--PAGE_BREAK--Теорема в пособии не приводится, однако была использована при создании тестовых данных для самостоятельной проверки корректности работы приложения, созданного студентами.
Для данного теста приводится оценка вероятности ошибки, равная εt, где ε , где — функция Эйлера, n — испытуемое число, t — параметр надежности.
- функция Эйлера, где n — натуральное число, равна количеству натуральных чисел, не больших n и взаимно простых с ним.
Если тест показал, что испытуемое число является простым, то подразумевается, что данное число является простым с вероятностью 1- εt.
В случае составного испытуемого числа, имеющего только большие делители, ε, то есть существуют числа, для которых вероятность ошибки при проверке их на простоту тестом Ферма близка к 1.
В качестве примера иллюстрирующего работу теста были приведены расчеты, в качестве испытуемого числа было выбрано простое число 43, параметр надежности был выбран равный 2, основания, по которым проводилась проверка, были равны 35 и 13. При этом сравнение * выполнилось по основанию 35 и по основанию 13. Тест, таким образом, выдал ответ «43 – простое число».
Тест Соловея-Штрассена. В данном разделе рассмотрен алгоритм теста на простоту Соловея-Штрассена. Так же как и тест Ферма, данный тест позволяет эффективно определять, является ли данное число простым, однако, с его помощью нельзя строго доказать составность числа.
Этот тест основан на различии между символами Якоби и Лежандра.
Символом Лежандра называется символ , где p – простое число, Q(p) – множество квадратичных вычетов по модулю p, – множество квадратичных не вычетов по модулю p, а называется числителем, р – знаменателем символа Лежандра.
Символ Якоби определяется равенством:, где n – составное число, каноническое разложение которого есть . Знаменатель символа Лежандра – простое число, а символа Якоби – составное.
Свойства символа Лежандра и символа Якоби совпадают, за исключением критерия Эйлера. Критерий Эйлера выполняется для символа Лежандра, и не выполняется для символа Якоби.
Критерий Эйлера: Для символа Лежандра
Алгоритм вычисления этих двух символов одинаков, так как он основан на использовании свойств символов Якоби и Лежандра.
В алгоритме теста встречается вычисление символа Якоби (). В пособии приведен алгоритм вычисления данного символа, без свойств, на которых основано вычисление данного символа. Студенту разъясняется роль данного символа в алгоритме.
Для данного теста приводится оценка вероятности ошибки, равная εt, где t – число итераций теста, параметр надежности, а .
Из данной оценки надежности теста сделан вывод о том, что оценка надежности для теста Соловея–Штрассена гораздо лучше, чем для теста Ферма, даже в том случае, когда φ(n) ненамного меньше n. Если на одной итерации вероятность ошибочного решения теста не превышает Ѕ, то уже на двух итерациях – ј, на трех – 1/8, и т. д. Уже на 14 итерациях вероятность ошибочного решения на превышает 0, 0001.
Также студенту представлен пример, иллюстрирующий вычисление символа Якоби . В заключении данного раздела студенту представлен пример работы алгоритма со следующими параметрами: испытуемое (простое) число равно 43, параметр надежности равен 2.
Тест Миллера-Рабина. Тест Миллера-Рабина, как и тесты Ферма и Соловея-Штрассена, строит вероятно простые числа, то есть число, опознанное этим тестом как простое, может с некоторой малой вероятностью оказаться составным, однако вероятность ошибки у теста Миллера-Рабина гораздо ниже, чем у первых двух тестов. Как правило, для опознания простого числа достаточно одной итерации теста, но все же студенту рекомендуется использовать не менее пяти итераций.
Данный тест основан на теореме ферма, которая гласит если n – простое число, то для любого a: 0
В пособии приведена оценка вероятности ошибки ε ≤ , то есть верхняя граница ошибки на одной итерации для теста Миллера-Рабина в 2 раза меньше аналогичной для теста Соловея-Штрассена и в 4 раза – для теста Ферма. Если на одной итерации вероятность ошибочного решения в тесте не превышает ј, то на двух итерациях – 1/16, на трех – 1/64. Для того, чтобы вероятность ошибки не превышала 0, 0001, требуется всего 7 итераций, что в 2 раза меньше, чем для теста Соловея-Штрассена. На практике рекомендуется использовать не менее пяти итераций теста, что обеспечивает вероятность вынесения ошибочного решении не более 0,001.
Студенту разъяснятся метод построения последовательности b0, b1,…,bs, а именно то, что каждый последующий член данной последовательности является квадратом предыдущего по модулю n, а последний член есть ни что иное как an—1 mod n. То есть на одном из шагов теста строиться последовательность квадратов по модулю n.
В качестве примера, иллюстрирующего работу теста, были приведены расчеты. В качестве испытуемого числа было выбрано составное число 65, параметр надежности был выбран равный 5.
