Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Описание конечных групп с плотной системой />-субнормальных подгрупп для формации />/>-нильпотентных групп
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-31
____________ Бондаренко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами /> обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств /> и знак строгого включения />;
/>и /> — соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
/>— пустое множество;
/>— множество всех />, для которых выполняется условие />;
/>— множество всех простых чисел;
/>— некоторое множество простых чисел, т.е. />;
/>— дополнение к /> во множестве всех простых чисел; в частности, />;
примарное число — любое число вида />;
/>— множество всех целых положительных чисел.
/>— некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел />.
Запись /> означает, что /> предшествует /> в упорядочении />, />.
Пусть /> — группа. Тогда:
/>— порядок группы />;
/>— порядок элемента /> группы />;
/>— единичный элемент и единичная подгруппа группы />;
/>— множество всех простых делителей порядка группы />;
/>— множество всех различных простых делителей натурального числа />;
/>--группа — группа />, для которой />;
/>--группа — группа />, для которой />;
/>— подгруппа Фраттини группы />, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы />;
/>— подгруппа Фиттинга группы />, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы />;
/>— коммутант группы />;
/>— />--холловская подгруппа группы />;
/>— силовская />--подгруппа группы />;
/>— дополнение к силовской />--подгруппе в группе />, т.е. />--холловская подгруппа группы />;--PAGE_BREAK--
/>— группа всех автоморфизмов группы />;
/>— /> является подгруппой группы />;
нетривиальная подгруппа — неединичная собственная подгруппа;
/>— /> является нормальной подгруппой группы />;
/>— подгруппа /> характеристична в группе />, т.е. /> для любого автоморфизма />;
/>— индекс подгруппы /> в группе />;
/>;
/>— централизатор подгруппы /> в группе />;
/>— нормализатор подгруппы /> в группе />;
/>— центр группы />;
/>— циклическая группа порядка />;
Если /> и /> — подгруппы группы />, то:
/>— прямое произведение подгрупп /> и />;
/>— полупрямое произведение нормальной подгруппы /> и подгруппы />.
Группа /> называется:
примарной, если />;
бипримарной, если />.
Скобки /> применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
/>— подгруппа, порожденная всеми />, для которых выполняется />.
Группу /> называют />--нильпотентной, если />.
Группу /> порядка /> называют />--дисперсивной, если выполняется /> и для любого />/> имеет нормальную подгруппу порядка />. Если при этом упорядочение /> таково, что /> всегда влечет />, то />--дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.
Цепь — это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь /> называется />-цепью (с индексами />); если при этом /> является максимальной подгруппой в /> для любого />, то указанная цепь называется максимальной />-цепью.
Ряд подгрупп /> называется:
субнормальным, если /> для любого />;
нормальным, если /> для любого />.
Нормальный ряд называется главным, если /> является минимальной нормальной подгруппой в /> для всех />.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
/>— класс всех групп;
/>— класс всех абелевых групп;
/>— класс всех нильпотентных групп;
/>— класс всех разрешимых групп;
/>— класс всех />--групп;
/>— класс всех сверхразрешимых групп.
Пусть /> — некоторый класс групп и /> — группа, тогда:
/>— />--корадикал группы />, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп /> из />, для которых />. Если /> — формация, то /> является наименьшей нормальной подгруппой группы />, факторгруппа по которой принадлежит />. Если /> — формация всех сверхразрешимых групп, то /> называется сверхразрешимым корадикалом группы />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Формация /> называется насыщенной, если всегда из /> следует, что и />. Класс групп /> называется наследственным или />-замкнутым, если из того, что />, следует, что и каждая подгруппа группы /> также принадлежит />.
Пусть /> — некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа /> группы /> называется:
/>-нормальной, если />;
/>-абнормальной, если />.
Максимальная />-цепь /> называется />-субнормальной, если для любого /> подгруппа />/>-нормальна в />. Подгруппа /> группы /> называется />-субнормальной, если существует хотя бы одна />-субнормальная максимальная />-цепь.
Группа /> называется группой с плотной системой />-субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп /> и /> группы />, из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе /> существует такая />-субнормальная подгруппа />, что />. В этом случае также говорят, что множество />-субнормальных в /> подгрупп плотно.
Введение
Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.
С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп /> удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп />, то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из />. Среди таких обобщений выделим следующие исследования.
Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными />-тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.
Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.
В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы />, обладающая некоторым свойством />, называется плотной в />, если для любых двух подгрупп /> из />, где /> не максимальна в />, найдется />-подгруппа /> такая, что />. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.
В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы />, в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.
Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа /> является />-субнормальной в />, если существует цепь подгрупп
/>
такая, что /> является />-нормальной максимальной подгруппой в /> для любого />. Если /> совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, />-замкнутой насыщенной формацией), то />-субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.
В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных />--подгруппами, />--субнормальными или />--абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.
Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если /> — />-замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее />-субнормальных подгрупп плотно?
В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда /> — класс всех />-нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда /> — произвольная />-замкнутая насыщенная формация либо />-нильпотентных, либо />-дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.
Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации />/>-нильпотентных групп
Пусть />— некоторая />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация, />— группа c плотной системой />-субнормальных подгрупп. Тогда />либо разрешима, либо является />-нильпотентной />-группой. продолжение
--PAGE_BREAK--
Доказательство. Пусть /> — группа наименьшего порядка, для которой лемма не верна. Так как /> неразрешима, то она имеет подгруппу /> порядка />, где /> — простое число. По условию, /> имеет />-субнормальную подгруппу /> такую, что /> делит />. Поэтому в /> существует максимальная подгруппа, содержащая />. Таким образом, />.
По лемме, множество всех />-субнормальных подгрупп плотно в любой факторгруппе группы />. Поэтому лемма верна для любой нетривиальной факторгруппы группы />. Так как класс всех разрешимых групп и класс всех />-нильпотентных групп — насыщенные формации, то мы получаем, что />. Очевидно, /> имеет минимальную нормальную подгруппу />, содержащуюся в />.
1. Рассмотрим случай />. Допустим, что /> неразрешима. Тогда /> содержит подгруппу /> порядка />, где />. Так как 1 не максимальна в />, то в /> существует />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. По лемме, /> есть />-число. Мы получаем, что /> и />, т.е. /> оказывается />-нильпотентной />-группой. Противоречие. Следовательно, /> разрешима.
Ввиду леммы, лемма верна для />. Значит, /> либо разрешима, либо является />-нильпотентной />-группой. Так как />, то мы видим, что лемма верна и для />.
2. Теперь рассмотрим случай />. Из леммы и индуктивного предположения вытекает, что лемма верна для любой собственной подгруппы группы />. Следовательно, каждая собственная подгруппа группы /> либо разрешима, либо является />-нильпотентной />-группой.
2.1. Предположим, что /> содержит разрешимую />-нормальную максимальную подгруппу. Тогда /> разрешима, а /> — неразрешимая />-нильпотентная />-группа. Из /> следует, что /> является />-группой для некоторого простого />.
Предположим, что /> и />. Так как /> неразрешима, то /> имеет подгруппу /> порядка />, где />. По условию, в /> существует />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. Так как /> — />-группа, а по лемме, индекс /> является />-числом, то мы получаем, что /> — />-нильпотентная />-группа. Противоречие.
Случай /> и /> невозможен, так как /> — неразрешимая />-нильпотентная />-группа. Поэтому остается рассмотреть случай />. Но тогда /> является />-разрешимой />-группой. Так как /> неразрешима, то в холловой />-подгруппе /> из /> найдется нециклическая силовская подгруппа />. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа из />. Тогда /> не максимальна в />. По условию, в /> существует />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. Обозначим через /> формацию всех />-нильпотентных групп. По лемме, />/>-субнормальна в />. Теперь по теореме, мы имеем />. Следовательно, />, а значит, /> централизует />. Получается, что любая нециклическая силовская подгруппа из /> централизует />. Так как /> не принадлежит />, то /> не централизует />. Итак, в /> имеется циклическая силовская подгруппа />, которая не централизует />. Ввиду теоремы, /> не максимальна в />. Теперь, применяя к /> те же рассуждения, что и для />, получаем, что /> централизует />. Пришли к противоречию. продолжение
--PAGE_BREAK--
2.2. Итак, пусть теперь каждая />-нормальная максимальная подгруппа группы /> является />-нильпотентной />-группой. Тогда /> оказывается />-группой, а ее />-корадикал />/>-нильпотентен. Так как группы Шмидта разрешимы, то отсюда следует, что /> имеет />-абнормальную максимальную подгруппу />, которая не является />-нильпотентной. По предположению, /> разрешима. По лемме, каждая />-абнормальная максимальная подгруппа из /> принадлежит />. По теореме, /> является />-группой для некоторого простого числа />. Если />, то />/>-нильпотентна, противоречие. Таким образом, />, т.е. /> есть />-группа. Выберем в /> подгруппу />, удовлетворяющую следующим условиям: 1) /> — степень простого числа; 2) /> не является />-группой; 3) /> не максимальна в />. По условию, в /> найдется />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. По теореме, />, а потому мы имеем />. Так как /> не />-нильпотентна, то мы получаем, что /> не является />-группой. Мы видим, что в /> существует силовская />-подгруппа /> такая, что /> максимальна в />, /> и />. Если /> нециклическая, то она имеет две различные максимальные подгруппы /> и />, которые, как мы доказали, централизуют />. Отсюда следует, что и /> централизует />, что невозможно. Следовательно, /> — циклическая максимальная подгруппа в />. Группа /> у нас />-разрешима. Будем считать, что /> содержится в холловой />-подгруппе /> группы />. Если /> максимальна в />, то учитывая, что /> циклическая, мы получаем, что, по теореме, подгруппа /> разрешима. Но тогда и /> разрешима. Получаем противоречие. Таким образом, /> не максимальна в />. По условию, в /> найдется такая />-субнормальная подгруппа />, что />. Так как />, мы получаем, что />/>-субнормальна в />. По теореме, />. Снова получили противоречие. Лемма доказана.
Пусть /> — некоторая />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация, /> — группа c плотной системой />-субнормальных подгрупп. Предположим, что />, /> — />-группа, /> не />-нильпотентна, а все ее />-абнормальные максимальные подгруппы />-нильпотентны. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
1) /> — группа Шмидта и />;
2) />, силовская />-подгруппа /> из /> совпадает с /> и является ее минимальной нормальной подгруппой;
3) />, /> — дополняемая минимальная нормальная подгруппа в />, имеющая индекс /> в />, а подгруппа /> является циклической, причем />.
