Реферат по предмету "Математика"


Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП />,ЗАМКНУТЫЕ О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИНДЕКСОВ ОТНОСИТЕЛЬНОПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ />-ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студенткагруппы М-53 МОКЕЕВА О. А.
Научныйруководитель:
докторф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2009

Оглавление
ПЕРЕЧЕНЬУСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Введение
1Некоторые базисные леммы
2Критерий принадлежности групп, факторизуемыхобобщенносубнормальными />-подгруппами, индексы которых взаимнопросты, наследственно насыщенным формациям
Заключение
Списокиспользованных источников
Перечень условныхобозначений
Рассматриваютсятолько конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
/> --- множество всех натуральныхчисел;
/> --- множество всех простых чисел;
/> --- некоторое множество простыхчисел, т. е. />;
/>
— дополнение к /> во множестве всех простых чисел; вчастности, />;
примарноечисло — любое число вида />.
Буквами/> обозначаются простые числа.
Пусть/> --- группа. Тогда:
/> --- порядок группы />;
/>
— множество всех простых делителей порядка группы />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/>-группа — группа />, для которой />;
/> --- коммутант группы />, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторамивсех элементов группы />;
/> --- подгруппа Фиттинга группы />, т. е. произведение всех нормальныхнильпотентных подгрупп группы />;
/> --- наибольшая нормальная />-нильпотентная подгруппа группы />;
/> --- подгруппа Фраттини группы />, т. е. пересечение всех максимальныхподгрупп группы />;
/> --- наибольшая нормальная />-подгруппа группы />;
/> --- />-холловаподгруппа группы />;
/> --- силовская />-подгруппа группы />;
/> --- дополнение к силовской />-подгруппе в группе />,т. е. />-холлова подгруппа группы />;
/> --- нильпотентная длина группы />;
/> --- />-длинагруппы />;
/> --- минимальное число порождающихэлементов группы />;
/> --- цоколь группы />, т. е. подгруппа, порожденная всемиминимальными нормальными подгруппами группы />;
/> --- циклическая группа порядка />.
Если/> и /> --- подгруппыгруппы />, то :
/> --- /> являетсяподгруппой группы />;
/> --- /> являетсясобственной подгруппой группы />;
/> --- /> являетсянормальной подгруппой группы />;
/>
— ядро подгруппы /> в группе />, т. е. пересечение всех подгрупп,сопряженных с /> в />;
/> --- нормальное замыкание подгруппы/> в группе />,т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с /> подгруппамигруппы />;
/> --- индекс подгруппы /> в группе />;
/>;

/> --- нормализатор подгруппы /> в группе />;
/> --- централизатор подгруппы /> в группе />;
/> --- взаимный коммутант подгрупп /> и />;
/> --- подгруппа, порожденнаяподгруппами /> и />.
Минимальнаянормальная подгруппа группы /> --- неединичнаянормальная подгруппа группы />, не содержащаясобственных неединичных нормальных подгрупп группы />;
/> --- /> являетсямаксимальной подгруппой группы />.
Если/> и /> --- подгруппыгруппы />, то:
/> --- прямое произведение подгрупп /> и />;
/> --- полупрямое произведениенормальной подгруппы /> и подгруппы />;
/> --- /> и/> изоморфны;
/> --- регулярное сплетение подгрупп /> и />.
Подгруппы/> и /> группы /> называются перестановочными, если />.
Группу/> называют:
/>-замкнутой, если силовская />-подгруппа группы /> нормальнав />;
/>-нильпотентной, если />-холлова подгруппа группы /> нормальна в />;
/>-разрешимой, если существуетнормальный ряд, факторы которого либо />-группы,либо />-группы;
/>-сверхразрешимой, если каждый ееглавный фактор является либо />-группой, либоциклической группой;
нильпотентной,если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой,если существует номер /> такой, что />;
сверхразрешимой,если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическаягруппа — неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальнуюподгруппу.
/>-замкнутая группа — группа,обладающая нормальной холловской />-подгруппой.
/>-специальная группа — группа,обладающая нильпотентной нормальной холловской />-подгруппой.
/>-разложимая группа — группа,являющаяся одновременно />-специальной и />-замкнутой.
ГруппаШмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которойнильпотентны.
Добавлениемк подгруппе /> группы /> называетсятакая подгруппа /> из />, что />.
Цепь--- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Рядподгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая черезединицу.
Рядподгрупп /> называется:
субнормальным,если /> для любого />;
нормальным,если /> для любого />;
главным,если /> является минимальной нормальнойподгруппой в /> для всех />.
Классгрупп — совокупность групп, содержащая с каждой своей группой /> и все ей изоморфные группы.
/>-группа — группа, принадлежащаяклассу групп />.
Формация--- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если/> --- класс групп, то:
/> --- множество всех простыхделителей порядков всех групп из />;
/> --- множество всех тех простыхчисел />, для которых />;
/> --- формация, порожденная классом />;
/> --- насыщенная формация,порожденная классом />;
/> --- класс всех групп />, представимых в виде
/>
где/>, />;
/>;
/> --- класс всех минимальных не />-групп, т. е. групп не принадлежащих />, но все собственные подгруппы которыхпринадлежат />;
/> --- класс всех />-групп из />;
/> --- класс всех конечных групп;
/> --- класс всех разрешимых конечныхгрупп;
/> --- класс всех />-групп;
/> --- класс всех разрешимых />-групп;
/> --- класс всех разрешимых />-групп;
/> --- класс всех нильпотентныхгрупп;
/> --- класс всех разрешимых групп снильпотентной длиной />.
Если/> и /> --- классыгрупп, то:
/>.
Если/> --- класс групп и /> ---группа, то:
/> --- пересечение всех нормальныхподгрупп /> из /> таких,что />;
/> --- произведение всех нормальных />-подгрупп группы />.
Если/> и /> --- формации,то:

/> --- произведение формаций;
/> --- пересечение всех />-абнормальных максимальных подгрупп группы />.
Если/> --- насыщенная формация, то:
/> --- существенная характеристикаформации />.
/>-абнормальной называетсямаксимальная подгруппа /> группы />, если
/>, где /> 
— некоторая непустая формация.
/>-гиперцентральной подгруппой в /> называется разрешимая нормальная подгруппа /> группы />,если /> обладает субнормальным рядом /> таким, что
(1)каждый фактор /> является главным фактором группы />;
(2)если порядок фактора /> есть степень простогочисла />, то />.
/> --- />-гиперцентргруппы />, т. е. произведение всех />-гиперцентральных подгрупп группы />.

Введение
Известно,что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведениянормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведениянормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этимможно сформулировать следующую проблему.
Проблема.Классифицировать наследственные насыщенные формации /> стем свойством, что любая группа />, где /> и /> --- />-субнормальные />-подгруппывзаимно простых индексов, принадлежит />.
Именноизучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечныхразрешимых групп получено полное решение данной проблемы.

1 Некоторые базисные леммы
Вданном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются придоказательстве основного раздела данной главы.
1.1Лемма[18-A]. Пусть /> --- насыщенная формация, /> принадлежит /> иимеет нормальную силовскую />-подгруппу /> для некоторого простого числа />. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)/>;
2)/>, где /> ---любое дополнение к /> в />.
Доказательство.Так как />, то />,а значит, />. Так как /> иформация /> насыщенная, то /> не содержится в />.Так как /> --- элементарная группа, то потеореме 2.2.16, /> обладает />-допустимым дополнением /> в />. Тогда />, />. Если />, то /> отличнаот /> и, значит, принадлежит />. Но тогда, ввиду равенства />, имеем
/>
отсюдаследует /> и />.Тем самым доказано, что />.
Докажемутверждение 2). Очевидно, что /> является />-корадикалом и единственной минимальнойнормальной подгруппой группы />, причем />. Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,
/>

Очевидно,
/>. Если />,то
/>
отсюда/>. Значит, />.Лемма доказана.
