Еще новый «метод половины констант» Алексея Юрьевича Виноградова
для решения краевых задач.
www.Vinogradov-math.narod.ru
Автор: Алексей Юрьевич Виноградов (1970 года рождения, красный диплом МГТУ им. Баумана 1993 года, кандидат физ-мат наук 1996 года).
Метод придуман утром 12 июля 2006 года и этот метод может быть полезен тем, кто хочет защитить диссертацию на компьютерном обсчёте этого самого метода. Метод прост и понятен. Частично он базируется на материалах странички www.VinogradovAlexei.narod.ru.
1. Введение — краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено для выпускников вузов).
В матричном виде система линейных дифференциальных уравнений записывается так:
Y(x)’=A(x)·Y(x) + F(x),
где Y(x) — вектор-столбец искомых функций, Y(x)’ — вектор-столбец производных искомых функций, A(x) — квадратная матрица коэффициентов, F(x) – вектор внешних воздействий на систему.
Здесь для простоты рассуждений и для незагроможденности формул будем рассматривать однородную систему дифференциальных уравнений:
Y(x)’=A(x)·Y(x),
но метод справедлив и для неоднородной системы.
Условия на левом крае записываются в виде:
L·Y(0) = L,
где Y(0) — вектор-столбец значений функций Y(x) на левом крае x=0, L — вектор-столбец «правой части» краевых условий левого края, L — прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края.
Аналогично записываются условия на правом крае:
R·Y(1) = R,
где Y(1) — вектор-столбец значений функций Y(x) на правом крае x=1, R — вектор-столбец «правой части» краевых условий правого края, R — прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края.
В книге «Теория матриц» Гантмахера можно посмотреть, что решение однородной (без правой части) системы дифференциальных уравнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом. Для обозначения можно использовать букву К или выражение K(х¬0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных уравнений.)
Y(x)=K(х¬0)·Y(0),
где K(х¬0)=exp(Ax)
при условии, что матрица A=constant.
При условии, что матрица Aне константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу:
Y(x)=K(х¬0)·Y(0),
где K(х¬0)=K(х4¬x3) · K(х3¬x2)· K(х2¬x1)· K(х1¬0),
где K(хj¬xi)=exp(A(xi)x),
то есть интервал интегрирования разбивается на участки и на участках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте.
2. Про половину констант.
Предположим, что решается краевая задача об оболочке ракеты. Это цилиндрическая оболочка и размерность задачи равна 8. То есть система дифференциальных уравнений имеет размерность 8, то есть 8 уравнений. То есть эта система дифференциальных уравнений будет состоять из 8-ми уравнений и матрица А(x) коэффициентов системы дифференциальных уравнений будет иметь размерность 8х8, а векторы Y(x), Y(x)’, F(x) будут иметь размерность 8х1. Соответственно матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными с размерностью 4х8.
Вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 может состоять полностью из всех 8 линейно-независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений плюс вектор решения неоднородной системы дифференциальных уравнений:
Y(x) = Y1(x)с1 + Y2(x)с2 + Y3(x)с3 + Y4(x)с4 + Y5(x)c5 + Y6(x)c6 + Y7(x)c7 + Y8(x) +Y*(x).
Но решение может искаться в виде с половиной констант, то есть в следующем виде:
Y(x) = Y1(x)с1 + Y2(x)с2 + Y3(x)с3 + Y4(x)с4 +Y*(x)
или
Y(x) = Yматрица(x)· с +Y*(x),
где векторы Y1(x), Y2(x), Y3(x), Y4(x) – это линейно-независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений (системы, где F(x)=0), а вектор Y*(x) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, ас1, с2, с3, с4 — это константы, которые надо вычислить. Здесь Yматрица(x)= |Y1(x),Y2(x),Y3(x),Y4(x)|, а с это вектор |с1, с2, с3, с4|.
3. Метод половины констант Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач.
Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:
L·Y(0) = L,
где матрица Lпрямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.
В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей Lорт (размерности 4х8), у которой будут 4 ортонормированные строки:
Lорт·Y(0) = Lорт,
где в результате ортонормирования вектор Lпреобразован в вектор Lорт.
Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в книгах по численным методам.
Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу Lорт до квадратной матрицы U:
| Lорт |
U = |--------|
| N |,
где матрица Nразмерности тоже 4х8 должна достраивать матрицу Lорт до невырожденной квадратной матрицы U размерности 8х8.
В качестве строк матрицы Nможно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 есть где взять.
Завершим ортонормирование построенной матрицы U, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу Uорт размерности 8х8 с ортонормированными строками:
| Lорт |
Uорт = |--------|
| Nорт |.
Можем записать, что
Yматрица(0) = (Nорт)транспонированная = (Nорт)тр.
Тогда: