Асимптотические методыисследования интегралов с параметром
Курсовая работа
Выполнил: ст-т 4 курса БутаевГ.Н.
Дагестанский государственныйуниверситет
Махачкала 2006
Введение
Многочисленные задачи математики, математическойфизики, механики, техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида
/>
при больших значениях параметра />.
Можно по пальцам пересчитать те случаи, когда такиеинтегралы явно вычисляются.
С другой стороны, при больших значениях параметравычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современнымЭВМ.Единственное, что остается – это попытаться воспользоваться асимптотическимиметодами.
Асимптотические методы, к сожалению, также имеют своиграницы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенноговида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулынастолько просты, что сомневаться в применении именно этих методов неприходится.
1.Основные формулы
Интегралами Лапласа называются интегралы вида
/> , (1.1)
где />-вещественнозначная функция,/>-большойположительный параметр.Функция
/> может принимать комплексныезначения.Будем считать для простоты, что />конечный отрезок и что /> -достаточногладкие при /> функции.Тривиальный
случай /> не рассматривается.
/>
рис.1
Пусть /> и достигается только в точке />.Тогда функция /> имеет максимумв точке />, которыйтем резче, чем больше />(рис.1).Интеграл /> можно приближеннозаменить интегралом по малой окрестности точки максимума />, и это приближениебудет тем точнее, чем больше />.В этой окрестности функции /> можноприближенно заменить по формуле Тейлора, и мы получим интеграл, асимптотика котороголегко вычисляется.Этот метод был предложен Лапласом.
Пусть />.Тогда />; пусть для простоты />.Тогда
/>,
где /> — малое фиксированное число, и
/>, />.
Следовательно,
/>.
Заметим, что />.Последний интеграл равен
/> (/>),
так как
/>/>.
Итак, мы получили асимптотическую формулу
/> (/>). (1.2)
Пример 1.Вычислим интеграл
/>. (/>).
Здесь функция /> на отрезке [-1,1] имеет максимумв точке /> ; также
/>.Все вышеперечисленные условиявыполняются, следовательно можно использовать формулу (1.2).
/> .
Получили формулу:
/>. (/>).
Пример 2.Получим асимптотическое разложениегамма-функции Эйлера
/>
Метод Лапласа непосредственно неприменим к этомуинтегралу, так как функция /> не имеет максимума на данноминтервале.
Представим подинтегральную функцию в виде
/>
и сделаем замену переменной, положив />.Тогда имеем:
/>.
Наш интеграл примет вид:
/>.
Это интеграл Лапласа: здесь /> и />.Функция /> достигает максимума при />, причем />Поэтому поформуле (1.2) получаем
/>
Получили формулу:
/>
Из этой формулы непосредственно следует формулаСтирлинга
/>
так как /> для любого натурального />.
Пусть теперь /> совпадает с одним из концовотрезка, например />, и пусть для простоты />.Заменяя /> интегралом поотрезку /> изаменяя приближенно на этом отрезке функции
/> />, получаем, что
/>
Заметим, что />.Вычисляя последнийинтеграл, получаем
/>, (/>) (1.3)
Пример 3.Вычислим интеграл
/>
Здесь функция /> на отрезке [0,2] имеет максимум вточке />;также
/>Следовательно, можно применитьформулу (1.3):
/>
Получили формулу:
/>
По существу эти две формулы являются основнымиасимптотическими формулами для интегралов Лапласа.Нам удалось получить простыеасимптотические формулы по двум следующим причинам:
1).Подытегральная функция имеет при больших /> резкиймаксимум (т.е. интеграл по отрезку I можно приближенно заменить интегралом помалой окрестности точки максимума).
2).В окрестности точки максимума подынтегральнуюфункцию можно заменить более простой (например, такой, что интеграл от нееберется или его асимптотика легко вычисляется).
2.Простейшие оценки Лемма 1.1. Пусть
/>
и при некотором /> интеграл (1.1) сходитсяабсолютно:
/>.
Тогда имеет место оценка
/>.
3.Лемма Ватсона
Рассмотрим интеграл Лапласа, в котором S-степеннаяфункция
/> (1.4)
где />.Так как в окрестности точкимаксимума S(x) можно приближенно заменить степенной функцией (вообще говоря), товычисление асимптотики интегралов Лапласа (1.1) сводится к вычислениюасимптотики эталонных интегралов (1.4).
Получим асимптотические оценки для /> при />. Лемма 1.2(Ватсона).Пусть />.Тогда при /> справедливо асимптотическоеразложение
/> (1.5)
Главный член асимптотики имеет вид
/> (1.5´)
Пример 4.Вычислим интеграл
/> (/>)
Здесь />, функция /> непрерывна на [0,/>].Применимформулу (1.5´):
/>
Получили формулу:
/> (/>)
4.Вклад от граничной точки максимума (основной случай)
Рассмотрим интеграл Лапласа /> (см.(1.1)).
Теорема 1.1. Пусть /> — конечный отрезок и выполнены условия:
1º./>достигается только в точке />.
2º./>.
3º./>при />, близких к />, и />.
Тогда при /> справедливо разложение
/> (1.6)
Коэффициенты /> имеет вид
/>, /> (1.7)
Главный член асимптотики имеет вид
/>, (/>).
