СОДЕРЖАНИЕ
/>/>/>/>/>/>ВВЕДЕНИЕ
1 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМСВОЙСТВ ФУНКЦИИ
2.1 Использованиемонотонности функции
2.2 Использованиеограниченности функции
2.3 Использованиепериодичности функции
2.4 Использованиечетности функции
2.5 Использование ОДЗфункции
3 НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕСПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
3.1 Умножение уравненияна функцию
3.2 Угадывание корняуравнения
3.3 Использованиесимметричности уравнения
3.4 Исследованиеуравнения на промежутках действительной оси
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Невсякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощьюудачной замены переменной может быть сведено к уравнению (неравенству) того илииного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения.В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения,речь о которых и пойдет в ходе данной работы. Выше сказанное определяетактуальность курсовой работы. Объект исследования – уравнения и неравенства, неподдающиеся решению с помощью стандартных методов, или отличающиесягромоздкостью стандартного решения.
Цельюданной работы является ознакомление с нестандартными методами решения уравненийи неравенств.
Длядостижения поставленной цели в данной работе решались следующие задачи:
1. Собрать сведения из историиматематики о решении уравнений.
2. Рассмотреть и применить на практикеметоды решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойствфункции.
3. Рассмотреть и применить на практикедополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств
Практическаязначимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных уравненийили неравенств следует идти по «накатанной колее», пытаясь найти решение «влоб»: достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежатьсложных вычислений и преобразований. Курсовая работа состоит из введения, трехглав и списка использованных источников. В первой главе приведены некоторыесведения из истории математики о решении уравнений. Во второй главе рассмотреныметоды решения, основанные на использовании свойств функции. Третья главапосвящена рассмотрению дополнительных (искусственных) методов решения.
/>/>/>/>/>/>1 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Уравнения и системы уравненийматематики умели решать очень давно. В «Арифметике» греческого математика изАлександрии Диофанта (IIIв.) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался рядзадач, решаемых при помощи составления уравнений. Есть в ней такая задача:
«Найти два числа по их сумме 20 ипроизведению 96». [16]
Чтобы избежать решения квадратногоуравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой икоторое тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа 10 + х и10-х (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение 100-х2= 96, для которого указывал лишь положительный корень 2.
Задачи на квадратные уравнениявстречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н. э.
Квадратные уравнения классифицируютсяв трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммедааль-Хорезми (787 — ок. 850). В нем рассмотрены и решены (в геометрическойформе) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены сположительными коэффициентами. При этом рассматривались только положительныекорни уравнений.
В работах европейских математиков XIII — XVI вв. даются отдельные методы решения различных видов квадратныхуравнений. Слияние этих методов в общее правило произвел немецкий математикМихаэль Штифель (1487 — 1567), который рассматривал уже и отрицательные корни.
В самом известном российском учебнике«Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669—1739) имелось немало задач наквадратные уравнения. Вот одна из них:
«Некий генерал хочет с 5000 человекбаталию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колико онаябаталия будет иметь в лице и в стороне?», т. е. сколько солдат надо поставитьпо фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было в 2 разабольше числа солдат, расположенных им «в затылок»?
В древневавилонских текстах (3000 —2000 лет до н. э.) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью системуравнений, содержащих и уравнения второй степени. Приведем одну из них:
«Площади двух своих квадратов ясложил: 25/>. Сторона второго квадрата равна /> стороны первого и еще 5».
Соответствующая система в современнойзаписи имеет вид:
/>
Эту задачу вавилонский автор решаетправильно методом, который мы теперь называем методом подстановки, но он еще непользовался алгебраической символикой.
В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603),служивший шифровальщиком при дворе французского короля, впервые ввел буквенныеобозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, т. е.коэффициентов уравнений. Ф. Виет для обозначения нерасшифрованных букв вдонесениях противника использовал редкие буквы латинского алфавита х, у и z, что и положило начало традиции обозначать неизвестные вуравнениях буквами х, у и z. Особенно ценил Виет открытые имформулы, которые теперь называются формулами Виета. Однако сам Виет признавалтолько положительные корни.
