--PAGE_BREAK--
“Математика 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных”, “Математика 8: Алгебра функции. Анализ данных”, Математика 9: Алгебра функции. Анализ данных”, авт. Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.
Тема Основная цель
Графики зависимостей y=x, y=-x, y=x2, y=x3, y=
½
x
½. Графики реальных зависимостей
Познакомьтесь с графиками зависимостей y=x, y=-x, y=x2, y=x3, y=
½
x
½, сформировать первоначальные навыки интерпретации графиков реальных зависимостей. Учащиеся должны уметь достаточно быстро строить графики, указывая несколько характерных точек, изображать эти графики схематически. Рассматривается график y=
½
x
½. Специальное внимание уделяется работе с графиками реальных зависимостей температуры, движения и др. Акцент ставится на умение считывать с графика нужную информацию.
Графики функций y=kx, y=kx+l, y=k/x. Графики реальных зависимостей
При построении графиков формулируется представление об общих свойствах функции (нули, промежутки, монотонности, сохранение знака)
График функции y=ax2+bx+c.
Научит строить график квадратичной функции, по графику читать её свойства; учащимся сообщается, что графиком квадратичной функции является парабола, рассматриваются готовые графики квадратичной функции и анализируются их особенности (наличие оси симметрии, вершины направление ветвей, расположение по направлению к оси). Учащиеся учатся строить параболу по точкам с опорой на её симметрию. Сначала рассматриваются свойства и график функции y=ax2, затем показывается как при сдвигах параболы y=ax2 вдоль осей координат получаются графики новых квадратичных функций. Здесь формируется умение находить вершину и ось симметрии графиков квадратичных функций, заданных формулами y=ax2+q, y=a(x+p)2, y=a(x+p)2+q. Рассматриваются некоторые примеры, связанные с переносом вдоль осей координат произвольных графиков. Центральным моментом является доказательство того, что график любой квадратичной функции y=ax2+bx+c может быть получен с помощью сдвигов вдоль координатных осей параболы y=ax2, после чего учащиеся могут находить абсциссу вершины параболы по известной формуле. Значительное место отводиться задачам прикладного характера, которые решаются с опорой на графические представления.
Старшая школа
«Алгебра и начала анализа, 10 – 11 класс», авт. М.И Башмаков.
Тема
Основная цель
Графики тригонометрических функций
Изучить свойства и графики тригонометрических функций, учащиеся должны хорошо усвоить вид графиков тригонометрических функций.
Графики показательной и логарифмической функции
Изучить графики показательной и логарифмической функции
“Алгебра и начала анализа, 10 — 11”, авт. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др.
Графики тригонометрических функций
Особое внимание нужно обратить на графическую интерпретацию свойств.Значительно расширит возможности учащихся в построении графиков функции рассмотрение вопроса о преобразовании графиков (параллельный перенос на заданный вектор, растяжение вдоль оси Ох), что позволит осознано строить графики гармонических колебаний
Применение производной к исследованию функции и построению её графика
Существенное внимание следует уделить решению разнообразных задач связанных с иследованием функции.
“Алгебра и начала анализа, 10 — 11”, авт. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.
Тема
Основная цель
Степенная, покозательная, логарифмическая функции их свойства и графики
Познакомить учащихся с графиками этих функций. Познакомить их с многообразием свойств и графиков степенной функции в зависимости от значений оснований и покозателей степени. Особое внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику.
Тригонометрические функции и их графики.
Научит учащихся строить графики тригонометрических функций. Учащиеся должны научится выполнять эскизы графиков, используя эти свойства, а также устонавливать эти свойства по графику.
Применение производной к построению графиков функций
При изучении графика функций полезно показать построение графиков функций, которой не являются неприрывной на всей области определения. И особенности построения графиков четной и не четной функции.
продолжение
--PAGE_BREAK--
Программа для школы с углубленным изучением математики.
«Алгебра, 8», авт. Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др. «Алгебра, 9», авт. Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев.