Пусть/> и /> --- произвольныеклассы групп. Следуя [55], обозначим через /> ---множество всех групп, у которых все />-подгруппыпринадлежат />.
Если/> --- локальный экран, то через /> обозначим локальную функцию, обладающуюравенством /> для любого простого числа />.
1.2Лемма[18-A]. Пусть /> и /> ---некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:
1)/> --- наследственный класс;
2)/>;
3)если />, то />;
4)если />, то /> ---класс всех групп;
5)если /> --- формация, а /> --- насыщенный гомоморф, то /> --- формация;
6)если />, />,/> --- некоторые классы групп и /> --- наследственный класс, то /> в том и только в том случае, когда />;
7)если /> и /> ---гомоморфы и />, то />.
Доказательство.Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно изопределения класса групп />.
Пусть/>, /> --- нормальнаяподгруппа группы /> и /> ---/>-подгруппа из />.Пусть /> --- добавление к /> в />. Покажем, что />. Предположим противное. Пусть /> не входит в />.Тогда /> обладает максимальной подгруппой />, не содержащей />.Поэтому />, а значит, />,что противоречит определению добавления.
Таккак /> --- насыщенный гомоморф, то />. Но тогда /> и/>. Значит, класс /> замкнутотносительно гомоморфных образов.
Пусть/>. Пусть /> ---/>-подгруппа из />.Тогда />, а значит ввиду определения класса/>, имеем
/>
Таккак /> --- формация и />,то отсюда получаем, что />. Таким образом, />.
Докажемутверждение 6). Пусть />, />.Если /> не входит в />, то получается, что каждая />-подгруппа из /> принадлежит/>, а значит, />.Получили противоречие. Поэтому />.
Покажем,что />. Предположим, что множество /> непусто, и выберем в нем группу /> наименьшего порядка. Тогда /> не входит в />.Пусть /> --- собственная подгруппа из />. Так как классы /> и/> --- наследственные классы, то />. Ввиду минимальности /> имеем/>. Значит, />.Получили противоречие. Поэтому />.
Докажемутверждение 7). Пусть /> и /> ---/>-подгруппа из группы />.Отсюда следует, что />, />.А это значит, что />. Отсюда нетруднозаметить, что />. Следовательно, />. Итак, />.Лемма доказана.
1.3Лемма[18-A]. Пусть /> --- наследственная насыщеннаяформация, /> --- ее максимальный внутреннийлокальный экран. Тогда и только тогда />-корадикаллюбой минимальной не />-группы является силовскойподгруппой, когда:
1)/>;
2)формация /> имеет полный локальный экран /> такой />,что /> для любого /> из/>.
Доказательство.Необходимость. Пусть /> --- максимальныйвнутренний локальный экран формации />. Пусть /> --- произвольное простое число из />. Так как /> ---насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2, /> ---формация.
Пусть/> --- формация, имеющая локальный экран /> такой, что /> длялюбого /> из />.Покажем, что />. Согласно теореме 2.2.13, /> --- наследственная формация для любого /> из />.Отсюда нетрудно заметить, что /> для любого /> из />.А это значит, что />.
Пусть/> --- группа минимального порядка из />. Так как />---наследственная формация, то очевидно, что /> ---наследственная формация. А это значит, что /> и/>. Покажем, что /> ---полный локальный экран, т. е. /> для любого /> из />.Действительно. Пусть /> --- произвольная группаиз />. Отсюда />.Пусть /> --- произвольная />-группа из />.Так как />, то />.Отсюда />. Так как /> ---полный экран, то />. А это значит, что />. Следовательно, />.Отсюда нетрудно заметить, что />. Теперь,согласно теореме 2.2.5, />, где /> --- единственная минимальная нормальнаяподгруппа группы />, /> ---/>-группа и />.Так как /> и />,то />. Отсюда />.Противоречие. Итак, />. Покажем, что /> для любого /> из/>. Пусть /> и/> --- />-группа.Пусть /> --- произвольная />-подгруппа из />.Тогда />. Отсюда />.А это значит, что />. Противоречие.
