Государственная АкадемияУправления имени Серго Орджоникидзе
Курсовая работа
на тему
Паутинообразная модель
моделирования динамики рыночных цен
Выполнили: студент МЭО IV-2
Рудаков Е.
Проверил :
_________________________________________________________________
Москва 1997
План
Допущения..................................................3
Паутинообразная модель с запаздываниемспроса.............5
Паутинообразная модель с запаздываниемпредложения........8
Заключение.................................................10
Литература.................................................11
Допущения
При рассмотрении паутинообразной модели длямоделирования динамики рыночных цен важно ввести некоторые допущения. Для этоймодели требуется построить функцию предложения, которая, если допустить, чтоимеется один продукт, может изменяться только его цена, а все остальныефакторы, от которых зависит спрос на данный товар (цены на другие товары,основные производственные фонды, характер применяемой технологии, налоги идотации, природно-климатические условия) остаются неизменными, зависимостьюпредложения Q от цены p:
Q=S(p) (1)
Особенностью данной функции предложенияявляется то, что для многих видов товаров она монотонно возрастает(S’(p)>0). Рост предложения при увеличении цены можно объяснить тем, чтоувеличивается оптимальный объем выпуска товара предприятием при увеличении егоцены, а так же тем, что для производства высокорентабельного товара в отрасльвключаются новые предприятия. При этом на плоскости Q0p кривая предложениязадается уравнением p=MC(Q) и представляет собой геометрическое местоточек минимумов линий постоянной прибыли(линия S на рис.1).
Следующая используемая функция — этофункция спроса, которая имеет вид:
Q=D(p) (2)
вслучае, когда потребитель предъявляет спрос на определенный товар, исходя изсвоих предпочтений и бюджетных ограничений. Причем если может изменяться толькоцена товара, а все остальные факторы, от которых зависит спрос на него (ценыдругих товаров, денежный доход, накопленные сбережения и т.п.), остаютсянеизменными. Характерная особенность этой функции — ее монотонное убывание длямногих видов товаров, при этом ее график (кривая D на рисунке 1) представляетсобой геометрическое место точек на плоскости Q0p, в которых цена принимаетмаксимально возможное значение на линиях постоянной полезности.
Функции спроса и предложения являютсяосновными составляющими модели рынка товаров, поскольку они — по предположению— представляют собой решения оптимизационных задач, которые возникают передучастниками (“покупателями и “товаропроизводителями”).
Пересечение графиков спроса и предложенияпроисходит в точке равновесия (точка А на рис.1), а соответствующая этой точкецена p=pe называется равновесной. Если цена нарынке выше равновесной, то предложение превышает спрос и возникаетзатоваривание. В этой ситуации товаропроизводители (продавцы) многих видовтоваров готовы пойти на снижение цены с целью привлечения большего числа покупателей(например, если речь идет о скоропортящихся товарах). Следовательно, призначениях цены выше равновесной происходит давление на нее в сторонууменьшения.
Если же цена на рынке ниже равновесной, тоспрос превышает предложение, и товар становится дефицитным. В этой ситуациичасть покупателей готова заплатить за товар более высокую цену, но снизить риски с уверенностью приобрести товар (например, если образуется очередьпокупателей, то стоящие в ее конце могут не получить товара). Таким образом,при значениях цены ниже равновесной происходит давление на нее в сторонуувеличения. Эти две тенденции приводят к тому, что на рынках многих видовтоваров, как правило, устанавливается равновесие, при котором спрос равенпредложению.
В силу свойств кривых спроса и предложенияравновесное решение является устойчивым в том смысле, что если цена строгофиксирована и равна равновесной P=Pe , то товаропроизводитель,максимизируя прибыль, поставляет на рынок товар в количестве S(pe)=Qe;одновременно потребитель, стремясь максимизировать полезность, предъявляетспрос D(pe)=Qe. Приустановлении на рынке совершенной конкуренции равновесной цены объем товаров,предлагаемый товаропроизводителем и доставляющий ему максимум прибыли по данной цене, в точности равен спросупотребителя.
