Решение кубических уравненийв радикалах.
Выполнил Розанов А. Ю.
Содержание
TOC o «1-3» h z Введение. PAGEREF _Toc162520677 h 3
1. ФормулаТартальи – Кардано.PAGEREF _Toc162520678 h 3
2. Преобразованиеформулы Тартальи – Кардано к наиболее удобному для вычислений виду.PAGEREF _Toc162520679 h 6
3.Дискриминант кубического уравнения и его связь с корнями.PAGEREF _Toc162520680 h 7
4. Примеры.PAGEREF _Toc162520681 h 11
Заключение.PAGEREF _Toc162520682 h 13
Списоклитературы.PAGEREF _Toc162520683 h 15Введение
«Всякое уравнение
Формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней были найденыеще в XVI веке. В это же время начались поиски формулы для решения уравненийпятой степени и более высоких степеней. Заметим, что общий вид уравнения
Эти поиски безуспешно продолжались до начала XIX века, когда был,наконец, доказан следующий замечательный результат: «ни для какого Иными словамиуниверсальные формулы решения уравнений в радикалах существуют только дляуравнений первой, второй, третьей и четвертой степени.
В данной работе будет рассмотрено решение в радикалах уравнений третьейстепени, или кубических уравнений.1.Формула Тартальи – Кардано.
Уравнение вида
(1)
называетсякубическим уравнением. Если мы вынесем за скобки коэффициент и сократим на неговыражение (1), то получим уравнение
(2)
Пусть тогда выражение (2)можно переписать как
(3)
Преобразуем это уравнение, положив
где – новое неизвестное.Подставив это выражение в наше уравнение, мыполучим кубическое уравнение относительно неизвестного окажется равным нулю.Коэффициентом при первой степени и свободным членомбудут соответственно числа,
и
Уравнение сокращенно запишется в виде
(4)
Действия, в результате которых уравнение (3) преобразуется вуравнение (4) были впервые осуществлены итальянским математиком ДжероламоКардано (1501–1576), о чем свидетельствует его труд «Великое искусство»вышедший в свет в 1545 году. На этом, собственно и заканчивается вклад данногоученого в способ решения кубичного уравнения, который несправедливо носилдолгое время имя «формулы Кардано». Дело в том, что способ решения уравнения(4) был открыт другим итальянским ученым Никколо Тарталья (1499–1557) 12февраля 1535 года, при подготовке к математическому поединку с неким Фиоре. Вотход его рассуждений.
Будем искать корень уравнения
где и и
Если подставить выражения для и в левую часть данногоуравнения, то получим
Выполнив действия иприведя подобные получим выражение Теперь получается система
решая которую получим решения
и
Теперь получаем формулу Тартальи:
(5)
Каждый из входящих вформулу (5) кубичных радикалов имеет три значения. Произвольным образом ихкомбинировать нельзя. Оказывается, что для каждого значения первого радикаламожно указать одно единственное такое значение второго радикала, чтопроизведение их равно числу
Пусть
тогда для каждого нужно взять такое
Именно эти двазначения радикалов и нужно складывать для того, чтобы получить кореньуравнения. Мы получим таким путем три корня нашего уравнения. Всякое кубическоеуравнение с любыми числовыми коэффициентами имеет, следовательно, три корня, вобщем случае комплексных; некоторые из этих корней могут, конечно, совпадать,т. е. превратиться в кратный корень (об этом подробно будет рассказано втретьем пункте данной работы).2. Преобразование формулы Тартальи – Карданок наиболее удобному для вычислений виду.
Итак, поехали:
Пусть
Отсюда получаем соответствующие значения v:
,
.
Таким образом, корни уравнения (5) можно находить по формулам
(6)
Если в качестве взять
то формулы (6) примут самый удобный для вычислений вид:
(6*)
Теперь можно подумать и о написании программы…3. Дискриминант кубического уравнения и егосвязь с корнями.
Выражение
фигурирующие под квадратным корнем в формуле Тартальи –Кардано, часто называют дискриминантом кубического уравнения. Возможны трислучая:
Рассмотрим эти случаи.
Если
Так как Следовательно,
откуда в качестве одного из значений u получается следующее выражение:
.
