Министерство образованияРеспублики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельскийгосударственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальныхуравнений
Курсовая работа
«Применение уравнениеЛагранжа IIрода к исследованию движения механической системы с двумястепенями свободы»
Гомель 2006
Содержание
Введение
1 Механическая система.Связи. Классификация связей
2 Возможные перемещения.Число степеней свободы
3 Обобщенные координаты иобобщенные скорости
4 Обобщенные силы
5 Уравнения Лагранжавторого рода
6 Уравнения Лагранжавторого рода для консервативной системы
7 Применение уравненийЛагранжа второго рода к исследованию механической системы
Заключение
Список использованнойлитературы
Введение
УравненияЛагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики.Важное преимущество этих уравнений состоит в том, что их вид и число не зависятни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни оттого, как эти тела движутся; определяется число уравнений Лагранжа толькочислом степеней свободы. Кроме того, при идеальных связях в правые частиуравнений входят обобщённые активные силы, и, следовательно, эти уравненияпозволяют заранее исключить из рассмотрения все наперёд неизвестные реакциисвязей.
Основнаязадача динамики в обобщённых координатах состоит в том, чтобы, зная обобщённыесилы /> и начальные условия, найтизакон движения системы, то есть определить обобщённые координаты /> как функции времени.Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнениявторого порядка относительно обобщённых координат /> исоставляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по отношению кинерциальной системе отсчёта) или относительное движение механической системы.Из полученных уравнений, если заданы действующие силы и начальные условия,можно, интегрируя эти уравнения, найти закон движения системы. Если же заданзакон движения, то составленные уравнения позволяют определить действующиесилы.
1 Механическаясистема. Связи. Классификация связей
Системуматериальных точек или тел, движение которой рассматривается, будем называть механическойсистемой. Если между точками (телами) механической системы действуют силывзаимодействия, то она обладает тем свойством, что в ней положение или движениекаждой точки (тела) зависит от положения и движения всех остальных.Классическим примером такой системы является солнечная система, в которой всетела связаны силами взаимного притяжения.
Определение1 [1, с. 357]: Связями называются любого вида ограничения, которые налагаются наположения и скорости точек механической системы и выполняются независимо оттого, какие на систему действуют заданные силы.
Рассмотрим,как классифицируются эти связи.
Связи, неизменяющиеся со временем, называются стационарными, а изменяющиеся со временем –нестационарными.
Связи,налагающие ограничения на положения (координаты) точек системы, называютсягеометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости (первые производныеот координат по времени) точек системы – кинематическими или дифференциальными.
Еслидифференциальную связь можно представить как геометрическую, т.е.устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимостимежду координатами, то такая связь называется интегрируемой, а в противномслучае – неинтегрируемой.
Геометрическиеи интегрируемые дифференциальные связи называются голономными связями, анеинтегрируемые дифференциальные связи – неголономными.
По видусвязей механические системы тоже разделяют на голономные (с голономнымисвязями) и неголономные (содержащие неголономные связи).
Наконец,различают связи удерживающие (налагаемые ими ограничения сохраняются при любомположении системы) и неудерживающие, которые этим свойством не обладают.
2Возможные перемещения. Число степеней свободы
Определение2 [1.с. 358]: Возможным перемещением механической системы называется любаясовокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого вданный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными насистему связями.
Механическаясистема может иметь множество различных возможных перемещений. Однако для любойиз систем можно указать некоторое число таких независимых между собойперемещений, что всякое другое возможное перемещение может быть через нихвыражено.
Определение3 [1, с. 359]: Число независимых между собой возможных перемещений механическойсистемы называются числом степеней свободы этой системы.
Следовательно,точка, находящаяся на плоскости, имеет две степени свободы; одновременно ееположение на плоскости определяется двумя независимыми координатами(координатами, каждая из которых может изменяться независимо от другой),например координатами х и у. Свободная материальная точка имеет три степенисвободы (независимыми будут три возможных перемещения вдоль трех взаимноперпендикулярных осей); одновременно положение точки определяется тремянезависимыми координатами х, у, z.
Этотрезультат оказывается общим, т.е. у механической системы с геометрическимисвязями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадаетс числом ее степеней свободы. Поэтому у такой системы число степеней свободыможно определять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числунезависимых координат.
3 Обобщенныекоординаты и обобщенные скорости
Числокоординат (параметров), определяющих положение механической системы, зависит отколичества точек (тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенныхсвязей. Будем в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическимисвязями (точнее только голономные системы). У такой системы число независимыхкоординат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степенейсвободы. В качестве этих координат можно выбирать параметры, имеющие любуюразмерность и любой геометрический (или физический) смысл, в частности отрезкипрямых или дуг, углы, площади и т.д.
