Министерство образования Российской Федерации
государственный технический университет
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания
для студентов-заочников всех специальностей
Одобрено
редакционно-издательским советом
государственного
технического университета
2004
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Перед выполнениемконтрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы курса“Математика”, используя учебную литературу. Список рекомендуемой литературыприведен в методических указаниях. Студент может использовать также учебники иучебные пособия, не включенные в данный список, если эти пособия содержатсоответствующие разделы учебного курса.
Контрольнаяработа выполняется в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указатьназвание учебной дисциплины, номер контрольной работы, а также полностьюфамилию, имя и отчество студента, его адрес, специальность, номер студенческойгруппы, шифр (номер зачетной книжки) и дату отправки работы в институт.
Задачиконтрольной работы выбираются в соответствии с указаниями преподавателя изтаблиц вариантов. Вариант определяется двумя последними цифрами номера зачетнойкнижки. Предпоследняя цифра номера определяет таблицу вариантов, последняяцифра номера определяет столбец в выбранной таблице. Представленная длярецензирования контрольная работа должна содержать все задачи, указанныепреподавателем. Решения задач следует приводить в той последовательности,которая определена в таблице вариантов. Условие каждой задачи должно бытьприведено полностью перед ее решением. Контрольная работа должна быть подписанастудентом.
Зачет поконтрольной работе выставляется по результатам рецензирования и собеседования. Передсобеседованием студент обязан исправить в работе ошибки, отмеченные рецензентом.
Зачет поконтрольным работам является обязательным для допуска к сдаче зачетов иэкзаменов, которые предусмотрены учебным планом.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. -10. Векторыa, b, c,d заданы координатами в некотором базисе. Показать, чтовекторы a, b, cобразуют базис в пространстве, и найти координаты вектора dв этом базисе.
1. a=(3; 2; 2),b=(2; 3; 1),c=(1; 1; 3),d=(5; 1; 11).
2. a=(1; 2; 3),b=(-2; 3; — 2),c=(3; — 4; — 5),d=(6; 20; 6).
3. a=(4; 2; 5),b=(-3; 5; 6),c=(2; — 3; — 2),d=(9; 4; 18).
4. a=(1; 2; 4),b=(1; — 1; 1),c=(2; 2; 4),d=(-1; — 4; — 2).
5. a=(2; 3; 3),b=(-1; 4; — 2),c=(-1; — 2; 4),d=(4; 11; 11).
6. a=(1; 8; 4),b=(1; 3; 1),c=(-1; — 6; — 3),d=(1; 2; 3).
7. a=(7; 4; 2),b=(-5; 0; 3),c=(0; 11; 4),d=(31; — 43; — 20).
8. a=(3; 2; 1),b=(4; — 1; 5),c=(2; — 3; 1),d=(8; — 4; 0).
9. a=(1; 3; 3),b=(-4; 1; — 5),c=(-2; 1; — 6),d=(-3; 5; — 9).
10. a=(1; 5; 3),b=(2; 1; — 1),c=(4; 2; 1),d=(31; 20; 9).
11. -20. Даны координаты точек A1, A2, A3, A4.Известно, что отрезки A1A2,A1A3, A1A4 являются смежными ребрами параллелепипеда. Требуется найти:
длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и A1A3; 3) площадь грани, содержащей вершины A1,A2,A3; 4) объем параллелепипеда; 5) уравнениепрямой, проходящей через вершину A1 вдоль диагоналипараллелепипеда; 6) уравнение плоскости A1A2A3; 7) угол между ребром A1A4 и гранью, содержащей вершины A1,A2,A3; 8) расстояниеот вершины A4 до плоскости A1,A2,A3. Сделатьчертеж.
11. A1(0; 3; 2),A2(-1; 3; 6),A3(-2; 4; 2),A4(0; 5; 4).
12. A1(4; 2; 5),A2(0; 7; 2),A3(0; 2; 7),A4(1; 5; 0).
13. A1(-1; 2; 0),A2(-2; 2; 4),A3(-3; 3; 0),A4(-1; 4; 2).
14. A1(4; 4; 10),A2(4; 10; 2),A3(2; 8; 4),A4(9; 6; 4).
15. A1(2; 2; 3),A2(1; 2; 7),A3(0; 3; 3),A4(2; 4; 5).
16. A1(4; 6; 5),A2(6; 9; 4),A3(2; 10; 10), A4(7; 5; 9).
17. A1(0; — 1; 2),A2(-1; — 1; 6),A3(-2; 0; 2),A4(0; 1; 4).
18. A1(3; 5; 4),A2(8; 7; 4),A3(5; 10; 4),A4(4; 7; 8).
19. A1(3; 0; 2),A2(2; 0; 6),A3(1; 1; 2),A4(3; 2; 4).
20. A1(10; 6; 6),A2(-2; 8; 2),A3(6; 8; 9),A4(7; 10; 3).
21. Даныуравнения двух сторон параллелограмма: x+2y+1=0 и 2x+y-3=0.Центр параллелограмма находится в точке A(1; 2). Найтиуравнения двух других сторон. Сделать чертеж.
22. Даны двевершины треугольника A(2; 1), B(4;9) и точка пересечения высот N(3; 4). Найти уравнениясторон треугольника. Сделать чертеж.
23. Даны двепротивоположные вершины квадрата A(1; 3) и C(-1; 1). Найти координаты двух его других вершин и составитьуравнения сторон. Сделать чертеж.
24. Найтиуравнения сторон треугольника, если заданы его вершина A(1;3) и уравнения двух медиан x-2y+1=0,y-1=0. Сделать чертеж.
25. Известныуравнение одной из сторон квадрата x+3y-3=0и точка пересечения диагоналей N(-2; 0). Найти уравнения остальных ее сторон. Сделатьчертеж.
26. Уравнениябоковых сторон равнобедренного треугольника 2x-y+8=0, x-2y-12=0.Точка N(4; 0) лежит на основании треугольника. Найтиуравнение основания. Сделать чертеж.
27. Найтиуравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2;- 7), а также уравнения высоты 3x+y+11=0и медианы x+2y+7=0, проведенныхиз различных вершин. Сделать чертеж.
28. Точка A(5; — 4) является вершиной квадрата, диагональ котороголежит на прямой x-7y-8=0. Написатьуравнения сторон и второй диагонали этого квадрата. Сделать чертеж.