Достаточность.Пусть /> --- произвольная минимальная не />-группа. Так как /> разрешима,то по теореме 2.2.5,
/>
где/> --- />-группа,/>. Согласно условию, /> ---/>-группа. А это значит, что /> --- />-замкнутаягруппа. Но тогда, /> --- />-замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1, /> --- силовская подгруппа группы />. Лемма доказана.
1.4Лемма[18-A]. Пусть /> --- наследственная насыщеннаяформация, /> --- ее максимальный внутреннийлокальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не />-группа бипримарна и />-замкнута,где />, когда:
1)/>;
2)формация /> имеет полный локальный экран /> такой, что /> илюбая группа из /> является примарной />-группой для любого простого /> из />.
Доказательство.Необходимость. Пусть /> --- произвольнаяминимальная не />-группа. Согласно условию,/> --- бипримарная />-замкнутаягруппа, где />. По лемме 4.1.1, />. Согласно лемме 4.1.3, формация /> имеет полный локальный экран /> такой, что /> и/> для любого простого /> из/>. Покажем, что любая группа из /> примарна. Предположим противное. Тогдасуществует группа /> и />. Пусть /> ---группа наименьшего порядка такая, что />.Очевидно, что /> и />.Нетрудно заметить, что /> и /> имеетединственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18,существует точный неприводимый />-модуль />, где /> ---поле из /> элементов.
Пусть/>. Покажем, что />.Поскольку /> и />,то />.
Пусть/> --- собственная подгруппа из />. Покажем, что />.Пусть />. Если />,то />. Следовательно, />.Пусть />. Тогда /> ---собственная подгруппа из />. А это значит,что /> и />. Так как /> и /> ---наследственная формация, то />. Но тогда и />, а значит и />.
Пустьтеперь />. Так как />,то /> и />. Отсюда следует,что />. Итак, />.Cогласно условию, /> бипримарна, чтоневозможно, т. к. />.
Достаточность.Пусть /> --- произвольная минимальная не />-группа. Согласно условию, /> разрешима. По теореме 2.2.5,
/>
где/> --- />-группа,/>.
Согласноусловию, /> --- примарная />-группа. А это значит, что /> --- бипримарная />-замкнутаягруппа. Но тогда /> --- бипримарная />-замкнутая группа. Лемма доказана.
2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенносубнормальными />-подгруппами, индексыкоторых взаимно просты, наследственнонасыщенным формациям
Вданном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификациянаследственных насыщенных формаций />, замкнутыхотносительно произведения обобщенно субнормальных />-подгрупп,индексы которых взаимно просты.
2.1Теорема[18-A]. Пусть /> --- наследственная насыщеннаяформация, /> — ее максимальный внутреннийлокальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)формация /> содержит любую группу />, где /> и/> --- />-субнормальные/>-подгруппы и индексы />,/> взаимно просты;
2)любая минимальная не />-группа /> либо бипримарная />-замкнутаягруппа />, либо группа простого порядка;
3)формация /> имеет полный локальный экран /> такой, что /> илюбая группа из /> является примарной />-группой для любого простого /> из />.
Доказательство.Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть/> --- произвольная минимальная не />-группа. Предположим, что />, где /> ---характеристика формации />. Покажем, что /> --- группа простого порядка. Пусть />. Тогда существует простое число />, />. Так как />, то />,что невозможно. Итак, /> --- примарная />-группа. Так как />,то, очевидно, что />.
Пустьтеперь />. Рассмотрим случай, когда />.
Покажем,что /> имеет единственную минимальную нормальную подгруппу/>. Предположим противное. Тогда /> содержит, по крайней мере, две минимальныенормальные подгруппы /> и />.Так как />, то в группе /> найдутся максимальные подгруппы /> и /> такие, что />, />. Так как /> и /> принадлежат />, />, />, то />,/>. Так как /> ---формация, то />. Получили противоречие. Итак, />, где /> ---единственная минимальная нормальная />-подгруппа группы/>.