Доказательство. По лемме, /> разрешима. Пусть /> — некоторая />-абнормальная максимальная подгруппа из />. Тогда, по условию, некоторая холлова />-подгруппа /> входит в /> и нормализует ее силовскую />-подгруппу />. Так как /> — />-группа, то />. А так как /> и />/>-нильпотентна, то из /> вытекает, что />. Рассмотрим два случая: /> и />.
1. />. По лемме, /> либо максимальна в />, либо />-субнормальна в />. Пусть вначале />/>-субнормальна в />. Тогда, по теореме, />. Так как />, то получается, что /> — силовская />-подгруппа из />, нормализующая />. Это противоречит тому, что /> не />-нильпотентна. Пусть теперь /> максимальна в />. Тогда />. Значит, /> либо совпадает с силовской />-подгруппой />, либо />. продолжение
--PAGE_BREAK--
1.1. />. Допустим, что в /> имеется ненильпотентная />-нормальная максимальная подгруппа />. Будем считать, что ее холлова />-подгруппа /> содержится в />. Так как /> не максимальна в /> и />, то, по лемме, />/>-субнормальна в />, а значит, и в />. Теперь по теореме, />, а значит, /> нильпотентна. Итак, /> — группа Шмидта. Но тогда /> нормальна в />, а значит, ввиду теоремы, /> не может быть абелевой. Таким образом, />. Так как />, то />. Итак, /> — группа типа 1).
1.2. /> не является силовской />-подгруппой в />. Тогда /> и /> Таким образом, /> является минимальной нормальной подгруппой в />. Рассмотрим подгруппу />. Подгруппа /> нормальна в /> и не />-нильпотентна. Подгруппа /> содержится в /> и характеристична в />. Так как /> — минимальная нормальная подгруппа, то /> — силовская />-подгруппа из />. Пусть /> — такая строго содержащая /> подгруппа из />, что /> максимальна в />. Из равенства /> следует, что /> не является />-нильпотентной группой. Каждая собственная подгруппа из /> не максимальна в /> и, по лемме, является />-субнормальной в />, а значит, и в />. Теперь по лемме, /> — минимальная не />-группа, т.е. /> — группа Шмидта. Таким образом, /> — циклическая />-группа, />. Так как />, то />. Лемма в этом случае доказана.
2. />. Таким образом, /> — дополнение к подгруппе />, которая является в этом случае силовской подгруппой в /> и к тому же минимальной нормальной подгруппой. Если каждая собственная подгруппа из />/>-субнормальна в />, то по лемме, /> является группой Шмидта, т.е. /> — группа типа 3).
Предположим, что /> не является группой Шмидта. Тогда в /> имеется не />-нильпотентная />-нормальная максимальная подгруппа />, холлова />-подгруппа /> которой входит в />, принадлежит /> и, ввиду теоремы, не является />-субнормальной в /> (в противном случае, по теореме, подгруппа /> была бы />-нильпотентной). Выберем в /> такую подгруппу />, что /> и /> максимальна в />. Допустим, что в /> имеется />-субнормальная в /> подгруппа />, не содержащаяся в />. Тогда, по теореме, />, т.е. />. Тогда /> содержит /> и />, т.е. />. Так как /> — минимальная нормальная подгруппа, то />. Любая собственная подгруппа из /> не максимальна в /> и, по лемме, является />-субнормальной в />. Теперь по лемме, примененной к />, получаем, что /> — минимальная не />-группа. Таким образом, /> — группа Шмидта. Значит, /> — примарная циклическая группа. Так как /> разрешима и /> — минимальная нормальная подгруппа, то мы видим, что /> — группа типа 2).
Итак, каждая подгруппа из />, />-субнормальная в />, содержится в />. Пусть /> — простой делитель индекса />. Силовская />-подгруппа /> из /> не входит в /> и потому не является />-субнормальной в />. Поэтому по лемме, /> максимальна в />. Отсюда следует, что />. Лемма доказана.
Пусть /> — некоторая />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация, /> — группа c плотной системой />-субнормальных подгрупп, /> и каждая />-абнормальная максимальная подгруппа из />/>-нильпотентна. Тогда /> либо является />-нильпотентной />-группой, либо группой одного из типов: продолжение
--PAGE_BREAK--
1) /> — группа Шмидта и />;
2) />, силовская />-подгруппа /> является минимальной нормальной подгруппой в />;
3) />, />, где /> — минимальная нормальная подгруппа в />, />, /> циклическая, />.
Доказательство. Пусть /> не является />-нильпотентной />-группой. По лемме, /> разрешима. Пусть /> — формация всех />-нильпотентных групп. Так как />, то каждая />-абнормальная максимальная подгруппа является />-абнормальной, а значит, ввиду условия, и />-нильпотентной. По тереме, /> — />-группа, и теперь мы применяем лемму в случае />. Лемма доказана.
Пусть />— некоторая />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация, />— не />-нильпотентная группа c плотной системой />-субнормальных подгрупп и />. Тогда любая />-абнормальная максимальная подгруппа из />либо />-нильпотентна, либо является бипримарной группой Миллера--Морено.