29. Уравнениеоснования равнобедренного треугольника x+y-1=0, уравнение боковой стороны x-2y-2=0. Точка N(-2; 0) лежит на другой боковой стороне. Найтиуравнение этой стороны. Сделать чертеж.
30. Даныуравнения медиан треугольника 5x+4y=0и 3x-y=0 и одна из его вершин A(-5; 2). Найти уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
31. Составитьуравнение и построить окружность, проходящую через точки A(1;2), B(0; — 1) и C(-3; 0).
32. Составитьуравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A(0; 1) в два раза меньше расстояния ее до прямой y-4=0.
33. Составитьуравнение и построить линию, сумма квадратов расстояний от каждой точки которойдо точек A(-3; 0) и B(3; 0) равна50.
34. Составитьуравнение и построить линию, расстояние от каждой точки которой до точки A(-1; 1) вдвое меньше расстояния до точки B(-4;4).
35. Составитьуравнение и построить линию, сумма расстояний от каждой точки которой до точек A(-2; 0) и B(2; 0) равна 2/>.
36. Составитьуравнение и построить линию, каждая точка которой находится на одинаковомрасстоянии от точки F(2; 2) и оси Ox.
37. Составитьуравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки A(2; 0) и от прямой 5x+8=0 относятсякак 5: 4.
38. Составитьуравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от началакоординат и от точки A(5; 0) относятся как 2: 1.
39. Составитьуравнение и построить гиперболу, проходящую через точку N(9;8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения y=±(2/>/3) x.
40. Составитьуравнение и построить гиперболу, вершины и фокусы которой находятся в соответствующихфокусах и вершинах эллипса 5x2+8y2=40.
41. -50. Криваязадана уравнением в прямоугольной системе координат. Требуется: 1) найтиуравнение кривой в полярной системе координат, полюс которой совмещен с началомпрямоугольной системы координат, а полярная ось – с положительной полуосью Ox; 2) построить кривую по точкам со значениями полярногоугла φk=kπ/16.
41. (x2+y2) 2 = 2(x2-y2); 42. (x2+y2) 2 = 4xy;
43. (x2+y2) 2/4 = x2-y2; `44. (x2+y2) 2 = 8xy;
45. (x2+y2) 2 = 6(x2-y2); 46. (x2+y2) 2 = 2(y2-x2);
47. (x2+y2) 2 = — 4xy; 48. (x2+y2) 2 = 4(y2-x2);
49. (x2+y2) 2 = — 8xy; 50. (x2+y2) 2 = 12xy. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ
51. -60. Решитьсистему линейных уравнений методом Гаусса.
51.52.
ì3x1+x2+ x3+ x4+x5= 5, ì x1+2x2+ x3+6x4+ x5=4,
í2x1- x2+3x3 = 4, í3x1 — x2 — x3+ x4+ =1,
î 5x2+6x3+ x4+ =11.î x1+3x2+5x3 =9.
53.54.
ì3x1- x2+ x3+6x4+x5=6, ì5x1+ x2+ x3+3x4+ x5=5,
í x1+ 5x3+ x4-7x5 =6, í- 2x2+4x3+ x4+x5=3,
î x1+2x2+3x3+ x4+ x5 =6. î x1-3x2+5x3 =2.
55.56.
ì — x1+x2+ x3+2x4+x5=4, ì-2x1 — x2+2x3 =2,
í2x1+ x3 — 3x4+5x5=3,í x1+ x2+4x3+ x4+3x5=8,
î3x1- x3+6x4+ x5=6.î3x1+x2 — x3 =5.
57.58.
ì2x1+ x3 — x4+ x5=2, ì 6x1+ x2+ x3+ 2x4+ x5=9,
í4x1+ x2+3x3+ x4+2x5=7, í — x1 — x3+ 7x4+8x5=14,
î — x1+ x3+2x4+x5=2. î x1+ 2x3+ x4+ x5=3.
59.60.
ì-2x1+ 3x3+x4+ x5=5, ì2x1+ 3x3+ x4 =4,
í 3x1+ x2+x3+6x4+2x5=9, í x1 — x3+2x4+3x5=4,
î — x1+ 2x3- x4+2x5=3. î3x1+3x2+6x3+3x4+6x5=15.
61. -70. Дляданной матрицы A построить обратную матрицу A-1. Правильность построения обратной матрицы проверить,используя матричное умножение.
61. é3 2 1ù 62. é 1 — 5 3ù 63. é4 — 3 2ù
A= ê2 3 1 ê A= ê 2 4 1 ê A= ê2 5 — 3 ê
ë2 1 1û. ë-3 3 — 7û. ë5 6 — 2û.
64. é-2 5 — 6ù 65. é2 — 1 — 1ù 66. é3 — 9 8ù
A= ê 1 7 — 5 ê A= ê3 4 — 2 ê A= ê2 — 5 5 ê
ë 4 2 — 1û. ë3 — 2 4û. ë2 — 1 1û.
67. é1 1 — 1ù 68. é2 3 1ù 69. é7 — 5 0ù
A= ê8 3 — 6 ê A= ê4 — 1 5 ê A= ê4 0 11ê
ë4 1 — 3û. ë1 — 2 4û. ë2 3 4û.
70. é1 7 — 2ù
A= ê3 5 1 ê
ë-2 5 — 5û.
71. -80. Определитьсобственные значения и собственные векторы квадратной матрицы второго порядка.
71. é-1 3 ù 72. é4 — 1ù 73. é-6 5ù 74. é-4 — 3 ù
ë2 0 û. ë-2 3û.ë 2- 3û. ë-2 1 û
75. é-3 2 ù 76. é1 — 2ù 77. é 4 — 1ù 78. é-1 3ù
ë 5 — 6û. ë-3 — 4û.ë-2 5û. ë2 — 2û.
79. é 1 — 2 ù 80. é1 2ù
ë-3 6 û. ë3 2û.
81. -90. Данокомплексное число z. Требуется:
1) записатьчисло z в алгебраической, тригонометрической ипоказательной формах;
найти всекорни уравнения w3+z=0,изобразить эти корни на плоскости комплексной переменной.
_ _ _
81. z=8/(1+iÖ3).82. z=-Ö8/(1+i).83. z=Ö8/(1-i).
