Реферат
Основні властивості простору Соболєва
Зміст
1.Простір Соболєва
1.1Загальне визначення
1.2Простір />
1.3Інше визначення узагальненої похідної
1.4Найпростіша теорема вкладення
1.5Простір Соболєва /> й />
2.Застосування просторів Соболєва в математичній фізиці
2.1Доказ існування й одиничності узагальненого рішення рівняння Лапласа
Висновок
Списоклітератури
1. Простір Соболєва
1.1 Загальне визначення
Нехай у /> задана замкнутаобмежена область /> Розглянемо лінійний простірречовинних функцій /> /> раз безупинно диференцюємих на /> Диференцюємостьна замкнутій області /> можна розуміти в різних змістах.Ми будемо припускати, що у /> функції /> /> раз безупинно диференцюємі,причому кожна частинна похідна функції /> має межу при прагненні /> до будь-якоїграничної крапки області /> так що в результаті їїпродовження на /> вона стає безперервної в /> Границя /> області /> передбачаєтьсядосить гладкої. Крім того, звичайно ми будемо вважати область /> одно зв'язковий ізадовольняючому такому додатковому обмеженням, які можуть знадобитися в тих абоінших міркуваннях.
Скористаємося для стислостінаступними позначеннями. Набір індексів /> називається мультиіндексом. Число/> називаєтьсядовжиною мультиіндекса. Для позначення часток похідних приймемо
/>
Уведемо в розглянутому вищелінійному просторі норму />
/>(1.1)
Отриманий нормований простірпозначається /> Його поповнення в нормі (1.1)позначається /> й називається простором Соболєва.
У прикладних задачах доситьчасто зустрічається випадок /> Загальноприйнятий наступнепозначення: /> Простір Соболєва /> є гильбертовимпростором – поповненням простору /> в нормі, породженої скалярнимдобутком
/>
Нижче ми докладнішезупинимося на окремих випадках /> і /> тобто розглянемо просторуСоболєва на речовинній осі й у тривимірному просторі.
1.2Простір />
Розглянемо на відрізку /> простір /> якийскладається із усіляких функцій /> безупинно диференцюємих на /> зі скалярнимдобутком
/>(1.2)
і відповідному цьомускалярному добутку нормою
/>(1.3)
/> є поповненням /> у цій нормі. Елементами/> відповіднодо теореми про поповнення, є класи, що складаються з послідовностей /> фундаментальнихв /> усередньому, точніше, таких, що
/> при />
Дві такі послідовності /> й /> належатьодному класу, якщо /> є нескінченно малою по нормі /> тобто, якщо
/> при />
З умови фундаментальності всередньому /> в/> треба, щоокремо при />
/>
Аналогічно, з умовиеквівалентності /> й /> по нормі /> треба, що при />
/>
Відповідно до визначенняпростору /> існуютьфункції /> й/> такі, щопри /> /> а /> в середньому.
Ми приходимо до наступногонайважливішого визначення. Нехай /> Тоді у /> визначені елемент /> із представником /> і елемент /> ізпредставником /> /> називається узагальненій похідній(у змісті Соболєва) від /> При цьому пишуть: />
З визначення узагальненійпохідній /> видно,що вона визначається не локально, в окремих крапках, а глобально – відразу навсім відрізку /> Нехай /> так що /> /> Перейдемо до межі при /> в рівностях
/>(1.4)
/>(1.5)
і, відповідно до теореми пропоповнення й визначення інтеграла Лебега, прийдемо до формул (1.2) і (1.3), детепер похідні розуміються в узагальненому змісті, а інтеграл – у змісті Лебега.Для конкретних обчислень, зрозуміло, можна й потрібно користуватися формулами(1.4) і (1.5), взявши досить велике /> тобто замість ідеальних елементів/> /> /> /> скористатися їхнімигладкими наближеннями /> /> /> />
1.3 Інше визначення узагальненої похідної
Нехай /> – множина всіхбезупинно диференцюємих на відрізку /> фінітних функцій /> Якщо тепер /> безупиннодференцюєма на відрізку /> те для довільної функції /> справедливонаступна інтегральна тотожність:
/>(1.6)
перевіряється інтегруваннямвроздріб. Цією тотожністю /> повністю визначається.
Допустимо, що, крім того,для будь-яких /> і деякої безперервної на відрізку/> функції />
/>(1.7)
Віднімаючи ці тотожності,одержимо, що для будь-яких />
/>
Звідси, внаслідок щільності /> в /> /> на відрізку /> Виявляється,інтегральна тотожність (1.7) можна прийняти за визначення узагальненоїпохідної. Насамперед, справедлива наступна лема.
Лема 1. Якщо /> то для будь-яких /> справедливо тотожність(1.6).
Доказ. Нехай /> тоді для всіх /> маємо (1.6):
/>
Внаслідок властивостібезперервності скалярного добутку в останній рівності можна перейти до межі при/> Врезультаті ми одержимо тотожність (1.6) для будь-якої функції /> Лема доведена.
Лема 2. Нехай дані /> /> такі, що для всіх /> справедливо тотожність(1.7). Тоді /> (узагальненапохідна).
Доказ. Нехай /> а /> Тоді
/>
при />
для будь-якого />
Нехай /> – клас, представникомякого є
/>
Тоді
/>
для будь-яких /> Звідси /> Лема доведена.
1.4 Найпростіша теорема вкладення
Теорема 1. /> вкладено в />
Доказ. Нехай /> безупинно дференцюємана відрізку /> Відповіднодо теореми про середній, внаслідок безперервності /> найдеться крапка /> така, що /> Тому навідрізку /> справедливонаступна тотожність:
/>
За допомогою нерівностіКоші-Буняковського маємо
/>
де
/>
Отже, для будь-якийбезупинно дференцюємої на відрізку /> функції /> справедлива нерівність
/>(1.8)
Нехай тепер послідовність /> –фундаментальна по нормі /> Тоді
/>
при /> Отже, /> фундаментальна в змістірівномірної збіжності й, за критерієм Коші рівномірної збіжності, сходиться до /> Тим більше /> в середньому.Таким чином, у класі з /> утримуючої /> як представник,утримується безперервна функція /> й, виходить, цей клас можнаототожнити з /> Ототожнимо елементи /> збезперервними функціями. Нехай /> Переходячи в нерівності /> до межі при /> прийдемо донерівності (1.8).
Отже, вкладення /> в /> доведено.Доказ теореми закінчений.
1.5Простір Соболєва /> й />
Нехай /> – однозв'язна областьіз досить гладкою границею /> В замкнутій області /> розглянемолінійний простір усіляких безупинно диференцюємих функцій /> зі скалярним добутком
/>
При цьому
/>(1.9)
Отриманий простір зіскалярним добутком позначається /> а його поповнення – це, повизначенню, простір Соболєва />
Нехай /> – фундаментальнапослідовність у /> тобто /> при /> Звідси треба, що в /> будуть фундаментальнимипослідовності
/>
Внаслідок повноти /> в /> є елементи,які ми позначимо
/>
так що при /> в середньому
/>
Елементи /> називаютьсяузагальненими частками похідними елемента />
Скалярний добуток і нормазадаються в /> тимиж формулами, що й в /> у які тепер похідні узагальнені,а інтегрування розуміється в змісті Лебега. Уведемо в розгляд простір /> Цей простір єпоповненням у нормі
/>(1.10)
лінійного простору функцій,безупинно диференцюємих на /> й таких, що /> /> є гильбертовимпростором зі скалярним добутком
/>
Лема 3. Якщо /> а /> те
/>
/>
/>
Доказ. Досить довести першуіз цих формул. Вона справедлива, якщо /> а /> Нехай /> – фундаментальна в /> послідовність, межуякої – елемент /> Переходячи в тотожності /> до межі при /> одержимо длябудь-який /> Дійсно,зі збіжності в /> треба, що
/>
тобто безперервністьскалярного добутку.
Нехай тепер /> – фундаментальнапослідовність у /> Перейдемо до межі в тотожності
/>
й одержимо вихіднутотожність.
Наслідок. /> утримується строгоусередині />
Дійсно, функція /> Але /> інакше ми малиб
/>
тобто
/>
для кожної /> Візьмемо /> й одержимо протиріччя.
Теорема 2 (Фридрихс). Існує постійна /> така, що для будь-яких
/> />
Доказ. По самому визначенню /> всякий елементіз /> належить/> Нехай /> і сходиться в/> до />
Побудуємо куб
/>
утримуючу область />Функції /> визначимонулем у /> Частиннапохідна /> існуєвсюди в /> завинятком, бути може, тих крапок, у яких пряма, паралельна осі абсцис, перетинаєграницю /> області/> Длябудь-якої крапки /> маємо
/>
По нерівностіКоші-Буняковського
/>
Інтегруючи отриманунерівність по /> знаходимо
/>
Тому що /> поза /> те
/>
Переходячи до межі при /> приходимо додоказуваної нерівності Фридрихса.
Наслідок 1. Простір /> вкладений в />
Це пропозиція безпосередньовипливає з визначення вкладення банахових просторів і нерівності Фридрихса.
Наслідок 2. У /> норми (1.9) і (1.10)еквівалентні.
