--PAGE_BREAK--2. Описание -формаций Шеметкова Введем следующее определение.
Определение. Формация называется -формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа — либо группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой, либо группа простого порядка.
Приведем пример -формаций Шеметкова.
2.1 Пример. В классе конечных разрешимых групп формация всех -замкнутых групп является -формацией Шеметкова.
Действительно. Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Так как не -замкнута, то . Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа из , --- -группа, , где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что . Действительно, в противном случае, из того факта, что -замкнута и -замкнута, следует, что -замкнута. Получаем противоречие. Известно, что формацию можно представить в виде . Согласно лемме 2.2.20, формация имеет максимальный внутренний локальный экран такой, что . Очевидно, что любая минимальная не -группа есть группа простого порядка . Итак, --- группа Шмидта с ненормальной циклической подгруппой простого порядка . Пусть . Выше показано, что --- группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Согласно лемме 3.1.1, --- группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Итак, --- -формация Шеметкова.
2.2 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) --- -формация Шеметкова;
2) , где и .
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Ясно, что формация является формацией Шеметкова. Тогда, согласно лемме 2.2.22, эта формация имеет следующее строение:
где --- максимальный внутренний локальный экран . Вначале докажем, что , где --- любое простое число из . Предположим, что это не так. Тогда найдется простое число , но . Обозначим через группу простого порядка . Очевидно, что и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть . Покажем, что . Так как точен, то . Так как , то, очевидно, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Так как и , то нетрудно заметить, что . Итак, . Так как , то это невозможно ввиду того, что --- -формация Шеметкова. Итак, для любого из . Отсюда, в частности, следует, что . Учитывая данные факты, нетрудно показать, что равенство (5.1) принимает следующий вид:
Используя лемму 5.1.2, равенство (5.2) приводится к виду:
где --- некоторое множество простых чисел, содержащее число .
Покажем, что из 2) следует 1).
Действительно, что --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, разрешима. Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа, --- -группа и , где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Если , то из того факта, что , следует, что . Получили противоречие. Тогда . Согласно лемме 2.2.20, насыщенная формация имеет полный локальный экран такой, что . Очевидно, что . Так как , то очевидно, что . Итак, любая минимальная не -группа с либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной -силовской подгруппой. Согласно лемме 2.2.21, это же верно, когда . Итак, --- -формация Шеметкова. Теорема доказана.
2.3 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Формация содержит любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на , только в том случае, когда --- формация -замкнутых групп.
Доказательство. Пусть --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:
где . Если , то --- формация -замкнутых групп. Так как индексы , не делятся на , то и содержат силовскую -подгруппу группы . По условию, и -замкнуты. Отсюда следует, что -замкнута. Пусть множество содержит простое число . Покажем, что в этом случае утверждение леммы неверно. Пусть --- группа порядка . Пусть --- простое число, отличное от и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть . Так как и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть . Так как , то, как и выше, существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть .
Рассмотрим следующие две подгруппы: и . Ясно, что . Подгруппы и -замкнуты, причем индексы , не делятся на . Если бы группа была бы -замкнута, то тогда была бы нормальной подгруппой в группе , что невозможно. Итак, утверждение леммы верно только тогда, когда . Лемма доказана.
2.4 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть --- -разрешимая группа, , где , , индексы , не делятся на . Тогда .
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по порядку . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа . Так как --- -разрешимая группа, то либо -группа, либо -группа. Если --- -группа, то . Согласно индукции, . Получили противоречие.
Пусть --- -группа. Так как , не делятся на , то . Так как --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы и , то . Рассмотрим подгруппу . Так как , --- -группа, , то нетрудно показать, что --- -группа. Так как , то --- -замкнутая группа. Аналогичным образом можно доказать, что --- -замкнутая группа. Отсюда следует, что --- -замкнутая группа. А это значит, что . Получим противоречие. Лемма доказана.
3. Критерий принадлежности групп, факторизуемых подгруппами, индексы которых не делятся на некоторое простое число, наследственно насыщенным формациям В данном разделе в классе разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга , содержащих любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое фиксированное простое число .
3.1 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое фиксированное простое число . Тогда любая разрешимая минимальная не -группа принадлежит одному из следующих типов:
1) --- группа простого порядка , где ;
2) --- группа Шмидта;
3) , где , где --- максимальный внутренний локальный экран формации , --- простое число отличное от ;
4) , , , где --- -замкнутая группа, , где --- максимальный внутренний локальный экран формации , --- простое число отличное от .
Доказательство. Пусть --- произвольная разрешимая минимальная не -группа. Если , то нетрудно показать, что --- группа простого порядка , причем .
Пусть . Покажем, что --- бипримарная -подгруппа. Действительно, если --- примарная группа, то из насыщенности формации следует, что . Противоречие. Пусть . Так как --- разрешимая группа, то нетрудно показать, что , где , индексы , не делятся на . Согласно условию, . Получили противоречие. Итак, .
Пусть --- минимальная нормальная подгруппа . Если --- -группа, то . Рассмотрим случай, когда . Покажем, что в этом случае --- группа Шмидта. Вначале докажем, что --- циклическая группа. Действительно, в противном случае , где и --- максимальные подгруппы . Тогда . Так как , не делятся на , , то . Противоречие. Итак, --- циклическая группа, . Пусть . Покажем, что . Предположим противное. Пусть , где . Пусть и --- циклические группы соответственно порядков и . Обозначим через регулярное сплетение . И пусть --- база сплетения, т. е. . Так как некоторая подгруппа группы изоморфна , то . Очевидно, что подгруппы , принадлежат формации .