1.3. Теоретическое наполнение раздела «Доказуемо простые числа» В данном разделе рассмотрены алгоритмы которые позволяют строить числа, простота которых не вызывает сомнений, а именно тест Миллера на простоту, тест основанный на теореме Поклингтона, Процедура генерации простых чисел заданной длины ГОСТ Р 34.10-94. Последний алгоритм используется в отечественном стандарте шифрования ГОСТ Р 34.10-94.
Данная тема редко и недостаточно полно затрагивается в учебно-методической литературе, несмотря на достаточно большую ее практическую значимость.
Подход к получению доказуемо простых чисел отличается от подхода, рассмотренного ранее. Для построения таких чисел не используется случайный поиск. С использованием таблицы простых чисел небольшого размера, построенной заранее, строится число m (равное произведению нескольких простых чисел либо произведению простых чисел и случайного числа), затем число n=2m+1 проверяется на простоту одним из нижеприведенных тестов.
Тест Миллера. Данный тест, основанный на теореме Сэлфриджа, пригоден для доказательства простоты любого нечетного числа, если известно разложение на простые сомножители числа, ему предстоящего. Однако этот тест достаточно трудоемок. Для некоторых чисел особого вида построены специальные доказательства простоты.
Теорема Сэлфриджа.
Пусть n—1=. n – простое, a: 1) an—1≡1(mod n);
2) 1(mod n).
Данная теорема приведена в пособии без доказательства.
Теорема Сэлфриджа дает удобный критерий для доказательства простоты числа. На основании этой теоремы построен алгоритм Миллера проверки чисел на простоту, который требуют полной факторизации числа n—1.
Алгоритм построения простого числа с помощью теста Миллера следующий:
1. Строится таблица малых простых чисел qi (или используется готовая таблица);
2. Строится число m=(где qi—случайные простые числа из таблицы, αi – случайные целые числа), размер которого на 1 бит меньше требуемого размера для простого числа;
3. Вычисляется значение n=2m+1;
4. Построенное число n испытывается тестом Миллера с заданным параметром надежности.
Тест Миллера, приведенный в пособии, осуществляет проверку сравнений (1) и (2) теоремы Сэлфриджа для всех qi по нескольким случайным основаниям a. Если для какого-то основания данные сравнения не выполняются, число отвергается (как, возможно, составное). Количество оснований, по которым производится проверка, есть параметр надежности.
Следует заметить, что проверка условия (2) теоремы Сэлфриджа возможна благодаря тому, что проверяющему известны все простые числа из разложения числа n-1, а именно числа 2 и qi. Для случайно выбранного (а не построенного) числа n проверка тестом Миллера была бы невозможна.
Числа qi из разложения числа m не должны быть известны никому кроме лица, построившего данное число, иначе крипосистемы, построенные с использованием такого числа, станут уязвимыми для атак.
Тест, основанный на Теореме Поклингтона. Теорема Сэлфриджа дает четкий критерий для проверки простоты числа n, однако требует знания полного разложения числа (n—1) на простые сомножители. Следующая теорема позволяет ограничиться частичной факторизацией (n—1).
Теорема Поклингтона.
Пусть n=RF+1, F= — каноническое разложение.
Если a: 1) an—1≡1(mod n);
2) 1(mod n) .
p≡1(mod F) для любого простого p\n.
Итак, если разложить n—1 на два сомножителя n—1=RF, где F>—1, то, если для некоторого a будут выполнены условия Теоремы Поклингтона (1) и (2), то n – простое.
Таким образом, можно значительно сократить количество проверок по сравнению с тестом Миллера.
Алгоритм построения простого числа с помощью теста на основании теоремы Поклингтона следующий:
1. Строится таблица малых простых чисел qi (или используется готовая таблица);
2. Строится число F=(где qi—случайные простые числа из таблицы, αi – случайные целые числа), размер которого на 1 бит больше половины требуемого размера для простого числа;
3. Вычисляется значение n=RF+1, где R – случайное четное число, размер которого на 1 бит меньше размера F;
4. Построенное число n испытывается тестом на основании теоремы Поклингтона с заданным параметром надежности.
Такой тест, приведенный в пособии, осуществляет проверку сравнений (1) и (2) теоремы Поклингтона для всех qi из разложения числа F по нескольким случайным основаниям a. Если для какого-то основания данные сравнения не выполняются, число отвергается (как, возможно, составное). Количество оснований, по которым производится проверка, есть параметр надежности.
Заметим, что число, построенное с помощью данного теста, более предпочтительно для использования в качестве модуля криптосистем, поскольку никто, даже его создатель, не знает полного разложения числа n—1.
Для иллюстрации алгоритма в пособии приведен пример расчета алгоритма со следующими параметрами: испытуемое число(n = RF+1) равно 4021, разложение n-1 — 22·3·5·67, R=67, F=22·3·5=60. Студенту разъясняется, что в данном примере вероятность того, что наугад выбранное a будет удовлетворять условиям теоремы Поклингтона для данного примера, есть (1—1/67)≈0,985.
Процедура генерации простых чисел заданной длины ГОСТ Р 34.10-94. Данный процедура позволяет строить доказуемо простые числа большего размера на основе простых чисел меньшего размера. Основана она на теореме Диемитко, которая гласит что для n=qR+1( где q – простое число, R – четное, R1(mod n), то n – простое число.