Доказательство. По лемме, /> разрешима. Пусть /> — не />-нильпотентная />-абнормальная максимальная подгруппа группы />. По лемме, множество всех />-субнормальных подгрупп в /> плотно. По лемме, каждая />-абнормальная максимальная подгруппа из /> принадлежит />. По теореме, /> — />-группа. Значит, /> — группа типа 1), 2) или 3) леммы. В дальнейшем /> обозначает формацию всех />-нильпотентных групп. Пусть /> — группа типа 1), т.е. /> — группа Шмидта с нормальной силовской />-подгруппой /> и />. Тогда /> не максимальна в />. По условию, в /> имеется />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. Кроме того, />. Получается, что />/>-субнормальна в />, а значит, и в />. По теореме, />, что невозможно. Итак, /> либо типа 2), либо типа 3) из леммы.
1. />, />. Тогда холлова />-подгруппа /> группы /> строго содержит некоторую />.
Предположим, что /> — типа 2). Пусть /> — произвольная собственная подгруппа из />. Так как /> не максимальна в />, то существует />-субнормальная в /> подгруппа /> такая, что />. Подгруппа /> будет />-субнормальна в />. Поэтому и /> будет />-субнормальна в />. По теореме, />, т.е. />. Таким образом, каждая собственная подгруппа из />/>-нильпотентна, а значит, /> — группа Шмидта, в которой /> — минимальная нормальная подгруппа. Значит, в этом случае лемма верна.
Итак, /> ---группа типа 3), т.е. />, /> — дополняемая минимальная нормальная подгруппа в />, силовская />-подгруппа /> из /> циклическая и />. Если />/>-субнормальна в />, то, по теореме, /> нильпотентна и, значит, />, что невозможно. Значит, /> не />-субнормальна в />. Если /> не максимальна в />, то, по условию, в /> найдется />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. Получается, что /> — нормальная подгруппа />-субнормальной разрешимой />-подгруппы />, а потому /> будет />-субнормальной в />. Итак, /> максимальна в />, а значит, />. Пусть /> — силовская />-подгруппа из />, являющейся дополнением к /> в />, очевидно, />. Так как /> не максимальна в />, то /> для некоторой />-субнормальной подгруппы /> из />. Тогда />. Так как />, то мы видим, что /> не содержится в />. Ввиду леммы, />-абнормальные максимальные подгруппы />-абнормальных максимальных подгрупп из /> принадлежат />, поэтому, по теореме, имеем />. Получается, что />. Вспоминая, что /> — минимальная нормальная подгруппа в />, мы получаем, что содержащаяся в /> минимальная нормальная подгруппа группы /> совпадает с />, либо с />. Случай /> не возможен, так как /> и /> не />-нильпотентна. Значит, />. Рассмотрим />-нильпотентную подгруппу />. По условию, /> содержится в некоторой подгруппе из />, которая />-субнормальна в />. Так как />, то /> будет />-абнормальна в />, а значит, и в />. Тогда, по теореме, />/>-нильпотентна, что противоречит тому, что /> не />-нильпотентна. Случай 1 полностью рассмотрен. продолжение
--PAGE_BREAK--
2. />. Будем доказывать этот случай по индукции, используя тот уже доказанный нами факт, что для />-абнормальных максимальных подгрупп, индекс которых не является степенью />, утверждение леммы выполняется. Нам надо рассмотреть две возможности: /> — либо типа 2), либо типа 3) из леммы.
Рассмотрим сначала случай, когда /> типа 2), т.е. />, силовская />-подгруппа из /> совпадает с /> и является минимальной нормальной подгруппой в />. Ясно, что /> содержит силовскую />-подгруппу /> группы />, а /> нормальна в />; а кроме того, холлова />-подгруппа /> из /> является холловой />-подгруппой в />. Подгруппа /> является />-абнормальной максимальной подгруппой в />; кроме того, /> — холлова />-подгруппа в />. Если /> — любая />-абнормальная максимальная подгруппа из />, не сопряженная с />, то индекс /> не делится на />. Но тогда /> — />-абнормальная максимальная подгруппа в /> с индексом, не делящимся на />. По доказанному, /> либо />-нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Будем считать, что />. Заметим, что />. Если /> — />-замкнутая группа Миллера-Морено, то /> — минимальная нормальная подгруппа в /> и, значит, />, что невозможно. Таким образом, в /> все />-абнормальные максимальные подгруппы />-нильпотентны. По теореме, /> — />-группа. Вспоминая, что />, получаем />. Допустим, что в /> имеется максимальная подгруппа /> такая, что /> не />-нильпотентна. По теореме, /> не />-субнормальна в />. Так как /> не максимальна в />, то /> для некоторой собственной />-субнормальной подгруппы /> из />. Значит, />. Подгруппа /> максимальна в /> и содержится в />. Поэтому />. Так как /> и />, то /> является собственной />-субнормальной подгруппой в />, и поэтому /> является собственной подгруппой в />. Так как /> не />-нильпотентна, то />. Подгруппа /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />. По индукции, /> либо />-нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Предположим, что /> — группа Миллера-Морено. Тогда />, где /> максимальна в />, а /> — минимальная нормальная подгруппа в />. Так как /> и />, то />, что невозможно, так как /> — собственная подгруппа в />. Значит, />/>-нильпотентна и, более того, принадлежит />. Если /> не максимальна в />, то, по условию, />, где />/>-субнормальна в />. Но тогда />/>-субнормальна в />, что невозможно. Таким образом, /> максимальна в /> и, значит, />, где />. Так как /> и /> максимальна в /> и имеет силовскую />-подгруппу /> порядка />, то /> — максимальная нормальная подгруппа в />, а значит, /> — тоже элементарная абелева />-группа.