Покажем,что /> --- примарная />-группа,где />. Предположим, что существуют простые числа />, где />.Тогда в /> найдутся максимальные подгруппы /> и /> такие, что /> --- />-число,/> --- />-число.Рассмотрим подгруппы /> и />.Очевидно, что индексы /> и /> взаимнопросты. Так как /> и />,то />. Согласно лемме 3.1.4, подгруппы /> и /> />-субнормальны в />.Так как /> --- минимальная не />-группа, /> и/> --- собственные подгруппы группы />, то /> и/>. Так как />,то согласно условию, />. Получили противоречие.
Покажем,что /> --- />-группа,где />. Предположим, что />.Так как />, то согласно лемме 3.1.4, /> --- />-субнормальнаяподгуппа группы />. Рассмотрим подгруппу />. Так как /> ---собственная подгруппа /> и />,то />. Согласно лемме 3.1.4, /> --- />-субнормальнаяподгруппа />. Очевидно, что /> --- />-субнормальнаяподгруппа />. По лемме 3.1.4, /> --- />-субнормальнаяподгруппа группы />. Так как />, то из /> иусловия теоремы следует, что />. Получилипротиворечие. Итак, /> --- />-группа. Тогда /> ---бипримарная />-замкнутая группа, где />.
Пусть/>. Рассмотрим фактор-группу />. Так как />,то, как показано выше, /> --- бипримарная />-замкнутая группа. Отсюда следует, что /> --- бипримарная />-замкнутаягруппа.
Излеммы 4.1.4 следует, что утверждение 3) следует из 2).
Покажем,что из 3) следует 1).
Пусть/> --- группа наименьшего порядка такая, что />, где /> и/> --- />-субнормальные/>-подгруппы группы /> взаимнопростых индексов, то />. Так как /> --- разрешимая группа и />, где />,то нетрудно заметить, что />, где /> и /> --- холловскиеподгруппы группы />, /> и/>, />, где />, /> --- некоторыеэлементы группы />.
Пусть/> --- собственная подгруппа группы />. Покажем, что />.Так как /> --- разрешимая группа, то согласнотеореме Ф. Холла [63], />, где />, />, где />, /> --- некоторыеэлементы из />. Согласно лемме 3.1.4, /> и /> --- />-субнормальные подгруппы группы />. Так как /> и/>, а /> ---наследственная формация, то /> и /> --- />-субнормальныеподгруппы /> и /> соответственно.Согласно лемме 3.1.4, нетрудно показать, что /> и/> --- />-субнормальныеподгруппы группы />, а значит, согласно лемме3.1.4 и в />. Так как />,то по индукции, получаем, что />. А это значит,что /> --- минимальная не />-группа.
Если/> --- группа простого порядка, то ее нельзяпредставить в виде произведения собственных подгрупп взаимно простых индексов.
Пусть/> --- бипримарная группа. Тогда согласно лемме4.1.4, />. Согласно лемме 4.1.1, />. А это значит, что все подгруппы группы />, содержащие /> />-абнормальны, т. е. группа /> не представима в виде произведениясобственных />-субнормальных />-подгрупп взаимно простых индексов. Получилипротиворечие. Теорема доказана.
Напомним,что формация /> называется 2-кратно насыщенной,если она имеет локальный экран /> такой, что /> --- насыщенная формация для любого простогочисла /> из />.
Следующаятеорема доказана в классе конечных разрешимых групп.
2.2Теорема [18-A].Пусть /> --- наследственная 2-кратнонасыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)формация /> содержит любую группу />, где /> и/> --- />-субнормальные/>-подгруппы из /> взаимнопростых индексов;
2)/> --- формация Шеметкова;
3)формация /> содержит любую группу />, где /> и/> --- />-субнормальные/>-подгруппы из />;
4)/>.