Тема
График функции. Простейшие преобразования графиков (параллельные переносы вдоль координатных осей). График функции y=k/x. График дробно – линейной функции. График функции вида y=
Ö
x, y=
Ö
(x-m)+n.Отражение свойств функции на графике. Преобразование графиков функций: симметрия относительно осей координат и относительно прямойy=x. Построение графиков кусочно-заданных функций. Построение графиков функций связанных с модулем. Примеры построения графиков рациональных функций. Графики функций y=[x], y={x}. Графики функций y=xn, y=
Ö
x.
«Алгебра, 8», «Алгебра, 9», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нелеков, С.Б. Суворова, «Учебные пособия, Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 (9) класса», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.
Тема
Построение преобразование графиков функций. График функции y=k/x. График дробно – линейной функции. График функции вида y=Ö
x, y=
Ö
(x-m)+n.График квадратичной функции. Построение графиков функций. График функций y=-f(x), y=f(-x), y=-f(-x), y=½
f(x)
½
y=f(
½
x
½
). [Графики функцийy=½
x
½
и y={x}.].
«Алгебра и математический анализ, 10», «Алгебра и математический анализ, 11», авт. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.
Тема
Построение графиков функций элементарными методами. Преобразование графиков. Графики дробно – линейных функций. Графики функций, связанных с модулем. Графики взаимно обратных функций. Построение графиков функций с помощю производной. Графики тригонометрических функций. Графики показательной и логарифмической функции
§2. Построение графика функций с помощью преобразования
Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида. График функций вида:
y=Af(
a
x+b)+B
может быть получен из графика функций y=f(x)при помощи следующих геометрических преобразований:
1. а) Осевой симметрии относительно оси X;
б) осевой симметрии относительно оси0Y;
в)центральной симметрии относительно начала координат точки0;
2. а) Параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0X;
б) параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y;
3. а) Растяжения (или сжатия) по направлению оси 0X;
б) растяжения (или сжатия) по направлению оси Y;
Отметим, что:
1. а) При осевой симметрии относительно оси 0Xточка (x; y
)переходит в точку (x; -y
)
;
б) При осевой симметрии относительно оси 0Yточка (x; y
)переходит в точку (-x; y
)
;
в) При центральной симметрии относительно начала координат (x; y) переходит в точку (-x; -y
)
;
2. а) При параллельном переносе вдоль оси 0Xточка (x; y)переходит в точку (x+a; y)
,где а – некоторое число при этом перенос происходит «вправо», если а>
, и «влево», если а
;
б) ) При параллельном переносе вдоль оси 0Yточка (x; y)переходит в точку (x; y+b)
,где b– некоторое число при этом перенос происходит «вверх», если b>
, и «вниз», если b
;
3. а) При растяжении (сжатии) в pраз (p>0, p
¹
1)вдоль оси 0Xотносительно 0Yточка(
x; y)переходит в точку(
px; y);
б)При растяжении (сжатии) в qраз (q>0, q
¹
1)вдоль оси 0Yотносительно 0Xточка(
x; y)переходит в точку(
x; qy);
Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования (табл. 1), использование которых позволяет из известного графика функции y=f(x
)строить графики других функций (рис. 1 — 11).
продолжение
--PAGE_BREAK--Таблица №1
Рассмотрим несколько примеров построения графиков функций:
Пример 1.График функцииy=2x-3 получается из графика y=2xпри помощи параллельного переноса его вдоль оси
Yвниз на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3в виде2(x-3/2)
,замечаем, что график функции y=2(x-3/2) можно получить из графика функции y=2xпри помощи
параллельного переноса его вдоль оси 0Xвправо на отрезок длины 3/2 (рис. 12).
Пример 2. График функции y=4
x2
получается из графика функции y=
x2
растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Yотносительно оси 0X. Переписав 4x2
в виде (2x
)
2
, замечаем, что график функции y=
x2
можно получить из графика функции y=
x2
сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0Xотносительно оси 0Y(рис. 13).
Пример 3. График функцииy=
2x-3
получается из графика y=
2xпри помощи параллельного переноса его вдоль оси
Xвправо на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3
в виде(1/8)*2x
, замечаем, что график функции y=
(1/8)*
2x
можно получить из графика функции y=
2x
сжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X(рис. 14).