Динамические неравновесные модели рынкаиспользуются для анализа изменения переменных (цена, спрос, предложение) вовремени в случае, когда цена в начальный момент отличается от равновесной. Приэтом процесс установления равновесной цены может быть описан различнымимоделями при использовании одних и тех же функций спроса (2) и предложения (1).
Различают два подхода — непрерывный, вкотором динамика цен описывается дифференциальным уравнением
dp/dt = a(D(P)-S(p)),
идискретный, когда переменные на промежутке времени [t,t+1) принимаютсянеизменными. В последнем случае последовательным интервалам времени [t,t+1)соответствуют значения цены pt, спроса Dt и предложения St.В зависимости от используемых гипотез в дискретной модели динамики ценпроисходит либо запаздывание предложения — в этом случае приходим к процессу
S(Pt+1)=D(Pt), (3)
либозапаздывание спроса — в этом случае получаем процесс
D(Pt+1)=S(Pt). (4)
Здесь предполагается, что функциипредложения и спроса удовлетворяют следующим условиям:
S’(P)>0, D’(P)
В обоих случаях на плоскости Q0pсоответствующий итерационный процесс изображается в виде паутины, которая“намотана” на кривые спроса и предложения. Это дало основание для общегоназвания дискретных динамических моделей.
Дискретные модели вида (4) представляютинтерес потому, что в них более последовательно, чем в непрерывных, отражаютсяпроцедуры принятия решений.
Паутинообразная модель сзапаздыванием спроса
Концептуальная модель любого процессадинамики цен включает взаимодействие трех подсистем, которые можно условноназвать “товаропроизводитель”, “потребитель” и “рынок” (рис.2). Паутинообразнаямодель (модель А), в которой спросотстает от предложения на один период: D(Pt+1)=S(Pt),также вписывается в схему рис.2.
Эта модель — одна из исторически первыхдинамических моделей рынка, отражающих поведение участников. Она служит хорошейиллюстрацией применения метода моделирования при анализе экономическихпроцессов.
Значение модели А определяется еще и тем, что многие современные модели динамикицен, а также динамические модели макроэкономики приводят к “паутинообразному”процессу. Рассмотрим гипотезы, которые лежат в основе этой модели.
Гипотеза1. Товаропроизводитель, принимая решение об объеме предложения,ориентируется на цену предыдущего периода.
Эта гипотеза означает, чтотоваропроизводитель прогнозирует цену следующего периода. Правда, прогноз здесьочень примитивный, опирается на логическую схему: “сегодня цена была Pt,если и завтра она будет равна Pt, то я получу максимальную выгодупри продаже товара в количестве S(Pt)”.
Гипотеза2. Рынок всегда находится в состоянии локального равновесия.
Эту гипотезу можно трактовать, по Вальрасу[1],следующим образом. Вместо абстрактного, неодушевленного понятия “рынок”последний выступает в виде некоего человека-аукциониста, распоряжающегося нареальном рынке. Этот аукционист сначала устанавливает произвольные цены натовары, после чего участники рынка совершают условные сделки и сообщают об ихрезультате аукционисту. Если спрос на некоторый товар оказался больше (меньше)предложения, то аукционист меняет первоначальные цены, поднимая (понижая) ценуэтого товара. Окончательные сделки совершаются лишь после достиженияравновесия.
Другая трактовка этой гипотезы состоит втом, что задачей аукциониста является установление максимальной цены, прикоторой весь товар, поставляемый на рынок производителем, находит покупателя.Формально эти две гипотезы означают следующее:
1) объем предложения на рынке St+1в каждый период времени t+1 определяется значением цены предыдущего периода припомощи функции предложения St+1=S(Pt);
2) на рынке в каждый период t+1устанавливается равновесная цена Pt+1, причем эта цена являетсярешением уравнения D(Pt+1)=St+1;
3) потребитель предъявляет спрос, которыйпри цене Pt+1 в каждый момент времени равен предложению St+1,вследствие чего потребитель приобретает все, что ему предложено.