Рассмотрим интеграл
/> (/>).
Пусть при /> имеем /> и функция /> достигает максимуматолько в точке />.Тогда при /> справедлива формула
/>. (1.8)
Пример 5.Вычислим интеграл
/>
Функция /> положительна для любого />; /> и /> достигает максимумана этом отрезке в точке 0.Применяя формулу (1.8), получим
/>
Пусть [a,b]- конечный отрезок />и пусть функция /> достигает
максимума только в точке />.Тогда для интеграла
/> (/>).
справедлива формула
/>
где />, если />; />, если /> совпадает с одним из концовотрезка.
Пример 6. Найдем асимптотику при /> полинома Лежандра
/>
где />.
В данном случае />. Функция /> достигает максимума при
/>/> и /> По последней формуле
находим, что
/>
Пример 7.Покажем, что при />
/>
Здесь />,/>.Применяя последнюю формулу,
получим
/>
5.Вклад от внутренней невырожденной точки максимума
Теорема 1.2. Пусть /> — конечный отрезок и выполненыусловия:
1º./>достигается только в точке />.
2º./>.
3º./>при />, близких к />, и />.
Тогда при /> справедливо разложение
/> (1.9)
Коэффициенты /> имеет вид
/> (1.10)
Главный член асимптотики (1.9) имеет вид
/> (/>).
Теорема 1.3. Пусть все условия теоремы 1.2 выполнены,за исключением одного:/>.
Тогда при /> справедливо разложение
/> (1.11)
Главный член асимптотики имеет вид
/> . (1.12)
Пример 8.Покажем, что при />
/>.
Имеем />, так что интеграл имеет видинтеграла Лапласа (1.1),
где />Функция /> достигает максимума при />, причем
/>
Интеграл выяисляется по формуле (1.12):
/>
Получили формулу:
/>
Пример 9. Покажем, что при />
/>
Воспользуемся тождеством
/>.
Тогда сумма примет вид
/>.
В данном случае />; остается применить теорему 1.3.
6.Программа и численные результаты
Следующая программа вычисляет интеграл по формулеСимпсона и методом Лапласа:
unit Main;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants,Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, ComCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
GroupBox1: TGroupBox;
Label1: TLabel;
Edit1: TEdit;
Label2: TLabel;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
Edit2: TEdit;
Edit3: TEdit;
Edit4: TEdit;
Label5: TLabel;
StatusBar1: TStatusBar;
Button1: TButton;
Button2: TButton;
GroupBox2: TGroupBox;
Panel1: TPanel;
Panel2: TPanel;
Label6: TLabel;
Label7: TLabel;
procedure Edit1MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Edit2MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Edit3MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Edit4MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure FormMouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure Button1MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
procedure Button2MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
x,v,a,b,r,r2,h,eps,lam,lap: extended;
n: integer;
implementation
{$R *.dfm}
procedure TForm1.Edit1MouseMove(Sender:TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите нижнюю границу';
end;
procedure TForm1.Edit2MouseMove(Sender: TObject;Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите верхнюю границу';
end;
procedure TForm1.Edit3MouseMove(Sender:TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите точность для метода Симпсона';
end;
procedure TForm1.Edit4MouseMove(Sender:TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Введите параметр в интеграле Лапласа';
end;
procedure TForm1.FormMouseMove(Sender:TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='';
end;
function f(x,lam:extended):extended; //Подинтегральная функция
begin
f:=(sin(x)+4)*exp(-2*lam*x);
end;
functionsimpson(a,b:extended;n:integer):extended;
var s,h:extended;
m,mn:integer;
begin
h:=(b-a)/n;
s:=f(a,lam)+f(b,lam);
mn:=4;
for m:=1 to n-1 do begin
s:=s+mn*f(a+h*m,lam);
if (mn=4) then mn:=2 else mn:=4;
end;
simpson:=s*h/3;
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender:TObject);
begin
a:=StrToFloat(Edit1.Text);
b:=StrToFloat(Edit2.Text);
eps:=StrToFloat(Edit3.Text);
lam:=StrToFloat(Edit4.Text);
n:=3;
r:=simpson(a,b,n);
repeat r2:=r;
n:=n+2;
r:=simpson(a,b,n); h:=(b-a)/n;
until (abs(r-r2)
Panel1.Caption:=FloatToStr(r);
lap:=2/lam;
Panel2.Caption:=FloatToStr(lap);
end;
procedure TForm1.Button2Click(Sender:TObject);
begin
Close;
end;
procedure TForm1.Button1MouseMove(Sender:TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Вычисление интеграла';
end;
procedure TForm1.Button2MouseMove(Sender:TObject; Shift: TShiftState; X,
Y: Integer);
begin
StatusBar1.SimpleText:='Выход из программы';
end;
end.
/>
Пример 3.Для интеграла
/>
при /> получены результаты:
/>
Пример 1.Для интеграла
/>
получены результаты:
/>
Пример 4.Для интеграла
/>
получены результаты:
/>
Список литературы
Федорюк М.В. «Асимптотика: интегралы и ряды».М.: Наука, 1977.
Для подготовки данной работы были использованыматериалы с сайта referat.ru/