Дійсно, використовуючинерівність Фридрихса, маємо
/>
2. Застосування просторів Соболєва в математичнійфізиці
2.1 Доказ існування й одиничності узагальненогорішення рівняння Лапласа
Теорема 3 (Рисс). Нехай /> – гильбертовий простір. Длябудь-якого лінійного обмеженого функціонала /> заданого всюди на /> існує єдиний елемент /> такий, що длявсіх /> />
При цьому />
Доказ наведений в [1, стор. 171].
Теорема Рисса ефективнозастосовується в теорії можливості розв'язання граничних задач для рівнянь ізчастками похідними. Будемо говорити, що гильбертовий простір /> вкладений угильбертовий простір /> якщо із /> треба, що /> причому існує постійна /> така, що длявсіх />
/>(2.1)
Має місце наступний наслідокз теореми Рисса.
Теорема 4. Якщо гильбертовий простір /> вкладений угильбертовий простір /> то для кожного елемента /> найдетьсяєдиний елемент /> такий, що для всіх /> має місце тотожність />
Тотожність це визначаєоператор /> такий,що /> прицьому />
Доказ. При кожномуфіксованому /> вираження/> привсіляких /> визначаєлінійний обмежений функціонал на /> Лінійність функціонала очевидна.Його обмеженість випливає з оцінки
/>
По теоремі Рисса існуєєдиний елемент /> такий, що /> Тим самим усюди на /> заданийлінійний оператор /> Далі, з доведеного вищенерівності треба, що
/>
Думаючи тут /> одержимо /> тобто /> й, виходить, /> обмежений.Теорема доведена.
Як додаток доведеної теоремий просторів Соболєва доведемо існування й одиничність узагальненого рішеннязадачі Дирихле для рівняння Пуассона. У замкнутої обмеженої однозв'язноїобласті /> здосить гладкою границею /> розглянемо наступну граничнузадачу:
/>(2.2)
/>(2.3)
Припустимо, що права частина/> безперервнав /> посукупності змінних. Функція /> називається класичним рішеннямзадачі (2.2) – (2.3), якщо /> безперервно як функцію трьохзмінних у /> маєв /> безперервніпохідні, що входять у ліву частину (2.2), задовольняє в /> рівнянню (2.2) ідорівнює нулю на /> тобто задовольняє граничній умові(2.3).
Нехай /> – класичне рішеннязадачі (2.2) – (2.3), а /> безперервна в /> дорівнює нулю на /> й безупиннодференцюєма в /> тоді для будь-який такий /> справедливонаступна інтегральна тотожність:
/>(2.4)
Для доказу цієї тотожностіскористаємося формулою Гаусса-Остроградського:
/>
Приймемо
/> /> /> й одержимо
/>
Оскільки
/>
а /> те одержуємо (2.4).
Нехай тепер /> /> а інтеграли (2.4)розуміються в змісті Лебега. Функція /> називається узагальненим рішеннямкрайової задачі (2.2) – (2.3), якщо для будь-якої функції /> виконується інтегральнатотожність (2.4).
Доведемо, що для будь-якоїправої частини /> узагальнене рішення крайовоїзадачі (2.2) – (2.3) існує і єдино.
Для цього помітимо, щогильбертовий простір /> вкладений у гильбертовий простір /> тому що, повизначенню /> всякафункція /> належитьтакож і /> йсправедлива оцінка для кожної /> (див. п. 1.5):
/>
Отже, по теоремі 4 длявсякої функції /> існує єдина функція /> така, що длявсіх />
/>
а це і є інтегральнутотожність (2.4).
Висновок
Простір Соболєва /> й тіснопов'язане з ним поняття узагальненої похідної в сенсі Соболєва були уведені вматематичну практику академіком С.Л. Соболєвим і відіграють найважливішу роль утеоретичних і прикладних питаннях математичної фізики й функціональногоаналізу. Поповнення простору гладких функцій /> деякими ідеальними елементами,які можна з будь-яким ступенем точності обчислити за допомогою елементів із /> приводить, зодного боку, внаслідок повноти /> до точності й закінчення багатьохматематичних тверджень, а з іншого боку, зберігає всі обчислювальні можливості.
Таким чином, ми розглянулипростори Соболєва, їхні основні властивості й застосування в математичнійфізиці.
Список літератури
1.Треногін В.О. Функціональний аналіз. – К., 2006
2.Соболєв С.Л. Деякі застосування функціонального аналізу в математичній фізиці.– К, 2004
3.Куланін Е.Д., Норін В.П. 3000 конкурсних задач по математиці. – К., 2000
4.Гусєв В.А., Мордкович А.Д. Довідкові матеріали по математиці. – К., 2003
5.Сканаві М.М. Збірник задач по математиці. – К., 2006