Доказательство.Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть/> --- произвольная минимальная не />-группа. Рассмотрим случай, когда />. Как и в теореме 4.2.1 можно показать, чтолибо /> --- группа простого порядка />, где />,либо />, где /> и/> из />.А также нетрудно показать, что /> --- единственнаяминимальная нормальная подгруппа группы />.А это значит, что />. Пусть /> --- максимальный внутренний локальный экранформации />. Если />,то из полноты экрана /> следует, что />. Так как /> ---внутренний экран, то />. А это значит, что />. Противоречие. Итак, />.
Покажем,что />. Предположим, что это не так. Тогда в /> найдется неединичная собственная подгруппа />. Рассмотрим подгруппу />. Так как /> ---минимальная не />-группа и /> --- собственная подгруппа />, то />.Покажем, что />. Если это не так, то в /> существует неединичная нормальная />-подгруппа />.Тогда />. Так как />,то />, что невозможно. Согласно лемме 2.2.12, />. Отсюда />.Так как />, то />.А это значит, что />. Так как /> --- насыщенная формация, то />. Следовательно, />,что невозможно. Итак, />, значит, /> --- группа Шмидта. Итак, /> --- группа Шмидта. По лемме 3.1.1, /> --- группа Шмидта.
Тотфакт, что из 2) /> 3) следует из теоремы2.2.19; 3) /> 4) следует из теоремы 2.2.10; 4) /> 1) следует из теоремы 2.2.10. Теоремадоказана.
Очевидно,что любая сверхрадикальная формация /> содержит любуюгруппу />, где /> и/> />-субнормальны в /> и принадлежат /> иимеют взаимно простые индексы в />.
Следующийпример показывает, что существует несверхрадикальная наследственная насыщеннаяформация />, содержащая любую группу />, где /> и/> />-субнормальны в /> и принадлежат /> иимеют взаимно простые индексы в />.
2.3Пример.Пусть /> --- формация всех сверхразрешимыхгрупп, а /> --- формация всех />-групп, где />,/> и /> --- различныепростые числа. Рассмотрим формацию />. Так каксуществуют минимальные не />-группы, которыене являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то /> не является формацией Шеметкова. Так как />, то согласно теореме 3.3.9, формация /> не является сверхрадикальной формацией.
Сдругой стороны хорошо известно, что любая минимальная несверхразрешимая группа /> />-замкнута, где />. Очевидно, что любая минимальная не />-группа /> являетсялибо группой простого порядка, либо бипримарной />-замкнутойгруппой, где />. Теперь из теоремы 4.2.1 следует,что /> содержит любую группу />, где />,/> и /> принадлежат /> и /> и /> --- субнормальны в />.
Заключение
Вглаве 1 доказаны леммы, которые используются для доказательства основныхрезультатов главы 2.
Вглаве 2 важную роль сыграл метод экстремальных классов, разработанный в работеКартера, Фишера, Хоукса [55] и метод критических групп, разработанный В.Н.Семенчуком в работе [19]. С помощью этих методов в классе конечных разрешимыхгрупп получено описание наследственных насыщенных формаций />, содержащих любую группу />, где />,/> и /> принадлежат /> и /> и /> --- />-субнормальныв />, теорема 2.1 .
Доказано,что любая разрешимая /> --- наследственная2-кратно насыщенная формация, обладающая отмеченным выше свойством, являетсясверхрадикальной, теорема 2.2 .
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. Омаксимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев //Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос.ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1990. — Вып.5. — С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. Орешетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н.Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-тматематики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. — Киев, 1993. — С.27--54.
3. Васильев, А.Ф. Овлиянии примарных />-субнормальных подгрупп настроение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-вообр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.:Л.А. Шеметков [и др.]. — Гомель, 1995. — Вып. 8. — С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. Оконечных группах с />-достижимыми силовскимиподгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. — Гомель, 2006. — 18 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. Олокальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. — 1989. — Т. 46, № 3. — С. 32--37.
6. Казарин, Л.С.Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. Опроизведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. — 1983. — Т. 269, №3. — С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. Онекоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников //Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, № 2. — С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. Одвух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. — 1994.-- Т. 35, № 4. — С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. — Новосибирск, 1992. — 172 с.
