КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГОУНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра«Автоматизации управления войсками»
Толькодля преподавателей
«Утверждаю»
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент А.И.СМИРНОВА
«ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
РЕШЕНИЕСИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
ЛЕКЦИЯ № 2 / 1
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2004г.
Протокол № ___________
Кострома,2004.
Содержание
Введение
1. Определителивторого и третьего порядка.
2. Свойстваопределителей. Теорема разложения.
3. Теорема Крамера.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнейдер идр., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.2. В.С.Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.
ВВЕДЕНИЕ
На лекциирассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А такжетеорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощьюопределителей. Определители используются также в дальнейшем в теме«Векторная алгебра» при вычислении векторного произведения векторов.
1-ый учебный вопрос ОПРЕДЕЛИТЕЛИВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА
Рассмотримтаблицу из четырех чисел вида />/>
Числа в таблице обозначены буквой сдвумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ1. Определителемвторого порядка называют выражение вида:
/> (1)
Числа а11,…, а22 называют э л е м е т а м и определителя.
Диагональ,образованная элементами а11; а22 называетсяг л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а12; а21- п о б о ч н ой.
Такимобразом, определитель второго порядка равен разности произведений элементовглавной и побочной диагоналей.
Заметим, чтов ответе получается число.
ПРИМЕРЫ. Вычислить:
/>
Рассмотрим теперь таблицу из девятичисел, записанных в три строки и три столбца:
/>
ОПРЕДЕЛЕНИЕ2. Определителем третьего порядка называется выражение вида:
/>
Элементы а11;а22;а33 – образуют главную диагональ.
Числа а13; а22;а31 – образуют побочную диагональ.
Изобразим, схематически, как образуются слагаемые сплюсом и с минусом:
/> " +" " –" />
С плюсом входят: произведениеэлементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведениемэлементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельнымиглавной диагонали.
Слагаемые сминусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.
Это правиловычисления определителя третьего порядка называют
п р а в и ло м т р е у г о л ь н и к о в.
ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:
/>
ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называюттакже д е т е р м и н а н т а м и.
2-ой учебный вопрос СВОЙСТВАОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Приведенныедалее свойства выполняются для определителей любого порядка. Все они могут бытьдоказаны непосредственной проверкой, основанной на правилах вычисленияопределителей.
Свойство 1. Величинаопределителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующимистолбцами.
/>.
Раскрывая оба определителя,убеждаемся в справедливости равенства.
Свойство 1устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому вседальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и длястолбцов.
Свойство 2. Приперестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак напротивоположный, сохраняя абсолютную величину.
/>.
Свойство 3. Общиймножитель элементов строки (или столбца)можно выносить за знакопределителя.
/>.
Свойство 4. Еслиопределитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
/>
Это свойствоможно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.
Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковыхпервой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменятьзнак, т.е.
D = — D Þ 2 D =0 Þ D = 0.
Свойство 5. Есливсе элементы какой–то строки (или столбца)равны нулю, тоопределитель равен нулю.
Это свойствоможно рассматривать как частный случай свойства 3 при
k = 0
Свойство 6. Если элементы двухстрок (или столбцов)определителя пропорциональны, тоопределитель равен нулю.
/>.
Можно доказать непосредственнойпроверкой или с использованием свойств 3 и 4.
Свойство 7. Величинаопределителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца)прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные наодно и то же число.
/>.
Доказывается непосредственной проверкой.
Применениеуказанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисленияопределителей, особенно третьего порядка.
Длядальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения.Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определительвторого порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, напересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента аij обозначается Мij. Так для элемента а11минор
/>
Онполучается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку ипервый столбец.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1)k, где k- сумма номеров строки и столбца,на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическоедополнение элемента аij обозначается Аij.
Таким образом, Аij= />.
Выпишемалгебраические дополнения для элементов а11 и а12.
/>.
/>.
Полезнозапомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно егоминору со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которыхстоит элемент, четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная.
ПРИМЕР. Найти миноры и алгебраическиедополнения для элементов первой строки определителя:
/>
Миноры:
/>
Алгебраические дополнения:
/>
Ясно, чтоминоры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.
Рассмотримбез доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Определитель равен сумме произведенийэлементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Используя этутеорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.
/>.
В развернутомвиде:/>
/>.
Последнююформулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьегопорядка.
Теоремаразложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка квычислению трех определителей второго порядка.
Рекомендуетсяраскладывать определитель по той строке или столбцу, где есть нули, т.к. длянулевых элементов не надо находить алгебраические дополнения.
Теоремаразложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.
ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель, используятеорему разложения.
/>/>/>
использовалиразложения по второй строке.
Теоремаразложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводяих к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка.
Так,определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителейтретьего порядка.
3-ий учебныйвопрос ТЕОРЕМА КРАМЕРА
Применимрассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений.
1. Система двухлинейных уравнений с двумя неизвестными.
/> (3)
Здесь х1,х2– неизвестные;
а11, …, а22 –коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индексозначает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного.
b1, b2– свободные члены.
Напомним, чтопод решением системы (3) понимается пара значений х1, х2,которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства.
В случае,когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощьюопределителей второго порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ5.Определитель,составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
Обозначим определитель системы D.
D = />.
В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х1и при, х2.
Введем два до п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я, которые получаются изопределителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов:
D1 = /> D2 = />.
Рассмотрим без доказательстваследующую теорему:
ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 2)
Еслиопределитель Dсистемы (3)отличен от нуля (D ¹ 0), то система имеет единственноерешение, которое находится по формулам:
/> (4)
Формулы (4) называются формуламиКрамера.
ПРИМЕР. Решить систему по правилу Крамера.
/>
/>
/>.
Ответ: х1= 3; х2 = -1
2. Система трех линейныхуравнений с тремя неизвестными:
/> (5)
В случае единственногорешения систему (5) можно решить с помощью определителей третьего порядка.
Определитель системы D имеет вид:
/>
Введем три дополнительныхопределителя:
/>.
Аналогично формулируется теорема.
ТЕОРЕМАКРАМЕРА (для случая n= 3)
Если определитель D системы (5) отличен от нуля, тосистема имеет единственное решение, которое находится по формулам:
/>
(6)
Формулы ( 6 ) – этоформулы Крамера.
ЗАМЕЧАНИЕ. Г. Крамер (1704 – 1752) – швейцарскийматематик.
Заметим, что теоремаКрамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когдаопределитель системы Dотличен от нуля.
Если определитель системыравен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметьбесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можноподробно познакомиться в рекомендуемой литературе.
Отметим только одинслучай:
Если определитель системыравен нулю (D = 0), а хотябы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений неимеет (т.е. является несовместной).
Теорему Крамера можнообобщать для системы n линейныхуравнений с nнеизвестными.
/>
Если />/>, то единственное решениесистемы находится по
формулам Крамера: />
Дополнительныйопределитель /> получается изопределителя D, если в немстолбец коэффициентов при неизвестном
xi заменить столбцом свободных членов.
Заметим, чтоопределители D, D1, …, Dn имеют порядок n.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На лекции рассмотрена новое понятие –определитель, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков,часто встречающиеся на практике. Для определителя третьего порядка приводятсядва способа вычисления. Рассмотрена теорема Крамера, которая дает практическийспособ решения систем линейных уравнений, для случая, когда решениеединственное. Более подробно с этой темой можно познакомиться в рекомендуемойлитературе.