etgx/2lnetgx/2--PAGE_BREAK--
tgx/2= tgx/2
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.12. />
y'= (1-x+1+x)/(1-x)2=2/(1-x)2
2/(1-x)2= 1-2x+x2+1+2x+x2
(1-x)2(1+x)
2/(1-x)2=2/(1-x)2
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.13. />
y'= 1-b2
(1-bx)2
b+x– x(1-b2)= b + x2(1-b2)
1+bx(1-bx)2 (1-bx)2
b+ x2(1-b2)=b+ x2(1-b2)
(1-bx)2 (1-bx)2
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.14. />
y'= 1-2x _
3√(2+3x-3x2)2
(1-2x)3√(2+3x-3x2)= 1-2x _
3√(2+3x-3x2)2 3√(2+3x-3x2)
1-2x _= 1-2x _
3√(2+3x-3x2) 3√(2+3x-3x2)
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.15. />
y'= 4ex= ex _
4(1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1) (1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1)
ex(1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1)= ex
(1+ex)√(ln((1+ex)/2)2+1)
ex=ex
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.16. />
dy= 3dx _
3xcos2ln3x
(1+tg2ln3x)dx = 3xdx _
3xcos2ln3x
dx/cos2ln3x= dx/cos2ln3x
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.17. />
y'= 2/(x3√(2/x2-1))
1+2/x2-1- 2x√(2/x2-1)/(x3√(2/x2-1))=0
0=0
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.18. />
y'= x-1 _
3x√(x-lnx-1)2
lnx+x-lnx-1-3x(x-1)√(x-lnx-1)2= 0 продолжение
--PAGE_BREAK--
3x√(x-lnx-1)2
0=0
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.19. />
y'= 7/(ax+1)2
a+7x/(ax+1) – 7x/(ax+1)2= a(1+7x2/(ax+1)2)
a(1+7x2/(ax+1)2)= a(1+7x2/(ax+1)2)
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.20. />
y'= -a2 _
2x2√(a/x-1)cos2√(a/x-1)
a2+a2tg2√(a/x-1)-2a2x√(ax-x2) = 0
2x2√(a/x-1)cos2√(a/x-1)
a2/cos2√(a/x-1)– a2/cos2√(a/x-1)=0
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.21. />
y'= 1 _
8 4√(√x+√(x+1))
8x _ 4√(√x+√(x+1)) = -1 _
8 4√(√x+√(x+1)) 4√(√x+√(x+1))3√(x+1)
-1 _= -1 _
4√(√x+√(x+1))3√(x+1) 4√(√x+√(x+1))3√(x+1)
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.22. />
y'= ex^2(1+2x2+2x)
ex^2(1+2x2+2x) – 2xex^2(1+x)=2xex^2
2xex^2=2xex^2
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.23. />
y'= 2x2-4x5-x6-2x3-1
x2(x3+1)2
x(x3+1)( 2x2-4x5-x6-2x3-1)+ (2x3-1)(2x2+1)= x3-2
x2(x3+1)2 x(x3+1) x
x3-2=x3-2
x x
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.24. />
y'= (1+2x)ex+x^2+2ex
(1+2x)ex+x^2+2ex— ex+x^2+2ex = 2xex+x^2
2xex+x^2=2xex+x^2
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.25. />
y'= -cosx-xsinx+3
-xcosx+x2sinx+3x = -xcosx+3x+ x2sinx продолжение
--PAGE_BREAK--
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.26. />
y'= -cosx-1 _
2√(sinx+x)3
-2sinx(cosx+1)+cosx = xcosx-sinx
2√(sinx+x)3 √(sinx+x) √(sinx+x)3
xcosx-sinx= xcosx-sinx
√(sinx+x)3 √(sinx+x)3
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.27. />
y'= 2x3-4x2+2x-1
(x-1)2
x(x-1)(2x3-4x2+2x-1)+ x/(x-1)+x2= x2(2x-1)
(x-1)2
x2(2x-1)= x2(2x-1)
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.28. />
y'= (cosx+xsinx)/cos2x
(cosx+xsinx)/cos2x-xtgx/cosx = secx
1/cosx=secx
secx= secx
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.29. />
y'= n(x+1)n-1(ex-1)+(x+1)nex
n(x+1)n-1(ex-1)+(x+1)nex— n(x+1)n(ex-1)/(x+1) = (x+1)nex
(x+1)nex=(x+1)nex
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.30. />
y'= 2xcosx-2sinx-x2sinx
x2
xsinx(2xcosx-2sinx-x2sinx)+ (sinx-xcosx)(2sinx+xcosx)= sinxcosx-x
x2 x
sinxcosx-x=sinxcosx-x
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).
20.31. />
y'= 2x-4x3 = 1-2x2
2√(x4-x2) √(x2-1)
-x√(x4-x2)( 1-2x2)— x4+x2= x4
√(x2-1)
x4= x4
Равенство выполняется. Функция />удовлетворяет уравнению (1).