2.1. />, />. Так как /> — минимальная нормальная подгруппа в />, то />. По теореме Машке, />, где />. Так как />, то />-главные факторы /> и /> центральны. Но тогда /> и /> содержатся в />. Если />, то из /> вытекает, что />, а это противоречит тому, что /> — />-эксцентральный главный фактор в />. Значит, />. Рассмотрим подгруппу />. Подгруппа /> не максимальна в />, поэтому />, где /> — некоторая />-субнормальная подгруппа из />. Так как />, то /> не может быть />-субнормальной в />. Поэтому />. Из максимальности /> в /> выводим, что /> совпадает либо с />, либо с />. В обоих случаях />. Отсюда и из />-субнормальности подгруппы /> следует, что />/>-субнормальна в />, и мы приходим к противоречию. продолжение
--PAGE_BREAK--
2.2. />, />. Так как />, то главные факторы /> и /> изоморфны, откуда выводим, что /> содержится в />. Но тогда /> — неединичная подгруппа из />, что невозможно, так как />/>-эксцентральна. Получили противоречие.
2.3. />. Так как />, то из /> следует, что />, а это противоречит минимальности /> в />. Поэтому остается принять, что />. Это означает, что />/>-нильпотентна. Но /> была выбрана ранее так, что /> не />-нильпотентна. Снова получили противоречие.
Таким образом, в /> нет максимальных подгрупп /> таких, что /> не />-нильпотентна. Получается, что /> — минимальная не />-нильпотентная группа с минимальной нормальной подгруппой />, т.е. /> — группа Миллера-Морено.
Пусть теперь /> — группа типа 3), т.е. />, /> — дополняемая минимальная нормальная подгруппа в />, не являющаяся силовской в />, а силовская />-подгруппа /> из /> является циклической и />. Если />/>-субнормальна в />, то />/>-нильпотентна по теореме и, кроме того, дополнение к /> в /> тоже />-нильпотентно. А это противоречит тому, что /> не />-нильпотентна. Поэтому в дальнейшем мы будем иметь в виду, что /> не />-субнормальна в />.
Если /> не максимальна в />, то по условию, />, где />/>-субнормальна в />. Так как />, то получается, что />/>-субнормальна в />, что невозможно. Итак, /> максимальна в />. Пусть /> — дополнение к /> в />, а /> — дополнение к /> в силовской />-подгруппе /> из />. Тогда />, />. Подгруппа /> не максимальна в />, но максимальна в />, т.е. />. Поэтому, по условию, существует />-субнормальная подгруппа /> такая, что />. Значит, /> содержится в максимальной подгруппе группы />, содержащей />. Равенство /> показывает теперь, что /> не содержится в />. Подгруппа /> максимальна в />, поскольку ее индекс равен />. Так как /> ---собственная />-субнормальная подгруппа в />, то /> не равна />, но содержит />. Значит, />. Но /> — собственная />-субнормальная подгруппа в />, поэтому />. Получается, что /> — собственная подгруппа из />. Ясно, что /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> группы />. Для /> лемма верна по индукции, поэтому /> либо />-нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Если />/>-нильпотентна, то из /> выводим, что /> и поэтому />, что невозможно. Таким образом, /> — группа Миллера-Морено, у которой /> — силовская />-подгруппа. Но тогда ввиду того, что /> и />, мы получаем />. Снова получили противоречие. Лемма доказана.
Пусть /> — />-группа, не принадлежащая непустой />-замкнутой />-нильпотентной формации /> такой, что /> содержит /> и не совпадает с множеством всех простых чисел. Скажем, что /> является: продолжение
--PAGE_BREAK--
1) группой типа />, если /> — не />-нильпотентная />-группа Шмидта с />;
2) группой типа />, если />, />, /> нециклическая, /> — минимальная нормальная подгруппа в />, /> является нильпотентной максимальной подгруппой в />, а любая другая максимальная подгруппа из />, содержащая />, является группой Миллера-Морено;
3) группой типа />, если />, />, />, />, в /> имеется нильпотентная />-нормальная максимальная подгруппа, а также />-абнормальная максимальная подгруппа, являющаяся группой Миллера--Морено;
4) группой типа />, если />, />, где />, />, /> нормальна в />, /> циклическая, /> — минимальная нормальная подгруппа в />, имеется точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются />, /> и />;
5) группой типа />, если />, /> — минимальная нормальная подгруппа в />, /> является циклической максимальной подгруппой в />, /> — либо группа Миллера-Морено, либо группа типа />, /> и /> — группа Фробениуса;
6) группой типа />, если />, /> и если />, /> и /> — силовская база группы />, то /> нормальна в />, /> нормальна в />, одна из подгрупп />, /> нормальна в />, /> максимальна в />, имеется точно три класса сопряженных максимальных подгрупп в />, представителями которых являются: /> — группа Миллера-Морено, /> и />;
7) группой типа />, если />, />, /> — группа порядка />, не являющаяся группой Фробениуса и имеющая точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются: /> — либо группа Миллера-Морено, либо группа типа />, /> — группа типа />, />;
8) группой типа />, если />, />, /> — группа Фробениуса порядка />, имеющая точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются: /> — либо группа Миллера-Морено, либо группа типа />, /> — либо группа Миллера-Морено, либо группа типа />, />.