Определение4 [1, с. 369]: Независимые между собой параметры любой размерности, число которыхравно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ееположение, называются обобщенными координатами системы. Будем обозначатьобобщенные координаты буквой q. Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будетопределяться sобобщенными координатами />
Определение5 [1, с. 370]: Производные от обобщенных координат по времени называютсяобобщенными скоростями системы.
4Обобщенные силы
Рассмотриммеханическую систему из n механических точек />,/>,…,/>, находящуюся под действиемсистемы сил />,/>,…,/>.
Предположим,что система имеет s степеней свободы, т.е. положение определяется s обобщенными координатами/>.
При наличиинестационарных связей радиус-вектор />являетсяфункцией обобщенных координат и времени:
/>/>,/>) (i = 1,2,…, n).
Сообщимэлементарное приращение только одной координате />,оставляя неизменными все остальные обобщенные координаты.
Тогдарадиус-вектор точки М/> получитприращение />, обусловленное приращением/>этой координаты:
/>=/>/>.
Вычислимработу всех сил, действующих на механическую систему на перемещения точек />, вызванных перемещениемкоординаты />:
/>= />= />=/>=/>/>
Разделив /> на элементарное приращениеобобщенной координаты />, получимвеличину />, называемую обобщеннойсилой:
/>=/> (1)
Определение6 [2, с. 320]: Обобщенной силой />, соответствующейобобщенной координате />, называетсяскалярная величина, определяемая отношением элементарной работы действующих силна перемещение механической системы, вызванном элементарным приращением координаты/>, к величине этогоприращения.
В случае сил,имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате />, равна взятой со знакомминус частной производной от потенциальной энергии механической системы по этойкоординате.
/>= />(j =1, 2, …, s).
5 УравненияЛагранжа второго рода
Предположим,что механическая система из n материальных точек имеет s степеней свободы. Вслучае голономных нестационарных связей радиус-вектор /> любой точки М/>, этой системы являетсяфункцией обобщенных координат /> ивремени t:
/>/>,/>). (2)
Обобщенныекоординаты системы /> являютсяфункциями времени. Поэтому радиус-вектор /> являетсясложной функцией времени и вектор скорости точки />,определяется по правилу дифференцирования сложной функции:
/> (3)
Из выражения(3) следует, что частная производная от /> покакой-либо обобщенной скорости /> равнакоэффициенту при/> в правой частиэтого выражения, т.е. равна частной производной от />покоординате />:
/> (4)
Кинетическаяэнергия механической системы, как известно, определяется по формуле:
/> (5)
Из выражения(3) следует, что вектор скорости точки /> вслучае голономных нестационарных связей является функцией обобщенных координат,содержащихся в выражениях />,обобщенных скоростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механическойсистемы является функцией тех же переменных:
/> (6)
Найдемчастные производные от кинетической энергии по обобщенной координате /> и обобщенной скорости />, дифференцируя выражение (5)как сложную функцию:
/>
/>
Преобразуемпоследнее выражение на основании равенства (4):
/>
Продифференцируемэто выражение по времени:
/> (7)
Рассмотримдве суммы, входящие в правую часть полученного равенства (7), учитывая, что длянесвободной материальной точки />
1. С помощьюравенства (1), определяющего обобщенную силу, находим:
/>
2. Дляустановления значения второй суммы рассмотрим выражение
/>
Частнаяпроизводная является функцией тех же переменных, от которых, согласно (2),зависит радиус-вектор точки />.Дифференцируем /> как сложнуюфункцию времени:
/> (8)
Найдемчастную производную />, дифференцируяпо /> выражение (3):
/> (9)
Правые частивыражений (8) и (9) отличаются только последовательностью дифференцирования,которая при непрерывных функциях не имеет значения; следовательно,
/>/>.
Пользуясьэтой зависимостью, преобразуем вторую сумму в правой части равенства (7):
/>=/>
Подставляянайденные значения обеих сумм в равенство (7) и рассматриваем механическуюсистему со стационарными идеальными связями, для которых />:
/>/>+/>,
или
/>/>=/>(j = 1,2,…, s). (10)
Систему s дифференциальныхуравнений (10) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравненияпредставляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительнообобщенных координат системы />.Интегрируяэти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянныеинтегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенныхкоординатах:
/> (j=1, 2,…, s).
