М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Такиезадачи могут быть решены как с привлечением теоремы Гаусса, так и посредствоминтегрирования уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона более удобно, еслигде-либо (т.е. на каких-либо поверхностях) требуется обеспечить напередзаданные величины потенциала. Теорема Гаусса дает преимущество, если в задачезаданы только заряды. Если потенциал уже задан формулой, то />, а далее просто используется уравнение Максвелладля нахождения заряда.
Задача.φ(r) = ar3+b внутри шара радиуса R проницаемости ε. Найти ρ, ρ', σ '.
Решение:Поле направлено радиально от центра шара; внутри оно равно
/>
авне шара не потребуется для решения. (Но, в принципе, его можно найти как Er = Q/(4πε0r2)после нахождения ρ и полного заряда />).Плотность заряда ρ получаем из уравнения Максвелла: ρ(r) =
/> =
/>
Длянахождения ρ ' и σ ' потребуется поляризованность внутри шара: Pr = ε0(ε–1)Er = –3aε0(ε–1)r2
Связанныезаряды равны:
/> σ '|r = R = Pr|r = R– = –3aε0(ε–1)r2
Задача.Пластина толщины 2a проницаемости ε заряжена как ρ = α x2.Положив φ|x = 0 = 0, написать φ(x), найти ρ ' и σ '.
Решение:Хотя использование уравнения Пуассона при решении данной задачи вполне возможно,более удобным представляется применение теоремы Гаусса к цилиндрическойповерхности, занимающей область (–∞… x) вдоль оси x. Таким способоманалогичная задача рассматривалась ранее для случая ε = 1. Изменениятребуются в момент перехода от Dx к Ex в области –a
/>
Теперьможно найти φ c учетом условия φ|x = 0 = 0, применяя формулу
/>
вернуюдля любого x (и больше, и меньше нуля). Соответственно, для каждого из трехучастков, на которых найдено Ex, получаем: φ(x) =
/> =
/> =
/>
Длявычисления плотностей связанного заряда нам не нужен потенциал, но требуетсяполяризованность внутри пластины (вне она, естественно, равна нулю):
/>
Величиныρ ' и σ ' равны:
/> σ '|x = –a =
/> σ '|x = a =
/>
Получилосьчто σ '|x = –a = σ '|x = a, что вполне естественно, ввиду симметриисистемы относительно плоскости x = 0.
Задача.В плоский конденсатор при а) поддерживаемом постоянным напряжении б) неизменномзаряде обкладок — параллельно обкладкам ввели пластину с проницаемостью ε,которая заняла η-ю часть зазора. Найти σ ' на гранях пластины.Изначально поле составляло E0.
Ответ:a) />;/>б) />Примечание:в процессе решения удобно временно ввести расстояние между обкладками d иразность потенциалов U (для «а») или заряд обкладки σ (для«б»). Естественно, введенные U (σ) должны быть согласованы сизвестным E0.
Задача.Внутри заземленного цилиндра радиуса R — равномерно заряженный (ρ0)диэлектрик ε = 1+α r. Найти φ(r), ρ', σ'.
Решение:Применяем уравнение Пуассона, так как у нас есть требование на потенциал:φ|r = R = 0:
/> =
/>
/> =
/>
/> =
/>
/> =
/>
ЗдесьA = 0, так как иначе поле, то есть –dφ/dr, оказывается неограниченным вточке r = 0. Потенциал находим интегрированием dφ/dr в пределах от R до r:φ =
/> =
/> =
/>
Найдемеще поляризованность:
/>
Теперьполучаем связанный поверхностный заряд
/>
исвязанный объемный заряд:
/>
Задача.Внутри заземленного шара радиуса R — равномерно заряженный (ρ0) диэлектрикε = 1+α r. Найти φ(r), ρ', σ'.
Ответ:/>,
/>/>/>.
Список литературы
1.И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. — 448с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. — 416 с.
2.В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М.Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. — 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.:Наука, 1992. — 661 с.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта edu.ioffe.ru/r