_ _ _
84. z=2/(1-iÖ3).85. z=-2/(-i+Ö3).86. z=1/(Ö3+i).
_ _ _
87. z= — 4/(1-iÖ3).88. z=-Ö8/(-i+1).89.z=Ö8/(1+i).
_
90. z=1/(Ö3-i). ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
91. -100. Построитьграфик функции y = f(x) посредством преобразования графика некоторой простейшейэлементарной функции.
91. f(x) = (3x+2) / (2x+3).
92. f(x) = 3cos(2x – 5).
________________
93. f(x) =Ö(4x2+7x –2) / (4x-1).
94. f(x) = 9x2 – 6x + 3.
95. f(x) = ln(x2 – 6x + 9).
96. f(x) = — 2sin(3x + 4).
97. f(x) =2x3 – 18x2 + 54x – 53.
98. f(x) =ln((x+1) — 2 / e2).
99. f(x) = />
f(x) = (3x2 – 5x + 2) /(2x2 + x – 3).
101. -110. Haйти пределы функций, не пользуясь средствамидифференциального исчисления.
_________ _
101. а) lim (Ö4x2 – x + 3 — 2x); б) lim (Öx – 1) – 1sin(1 – x);
x ® µ x ®1
в) lim (1 + x + x2)1/x; г) lim (5x — 3x) /(7x– 4x).
x ® 0 x ® 0
102. а) lim (x2+2x–3) /(3x2+14x+15); б) lim x sin((2x + 1) / (x2+4x3));
x® — 3 x ® µ
в) lim (1 – 2sin2x) 1/xsinx; г) lim x – 2 ln(cos2x).
x ® 0 x ® 0
______ ____________
103. а) lim (3Ö8x4 + 1 + Öx + 3) / (3Öx + 2(1 + Öx2 + 9));
x ® µ
б) lim sin2(x – 1) / (4x2 + 3x +2/>); в) lim />;
x ® µ x®¥
г) lim (e2x – 3ex + 2) /x.
x ® 0
__________ ______
104. а) lim (Öx2 + x + 1 — Öx2 — x); б) lim (1 – cos2x) /(x sinx);
x ® µ x ® 0
в) lim((2x2+3x+4) /(2x2+x+1)) –x/2; г) lim [ln(1+ 3lnx) / ln(1 + 4lnx)].
x ® µ x ®1
105. а) lim (3x5 + 2x2 + 1) /(1 + 4x3 – x5);б) lim x – 2sin2(x2 + 2x);
x® µ x ® 0
в) lim />; г) lim (esinx – ex) /x.
x ® 0 x ® 0
_______________
106. а) lim (Öx2 + 4x — Öx2 + 6x + 1); б) lim (cos 5x) /(sin 2x);
x ® µ x ® p/2
в) lim ((x2 + 7x + 8) /(x2 + 14x + 1)) – x/3; г) lim (e – ecosx ) /x.
x ® µ x ® 0
_____
107. а) lim (x2 — 5x + 6) /(x3 — 8x + 8); б) lim (1 — Ö1 – x) – 1 sinx;
x ® 2 x ® 0
_____
в) lim (x + Ö1 + x) 3/x; г) lim x – 1 ln(cosx + sinx).
x ® 0 x ® 0
108. а) lim (3x4 – 2x2+ 1) /(2x4 + 3x2 – 2);
x ® µ
б) lim (sinx – sin3x) /(sin6x – sin7x);
x ® 0
в) lim />; г) lim (ln cosx) /(cos3x – cosx).
x ® 0x ® 0
109. а) lim />; б) lim(cos8x – cos2x) /(cos6x – cos4x);
x®5/2x ®0
______
в) lim (9 –2x) 1/(4 – x);г) lim ln(x + Öx2 + 1) /x.
x ® 4x ® 0
____________
110. а) lim (x — Öx + 2) /(Ö4x + 1 — 3); б) lim (sin2x– sinx) /(cos4x – cos2x);
x ® 2 x ® 0
в) lim ((2x + 1)/(3x +1)) 1/x; г) lim (ln(3 – 2tgx)) /cos2x.
x®0 x ® p/4
111. -120. Исследоватьна непрерывность функцию y = f(x), найти точки разрыва и определить их род. Построитьсхематический график функции.
111. /> 112. /> 113. />
114. />115. />
æ (2x2+ 3) /5приxÎ(- ¥, 1];
116. /> í 6 – 5xприx Î (1, 3);
è x – 3приx Î [3, +¥).
117. /> arctg/>.118. />x ctgx.
119. />/>.120/>. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙГЕОМЕТРИИ
121. -130. Найтипроизводную функции одной переменной, исходя из определения производной.
/>y = tg2x.122.y = ln(3x + 1).123. y = cos(x2).
/>/>y = sin(x2 + 2x).125. y = ctg(3x — 2).126. y = Ö 2x2 + 1.
127. y = Ö 2 – cos3x.128. y = Ö 2 + sin2x.129. y = e2x.
y = (x + 1) /(x– 1).
131. -140. Найтипроизводные первого порядка данных функций, используя правила вычисленияпроизводных.
/>1) y =Ö4x4+ tgx; 2) y = x1/2 / sinx;
3) y = ctg5x / x3; 4) y = arctg(ex) + tg(arccos(ex)).
/>1) y = ln(tg(3x+ 2)); 2) y = Ö 1 – x2 arcsinx;
3) y = xtgx; 4) y = (x2 – 1) /(x2 + 1).
1) y = arccos(x2) + arcctg(x2); 2) xy = cos(x – y);
/>/>/>3) y =log2(2x + 1); 4) y = Ö1 – x2 / Ö1 + x2.
1) y = (2 — 5x) / Ö2 – 5x + x2; 2) y = ex – y;
3) y = 2 lnx – x; 4) y = sin2 3t, x = cos4 3t.
1) y = (arcsinx) 1 – x; 2) y = cos2 x + tg2x;
3) x3 + y3 – 3xy = 3; 4) x = t – sin2t, y = 1 – cos 2t.
1) y = sin2x/(1 + sin2x); 2) y = 3arctgx + (arctgx) 3,
3) y = (1 + x2) 1 + 2x; 4) y = tg3t, x = cos2 3t.