Лишь в ХVII в. после работ Декарта, Ньютона и других математиковрешение квадратных уравнений приняло современный вид.
Вернемся в начало XVI в. Тогда профессор математики болонскогоуниверситета Сципион дель Ферро (1465—1526) впервые нашел алгебраическоерешение уравнения третьей степени вида
x3+px=q, (1)
где р и q – числа положительные.
Это открытие, по обычаям тоговремени, профессор держал в строгом секрете. О нем знали лишь два его ученика,в том числе некий Фиоре. Утаивание математических открытий тогда было обычнымявлением, так как в Италии практиковались математические диспуты-поединки. Намноголюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения наместе или в определенный срок. Чаще всего это были задачи по алгебре, которуюназывали тогда великим искусством. Побеждал тот, кто решал больше задач.Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и могзанять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемоеместо. Вот почему участнику диспута было важно обладать неизвестным другималгоритмом решения некоторых задач.
После смерти профессора дель Ферроего ученик Фиоре, который сам не был глубоким математиком, вызвал на публичныйдиспут одного из виднейших математиков того времени Никколо Тарталья(1499—1557). Готовясь к диспуту, Тарталья открыл формулу для нахождения корнейкубических уравнений в радикалах, так как предполагал, что Фиоре уже обладал этойформулой. Позднее Тарталья писал: «Я приложил все свое рвение, усердие иуменье, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благодаряблагословенной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до срока».
Диспут состоялся 20 февраля 1535 г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, а Фиоре не смогрешить ни одной из 30 задач, предложенных Тартальей. После диспута Тартальястал знаменитым во всей Италии, но продолжал держать открытую формулу всекрете.
Другой итальянский математик Джерол.но (1501 — 1576) узнал от Тартальи правило решения кубического уравнения (1) идал «священную клятву», что никому не раскроет этой тайны. Правда, Тартальялишь частично раскрыл свою тайну, но Кардано, познакомившись с рукописямипокойного профессора дель Ферро, получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал знаменитый свой труд «О великом искусстве, или об алгебраических вещах, водной книге», где впервые опубликовал формулу для решения уравнения (1), акубическое уравнение общего вида предлагал свести к уравнению (1).
После выхода в свет этой книгиКардано был обвинен Тартальей в нарушении клятвы, но формула, открытая дельФерро и Тартальей, и по сей день называется формулой Кардано.
Такова полная драматизма историяоткрытия формулы корней кубического уравнения (1).
В той же книге Кардано привелалгебраическое решение уравнения четвертой степени. Это открытие сделал один изего учеников Лудовико Феррари (1522 — 1565). После этого начались настойчивыепоиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней кизвлечению корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трехстолетий, и лишь в начале XIX в.норвежский ученый Нильс Хенрик Абель (1802 —1829) и французский ученый ЭваристГалуа (1811 —1832) доказали, что уравнения степеней выше четвертой в общемслучае в радикалах не решаются.
Математик и философ Рене Декарт (1596—1650) впервые сформулировал в своей книге «Геометрия» основную теорему алгебрыо числе корней уравнения n-йстепени. При этом Декарт допускал существование не только истинных(положительных) и ложных (меньших, чем ничего, т. е. меньших нуля —отрицательных) корней, но и воображаемых, мнимых (у Декарта — imaginaires), т. е. комплексных корней.
Еще в древности математики в процессерешения задач сталкивались с извлечением корня квадратного из отрицательногочисла; в этом случае задача считалась неразрешимой. Однако постепенновыяснялось, что решение многих задач, задаваемых в действительных числах,получает простое объяснение при помощи выражений a + bi, где i2 = -1, которые в конце концов тоже стали называть числами, ноуже комплексными. Первое обоснование простейших действий над комплекснымичислами дал итальянский математик Раффаэле Бомбелли (ок. 1530 —1572) в 1572 г., хотя еще долгое время к комплексным числам относились как к чему-то сверхъестественному.
Академик Петербургской академии наукЛеонард Эйлер (1707 —1783) внес существенный вклад в вопросы теории комплексныхчисел. После его работ комплексные числа получили окончательное признание какпредмет и средство изучения. Само название «комплексное число» было предложенов 1831 г. немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 — 1855).