Пример 4. Построить график функции:
y=1/2arctg(i/4-x)
Решение: построение графика данной функции может быть проведено по следующей схеме (рис. 13):
arctg
®
arctg(-x)
®
1/2arctg(-x)
®
1/2arctg(-(x-1/4))
.
Пример 5. Построить график функции:
y=a
x2
+bx+c, a
¹
0.
Решение: квадратный трехчлен a
x2
+bx+cможно записать в виде a(x+(b/2a))
2
+(4ac-
b2
)/4a
.Отсюда видно, что график функции y=a
x2
+bx+c,получается из параболы y=x2
по следующей схеме:
x2
®
a
x2
®
a
x2
+(4
ac
-
b2
)/4a
®
a(x+b/(2a))
2
+(4ac-
b2
)/4a
т.е. для построения графика y=a
x2
+bx+c надо:
1. Растянуть в |
а
| раз, если |
а
|
>1(сжать |1/
а
| раз, если |
а
|
1), вдоль оси0Xграфик функции y=
x2
(с возможным последующим отображением полученного графика функции y=|a|
x2
относительно оси 0Y, если а
).
2. Параллельно перенести вдоль оси 0Yна отрезок длины |(4
ac-
b2
)/4a
|вверх (вниз) график функции y=a
x2
, если величина (4
ac-
b2
)/4aположительна (отрицательна).
3. Полученный после предыдущего преобразования график параллельно перенести вдоль оси 0Xна отрезок длины |
b/2a
|
вправо, если b/2a, и влево, если b/2a>0.
Пример 6. Построить график функции:
y=
|
x2
-5x+6
|
Решение: построим график функции y=
x2
-5x+6
x2
®
(x-5/2)
2
®
(x-5/2)
2
-1/4=
x2
-5
x+6
продолжение
--PAGE_BREAK--На рисунке изображен график функций y=
|
x2
-5x+6
|
Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух простейших функций, графики которых нам знакомы или легко могут быть построены. В этом случае можно применить приём графического сложения ординат этих графиков (для краткости говорят просто о сложении графиков.) покажем этот приём на примерах.
Пример 1. Построить график функций y=
x3
+2x+2.
Решение: можно представить данную функцию как сумму функций y=
x3
иy=-2x+2, графики которых нам хорошо знакомы. Они изображены на рис. 16 тонкими линиями: это прямая y=-2x+2 и кубическая парабола y=x3. Далее производится суммирование ординат: к ординатам точек кубической параболы прибавляются (с учетом знака!) ординаты точек прямой. При выполнении этой операции удобно пользоваться мерительным циркулем; следует использовать наиболее важные и характерные точки каждого из графиков (в нашем примере – вершину O
(0; 0)параболы, точки пересечения прямой с осями и т.д.). Итогом построения служит график, показанный жирной линией. Мы можем много сказать о функции: она имеет максимум и минимум, обращается в нуль в одной точке и т.д. Положение этих характерных точек её графика мы могли бы найти приближенно по чертежу.
Пример 2. Построить график функций y=2
ч
-2x.
Решение: график данной функции можно получить сложением графиков показательной функции y=2x
и линейной функции y=-2x. Это сделано на рис. 17. График пересекает ось OX в точках x=1, x=2,являющихся нулями функции y=2
ч
-2x.
Обратим ещё внимание на то, что прямая y=-2x является асимптотой графика (т.к. при x, стремящимся к минус бесконечности, разность между значениями функций y=2
ч
-2xи y=-2x стремится к нулю). Из построения видно, что функция имеет точку минимума, найти её точное положение для нас затруднительно.
Пример 3. Построить график функций y=x
2
-x
4.
Решение: график может быть построен вычитанием ординат графика y=x
4 из ординат графика y=x
2 (рис. 18). В данном случае полезно дополнить это построение некоторым общим исследованием свойств функции y=x
2
-x
4. Ясно, что функция определена для всех значений xи является четной. Она обращается в нуль при x=0, x=
±
1.Как видно из построения графика методом вычитания, следует ожидать у функции наличия двух точек максимума. В данном случае их нетрудно найти; преобразуем выражение функции:
y=x
2
-x
4
=1/4-(1/4-
x
2
+x
4
)=1/4-(
x
2
-1/2)
2 .