1) y = 3 –3x + (3x) –3; 2) y = (x – 1) log5(x2 – 1),
3) y = (x2 + 1) x; 4) y = tg(x2/y2).
1) y = ln(lg(log2x)); 2) y = (x2 + x + 1) /(x2 + 1);
3) y = (x + 1) x; 4) ex + y = x – y.
1) y = (x2 + 1) 3 – (x2 – 1) 3; 2) y = (ln5x) /(x4 – 1);
/>3) y = (tgx) ctgx;4) x = t ctg(t2), y = t cos2(t2).
1) y = ln(x + Öx2 + 1); 2) y = x –sin2x;
3) y = 2/(x –1) + 1/(x2 – 1); 4) sin(x + y) + cos(x2 + y2) = 1.
141. -160. Построитьграфик функции, используя общую схему исследования функции.
141. y = (x2 + 2x + 2) /(2 + x2) .142. y = (4 + x2) /(9 – x2).
143. y = (2 + 3x2) /(1 + x2).144. y = (x3 + 2x2 + 2) /(x2 + 1).
145. y = (x2 + 3x + 5) /(x – 1).146. y = (3x3 – 2) /x.
147. y = (2x2 +3x + 1) /(x – 2).148. y = x3/(x3 + 1).
149. y = (3 – 9x2) /(1 – 9x2).150. y = (x3 + 8) /(x3 – 8).
151. y = x e 2x – 1.152. y = ln(x2 – 9).
153. y = (1 + x2) exp(-x2).154. y = lg(4 + x2).
155. y = exp(2/(1 – x)) .156. y = ln(16 – x2).
157. y = x2 + 1 + 2lnx.158. y = exp(1 + 4x – 2x2).
159. y = (2 + x) exp( — 4 — 4x — x2)).160. y = (1 – x) — 0.5 lg(1 – x).
161. -170. Составитьуравнение касательной и нормали:
к графикукривой y = f(x)в точке, абсцисса которой равна x0;
к графикукривой x = x(t),y = y(t)в точке, для которой параметр t равен t0.
Построить графикикривых, касательных и нормалей. Для каждой кривой найти кривизну в указанныхточках.
/>/>/>/>161.1) y = -Ö(9 – x2) /3, x0= — 3/2; 2) x = 3cost, y = Ö 3 sint, t0 = — p/3.
/>162.1) y = Ö4 – 8x2, x0 =- 1/2; 2) x = -1/Ö2 cost, y = -2 sint, t0 = 5p/4.
163.1) y = Ö16 – 4x2, x0 = 1; 2) x = -2 sint, y = — 4 cost, t0 = 5p/6.
/>/>/>/>164.1) y = -Ö8 – 3x2, x0 = -Ö 2; 2) x = 2Ö 2/3 cost, y =2Ö2 sint, t0 = — p/6.
/>/>/>/>/>165.1) y = -Ö25 – 5x2, x0 = -0.5Ö 5; 2) x = -Ö 5 sint, y = 5 cost, t0 =7p/6.
/>/>/>/>166.1) y = Ö(4 – x2) /2, x0 = Ö 2; 2) x = 2sint, y = Ö 2 cost, t0 = -p/4.
/>/>/>/>167.1) y = Ö8 – 4x2, x0 = -1; 2) x = Ö 2 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = p/4
/>/>168.1) y = Ö(7 – x2) /2, x0 = -0.5Ö 7; 2) x = Ö 7 cost, y = Ö7/2 sint, t0 = p/3.
/>/>169.1) y = -Ö2(4 – x2), x0= -1; 2)x = 2 sint, y = 2Ö 2 cost, t0 = 5p/6.
170.1) y = -Ö4 – 8x2, x0 = -1/2; 2) x = 1/Ö 2 cost, y = 2sint, t0 = 5p/4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
171. -180. Даныфункция u = f(x,y,z) и точки A(x0; y0; z0) иB(x1; y1;z1). Требуется:
вычислитьзначение u1 функции в точке В;
вычислитьприближенное значение u1 функции в точке В, исходя иззначения u0 функции в точке А, заменив приращениефункции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентахотносительную погрешность, возникающую при замене приращения функции еедифференциалом;
составитьуравнение касательной плоскости к поверхности f(x,y,z) =C в точке А.
171. u = x2 + xyz + z2,A(1; 2; 1),B(1.05; 1.95; 0.96),C = 4.
172. u = x2z – xy + z2,A(1; 3; — 1),B(0.95; 3.08; — 0.96),C = — 3.
173. u = x2 + 2xz + y2z,A(4; 1; 0),B(4.1; 1.04; — 0.1),C = 16.
174. u = z2 – y2 + x + y + z,A(-2; 3; 1),B(-2.1; 3.1.1.05),C = — 6.
175. u = xy + yz + xz,A(2; 1; 2),B(1.96; 0.95; 2.1),C = 8.
176. u = x2 +y2 + z2 +x – z,A(1; — 1; 1),B(1.04; — 1.02; 0.95),C = 3.
177. u = 4 – xy2 +yz,A(-2; 1; 3),B(-2.1; 1.04; 3.1),C = 9.
178. u = x(y + z) – z2,A(-1; 2; 1),B(-0.95; 2.1; 0.95),C = — 4.
179. u = x2 – y2 + z2 + yz,A(1; 1; — 1),B(1.08; 0.92; — 1.08),C = 0.
180. u = 2x – z +2y2 + xz,A(4;- 1; 1),B(3.95; — 1.05; 1.05),C= 13.
181. -190. Найтинаименьшее и наибольшее значения функции
z = f(x; y) в области D, заданной системойнеравенств. Сделать чертеж области D.
181. f(x; y) = x2 + 2y2 – 5xy,x ³ — 1,y ³ — 1,x+ y £ 1.
182. f(x; y) = x2 – 3y2 + 6xy + 4,|x| + |y| £ 1.
183. f(x; y) = x2 + 2xy +3y + 4,y £ 5 — x2,y ³ 1.
184. f(x; y) = x2 + 2y2 – 2x – 4y + 5,1 £ |x + y| £ 2,x ³ 0, y ³ 0.
185. f(x; y) = 2y2 + 6xy – 13x +2,x ³ y2 + 1,y ³ (x – 1) /2.