6 Уравнениявторого рода для консервативной системы
Предположим,что на рассматриваемую механическую систему наряду с силами, имеющими потенциал(консервативными силами), действуют силы, не имеющие потенциала(неконсервативные силы). При этом условии обобщенную силу /> удобно представить в видесуммы обобщенной силы />, соответствующейконсервативным силам />, и обобщеннойсилы />, соответствующейнеконсервативным силам />:
/>=/>+/>.
Если нарассматриваемую систему действуют только консервативные силы, то обобщеннаясила определяется формулой:
/>= />=/> (j=1,2,…, s).
В этом случаеуравнения Лагранжа второго рода принимают следующий вид:
/>/>=/> (j = 1,2,…, s). (11)
Уравнения (12)можно преобразовать путем введения функции Лагранжа L = Т – П, называемойкинетическим потенциалом.
/>
П = П (/>t).
Следовательно,кинетический потенциал L является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростейи времени:
/>
Потенциальнаяэнергия является функцией только обобщенных координат и времени, а потому
/> (j=1,2,…, s).
Пользуясьэтим условием, получим
/>, />
Подставим этичастные производные в уравнения Лагранжа (11):
/>
или
/> (j=1,2,…, s). (12)
Уравнения(12) называются уравнениями Лагранжа второго рода для консервативной системы.
7 Применениеуравнений Лагранжа IIрода к исследованию движения механической системы
Массы телмеханической системы m/>= 2m; m/>= 6m; m/>=m. Начальные условия:/>,/>,/>,/>.
Найтиуравнения движения системы в обобщенных координатах />,/>.
/>
Для решениязадачи применим уравнения Лагранжа II рода:
/>/> (13)
Здесь T – кинематическаяэнергия; />– потенциальная энергия; />и/>– обобщенные силы, соответствующиенеконсервативным силам.
Для даннойсистемы /> (14)
Введемпеременную />/>
Выразимскорости центров масс твердых тел системы через обобщенные скорости:
/>
Угловаяскорость тела 4 />
Моментинерции тела 4 />
Кинематическаяэнергия тел 1 – 4:
/>
Подставляяэти величины в (14), получим
/>/>+/>+/>+/>=/>
Тогда
/> (15)
Потенциальнуюэнергию системы находим как работу сил тяжести твердых тел 1 и 3 при ихперемещении из данного положения, характеризуемого координатами x и />, в некоторое исходноенулевое, например то, от которого ведется отсчет обобщенных координат:
/>
Тогда
/> (16)
Обобщенныесилы />= 0 и />=0 (т. к. намеханическую систему не действуют силы />).
Подставляя (15)и (16) в (13), получаем дифференциальные уравнения движения системы:
/> (17)
Выражая x из (18), получаем
/> (18)
Интегрируя(19), получаем
/> (19)
/> (20)
Дляопределения постоянных /> и />, используя начальныеусловия: при t=0x=0; x=0.
Из (19) и (20)следует />=0 и />=0.
Тогда
/> (21)
Уравнение (21)является уравнением движения системы, описывающим изменение первой обобщеннойкоординаты.
Чтобыполучить второе уравнение движения, находим из (17)
/> (22)
Интегрируя(23), получаем
/> (23)
/> (24)
Дляопределения постоянных /> и />, используя начальныеусловия: при t=0/>=0;/>=0.
Из (24) и (25)следует />=0 и />=0.
Тогда
/> (25)
Уравнение (25)является уравнением движения системы, описывающим изменение второй обобщеннойкоординаты.
Заключение
Итак,уравнения Лагранжа II рода применяются для исследования движения механической системы сдвумя степенями свободы. Чтобы для данной механической системы составитьуравнения Лагранжа, необходимо установить число степеней свободы системы ивыбрать обобщённые координаты; изобразить систему в произвольном положении ипоказать все действующие силы; вычислить обобщённые силы; определитькинетическую энергию системы в её абсолютном движении и выразить её через обобщённыескорости; составить уравнения Лагранжа.
УравненияЛагранжа дают единый метод решения задач динамики, они не зависят от числа иколичества точек, входящих в рассматриваемую систему, от движения самойсистемы. Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальныеуравнения второго порядка относительно обобщённых координат. Число уравненийЛагранжа определяется только числом степеней свободы системы.
Списокиспользованной литературы
1. С.М. Тарг«Краткий курс теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1986 г., 416.
2. А.А. Яблонский«Курс теоретической механики» – М.: Высшая школа, 1984 г., 436.