1.4. Разработка заданий для лабораторных и самостоятельных работ Для закрепления материала лекционных занятий нами были разработаны задания для лабораторных и самостоятельных работ. Всего разработано три комплекта заданий, соответствующие трем темам: «Операции с большими числами», «Вероятностные тесты на простоту» и «Доказуемо простые числа». Предполагается последовательное выполнение этих заданий, в порядке, изложенном в методическом пособии. На изучения каждой из тем, соответствующих разделам пособия, отводится по 2 часа лабораторных занятий и по 2 часа самостоятельной работы. Программная реализация алгоритмов осуществляется студентами в компьютерном классе под руководством преподавателя, отладка программы и оформление результата – в часы, отведенные для самостоятельной работы.
Программные модули разработанные в рамках перечисленных тем, описанные в них классы и функции, используются студентами в дальнейшем курсе предмета «Криптографические методы защиты информации» для выполнения лабораторных работ по реализации и использованию асимметричных алгоритмов шифрования, алгоритмов цифровой подписи, криптографических протоколов, а также для выполнения курсовой работы по предмету.
Задание к первому разделу – «Операции с большими числами» не разделено на варианты, так как результат данной лабораторной работы подразумевает разработку класса для работы с большими числами, который используется при выполнении лабораторных работ ко второй и третьей главам. Выполнение задания к первому разделу, таким образом, является базовым элементом программ, которые разрабатываются студентами в дальнейшем, на протяжении всего курса предмета «КМЗИ».
Задания к разделу «Операции с большими числами» включают в себя создание класса больших чисел, в котором заданы следующие операции: сложение, вычисление остатка от деления, умножения двух чисел (методом Карацубы), возведение в квадрат, возведение в степень (дихотомический алгоритм). Используя данные операции можно получить практически любую арифметическую операцию.
Операция возведения в степень используется при шифровании данных в криптосистемах, основанных на проблеме дискретного логарифмирования, также данная операция используется практически во всех тестах на простоту.
Операции умножения и возведения в квадрат используются при реализации операции возведение в степень и.т.д. Исходя из вышеупомянутых критериев, мы сформулировали задания в порядке возрастания сложности, а именно первой операцией, которую предстоит реализовать студенту, является операция сложения, как уже было описано выше, она является базовой операцией, использующейся при реализации других операций. Далее студенту предстоит реализовать операцию умножения. При реализации данной операции используется операция сложения. Следующим заданием является реализация операции возведения в квадрат, в которой используются реализованные ранние операции сложения и умножения. Наконец, студенту предстоит реализовать операцию возведения в степень, для которой используются все ранее реализованные операции.
Существует большое количество различных вероятностных тестов на простоту. Из большинства тестов было выбрано три «основных», которые и стали предметом изучения в рамках лабораторной работы к главе «Вероятностные тесты на простоту». Данные тесты были выбраны нами исходя из следующего: другие тесты либо гораздо сложнее, либо не имеют принципиальных отличий от выбранных нами тестов. Мы разработали три варианта лабораторной работы, в каждом из вариантов студенту предлагается реализовать один из тестов, в зависимости от варианта, и закрепить свои знания, выполняя задания на использование Асимптотического закона распределения простых чисел. Результат лабораторной работы предлагается оформить в виде таблицы, что позволило бы преподавателю сократить время, затрачиваемое на проверку данной лабораторной работы (это связано с тем, что в данной лабораторной работе используются алгоритмы, компьютерный расчет которых на больших числах занимает достаточно много времени (на персональном компьютере)).
Здесь №-номер эксперимента, p- найденное простое число, n- количество перебранных чисел до получения простого.
Также следует отметить, что при заполнении таблицы число n имеет следующий смысл: количество перебранных чисел до получения простого, и если взять среднее значение n по десяти экспериментам, то результат должен получиться достаточно близким к рассчитанному числу ожидаемого количества перебранных чисел до получения простого числа. Если расхождение слишком велико, то можно сделать вывод, что данный вероятностный тест реализован не верно. Результат работы реализованного алгоритма студент может проверить с помощью теста для самопроверки (тесты для самопроверки будут детально рассмотрены в главе 1.5).
В задании к главе «Доказуемо простые числа» студенту предлагается реализовать три теста основанных на трех различных принципах (Данные тесты описаны в разделе 1.3). Исходя из этого, мы выделили три варианта лабораторной работы. В первом и втором варианте лабораторной работы предлагается использовать тесты Миллера и Поклингтона для построения простых чисел, а для третьего варианта предлагается генерировать простые числа при помощи процедуры ГОСТ 34.10-94. Результат лабораторной работы студенту предлагается оформить в виде таблицы, что позволяет преподавателю затрачивать минимум времени на проверку данной работы, а также, при отсутствии времени на проверку работы на занятии, проверить работы во внеурочное время.
продолжение
--PAGE_BREAK--