186. f(x; y) = 2x2 + 2y2 – 10x + 13y + 1,x ³ 2,y £ — 3,y ³ x – 6.
187. f(x; y) = x2 + 3y2 + xy – 2x – y + 4,|x — 1| + |y| £ 1.
188. f(x; y) = 2x2 + 2xy – 3y + 5,0 £ y £ x2,|x| £ 1.
189. f(x; y) = 3x2 + 2y2 – 12x + 4y + 7,2 £ x – y £ 4,x ³ 0, y £ 0.
190. f(x; y) = y2 + 2xy + 3x+ 11,-3 £ x £ — y2+ 1.
191. -200. Даноскалярное поле u = u(x,y). Требуется:
1) составитьуравнение линии уровня u = C ипостроить эту линию; __
2) в точке Анайти градиент и производную по направлению вектора АВ;
3) в точке Апостроить касательную и нормаль к линии уровня, получив их уравнения.
191. u = x2 + 4y2 + 4x + 4y,C = 13,A(1, — 2),B(2, 4).
192. u = x2 + 9y2 + 2x — 6y,C = 2,A(-1, 1),B(0, 4).
193. u = 4x2 + y2 + 4x — 4y,C = 36,A(2, — 2),B(1, 1).
194. u = 9x2 + y2 — 6x — 2y,C = 6,A(1, 3),B(3, 0).
195. u = x2 + 4y2 + 2x — 8y,C = 20,A(2, 3),B(1, 4).
196. u = 25x2 + y2 + 10x + 2y, C = 14,A(-1, — 1),B(2, 4).
197. u = 4x2 + 9y2 — 4x — 12y, C = 8,A(2, 0),B(-1, — 1).
198. u = 9x2 + 4y2 — 12x — 4y, C = 8,A(0, 2),B(2, 5).
199. u = x2 + 25y2 — 2x + 20y, C = 165,A(2, — 3),B(2, 1).
200. u = x2 + 4y2 + 2x — 4y,C = 35,A(5, 1),B(5, 4).
201. -210. Значенияфункции, полученные экспериментально, приведены в таблице. Методом наименьшихквадратов найти наилучшую линейную аппроксимацию экспериментальной зависимости.На плоскости (x, y) построитьполученную прямую и точки, заданные табл.1.
Таблица 1201. x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 y — 2.0 — 0.5 — 0.5 1.0 1.5 2.4 3.2 4.0 202. x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 y 6.0 4.5 4.5 2.8 1.0 -0.5 -1.5 -2.8 203. x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 y — 5.0 — 4.0 -2.5 -2.5 -1.0 — 0.5 1.2 2.0 204. x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 y 6.5 5.2 3.5 3.5 1.6 0.2 — 1.5 — 2.5 205. x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y — 0.2 0.1 0.15 0.25 0.3 0.4 206. x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y 0.6 0.45 0.4 0.3 0.1 — 0.1 — 0.2 — 0.3 207. x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 y — 0.5 — 0.4 — 0.25 — 0.25 — 0.1 0.1 0.2 208. x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 y 2.0 3.0 6.5 7.5 10 12.5 13.5 16.5 209. x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 y 2.0 0.5 0.5 -1.5 -1.5 -3.0 -4.2 -5.2 210. x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 y — 4.0 -2.5 — 2.5 — 1.0 0.5 0.5 2.2 3.0
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
211. -220. Найтинеопределенные интегралы.
211. а) ò exp( — 8x3) x2 dx; б)ò x tg2x dx; в) ò (6x3 –7x2– 3x) – 1 dx.
212. а) ò tg(5x + 3) dx;б) ò ln(x2 + 1) dx; в) ò (x3 – 1) (4x3 – x) – 1 dx.
213. а) ò ctg(2x–3) dx;б) ò ln2x dx; в) ò x2(x3+5x2+ 8x +4) – 1dx.
214. а) ò x – 1cos2(1 + lnx)dx; б) òarcsin2x dx; в) ò (x3 + 1) (x3 – x2)– 1 dx.
215. а) ò cos4x sin2x dx; б) ò x2arctgx dx; в) ò (x2 + 1) (x3+x2–x–1) –1dx.
____
216. а) ò 2x/Ö1 –4x dx; б) ò x – 2 ln3x dx; в)ò (x4+1)(x3–x2+x–1) – 1 dx.
_
217. а) ò x (3x + 2) – 1 dx;б) ò (1 – x)– 1/2arcsinÖx dx; в) ò x (x3 – 3x + 2) — 1dx.
218. а) ò ex(e2x + 4) – 1 dx;б) ò x ln((1 + x) (1– x) – 1) dx; в) ò x (x3 — 1) — 1dx.
219. a) òe – x(e2x–1) dx; б) ò x-5/2 ln2x dx; в) ò 32x/((2x–1) (4x2 – 16x+ 15)) dx
_
220. а) ò (3x– 1) (x2 + 9) – 1 dx; б) ò eÖx dx; в) ò x2/(x3+ x2 + x + 1) dx.
221. -230. Вычислитьнесобственные интегралы или установить их расходимость.
µ11
221. ò (x2 + 2x + 2) – 1 dx.222. ò x — 2 (1 – x2) — 5/3 dx.223. ò x lnx dx.
— µ00
µµ
224. ò x sinx dx.225. ò x – 2 (x + 1) – 1 dx.
01
1 _µ1
226. ò(√x – 1) – 1 dx.227. ò x3 exp( — x2) dx.228. ò(ex – cosx) –1dx
000
µ1
229. ò x (x + 1) – 3 dx.230. ò x – 3/2 (1 –x)– 3/4 dx.
00
231. -240. Вычислитьплощадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых даны.
231. y = 1/(1 + x2), y = x2/2.232. y = x2,y = x3/3.
233. y = ex, y = e – x, x = 1.234. y2 = 2x + 1, x – y – 1 = 0.
235. y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48.236. y = x(x – 1) 2, y = 0.
237. (y – x – 2) 2 = 9x, x = 0, y = 0.238. y = (x2 + 2x) e – x, y = 0.
239. x = y2(y – 1),x = 0.240. y = x – x5/2, y =0.
241. -250. Вычислитьдлины дуг кривых, заданных следующими уравнениями.
241. y = x2/4 – 0,5lnx,1 £ x £ 2.