Принятое в модели А взаимодействие подсистем “потребитель”, “товаропроизводитель” и“рынок” может быть представлено в виде блок-схемы, изображенной на рис.3.
Использование монотонных функций спроса ипредложения позволяет построить последовательность цен Pt, где t —номер шага во времени. Действительно, в силу гипотезы (1) товаропроизводительпо значению цены P1 при помощи кривой предложения определяет S2;в силу гипотезы (2) на рынке устанавливается цена P2 (находится припомощи кривой спроса); в силу гипотезы (3) весь товар в количестве S2находит потребителя; в силу гипотезы (1) товаропроизводитель, ориентируясь нацену P2, определяет объем предложения S3 и т.д. (рис.3).Далее рассмотренный процесс повторяется.
Таким образом, сформулированные двегипотезы приводят к итерационному процессу (4), где спрос запаздывает отпредложения на один период.
Динамика цены (а также спроса ипредложения) в рамках данной модели может быть изображена в виде кривой,которую называют либо паутиной, либо спиралью (рис.4). Поэтому в литературепаутинообразную модель иногда называют “динамической спиралью”. В случае,изображенном на рис.4, последовательность цен Pt стремится кравновесному уровню pe, и, таким образом, здесь со временемустанавливается равновесие.
Для ответа на вопрос, всегда ли в данноймодели итерационный процесс (4) приводит к равновесию, рассмотрим случай, когдафункции спроса и предложения линейно зависят от цены, т.е.
D(P)=Qe-d(P-pe),S(P)=Qe+s(P-pe). (5)
Здесьpe — равновесное значение цены; Qe — соответствующееравновесное значение спроса и предложения; d и s — угловые коэффициенты функцийспроса и предложения.
В силу уравнений (5) итерационный процесс(4) может быть представлен в виде
Qe-d(Pt+1-pe)=Qe+s(Pt-pe),
или
Pt+1-pe=-s(Pt-pe)/d.
Это значит, что числовая последовательностьyt=Pt-pe, которая определяет отклонениетекущей цены от равновесной, представляет собой знакочередующуюсягеометрическую прогрессию
yt+1=qyt (6)
сознаменателем q = -s/d. Поэтому при s
При s>d последовательность yt неограниченно возрастает и амплитудаколебаний цен увеличивается (рис.5).
При s=d последовательность ytпоследовательно принимает равные по абсолютной величине значения (рис.6). Каквидим, характер динамики цен зависит в данной модели от отношения угловыхкоэффициентов функций спроса и предложения. Поэтому теоретически равновесноеположение паутинообразной модели может быть и неустойчивым.
Паутинообразная модель сзапаздыванием предложения
Сформулируем гипотезы одной из модификацийпаутинообразной модели (3) с запаздыванием предложения (модель В).
Гипотеза1. При определении объема предложения в каждый период временитоваропроизводитель ориентируется на спрос в предыдущий период.
Эта гипотеза приводит к росту (снижению)предложения в случае, когда спрос больше (меньше) предложения.
Гипотеза2. Цена предлагаемого товара устанавливается товаропроизводителем науровне, определяемом в соответствии с функцией предложения.
Здесь товаропроизводитель действуетформально: он знает, что кривая предложения в некотором смысле оптимальна.Поэтому он полагает, что при определении уровня цен с помощью функциипредложения предлагаемый объем товара будет оптимальным.
Гипотеза3. Объем потребления не может превосходить ни объема предложения, ни объемаспроса.
Эта гипотеза означает, что если предложениеменьше спроса, то потребление равно предложению.