Пусть , где . Обозначим через базу сплетения . Тогда
Легко видеть, что .
Так как индексы и не делятся на , то . Но , и поэтому
Полученное противоречие показывает, что . Итак, доказали, что --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, --- группа Шмидта. Следовательно, --- группа типа 2).
Пусть --- -группа и . Пусть . Тогда, согласно теореме 2.2.5, , где , , --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как , то --- -группа. Пусть . Тогда рассмотрим подгруппу . Так как --- собственная подгруппа , то . Так как , то не делится на . Так как --- разрешимая группа, то . Но тогда в существует максимальная подгруппа такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как --- собственная подгруппа , то . Нетрудно заметить, что не делится на и . Теперь, согласно условию, . Получили противоречие. Итак, доказали, что , то есть --- -замкнутая группа. Итак, -- группа типа 4).
Пусть теперь --- -группа. Тогда . Покажем, что . Предположим, что . Пусть . Тогда в найдется максимальная подгруппа такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как и --- собственные подгруппы , то они принадлежат . Очевидно, что , не делятся на и . Тогда, согласно условию, . Противоречие. Отсюда следует, что --- -замкнутая, но тогда --- -замкнута. Тот факт, что ( --- максимальный внутренний локальный экран ) следует из теоремы 2.2.5. Итак, --- группа типа 3). Лемма доказана.
3.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть --- тотально насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое фиксированное простое число . Тогда любая разрешимая минимальная не -группа принадлежит одному из следующих типов:
1) --- группа простого порядка , где ;
2) --- группа Шмидта;
3) --- группа Шмидта;
4) , где и , где --- группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой, --- простое число отличное от .
Доказательство. Согласно лемме 5.3.1, любая минимальная не -группа есть группа типа 1) — 4) из леммы 5.3.1.
Пусть --- группа типа 3) из леммы 5.3.1. Тогда . Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как --- тотально насыщенная формация, то --- насыщенная формация. Согласно лемме . Пусть . Так как --- насыщенная формация, то , что невозможно. Итак, . А это значит, что --- группа простого порядка . Но тогда нетрудно заметить, что --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, --- группа Шмидта.
Пусть --- группа типа 4) из леммы 5.3.1. Тогда
где . Покажем, что --- группа Шмидта. Так как --- тотально насыщенная формация, то --- насыщенная формация. В виду леммы 2.2.21, при доказательстве утверждений, можем считать, что . Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно теореме 2.2.5,
где .
Так как --- тотально насыщенная формация, то является насыщенной формацией. Как и выше, нетрудно доказать, что . Отсюда следует, что --- группа Шмидта. Лемма доказана.
3.3 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная разрешимая формация Фиттинга, --- некоторое фиксированное простое число. Тогда и только тогда содержит любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , когда есть пересечение некоторых классов групп одного из следующих типов:
1) класс всех разрешимых -замкнутых групп;
2) класс всех разрешимых групп с -длиной ;
3) класс всех разрешимых групп таких, что --- -группа, где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .
Доказательство. Необходимость. Согласно результатам работы [33] является тотально насыщенной формацией. Теперь можно применить результаты леммы 5.3.2.
Пусть любая минимальная не -группа есть группа типа 1), 2) из леммы 5.3.2. Тогда является -формацией Шеметкова. Согласно теореме 5.1.4 , где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .
Пусть любая минимальная не -группа является группой типа 1), 3). Тогда --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:
где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число . Согласно лемме 5.2.3, . А это значит, что .
Пусть любая минимальная не -группа — группа типа 1), 4). Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации .
Известно, что
Покажем, что для любого простого числа из , отличного от , . Предположим противное. Пусть --- группа наименьшего порядка из . Так как --- наследственная формация, то . Так как --- тотально насыщенная формация, то --- насыщенная формация. Отсюда нетрудно показать, что . Очевидно, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем . Так как --- полный экран, то . А значит, --- -группа, где .
Согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть . Покажем, что . Так как точен, то . Так как , то очевидно, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Если , то . Отсюда следует, что . А значит, . Пусть . Тогда , где --- некоторая максимальная подгруппа из . Так как , то . Так как , то из полноты экрана следует, что . Так как --- внутренний экран, то . Итак, . Последнее противоречит тому, что --- группа типа 4) из леммы 5.3.2.
Итак, для любого из . Тогда
Отсюда нетрудно заметить, что
Рассмотрим насыщенную формацию . Так как любая минимальная не -группа либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой, то --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2,
где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число . Следовательно,
Как и в лемме 5.2.3 можно показать, что . Итак, --- формация из пункта 3).
Нетрудно показать, что формация , у которой любая минимальная не -группа есть группа одного из типов 1), 2), 3), 4) леммы 5.3.2, есть пересечение некоторых формаций из пунктов 1), 2), 3) данной теоремы.
Достаточность следует из теоремы 5.1.5 и леммы 5.2.4. Теорема доказана.
Заключение В главе 1 получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова, теорема 1.4, и найден ряд свойств таких формаций, теорема 1.6.
В главе 2 получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова, теорема 2.2.
В главе 3 в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число, теорема 3.3.
Список использованных источников 1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1990. — Вып. 5. — С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. — Киев, 1993. — С. 27--54.
3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных -субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Гомель, 1995. — Вып. 8. — С. 31--39.
продолжение
--PAGE_BREAK--