242. x = 5(t – sint), y = 5(1 – cost),0 £ t £ p.
_
243. r = Ö2ej, — p/2 £ j £ p/2.244. y = — ln cosx,0£x£p/6.
245. x = 3(2cost – cos2t),y = 3(2sint – sin2t),0 £ t £ 2p.
246. r = 1 — sinj, — p/2 £ j £ — p/6.247. y = ln(x2 – 1),2 £ x £ 3.
248. x = 4(cost + t sint),y = 4(sint – t cost),0 £ t £ 2p.
249. r = 8cosj,0 £ j £ p/4.250. y= (e2x+e-2x+3) /4,0 £ x £ 2.
Дифференциальныеуравнения
251. -260. Найтиобщее решение дифференциального уравнения.
251. xy'-2y=x3ex.252. (x+1) y'-2y=(x+1) 4.
253. x2y'+2xy=cosx.254. xy'+y=x+1.
255. y'cosx — ysinx=4x3.256. y'-ycosx= exp(sinx).
257. x2 y'+2xy=1.258. y'+2xy=2x exp(-x2).
259.2xy'-y=2x3/2cosx.260. y'+ytgx=2xcosx.
261. -270. Найтиобщее решение дифференциального уравнения.
261. y«y3=1.262. y»'=(y") 3.
263. y" (x-1) — y'=x(x-1) 2.264. (1+x2) y"+1+(y')2=0.
265. yy"+(y') 2=0.266. xy"=y'ln(y'/x).
267. (1-x2) y"=xy'.268. y«x+y'=x2.
269. xy»'+y"=1+x.270.y"=-(x/y').
271. -280. Найтичастное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальнымусловиям.
271. y"-9y=e-2x; y(0) =0,y'(0) =0.
272. y"-4y=x-1; y(0) =0,y'(0) =0.
273. y"+2y'+y=cosx; y(0) =0,y'(0) =0.
274. y"+3y'+2y=1+x+x2; y(0) =0,y'(0) =1.
275. y"+2y'+5y=13e2x; y(0) =1,y'(0) =4.
276. y"+2y'-8y=16x+4; y(0) =2,y'(0) =6.
277. y"+4y'-12y=8sin2x; y(0) =0,y'(0) =0.
278. y"-4y'+13y=26x+5; y(0) =1,y'(0) =0.
279. y"+y=cos3x; y(p/2) =4,y'(p/2) =1.
280. y"-4y'+3y=e5x; y(0) =3,y'(0) =9.
281. -290. Найтиобщее решение системы дифференциальных уравнений с помощью характеристическогоуравнения.
281. x1'+x1-3x2=0,x2'-2x1=0.282. x1'-4x1+x2=0,x2'+2x1-5x2=0.
283. x1'-x1+2x2=0,x2'+3x1-6x2=0.284.x1'+5x1+4x2=0,x2'+2x1+3x2=0.
285. x1'-6x1-3x2=0,x2'+8x1+5x2=0.286.x1'-3x1+2x2=0,x2'-2x1-8x2=0.
287. x1'+5x1+8x2=0,x1'+3x1+3x2=0.288.x1'-x1+x2=0,x2'-x1-x2=0.
289. x1'+4x1-x2=0,x2'+2x1+x2=0.290.x1'+x2=0, x2'-2x1-2x2=0.
Найтиинтегральную кривую уравнения y"-k2y=0 (k¹0), которая касается прямой y-y0=a(x-x0) в точке (x0,y0).
Тело массой m падает с высоты h под действиемсилы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости с коэффициентом k. Начальная скорость тела равна нулю. Найти закон движениятела.
Тело массой m скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка,давшего начальную скорость V0. На тело действует силатрения, равная –km. Найти расстояние, которое телопройдет до полной остановки.
Найтиинтегральную кривую уравнения y"+k2y=0 (k¹0), касающуюся прямой y-y0=a(x-x0) в точке (x0, y0).
Найтиуравнение кривой, у которой отрезок касательной, заключенный между осямикоординат, делится пополам в точке касания. Кривая проходит через точку (2; 1).
Материальнаяточка массы m перемещается по прямой под влияниемвнешней силы F=Asinwt ивосстанавливающей силы, которая направлена к началу отсчета перемещений и прямопропорциональна расстоянию точки от начала отсчета с коэффициентом k=4mω2. Сопротивление средыотсутствует. Определить закон движения материальной точки, если при t=0 она находилась в начале отсчета с нулевой скоростью.
Найтиуравнение кривой, подкасательная которой имеет постоянную длину a. Кривая проходит через точку (a; e).
Найтиуравнение кривой, проходящей через точку (3; 1), если отрезок касательной ккривой, заключенный между точкой касания и осью Oxделится пополам в точке пересечения с осью Oy.
Найтиуравнение кривой, у которой сумма координат точки касания равна удвоеннойподкасательной. Кривая проходит через точку (1; 1).
Найтиинтегральную кривую уравнения y¢sinx=ylny, проходящую через точку (p/2;1). ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
301. -310. Исследоватьна сходимость ряд.
¥¥
301. å 1/(n – cos26n).302. å (n!) 2/ [(3n + 1) (2n) !]
n=1n=1
¥¥
303. å (2n + cos n) /(3n + sin n).304. å (3n + 2)! /(10nn2).
n=1n=1
¥¥
305. å ln [(n2+1) /(n2 + n + 1)].306. å (n! n⅓) /(3n +2).
n=1n=1
¥¥
307. å [4n – 1 (n2 + 5) ½] / [(n–1) !].308. å (3 + 7n) /(5n+ n).
n=1n=1
¥¥
å n sin(n – 4/3).310. å[n! (2n + 1) !] / [(3n) !]
n=1n=1
311. -320. Исследоватьна абсолютную и условную сходимость ряды.
311. /> />.312. />/>
313. />314./>
315. />316./>
317. />318./>
319. />320./>/>
321. -330. Разложитьфункцию f(x) в ряд по степеням x.
321. />322./>
323. />324./>
325. />326./>
327. />328./>
329. />330./>
331. -340. Разложитьв ряд Фурье в указанном интервале функцию f(x). Построить график этой функции и график суммы полученногоряда Фурье.
331. />в интервале ( — 1, 1).
332. />винтервале (0, 3) по синусам.