Теперь видно, что наибольшее значение y=1/4функция имеет при х=±
1/
Ö
2. Точка x=0является точкой минимума данной функции (но значение функции в этой точке, равное нулю, не есть её наименьшее значение).
(книга 2)
Используя геометрические преобразования, рассмотренные выше, в их различных комбинациях, можно построить и графики более сложных функций.
Пример1. Построить график функций
y=|||
x|
— 1
|
-2
|
Решение: график данной функции можно построить по графику функции y=
||
x
|
-1
|
,
если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 2, а затем эту часть полученного графика функции y=||
x|
— 1
|
-2, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X. График функции y=||
x|
— 1
|
можно построить по графику функции y=|
x
|
если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длинны 1, а затем ту часть полученного графика функцииy=|
x
|
— 1, которая расположена в нижней плоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X.
Таким образом, график заданной функции может быть построен согласно схеме: x®|
x
|®|
x
|
-1
®||
x
|
-1
|® ||
x
|
-1
|
-2
®|||
x
|
-1
|
2
|
§3. Применение производной
к построению графика функции
Графики функций строятся по точкам. Обычно из уравнения y=f(x) находят несколько точек графика функций y=f(x) и соединяют эти точки плавной кривой. Однако при таком методе легко пропустить какие-то особенности графика и допустить ошибку в построении.
Для построения графика функции нужно исследовать её свойства. Прежде всего надо найти область определения функции, а потом исследовать функцию на честность и периодичность. Т.к. график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной — относительно начала координат, то для четных и нечетных функций можно ограничится исследованием их свойств лишь при х
³0. Если периодическая и Т– её основной период, то можно ограничится исследованием свойств функции на промежутке длинны Т.
Далее полезно найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции. Дело в том, что если, скажем, на интервале (a; b)функцияy=f(x) принимает только положительные значения, то график её на этом интервале лежит выше оси Ох. Значит, часть плоскости, лежащею под указанным интервалом, можно заштриховать – там графика нет. Эта часть исследования позволяет указать области, где может лежать график функции. После этого можно изучить поведения функции на границах области определения, установить характер точек разрыва (если они есть), найти асимптоты. Наконец следует найти промежутки возрастания и убывания функции и исследовать её на экстремум.
Подводя итог всему сказанному выше, получаем следующую схему исследования свойств функции и построения ее графика.
1. Найти область определения функции,
2. Исследовать функцию на четность.
3. Исследовать функцию на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Определить промежутки знакопостоянства.
6. Исследовать функцию на границах области. Найти асимптоты.
7. Исследовать функцию на экстремум.
8. Составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента.
9. Используя все полученные результаты, построить график функции.
Пример 1. Построить график функции y=
x4-2 x2-8
.
Решение. 1.Функция определена при любом значении x, т.е. D=(f)=R
.
2. Так как область определения функции — симметричное множество и f(-x)=f(x),то функция четна.Следовательно график функции симметричен относительно оси Оyи для дальнейшего исследования можно ограничится промежутком [0
,+
].Но в данном примере мы этого делать не будем.
3Функция непериодическая.
4. Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение
x4
-
x2
-8=0
.Пологая u= x2
,получим квадратноеуравнениеu2
-
u
-8=0
. Пологаяu= x2
, получим квадратное уравнение u2
-
u-8=0
, имеющее корни4 и –2
. Из уравненияx2
=4
находимх=2
,
х=-2
, уравнениеx2=-2
не имеет решений. Мы нашли две точки пересечения с осью Ох:(2;0) и (-2;0).
С осью Оу график функции пересекается в точке(0;-8).
5. Найдем интервалы знакопостоянства функции. Заданная функция не прерывна на всей числовой прямой обращаетсяв
в точках2
и
–2
. Значит, в промежутках(- ,-2). (-2;2) и (2;
) она сохраняет постоянный знак Чтобы определить знак функции на каждом из указанных промежутков, достаточно взять по одной “пробной” точке из каждого промежутка.