Соответственно значение будет равно
На основании формул (6*) получаем:
Итак, если имеет один простой иодин двукратный. Эти корни можно найти, не прибегая к извлечению квадратных икубических корней, а именно, их можно вычислять по формулам
(7)
Теперь докажем, что если
Предположим противное. Пусть уравнение имеет два корня,равных одному и тому же числу
Значит, и
Отсюда следует, что
что противоречит условию
Если
Обращаясь к выражению
легко усмотреть, что под кубическим корнем находится действительноечисло, так какu должно быть действительным. Примем егоза будет тожедействительным. Отсюда на основании формул (6*) заключаем, что уравнение имееттолько один действительный корень. Остальные корни будут комплексными.
Теперь перейдем к рассмотрению самого интересного (на мойвзгляд, конечно же) случая, когда u и v являются мнимыми. И, тем не менее, все три корня уравнения будутдействительными. В данном случае приходится переходить к тригонометрическойформе записи. Теоретически, через формулы косинуса тройного угла можно сделатьобратную замену и выразить значения корней уравнения через радикалы.Практически же, это приведет к появлению очень громоздких выражений. Так как – некотороедействительное положительное число. Тогда
.
Найдем модуль rи аргумент подкоренноговыражения.
,
.
Таким образом,
Полагая последовательно k=0, 1, 2 получим все три значения u:
Произведение комплексного числа на сопряженное емукомплексное число равно квадрату модуля. Руководствуясь этим, мы легкоопределим u=
Отсюда квадрат модуля u будет равен u и v связаны тем же самым соотношением
Теперь корни уравнения находятся без труда:
(8)4. Примеры.
Решить уравнение
Ответ –3:3.
Решить уравнение.
Ответ: 4;
И в завершении разберем уравнение подробнее.
Решить уравнение:
Ответ: 5, .Заключение.
Так кому же принадлежит открытие общего способа решениякубических уравнений? Есть разные мнения. Согласно одному из них, способ общегорешения уравнения впервые был найденпрофессором университета в Болонье (Италия) Сципионом дель Ферро. Эта версиядовольно таки сомнительна. Дело в том, что у Ферро был ученик Фиоре, которыйутверждал, что знает способ решения кубического уравнения от своего учителя. НоНикколо Тарталья ещё раньше, в 1530 году, добился решения для некоторых частныхслучаев этого уравнения. Решения достались ему с большим трудом, и поэтому онне очень доверял заявлению Фиоре, о том, что ему известно решение, и считал этохвастовством. Оба математика держали в тайне свои способы решения. И вотТарталья, уверенный в победе, вызывает Фиоре на публичный математическийпоединок. Поединок назначают на 22 февраля 1535 года. В этот день обаматематика должны были явиться к нотариусу. Каждый должен был принести 30 задач и обменяться ими друг с другом вприсутствии нотариуса. На решение задач давалось 50 дней. Кто к концу этогосрока решит наибольшее число задач из 30, предложенных соперником, тот и будетсчитаться победителем и, сверх того, получит по 5 сольди за каждую задачу.
Между тем, незадолго до этого дня до Тартальи доходятслухи, что Фиоре действительно знает общий способ решения уравнений вида
Тарталья чувствует, что если это так, то Фиореобязательно предложит ему именно такие уравнения и останется победителем. ТогдаНикколо Тарталья, как пишет он в одном из своих сочинений «приложил все своервение, прилежание и искусство, чтобы найти правило этих уравнений, и мнеудалось сделать это за 10 дней до срока, т. е. 12 февраля, благодаря счастливойсудьбе». На самом деле, благодаря его исключительному таланту.
Предположение Тартальи подтвердилось. В назначенноевремя Фиоре передал своему сопернику 30 задач, которые все приводились к уравнениям вида
Каково же было удивление всех, когда Тарталья все 30 задачрешил за 2 часа! Фиоре же не справился ни с одной из задач предложенныхТартальей и за 50 дней. Отсюда можно смело сделать вывод, что Фиоре не владелобщим способом решения кубических уравнений. Скорее всего, не владел им иФерро…
Тарталья собирался опубликовать свое открытие, но сдерживалего неприводимый случай кубического уравнения невозможно.
Впоследствии Кардано удалось обманом получить у Тартальиспособ решения кубических уравнений и вероломно, в нарушение всех клятвопубликовать его в своем труде «Великое искусство». Заслугой Джероламо Карданобыло то, что, овладев решением уравнения . Оказалось, что если заменить через
История оказалась несправедливой по отношению к Тарталье –способ решения кубического уравнения долго был известен в математике подназванием «формулы Кардано». Список литературы.
1.
2.
3. Алгебра: Александров П. С., Маркушевич А. И.,Хинчин А. Я. – М.: Государственное издательство технико-теоретическойлитературы, 1951.
4.