В настоящее время комплексные числашироко употребляются во многих вопросах физики и техники.
Выше речь шла об алгебраическихуравнениях, т. е. уравнениях f(x) = O, где f(x) —многочлен относительно х.
Кроме алгебраических уравнений, естьеще и трансцендентные уравнения: показательные, логарифмические,тригонометрические и др. Решение трансцендентных уравнений, а также неравенствсущественно опирается на свойства функций, которые изучаются в математикеотносительно недавно.
Особое место среди алгебраическихуравнений занимают так называемые диофантовы уравнения, т. е. уравнения, вкоторых неизвестных больше одной.
Наиболее известными из них являютсялинейные диофантовы уравнения. Примеры задач, приводящих к линейным диофантовымуравнениям, находим в сборнике задач монаха Алькуина, приглашенного в 795 г. Карлом Великим преподавать в первую из известных школ в г. Аахен. Вот эта задача:
«100 шеффелей (денежных единиц)разделили между мужчинами, женщинами и детьми (число персон 100) и дали приэтом мужчинам по 3 шеффеля, женщинам по 2 и детям по /> шеффеля. Сколько было мужчин,женщин и детей?»
Обозначив количество мужчин за х, количествоженщин за у, мы придем к уравнению
Зх + 2y+/>(100-х-y)= 100
Общего решения линейных диофантовыхуравнений в те времена еще не знали и довольствовались лишь несколькимирешениями, удовлетворяющими условию задачи. У самого Алькуина было приведенолишь одно решение этой задачи: мужчин, женщин и детей было 11, 15 и 74, азадача имеет 784 решения в натуральных числах.
Задачи, приводящие к линейнымдиофантовым уравнениям, имелись у Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1180 —1240), в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.
Известное диофантово уравнениеПифагора (VI в. до н. э.) х2 + у2=z2 решают в натуральных числах. Его решениями служат тройки чисел (х; у; z):
x = (m2-n2)l, y = 2mnl, z = (m2 + n2)l,
где т, п, l — любыенатуральные числа (т> п). Эти формулы помогают находить прямоугольныетреугольники, длины сторон которых являются натуральными числами.
В 1630 г. французский математик Пьер Ферма (1601 — 1665) сформулировал гипотезу, которую называютвеликой (или большой) теоремой Ферма: «Уравнение хп + уп= zn для натурального п ≥ 3 не имеетрешений в натуральных числах». Ферма не доказал свою теорему в общем случае, ноизвестна его запись на полях «Арифметики» Диофанта: «… невозможно куб записатьв виде суммы двух кубов, или четную степень в виде суммы таких же степеней, иливообще любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзязаписать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительноедоказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы егоуместить». Позднее в бумагах Ферма было найдено доказательство его теоремы дляп= 4. С тех пор более 300 лет математики пытались доказать великую теоремуФерма. В 1770 г. Л.Эйлер доказал теорему Ферма для п = 3, в 1825 г. Адриен Лежандр (1752 1833) и Петер Дирихле (1805 — 1859) — для п = 5. Доказательство великойтеоремы Ферма в общем случае не удавалось долгие годы. И только в 1995 г. Эндрю Вайлс доказал эту теорему.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ
Невсякое уравнение f(x) = g(x) или неравенствов результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может бытьсведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, длякоторого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногдаоказывается полезным использовать некоторые свойства функций, такие какмонотонность, периодичность, ограниченность, четность и др.
2.1 Использование монотонности функции
Функция f (x)называется />возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1
Функция f (x)называется />убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 f (x2).
На показанном на рисунке 1 графике
/>
Рисунок 1
Функция y = f (x), />, возрастает на каждом изпромежутков [a; x1) и(x2; b] и убывает напромежутке (x1; x2).Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a; x1) и (x2; b], но не на объединении промежутков />
Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке,то она называется />монотонной на этомпромежутке.
Заметим, что если f – монотонная функцияна промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = constне может иметь более одного корня на этом промежутке.
Действительно, если x1
Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, чтовсе функции определены на некотором промежутке D).
· Сумма несколькихвозрастающих функций является возрастающей функцией.
· Произведениенеотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
· Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c
· Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция /> убывает.
· Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn где n/>N, также возрастает.
· Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает.
· Композиция g (f (x))возрастающих функций f и g такжевозрастает.
Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающейфункции.
Точка a называется точкой />максимума функции f, если существуеттакая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).
Точка a называется точкой />минимума функции f, если существуеттакая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).
Точки, в которых достигается максимум или минимум функции,называются />точками экстремума.
В точке экстремума происходит смена характера монотонностифункции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа –убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкойобласти определения.
Если для любого /> (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a) />, то точкаa называется />точкойнаибольшего значения функции на множестве D:
/>
Если для любого /> (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b) />, то точкаb называется />точкойнаименьшего значения функции на множестве D.
/>
Точка наибольшего или наименьшего значения функции намножестве D может быть экстремумом функции, но необязательно им является.
Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной наотрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений наконцах отрезка.
Решение уравнений и неравенств с использованием свойствамонотонности основывается на следующих утверждениях.
1.Пусть f(х) — непрерывная и строго монотоннаяфункция на промежутке Т, тогда уравнение f(x) = С, где С — данная константа,может иметь не более одного решения на промежутке Т.
2.Пусть f(x) и g(х) — непрерывные на промежутке T функции, f(x) строго возрастает, а g(х) строго убывает на этомпромежутке, тогда уравнение f(х) ==g(х) может иметь не более одногорешения на промежутке Т. Отметим, что в качестве промежутка T могут быть бесконечный промежуток (-∞;+∞), промежутки (а;+∞), (-∞; а), [а;+∞), (-∞; b], отрезки, интервалы и полуинтервалы.
Пример2.1.1 Решите уравнение
/>. [28] (1)
Решение.Очевидно, что х ≤ 0 не может являться решением данного уравнения, так кактогда />. Длях > 0 функция /> непрерывна и строго возрастает,как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих хфункций f(x) = х и />. Значит, в области х > 0функция /> принимаеткаждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х = 1 являетсярешением данного уравнения, следовательно, это его единственное решение.
Ответ:{1}.
Пример2.1.2Решите неравенство
/>. (2)
Решение.Каждая из функций у = 2x,у = 3x, у = 4х непрерывная истрого возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция />. Легковидеть, что при х = 0 функция /> принимает значение 3. В силу непрерывности и строгоймонотонности этой функции при х > 0 имеем />, при х . Следовательно, решениями данного неравенстваявляются все х
Ответ:(-∞; 0).
Пример2.1.3 Решите уравнение
/>. (3)
Решение.Область допустимых значений уравнения (3) есть промежуток />. На ОДЗ функции /> и /> непрерывны истрого убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция />. Поэтому каждое своезначение функция h(x) принимает только в одной точке. Таккак, /> тох = 2 является единственным корнем исходного уравнения.
Ответ:{2}.
2.2 Использование ограниченностифункции
При решении уравнений и неравенств свойство ограниченностиснизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.
Если существует число C такое, что длялюбого /> выполняетсянеравенство f (x) ≤ C, то функция f называется />ограниченной сверху на множестве D (рисунок 2).
/>
Рисунок 2
Если существует число c такое, что длялюбого /> выполняетсянеравенство f (x) ≥ c, то функция f называется />ограниченной снизу на множестве D (рисунок 3).
/>
Рисунок 3
Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называетсяограниченной на множестве D. Геометрически ограниченностьфункции f на множестве D означает,что график функции y = f (x), /> лежит в полосе c ≤ y ≤ C (рисунок 4).
/>
Рисунок 4
Если функция не является ограниченной на множестве, тоговорят, что она не ограничена.
Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси,является функция y = x2.Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) являетсяфункция y = 1/x. Примеромфункции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.
Пример2.2.1 Решите уравнение
sin(x3+ 2х2 + 1) = х2 + 2х + 2. (4)
Решение.Для любого действительного числа х имеем sin(x3 + 2х2 +1) ≤ 1, х2 + 2х + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая частьуравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, тоданное уравнение может иметь решение только при />.
При/> />, />, т.е. при /> уравнение (4)так же корней не имеет .