Если же спрос меньше предложения (т.е.имеет место избыточное предложение товара), то потребление равно спросу, анепроданный товар приводит к затовариванию. Таким образом в данной модели связьмежду потреблением Ct, спросом Dt и предложением St вкаждый период времени t можно представить в виде
Ct=min(St,Dt). (7)
Последнее означает, что график кривойпотребления модели В представляетсобой линию SAD (рис.7).
Модель можно представить в виде блок-схемы,изображенной на рис.8. Из этой блок-схемы видно, что в рассматриваемой моделипроисходит отставание предложения: S(Pt+1)=D(Pt).
Подчеркнем, что гипотеза (1), выражающаяреакцию производителя на несоответствие спроса Dt предложению St,и гипотеза (2) определяют модель предложения товаров.
Рассуждая формально, приходим к следующему.При заданных S1 и P1, удовлетворяющих условию S1=S(P1),определяется спрос D1, после чего для объема потребления получаем C1=min(S1,D1).
В случае дисбаланса между спросом S1и предложением D1 товаропроизводитель предлагает в следующий моментвремени товар в объеме S2=D1, который он рассчитываетпродать по цене P2, определяемой из условия S2=S(P2),Далее процесс повторяется; графически его удобно представить в видединамической спирали, изображенной на рис.9.
Рассмотрим описанный итерационный процессболее подробно. На первом шаге, при цене P1, имеет место избыточныйспрос, вследствие чего потребление равно предложению. Так как в этом случаереализован товар в объеме S1, что меньше равновесного значения Qe,то товаропроизводитель теряет часть прибыли, поскольку и цена, как оказалось,занижена, и предложено товара меньше, чем могло бы быть продано.
Упущенная выгода заставляеттоваропроизводителя увеличить цену товара и объем его предложения. Предполагаяпри этом, что спрос не изменится, он принимает решение увеличить выпуск дообъема D1. Предложение при таком объеме является, как надеетсятоваропроизводитель, оптимальным в случае, когда цена P2удовлетворяет уравнению S(P2)=D1. Это значит, что навтором шаге продавец (он же товаропроизводитель) устанавливает цены, используякривую предложения.
Так как цене P2 соответствуетспрос D2, то в силу D2
Для улучшения ситуации на рынке в этомслучае фирма должна сократить предложение и снизить цену. В соответствии сиспользуемыми здесь допущениями, предложение должно снизиться до уровня спросаD2, а цена — до уровня P3, который определяется изусловия S(P3)=D2. Далее процесс повторяется.
Отметим, что в модели В, в отличие от модели А,динамическая спираль “наматывается” уже против часовой стрелки. Таким образом,изменение гипотез о поведении потребителя и товаропроизводителя привело кизменению направления движения по спирали на противоположное. Поэтому в модели В при линейных функциях спроса ипредложения (5) колебания цен затухают и на рынке достигается равновесие приs>d.
Если же s
Итак, если итерационный процесс динамикицен в одной из рассмотренных моделей (Аили В) сходится, то в другой — расходится.
Заключение
В заключении рассмотрим вопрос осоответствии моделей А и В реальному процессу потреблениятоваров. Сравнение основных допущений удобно провести, сведя их в табл.1.
Модель
предложения
Модель
потребления
Модель
ценообразования
Модель
А
предложение определяется по уровню цен в предшествующий период
потребляется все, что предлагается
цена задается на рынке из условия равновесия в соответствии с функцией спроса
Модель
D
предложение определяется по уровню спроса в предшествующий период
потребление не превосходит ни предложение ни спрос
цена устанавливается продавцом в соответствии с кривой предложения
Как видим, обе рассмотренные модели рынкаодного товара уязвимы, поскольку они достаточно просты и не учитывают многихфакторов, способствующих установлению равновесной цены.
Литература
1. ЛебедевВ.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов, М.:Изограф — 1997
[1] Вальрас Леон Мари Эспри(1834-1910) — швейцарский экономист.