Пусть />, где /> — />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация. Будем считать, что /> и /> таковы, что />, но />. Так же, как и в примере, строим группу Шмидта /> порядка />. По теореме Гольфанда, существует группа Шмидта /> порядка />. Очевидно, />. Таким образом, группы /> и /> — группы типа />.
Пусть />, где /> — />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация. Будем считать, что />. Пусть /> — неабелева группа порядка />. Тогда />, где />, />, />. Рассмотрим группу />, где />. Ясно, что />, />. Таким образом, /> — группа типа />.
Пусть />, где /> — />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация. Пусть /> — циклическая группа порядка />, /> — такая подгруппа из />, что /> — простое число, делящее /> и входящее в />. Пусть />. Так как /> циклическая, то из теоремы вытекает, что /> и />. Отсюда следует, что /> — />-нормальная нильпотентная максимальная подгруппа, а любая подгруппа порядка /> является группой Миллера-Морено. Значит, /> — группа типа />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Пусть /> — нециклическая группа порядка />, /> — неабелева неприводимая группа автоморфизмов порядка /> группы />, где /> и /> — простые числа из />, /> — />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация. Тогда />, где /> — группа типа />.
Пусть /> — группа порядка /> такая, что /> имеет силовскую />-подгруппу /> порядка />. Пусть />, где /> — />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация. Тогда /> — группа типа />.
Пусть /> и /> — нечетные простые числа, /> — группа простого порядка />, /> — группа порядка />. В /> существует элемент /> порядка />, который действует нетривиально на /> и />. Циклическую группу /> порядка /> превратим в группу операторов группы /> с помощью гомоморфизма /> с ядром порядка />. Пусть />. Очевидно, что /> и /> — группы Миллера-Морено, а /> — нильпотентная максимальная подгруппа. Пусть /> — такая />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация, что />. Тогда группа /> — группа типа />.
Пусть />, />, /> — различные простые числа и порядок /> по модулю /> равен />. Пусть /> — такая />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация, что />. Пусть /> — группа из примера. Допустим, что существует неабелева группа автоморфизмов /> порядка /> группы />. Тогда /> — группа Миллера-Морено. Ясно, что группа /> — группа типа />. Эта ситуация реализуется, например, в случае />, />, />.
Пусть /> — группа простого порядка />. Тогда /> имеет порядок />, и можно подобрать /> так, что в ней найдется подгруппа /> порядка />, где /> и /> — различные простые числа. Рассмотрим группу />. Подгруппа /> будет максимальной самонормализуемой подгруппой, а подгруппы /> и /> — максимальными подгруппами Миллера-Морено. Пусть /> — такая />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация, что />. Тогда группа /> — группа типа />.
Пусть />— непустая />-замкнутая насыщенная />-нильпотентная формация, />— не />-нильпотентная />-группа, у которой множество всех />-субнормальных подгрупп плотно. Тогда />является группой одного из типов />для некоторого />.
Доказательство. Пусть /> не />-нильпотентна. Тогда, по лемме 4.1.1, /> разрешима.
1. Допустим, что /> обладает не />-нильпотентной />-абнормальной максимальной подгруппой />. По лемме, /> — бипримарная группа Миллера-Морено, а значит, />. Заметим еще, что />, где /> — минимальная нормальная подгруппа в />.
1.1. Рассмотрим вначале случай />. Тогда /> есть степень либо простого />, либо />. Пусть />. Пусть /> ---силовская />-подгруппа из />, содержащая />. Если /> не максимальна в />, то />, где /> — некоторая />-субнормальная в /> подгруппа. Тогда />/>-субнормальна в />, а значит, и в /> (напомним, что из /> следует, что />). Но тогда, по теореме, />, противоречие. Значит, /> и />. Пусть /> — максимальная подгруппа из />, содержащая />. Так как />/>-абнормальна, то, по лемме, /> либо />-нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Но /> — минимальная нормальная подгруппа в />, поэтому ясно, что /> не может быть />-замкнутой группой. Таким образом, />/>-нильпотентна. Если />, то из /> и из условия вытекает, что существует />-субнормальная в /> подгруппа /> такая, что />. Так как />, то />, что противоречит равенству />. Итак, мы должны рассмотреть только случай />. Подгруппа /> является циклической и максимальна в />. Поэтому очевидно, что максимальная подгруппа /> из /> нормальна в />. Пусть /> ---минимальная нормальная подгруппа в />. Так как /> — минимальная нормальная подгруппа в />, то /> — />-группа, не входящая в />, а значит, />. Так как /> максимальна и не нормальна в />, то />. Ясно теперь, что />, а значит, /> нормальна в />. Таким образом, получается, что />, что противоречит равенству />. Итак, теперь надо рассмотреть случай />, т.е. /> — силовская />-подгруппа в />, а /> — минимальная нормальная подгруппа в />. Допустим, что силовская />-подгруппа /> из /> не равна 1. Так как />, то />. Тогда />/>-нильпотентна, а значит, силовская />-подгруппа из /> содержится в />. Но это противоречит равенству />. Итак, />. По теореме Бернсайда, />/>-нильпотентна и, значит, /> — силовская />-подгруппа в />. Максимальная подгруппа /> из /> не максимальна в />, поэтому /> для некоторой />-субнормальной в /> подгруппы />. Так как /> — абелева />-группа, то />. Значит, /> оказывается />-субнормальной в />. По теореме, />. Мы получаем, что /> — группа типа />. продолжение