Ответ:Ø.
Пример2.2.2 Решите уравнение
/>. (5)
Решение.Очевидно, что х = 0, х = 1, х = -1 являются решениями данного уравнения. Длянахождения других решений в силу нечетности функции f(х) = = x3 — x — sin πx достаточнонайти его решения в области х > 0, х ≠ 1, поскольку если x0> 0 является его решением, то и (-x0) также является его решением.
Разобьеммножество х > 0, х ≠ 1, на два промежутка: (0; 1) и (1; +∞)
Перепишемначальное уравнение в виде x3 — x = sin πx. Напромежутке (0; 1) функция g(х) =x3 — xпринимает только отрицательные значения, поскольку х3
Пустьх принадлежит промежутку (1; +∞). Для каждого из таких значений х функцияg(х) = х3 — х принимаетположительные значения, функция h(x) = sin πx принимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2]функция h(x) = sin πx неположительна. Следовательно, напромежутке (1; 2] уравнение решений не имеет.
Еслиже х > 2, то |sin πx| ≤ 1, x3 — x = x(x2 — 1) > 2∙3 = 6, а это означает, что и на промежутке (1; +∞)уравнение также не имеет решений.
Итак,x = 0, x = 1 и x = -1 и только они являются решениями исходного уравнения.
Ответ:{-1; 0; 1}.
Пример2.2.3 Решите неравенство
/>. (6)
Решение.ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме x = -1. Разобьем ОДЗ неравенствана три множества: -∞
Пусть-∞ 0.Следовательно, все эти x являются решениями неравенства.
Пусть-1 , а f(x) = 2x≤1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.
Пусть0 , a />. Следовательно, все эти xявляются решениями исходного неравенства.
Ответ:/>.
2.3 Использование периодичности функции
Функция f (x)называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:
· если />, то x + T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));
· для любого /> выполненоравенство
f (x + T) = f (x).
Поскольку /> то из приведенного определенияследует, что
/>
Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где />, n ≠ 0, также является периодом этой функции.
Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее изположительных чисел T, являющихся периодом данной функции.
/>
График периодической функции
/>
График периодической функции обычно строят на промежутке [x0; x0 + T), а затем повторяют на всю область определения.
Хорошим примером периодических функций могут служитьтригонометрические функции y = sin x, y = cos x(период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = constтакже является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0.
В заключение отметим свойства периодических функций. [19]
· Если f (x) – периодическая функция спериодом T, то функция
g (x) = A · f (kx + b)
гдеk ≠ 0 также является периодической спериодом />.
· Пустьфункции f1 (x) и f2 (x) определены на всейчисловой оси и являются периодическими с периодами T1 > 0и T2 > 0. Тогда если /> то функция /> периодическаяс периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел T1 и T2.
Пример 2.4.1 Функция /> периодическая с периодом T = 5. Известно, что />. Найдите
/>
Решение. Преобразуем отдельно каждое слагаемое:
/>
/>
/>
Тогда />
Ответ:2.
Пример 2.4.2 [24] Найдите период функции
/>
Решение. Преобразуем данное выражение:
/>
/> имеет период />;
/> имеет период />.
Тогдафункция /> имеетпериод
/>
Ответ:π.
Пример 2.4.3 Пусть /> — периодическая функция с периодом3 такая, что
/>; />.
Решитеуравнение:
/> (7)
Графикфункции /> намножестве [0;3) изображен на рисунке 3:
y
x />
Рисунок5
Т.к.3 — период функции />, то />, тогда уравнение (7) примет вид />, рассмотримдва случая.
1)пусть />,т.е. />,тогда уравнение примет вид:
/>/>/>, значит />и значит/>, />
2)пусть/>то />, тогда /> уравнениепримет вид:
/>; итак />, />
т.е./>, />.
Ответ:/>.
2.4 Использование четности функции
Функция f (x)называется четной, если для любого /> выполняются равенства:
1) />,
2) f (–x) = f (x).
График четной функции на всей области определения симметриченотносительно оси OY. Примерами четных функций могутслужить y = cos x, y = |x|, y = x2 + |x|
/>
График четной функции />
Функция f (x)называется нечетной, если для любого /> выполняются равенства:
1) />,
2) f (–x) = –f (x).