333. />в интервале (-p, p).
334. />в интервале (-p, p).
ì/>-p/2,xÎ(-p, 0),/>
335. /> í 0,x = 0,
î p/4,x Î(0,p) в интервале (-p, p).
336. />в интервале (-2,2).
337. /> в интервале (0,2p) по косинусам.
338. />p/4 – x/2в интервале (0,p) по синусам.
339. />винтервале (-p, p).
340. />(p – x) /2винтервале (0, p) по синусам.
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
341. -350. Спомощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
351. -360. Спомощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями,уравнения которых заданы.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
361. -370. Вычислитьтройной интеграл по области V, ограниченной заданными поверхностями.
/>/>
/> />
/> />
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
371. -380. Вычислитькриволинейный интеграл второго рода вдоль заданной линии (для незамкнутыхкривых направление обхода соответствует возрастанию параметра tили переменной x; для замкнутых кривых направлениепредполагается положительным).
/> L– отрезок прямой, от точки (0; 0) до(p; 2p).
/> L – дуга линии /> от точки (0; 0) до точки (1; 1).
/>L – дуга линии /> от точки (0; 0) до точки (1; 1).
/>L– дуга окружности />
/>L– эллипс />
/>L — дуга окружности />
/>L – линия />, xÎ [-1; 1].
/>L – линия y = 1 — |1-x|, xÎ [0; 2].
/> L– арка циклоиды />
/>L — окружность x2 + y2= R2.
381. -390. Даноскалярное поле /> и векторное поле />. Найти />, /> и /> в точке />.
/>/>/>
/>/>/>
/> /> />
/>/>/>
/>/>/>.
/>/>/>.
/>/>/>.
/>/>/>.
/>/>/>.
/>/>/>.
391. -400. Найтипоток векторного поля /> через часть плоскости />, расположеннуюв первом октанте (нормаль образует острый угол с осью />).
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
401. -410. Доказатьпотенциальность поля /> и найти его потенциал />.
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
/>/>
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ
411. -420. Восстановитьаналитическую функцию f(z) = u + iv позаданной действительной или мнимой части.
411. />.412./>.
413. />.414./>.
415. />.416./>.
417. />.418./>.
419. />.420./>.
421. -430. Используятеорию вычетов, вычислить интегралы.
421. />.422. />.
423. />.424. />.
425. />.426. />; />.
427. />; /> />.428. />.
429. />. />.430. />; />, />.
431. -440. Методомоперационного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения,удовлетворяющего заданным начальным условиям.
431. x¢¢ + 2x¢ –3x = e — t,x(0) = 0,x¢(0) = 1.
432. x¢¢ + 2x¢ = t sin t,x(0) = 0,x¢(0) = 0.
433. x¢¢ + 2x¢ + x = sin t,x(0) = 0,x¢(0) = — 1.
434. x¢¢ + 2x¢ + x = t2,x(0) = 1,x¢(0) = 0.
435. x¢¢ + 2x¢ + 2x =1,x(0) = 0,x¢(0) = 0.
436. x¢¢ + x¢ = cos t,x(0) = 2,x¢(0) = 0.
437. x¢¢ — 2x¢ +5 x = 1 — t,x(0) = 0,x¢(0) = 0.
438. x¢¢ + 2x¢ + x = t,x(0) = 0,x¢(0) = 0.
439. x¢¢ — 2x¢ + x = t – sin t,x(0) = 0,x¢(0) = 0.
440. x¢¢+ x¢= t cos2t,x(0) = 0,x¢(0) = 0.
441. -450. Найтивсе особые точки функции /> и определить их характер. Разложить/> в рядЛорана в указанном кольце.
441. />/>.
442. />/>.
443. />/>.
444. />/>
445. />/>
446. />/>
447. />/>
448. />/>.
449. />/>
450. />/>.
451. -460. Однородныйупругий стержень длины l изготовлен из материала сплотностью r и модулем упругости E. Стержень имеет постоянное поперечное сечение площади S. Найти методом Фурье решение уравнения продольных колебанийстержня
¶2u/¶t2 =a2 ¶2u/¶x2,a2 = E/r.
при заданныхначальных и граничных условиях.
451. u(x,0) = Px/ES, ¶u(x,0) /¶t = 0; u(0,t) = 0, ¶u(l,t) /¶x = 0.
452. u(x,0) = 0, ¶u(x,0) /¶t = 0; u(0,t) = 0, ¶u(l,t) /¶x = P/ES.
453. u(x,0) = 0, ¶u(x,0) /¶t = 0; ¶u(0,t) /¶x = P/ES, ¶u(l,t) /¶x = P/ES.
454. u(x,0) = — P(l-x) /ES, ¶u(x,0) /¶t = 0; ¶u(0,t) /¶x = 0, u(l,t) = 0.
455. u(x,0) = 0, ¶u(x,0) /¶t = 0; u(0,t) = P/ES, u(l,t) = 0.
456. u(x,0) = 0, ¶u(x,0) /¶t = 0; u(0,t) = 0, u(l,t) = Vt.
457. u(x,0) = 0, ¶u(x,0) /¶t = 0; u(0,t) = — Vt, u(l,t) = 0.
458. u(x,0) = 0, ¶u(x,0) /¶t = 0; u(0,t) = 0, u(l,t) = A sin(wt).
459. u(x,0) = 0, ¶u(x,0) /¶t = 0; u(0,t) = 0, ¶u(l,t) /¶x = (P/ES) sin(wt).
460. u(x,0) = 0, ¶u(x,0) /¶t = 0; ¶u(0,t) /¶x = (P/ES) sin(wt), u(l,t) = 0.
ТЕОРИЯВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
461. Тристрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0.7,вторым стрелком – 0.8, третьим стрелком – 0.9. Определить вероятность, что вцель попадает только один из стрелков.
462. В ящике10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наудачу взял 3 детали. Найтивероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
463. Вклассе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Каковавероятность (если считать выбор случайным), что выбраны: 1) два мальчика; 2) дведевочки?
464. Отделтехнического контроля проверяет изделие на стандартность. Вероятность того, чтоизделие стандартно, равна 0.9. Найти вероятность того, что из двух проверенныхизделий только одно стандартное.