--PAGE_BREAK--
1.2. Рассмотрим теперь случай />. Тогда ясно, что /> — холлова подгруппа в />; будем полагать, что /> делится на /> и />. Пусть />, /> и /> — попарно перестановочные силовские подгруппы из /> такие, что />. Так как /> и />, то />. Рассмотрим максимальную подгруппу /> из />, содержащую />. Если /> не максимальна в />, то ввиду условия />, где /> — />-субнормальная собственная подгруппа группы />, а значит, />, что противоречит равенству />. Значит, /> максимальна в /> и поэтому />, где />, так как />. Понятно, что содержащаяся в /> минимальная нормальная подгруппа группы /> совпадает либо с />, либо с />. Пусть /> — максимальная подгруппа из />, содержащая />. Так как /> — группа Миллера-Морено, то холлова />-подгруппа из /> нильпотентна. Таким образом, если />, то />/>-нильпотентна и />. Если /> не максимальна в />, то существует />-субнормальная подгруппа /> такая. что />. Тогда />/>-субнормальна в />, где /> — формация всех />-нильпотентных групп, а />/>-нильпотентна по теореме, т.е. />. Следовательно, если /> не нормальна в />, то />, /> максимальна в /> и />. В любом случае, силовская />-группа /> из /> нормальна в />. Пусть /> — еще одна максимальная подгруппа индекса />. Тогда />, так как /> циклическая. Понятно теперь, что /> и /> сопряжены. Итак /> — группа типа />.
2. Теперь будем полагать, что каждая />-абнормальная максимальная подгруппа группы />/>-нильпотентна. Тогда /> — группа одного из типов 1)-3) леммы Если /> — группа типа 1), то доказывать нечего. Пусть /> — группа типа 3), т.е. />, />, где />, />, />, /> циклическая, а /> — минимальная нормальная подгруппа в />. Заметим, что />/>-сверхразрешима. Пусть /> — максимальная подгруппа группы />. Если /> содержит /> и не содержит />, то />. Если /> содержит /> и />, то />. А если /> содержит />, то /> и />. Таким образом, /> имеет точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются />, /> и />. Значит, в этом случае группа /> — группа типа />. Пусть /> и /> — минимальная нормальная подгруппа в />. Рассмотрение этого случая разобьем на две части: /> и />.
2.1. Пусть вначале />. Пусть />. Очевидно, />. Предположим, что /> имеет максимальную подгруппу />, являющуюся />-субнормальной в />. По теореме, />. Очевидно, />. Ясно, что любая максимальная подгруппа из />, отличная от />, не является />-субнормальной в />. Если /> циклическая, то /> — группа типа />. Поэтому считаем, что /> нециклическая. Пусть /> — максимальная подгруппа из />, отличная от />. Рассмотрим подгруппу />, являющуюся />-субнормальной в />. Так как /> не />-субнормальна, то />. Пусть /> — />-абнормальная максимальная подгруппа из />. Так как />, то /> — степень />, т.е. /> содержится в подгруппе, сопряженной с /> в />. Будем считать, что />. Силовская />-подгруппа /> из /> нормальна в /> и в />, т.е. /> нормальна в />. Но /> ---минимальная нормальная подгруппа. Поэтому /> — />-группа, т.е. /> максимальна в />. По лемме, каждая собственная подгруппа из /> будет />-субнормальной в /> (мы применяем утверждение 2) леммы для случая />). Теперь, по лемме, /> является минимальной не />-группой, откуда следует, что /> — группа Миллера-Морено, т.е. /> — группа типа />. Предположим теперь. что любая максимальная подгруппа из /> не является />-субнормальной в />. Пусть /> — максимальная подгруппа из />, причем />. Подгруппа /> не принадлежит />, иначе /> была бы />-субнормальной. Если /> максимальна в />, то /> — группа Миллера-Морено. Если /> не максимальна в />, то /> строго содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />. Подгруппа /> не />-нильпотентна, так как в противном случае />, что противоречит тому, что /> не />-субнормальна. Итак, />/>, в /> существует не />-нильпотентная />-абнормальная максимальная подгруппа, />. Но этот случай уже рассмотрен, т.е. /> — группа типа />. Таким образом, максимальная подгруппа /> из /> нормальна в />. Рассмотрим группу />, ее порядок равен />. Понятно, что если /> и /> — две различные подгруппы из />, то />, и значит, />, так как каждая максимальная подгруппа из /> не нормальна в />. Следовательно, /> — группа Фробениуса с циклической подгруппой /> порядка />. Так как />, то получается, что /> циклическая. Так как /> — единственная максимальная подгруппа, содержащая />, то />. Итак, /> — группа типа />. продолжение
--PAGE_BREAK--
2.2. Пусть теперь />. По лемме, /> — минимальная нормальная подгруппа группы />. Если собственная подгруппа /> из /> не является максимальной в />, то, по условию, существует />-субнормальная в />/>-группа />, содержащая />. По теореме, />, а значит, />. Итак, каждая собственная не максимальная подгруппа из /> поэлементно перестановочна с />. Так как /> не />-нильпотентна, то ясно, что силовская />-подгруппа /> и силовская />-подгруппа /> из /> не могут одновременно быть не максимальными в />, т.е. либо обе они максимальны в />, либо только одна из них максимальна в />. Эти два случая мы рассмотрим.