Иными словами функция называется нечетной, если ее график навсей области определения симметричен относительно начала координат. Примераминечетных функций являются y = sin x, y = x3.
/>
График нечетной функции />
Не следует думать, что любая функция является либо четной,либо нечетной. Так, функция/>не является ни четной, нинечетной, так как ее область определения /> несимметрична относительно началакоординат. Область определения функции y = x3 + 1 охватывает всю числовую ось ипоэтому симметрична относительно начала координат, однако f (–1) ≠ f (1). А это значит, что функция не является ни четной, нинечетной, т. е. является функцией общего вида (ФОВ).
Если область определения функции симметрична относительноначала координат, то эту функцию можно представить в виде суммы четной инечетной функций.
Таковой суммой является функция
/>
Первое слагаемое является четной функцией, второе – нечетной.
Сравнительная иллюстрация функций разной четности изображенана рисунке 6
ФОВ />
Рисунок 6 mathematics.ru/courses/function/design/images/buttonModel_h.gif
Исследование функций на четность облегчается следующимиутверждениями.
· Сумма четных (нечетных)функций является четной (нечетной) функцией.
· Произведение двухчетных или двух нечетных функций является четной функцией.
· Произведениечетной и нечетной функции является нечетной функцией.
· Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна(нечетна).
Пример2.4.1 Может ли при каком-нибудь значении а уравнение
2x8– 3аx6 + 4x4 – аx2 = 5
иметь5 корней?
Решение.Обозначим f(x) = 2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2.f(x) – функция четная, поэтому, если x0– корень данного уравнения,то -x0– тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном ачетно, поэтому 5 корней оно иметь не может.
Ответ:не может.
2.5 Использование ОДЗ функции
Областьопределения функции — это множество всех допустимых действительных значенийаргумента x (переменной x), при которых функция /> определена. Область определенияиногда еще называют областью допустимых значений функции(ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие иустановить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональнуюстепень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательнымичислами и т. п.).
Иногдазнание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеетрешений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственнойподстановкой чисел из ОДЗ.
Пример2.5.1 Решите уравнение
/>. (8)
Решение.ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям /> и />, т. е. ОДЗесть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так какустановлено, что ни одно число не может являться решением, т. е. что уравнениене имеет корней.
Ответ:Ø.
Пример2.5.2 Решите уравнение
/>. (9)
Решение.ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям />, />, />, т. е. ОДЗесть />.Подставляя эти значения х в уравнение (9), получаем, что его левая и праваячасти равны 0, а это означает, что все />, являются его решениями.
Ответ:/>
Пример2.5.3 Решите неравенство
/>. (10)
Решение.ОДЗ неравенства (10) есть все х, удовлетворяющие условию />. Ясно, что х = 1 неявляется решением неравенства (10). Для х из промежутка /> имеем />, а />. Следовательно, все хиз промежутка /> являются решениями неравенства (10).
Ответ:/>.
Пример2.5.4 [26] Решите неравенство
/>. (11)
Решение.ОДЗ неравенства (11) есть все х из промежутка />. Разобьем это множество на двапромежутка /> и/>.
Длях из промежутка /> имеем />, />. Следовательно, /> на этом промежутке, ипоэтому неравенство (11) не имеет решений на этом промежутке.
Пустьх принадлежит промежутку />, тогда /> и />. Следовательно, /> для таких х, и, значит,на этом промежутке неравенство (11) также не имеет решений.
Итак,неравенство (11) решений не имеет.
Ответ:Ø.
3 НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Существуюти другие нестандартные методы решения уравнений и неравенств, помимоиспользования свойств функции. Данная глава посвящена дополнительным методамрешения.
3.1 Умножение уравнения на функцию
Иногдарешение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обеего части на некоторую функцию — многочлен от неизвестной. При этом надопомнить, что возможно появление лишних корней — корней многочлена, на которыйумножали уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней,и получать равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, итогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение иустановить, является ли это число его корнем.