465. Вероятностьтого, что при одном измерении некоторой физической величины ошибка превысит допустимоезначение, равна 0.4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятностьтого, что только в одном из них ошибка превысит допустимое значение.
466. Изпартии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, чтонаудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0.8. Найти вероятностьтого, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
467. Студентразыскивает нужную формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формуласодержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны 0.6, 0.7,0.8. Найти вероятность того, что формула содержится только в двух справочниках.
468. Вероятноститого, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертомящике, соответственно равны 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Найти вероятность того, чтодеталь содержится не более чем в трех ящиках.
469. Вчитальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 впереплете. Библиотекарь наугад взял 2 учебника. Найти вероятность того, что обаучебника окажутся в переплете.
470. Влотерее 100 билетов: среди них один выигрыш в 5000 руб., 3 выигрыша по 2500 руб.,15 выигрышей по 300 руб. Некто покупает один билет. Найти вероятность: а) выигратьне менее 2500 руб., б) выиграть не более 2500 руб.
471. Дваавтомата производят одинаковые детали. Производительность первого автоматавдвое больше производительности второго. Первый автомат производит 60% деталейотличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая деталь оказалась отличногокачества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Числогрузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относитсяк числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3: 2. Вероятностьтого, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1, для легковой машиныэта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найтивероятность того, что это грузовая машина.
473. Вспециализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием «К»,30% — с заболеванием «М», 20% — с заболеванием «П». Вероятность полногоизлечения болезни «К» равна 0.7; для болезней «М» и «П» эти вероятностисоответственно равны 0.8 и 0.9. Больной, поступивший в больницу, был выписанздоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием «К».
474. Спервого автомата на сборку поступает 20%, со второго – 30%, с третьего – 50%деталей. Первый автомат дает в среднем 0.2% брака, второй – 0.3%, третий — 0.1%.Найти вероятность того, что деталь, изготовлена на первом автомате.
475.60%учащихся – мальчики.80% мальчиков и 75% девочек имеют билеты на школьный вечер.В школьное бюро находок принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятностьтого, что он принадлежал девочке?
476. Троеохотников одновременно выстрелили по кабану, который был убит одной пулей. Определитьвероятность того, что кабан был убит первым охотником, если вероятностипопадания для каждого охотника соответственно равны 0.2, 0.4, 0.6.
477. Вгруппе из 10 студентов, пришедших на экзамен, трое подготовленных отлично, 4 –хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20, хорошоподготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугадстудент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того,что студент подготовлен отлично.
478. В ящикележат 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика извлекаютнаугад два мяча для игры и после игры возвращаются в ящик. После этого из ящикавынимают два мяча для следующей игры. Найти вероятность того, что эти оба мячабудут неигранными.
479. Насборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает 0.2% брака, второй – 0.1%.Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первогоавтомата поступило 2000 деталей, а со второго – 3000 деталей.
480. Имеютсятри урны: в первой из них 5 белых шаров и 3 черных; во второй 4 белых шара и 6черных; в третьей – 8 белых шаров (черных нет). Из выбранной наугад урныизвлекается один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что шаризвлекался из первой урны.
481. -490. Дляслучайной величины X построить ряд распределения ифункцию распределения. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, начальныймомент второго порядка и третий центральный момент:
481. Стрелокделает по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстрелеравна 0.3. Случайная величина X – число попаданий вмишень.
482. Опытсостоит из трех независимых бросаний монеты. Случайная величина X – число появлений герба.
483. Проводится3 независимых опыта, в каждом из которых событие А может появиться свероятностью 0.4. Случайная величина X – числопоявлений события А.
484. Игральнуюкость бросают 4 раза. Случайная величина X – числовыпаданий шестерки.
Производитсятри независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстрелеравна 0.7. Случайная величина X – число попаданий вмишень.
486. Имеютсятри лампочки, каждая из которых с вероятностью 0.1 имеет дефект. При включениидефектная лампочка сразу же перегорает, после чего ее заменяют другой. Случайнаявеличина X – число лампочек, которое будет испробовано.
487. Охотникстреляет до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Вероятностьпопадания при каждом выстреле равна 0.7. Случайная величина X– число выстрелов, произведенных охотником.
488. Двастрелка делают по выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в нее первымстрелком равна 0.3, вторым – 0.6. Случайная величина X– число попаданий в мишень.
489. Устройствосостоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждогоэлемента в одном опыте равна 0.1. Случайная величина X– число отказавших элементов в одном опыте.
490. Впартии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Случайнаявеличина X – число стандартных деталей среди отобранных.
491. -500. Дляслучайной величины X с заданной функцией распределения F(x) требуется найти: а) плотностьвероятности; б) математическое ожидание и дисперсию; в) построить графикифункции распределения и плотности вероятности случайной величины X:
491.0 при x
F(x) = (x + 1)/2 при -1 £ x £ 1
1 при x >1
492.0 при x
F(x) = sin x при 0 £ x £ p/2
1 при x >p/2
493.0 при x
F(x) = x /3 при0 £ x £ 3
1 при x >3
494.0 при x
F(x) = (x — 1)/2 при 1 £ x £ 3
1 при x >3
495.0 при x
F(x) = x /4 при0 £ x £ 4
1 при x >4
496.0 при x
F(x) = (x + 1)/2 при -1 £ x £ 1
1 при x >1
497.0 при x
F(x) = x /5 при0 £ x £ 5
1 при x >5
498.0 при x
F(x) = cos x при -p/2£ x £ 0
1 при x >0
499.0 при x
F(x) = x 2/4 при0 £ x £ 2
1 при x >2
500.0 при x
F(x) = x 2/9 при0 £ x £ 3
1 при x >3
501. -510. Поприведенной в табл.2 выборке нормально распределенной случайной величины X следует
найтиточечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратическогоотклонения:
записатьплотность вероятности и функцию распределения случайной величины X;
найтидоверительный интервал (с надежностью g= 0.95) для математического ожидания, считая, что дисперсия известна и равнаполученной в п.1 точечной оценке;
вычислить P(a
514. -520. Результатынаблюдений над двумерной случайной величиной (X,Y) приведены в табл.3. Требуется построить корреляционноеполе и подобрать регрессионную зависимость Y от X (рекомендуется использовать модель линейной регрессии).