Имеем–100 (- ,2), f(-100)=(-100)4-2(-100)2-8>0. Значит, f(x)>0в промежутке (- ; -2).Далее,
Î
(-2
;
2),
f(0)=-8Поэтомуf(x)в промежутке(-2; 2). Наконец,
100
Î(2; + ),
f(100)=f(-100), а выше мы видели, что f(-100)
>0. Следовательно, f(100)
>0, а потом f(x)>0в промежутке (2; + ).
На рисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту. Заштрихованы те участки координатной плоскости, где графика нет, отмечены известные точки(0; -8), (2; 0), (-2; 0).Это – ответ на вопрос, где расположен график. Дальнейшее исследование позволяет ответить на вопрос, как строить график.
6) Изучим поведение функции вблизи границ области определения. Поскольку D(f)
=(-
; + )
,такими «границами»можно считать - и + . преобразовав выражение x4-2x2-8к виду x2-( x2-2-8/ x2),замечаем, что если х
®- или х
®+ , то у
®+ .
Асимптот график не имеет.
7) Исследуем функцию на экстремум; имеем
y’=4 x3-4x=4x(x-1)(x+1)
Прировняв производную нулю, находим три корня: 0, 1, -1. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки (- ; -1), (-1;0), (0;1), (1; + ). Если х>1, то у'>0, а в остальных промежутках знаки чередуются справа на лево, смотри рисунок.
Составим таблицу:
x
—
-1
-1
0
1
1
f’(x)
-
+
-
+
f(x)
Убыв.
-9 min
Возр.
-8 max
Убыв.
-9 min
Возр.
Итак, в точках (-1; -9) и (1; -9) функция имеет минимум, а в точке (0; -8) — максимум.
8) Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, включая те, что были уже отмечены в ходе исследования:
X
-2
-1
1
2
-2,5
2,5
Y
-9
-8
-9
»6
»6
9) Строим график функции y=
x4-2 x2-8.
Пример 2. Построить график функции y=( x2-1)/x.
Решение:
1. Функция не определена только в точке х=0,т.е. D(f)=(-; 0)
È
(0; + ).
2. Множество D(f) является симметричным; кроме того f(-х)=((-х)
2
-1)/-х=-(
x2-1)/-х=-f(х).Значит, y=f(x) – нечетная функция. Поэтому график симметричен относительно начала координат и для дальнейшего исследования можно ограничится промежутком (0; + ), что мы и сделаем.
3. Функция непериодическая.
4. Найдем точки пересечения графика с положительным лучом оси Ох. Из уравнения ( x2-1)/x=0находим x=1 (корень х=-1 пока не принемаем во внимание). Итак, точка пересичения с осью Ох – точку (1; 0).
С осью Оу график не пересекается, т.к. точка х=0 не принадлежит к области определения функции: 0 D(f).
5. Находим промежутки знакопостоянства: (0; 1) и (1; + ). В первом из них f(x)0/
На рисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту.
6. Изучим поведение функции вблизи границ области определения, т.е. вблизи точки ноль и при х®+ . Если х®
0 (напомним, что мы рассматриваем случай где х>0), то (x2-1)/x
®
. Если же х®+ , то ( x2-1)/x=х-1/х
®+
.
Прямая х=0 является вертикальной асимптотой. Далее, т.к. степень числителя выражается (x2-1)/x на единицу больше степени знаменателя, то должна существовать и наклонная асимптота. В самом деле, поскольку (x2-1)/x=х-1/х и 1/х стремятся к нулю при х®+ , наклонной асимптотой служит прямая у=х.
7. Исследуем функцию на экстремум; имеем
y’=((
x2-1)/x
)’=([-1/x)’=1+1/
x2.
Замечаем, что у’>0при любых х. Значит на луче (0; + ) функция возрастает и экстремумов не имеет.
8. Составим таблицу значения функции:
x
1
0.5
0.25
2
3
4
y
-1.5
-3.75
1.5
2.67
3.75
9. отметив найденные точки на координатной плоскости и учитывая результаты исследования, строим ветвь графика при х>0, смотри рисунок.
Т.к. график функции y=(x2-1)/x,симметричен относительно начала координат, то добавив к построенной ветви симметричную ей относительно начала координат, получим искомый график.
продолжение
--PAGE_BREAK--