Пример3.1.1 Решите уравнение
/>. (1)
Решение.Умножив обе части уравнения на многочлен />, не имеющий корней, получимуравнение
/>, (2)
равносильноеуравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде
/>. (3)
Ясно,что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому и уравнение (1) их неимеет.
Ответ:Ø.
Пример3.1.2 [19] Решите уравнение
/>. (4)
Решение.Умножив обе части этого уравнения на многочлен />, получим уравнение
/>/>, (5)
являющеесяследствием уравнения (4), так как уравнение (5) имеет корень />, не являющийся корнемуравнения (4).
Уравнение(5) есть симметрическое уравнение четвертой степени. Поскольку /> не является корнемуравнения (5), то, разделив обе его части на /> и перегруппировав его члены,получим уравнение
/> (6)
равносильноеуравнению (5). Обозначив />, перепишем равнение (6) в виде
/>. (7)
Уравнение(7) имеет два корня: /> и />. Поэтому уравнение (6)равносильно совокупности уравнений
/> и />.
Решивкаждое из этих уравнений, найдем четыре корня уравнения (6), а тем самым иуравнения (5):
/>, />, />, />
Таккак корень /> являетсяпосторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет трикорня: x1, x2, x3.
Ответ:/>
3.2 Угадывание корня уравнения
Иногдавнешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.
Пример3.2.1 Решите уравнение
/>. (8)
Решение.Перепишем уравнение (8) в виде:
/>. (9)
Извнешнего вида этого уравнения очевидно, что х = 12 есть его корень. Длянахождения остальных корней преобразуем многочлен
/>
/>
Таккак многочлен /> не имеет корней, то исходноеуравнение имеет единственный корень х = 12.
Ответ:{12}.
Пример3.2.2. Решите уравнение
/> (10)
Решение.Легко заметить, что /> и /> являются решениями этого уравнения.После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное. А этоозначает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этогоуравнения найдены, то тем самым оно и решено.
Ответ:/>
3.3 Использование симметричности уравнения
Иногдавнешний вид уравнения — некоторая его симметричность — подсказывает способрешения уравнения.
Пример3.3.1Решите уравнение
/>. (11)
Решение.Очевидно, что внешний вид уравнения подсказывает, что один из корней уравнения (11)есть />.Однако найти остальные корни этого уравнения здесь не так просто. Перепишемуравнение (11) в несколько ином виде.
Посколькусправедливы тождественные равенства
/>
/>,
тоуравнение (11) можно переписать так:
/>. (12)
Теперьочевидно, что если /> ― корень уравнения (12), то/> такжекорень уравнения (12), поскольку
/>. (13)
Покажем,что если />,есть корень уравнения (11), то /> также есть корень этогоуравнения.
Действительно,так как
/>
тоотсюда и вытекает это утверждение.
Итак,если />, ―корень уравнения (11), то оно имеет еще корни
/>, />, />, />,
т.е. уравнение (11) имеет корни
/>, />, />, />, />, />.
Посколькууравнение (11) есть алгебраическое уравнение шестой степени, то оно имеет неболее шести корней. Таким образом, мы нашли все корни уравнения (11).
Ответ:/>
3.4 Исследование уравнения на промежуткахдействительной оси
Иногдарешения уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках.
Пример3.4.1 Решите уравнение
/>. (14)
Решение.Перепишем уравнение в виде /> или, используя формулу разности
/>, (15)
ввиде
/>. (16)
Отсюдавидно, что один из корней данного уравнения есть />. Докажем, что уравнение
/> (17)
решенийне имеет.
Разобьемчисловую ось на промежутки
/>
Длялюбого x из промежутка /> имеем, что левая частьуравнения (17) положительна, поэтому на этом промежутке уравнение решений неимеет.
Поскольку
/>
/>,
тодля любого х из промежутка /> этот многочлен положителен. Этоозначает, что на промежутке /> уравнение (17) также не имеетрешений.
Поскольку
/>
/>,
тодля любого x из промежутка /> этот многочлен положителен.Следовательно, и на промежутке /> уравнение (17) не имеет решений.
Итак,данное уравнение (17) имеет единственное решение />.