2.2.1. Пусть /> максимальна в />. Тогда, как отмечалось, /> нильпотентна, а /> ненильпотентна. Пусть /> — произвольная максимальная подгруппа из />. Тогда /> не максимальна в /> и, по условию, содержится в некоторой />-субнормальной />-подгруппе, которая, по теореме, будет поэлементно перестановочна с />. Отсюда следует, что /> — группа Миллера-Морено. Если /> нормальна в />, то />. Пусть /> — максимальная подгруппа из />, содержащая />. Каждая собственная подгруппа из />, как отмечалось, поэлементно перестановочна с />. Значит, каждая собственная подгруппа из /> будет />-нильпотентна. Но />. Поэтому /> не может быть группой Шмидта. Значит, />/>-нильпотентна и />. Значит, />. Получается, что каждая максимальная подгруппа из /> нормальна в />, т.е. /> нильпотентна. Итак, если /> нормальна в />, то /> — группа типа />.
Пусть теперь /> не нормальна в />. По теореме Бернсайда, />/>-нильпотентна, т.е. />. Учитывая, что /> нильпотентна, получаем, что /> нормальна в />, т.е. /> оказывается группой типа />.
2.2.2. Пусть теперь подгруппы /> и /> являются максимальными в />. Тогда одна из них нормальна в />. Пусть />. Тогда />. В этом случае />, /> и /> — максимальные подгруппы в />. Если одна />, /> нильпотентна, то /> — группа типа />. Предположим, что /> и /> не нильпотентны. Поскольку каждая собственная подгруппа из /> поэлементно перестановочна с />, а подгруппа /> ненильпотентна, то /> является циклической. Но тогда />, так как /> максимальна в сверхразрешимой подгруппе />. Рассмотрим подгруппу />. Так как />, то />. Если /> максимальна в />, то /> — группа Миллера-Морено. Пусть /> не максимальна в />. Так как /> и />, то />-корадикал подгруппы /> является неединичной />-группой. Ясно, что /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />, причем />, так как /> самонормализуема в />. Мы видим, что /> — группа типа />.
Возможны два случая: /> нормальна в /> и /> ненормальна в />.
Пусть /> не нормальна в />. Если />, то /> — группа Фробениуса с нильпотентной нормальной подгруппой />, что противоречит нашему допущению. Пусть />, где />, />. Так как /> элементарная абелева, то существует такая />-подгруппа />, что />. Мы видим, что /> — группа типа />, а сама /> — группа типа />. продолжение
--PAGE_BREAK--
Предположим теперь, что /> нормальна в />, т.е. /> нильпотентна и имеет порядок />. Очевидно, что в этом случае /> является группой Фробениуса с ядром />, а /> — группа типа />, либо группа Миллера-Морено. Рассмотрим />. Если /> максимальна в />, то /> — группа Миллера-Морено. Пусть /> не максимальна в />. Так как />, то /> содержится в некоторой />-абнормальной максимальной подгруппе /> из />, причем />, так как /> самонормализуема в />. Получается, что /> — группа типа />. В этом случае /> оказывается группой типа />. Теорема доказана.
Таким образом, теоремы дают описание не />-нильпотентных групп, у которых множество всех />-субнормальных подгрупп плотно, где /> — некоторая />-замкнутая насыщенная формация />-нильпотентных групп.
В случае, когда /> — формация всех />-нильпотентных групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.
Теорема остается новой в случае, когда /> — формация всех нильпотентных />-групп. В частности, при /> мы получаем результат В.В.Пылаева.
Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой />-субнормальных подгрупп, где /> — формация всех />-нильпотентных групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда силовская />-подгруппа /> группы />, где /> — силовская подгруппа максимальной подгруппы /> группы />, />, является элементарной абелевой группой, утверждается, что />, что в общем случае не верно.
Заключение
В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой />-субнормальных подгрупп в случаях, когда /> — либо произвольная />-замкнутая формация />-нильпотентных групп, либо произвольная />-замкнутая формация />-дисперсивных групп, либо произвольная />-замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе />, не принадлежащей />, существуют не />-субнормальные подгруппы /> и /> такие, что />, /> не максимальна в />, и из /> всегда следует, что /> не />-субнормальна в />.
Литература
1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. — 1948. — Т. 60,№ 8. — C. 1313--1315.
2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой />-субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. — Минск: Наука и техника, 1984. — 71--88.
3.Закревская Л.Н. Конечные группы с />-плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. — Мн.: Наука и техника, 1986. — 59--69.
4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Минск: Бел. навука, 2003. — 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. — 1964. — № 155. — С. 1003--1005.
6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. — 1972. — Т. 11, № 2. — C. 183--190.
7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. — Киев: Инст. математики АН УССР, 1975. — С. 197--217.
8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. — Киев: Инст. математики АН УССР, 1976. — С. 111--138.
9.Семенчук В.Н. Минимальные не />-группы // Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — C. 348--382.
10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. — С. 5--29.
11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. — 1967. — № 6. — С. 111--131.
12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. — 1968. — № 1. — С. 45--50.
13.Чунихин С.А. О />-свойствах конечных групп // Матем. сб. — 1949. — Т. 25, № 3. — с. 321--346.