Ответ:{1}.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессеисследования цель курсовой работы достигнута, полностью решены поставленныезадачи и получены следующие результаты и выводы:
1. Приведены сведенияо давности постановки перед человеком задачи решения уравнений и неравенств.
2. Приведены ирассмотрены на примере методы решения уравнений и неравенств, основанные наиспользовании свойств функции.
3. Рассмотрены иопробованы дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств.
Продолжениеисследования может заключаться в изучении применения свойств синуса и косинуса,применении производной, использовании числовых неравенств, использованииграфиков и других нестандартных способов решения уравнений и неравенств.
СПИСОК использованных источников
1. Абылкасымова А.Е. «Алгебра 10 класс», Мектеп, 2006 г.
2. Алилов М. А.,Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа». Пробный учебник для 10-11 кл.средней школы. М.: «Просвещение», 2002 г.
3. Болтянский В. Г.,Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. «Лекции и задачи по элементарной математике», М.:Изд. «Наука», 1974 г.
4. Газета «Математика»№20, 2008 г.
5. Голубев В. И.«Решение сложных и нестандартных задач по математике», 1995 г.
6. Горштейн П. И.«Задачи с параметрами», М. «Илекса», 1999 г.
7. Гусев В. А.,Мордович А. Г. «Математика. Справочные материалы» Книга для учащихся М.:«Просвещение», 1990 г.
8. Далингер В. А.«Нестандартные уравнения и методы их решения», Омск, 1995 г.
9. Жафяров А. Ж.«Профильное обучение старшеклассников», 2001 г.
10. Журнал «Математика в школе», 1999-2007 г.
11. Ивлев Б. М., Абрамов А. М., ДудницынЮ. П., Швардцбурд С. И. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началаманализа», М: «Просвещение», 1990 г.
12. Ковалева Г. И., Конкина Е. В.«Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2008 г.
13. Кравцев С. В. «Методы решения задачпо алгебре», М. «Оникс», 2001г.
14. Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задачпо математике», 2003 г.
15. Кушнир А. И. «Математическаяэнциклопедия», Киев «Астарта», 1995 г.
16. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г.«Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия», 1991 г.
17. Мордкович А. Г. «Алгебра и началаанализа», М.: Высшая школа, 1995 г.
18. Олехник С. Н., Потапов М. К., ПасиченкоП. И. «Нестандартные методы решения», 1992 г.
19. Письменский Д. Т. «Математика длястаршеклассников». Издательство, «Айрис». М., 1996 г.
20. Постникова, С. Я. «Уравнения спараметрами на факультативных занятиях», 2002 г.
21. Потапов М. К. «Уравнения инеравенства. Нестандартные методы решения» М. «Дрофа», 2002 г.
22. С. А. Барвенов «Методы решенияалгебраических уравнений», М. «Аверсэв», 2006 г.
23. Сканави М. И. «Сборник задач дляпоступающих в ВУЗы», М. «Высшая школа», 1988г.
24. Супрун В. П. «Нестандартные методырешения задач по математике» Минск «Полымя», 2000 г.
25. Теляковский С. Л. «Алгебра». Учебникдля 9 кл. общественных учреждений. М.: «Просвещение», 1995 г.
26. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Какнаучиться решать задачи» Книга для учащихся старших классов средней школы. М.:«Просвещение», 1987 г.
27. Шабунин. М. И. «Пособие по математикедля поступающих в вузы», 2005г.
28. Шыныбеков А. Н. «Алгебра 10 класс»,Атамура, 2006 г.
ПРИЛОЖЕНИЕ
/>Задачи для самостоятельного решения:
1. Докажите, чтоследующее уравнение не имеет решений:
a. />.
b. />.
c. />.
d. />.
e. />
2. Решите уравнение:
a. />
Ответ:{0}.
b. />.
Ответ: {2}.
c. />.
Ответ: {-1}.
d. />.
Ответ: {2}.
e. />.
Ответ: {1}.
f. />.
Ответ: {1; -2}.
g. />
Ответ: />.
h. />.
Ответ: />
3. Решитенеравенство:
a. />.
Ответ: />.
b. />.
Ответ: />.
c. />.
Ответ: />.
d. />.
Ответ: />.
e. />.
Ответ: />/>