11. Коуровская тетрадь(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. — Новосибирск, 1999. — 146 с.
12. Легчекова, Е.В.Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В.Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. — 2007. — Т. 51, №1. — С. 27--33.
13. Монахов, В.С.Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечныегруппы. — 1975. — С. 70--100.
14. Монахов, В.С. Опроизведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С.Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр.БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск:Университетское, 1985. — Вып. 1. — С. 54--57.
15. Мокеева, С.А.Конечные группы с перестановочными />-субнормальными (/>-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. — Гомель, 2003. — 25 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; №56).
16. Прокопенко, А.И. Оконечных группах с />-достижимыми силовскимиподгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф.Скорины. — 2004. — № 6 (27). — С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. Оминимальных не />-группах / В.Н. Семенчук// ДАН БССР. — 1978. — № 7. — С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н.Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1979. — № 1. — С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н.Минимальные не />-группы / В.Н. Семенчук //Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н.Конечные группы с системой минимальных не />-подгрупп/ В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математикиАН БССР. — Минск: Наука и техника, 1981. — С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н.Минимальные не />-группы / В.Н. Семенчук //Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-тматематики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н.Характеризация локальных формаций /> по заданнымсвойствам минимальных не />-групп / В.Н.Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строенияконечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984.-- С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н.Описание разрешимых минимальных не />-групп дляпроизвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1988. — Т. 43, № 4. — С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. Оразрешимых минимальных не />-группах / В.Н.Семенчук // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское, 1987. — Вып. 3. — С.16--21.
25. Семенчук, В.Н. Рольминимальных не />-групп в теории формаций /В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1991. — Т. 98, № 1. — С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н.Конечные группы с />-абнормальными или />-субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук// Матем. заметки. — 1994. — Т. 56, № 6. — С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н.Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. — 1995. — Т. 36, № 4. — С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н.Разрешимые />-радикальные формации / В.Н.Семенчук // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, № 2. — С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Ободной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. — 1996.-- № 3. — С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. Оразрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — 1997. — № 11. — С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н.,Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не />-групп/ В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. — 1998. — № 4 (431). — С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н.Классификация локальных наследственных формаций критические группы которыхбипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины.-- 1999. — № 1 (15). — С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н.Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАНБеларуси. — 2000. — Т. 44, № 5. — С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н.Конечные группы, факторизуемые />-достижимымиподгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-таим. Ф. Скорины. — 2002. — № 5 (14). — С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Ободном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. — 1990. — Т. 34, № 11. — С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебраформаций / А.Н. Скиба. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.
37. Старостин, А.И. Оминимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем.заметки. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н.Факторизации />-нильпотентными сомножителями /В.Н. Тютянов // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 9. — С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. Оспециальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1929. — Т. 36, № 2. — С.135--137.
40. Чунихин, С.А. Оспециальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1933. — Т. 40, № 1. — С.39--41.
41. Чунихин, С.А. Огруппах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1938.-- Т. 4 (46), № 3. — С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. Осуществовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара потеории групп. — ГОНТИ, М.--Л. — 1938. — С. 106--125.
43. Чунихин, С.А.Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. — Минск: Наука и техника, 1964. — 158 с.
44. Шеметков, Л.А.Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
45. Шеметков, Л.А.Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1981. — Т. 25, №8. — С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. Опроизведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1984. — Т. 28, № 2. — С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А.Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. — М.: Наука, 1989.-- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы,все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. — 1924. — Т. 31,№ 3. — С. 366--372.
49.Ballester-Bolinches, A. On the lattice of />-subnormalsubgroups / A. Ballester-Bolinches, К.Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1992. — Vol. 148, № 2. — P. 42--52.
50.Ballester-Bolinches, A. On />-critical groups/ A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1995. — Vol. 174.-- P. 948--958.
51.Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A.Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1996. — Vol. 179. — P. 905--917.
52.Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M.Ezquerro. — Springer, 2006. — 385 p.
53. Bryce, R.A.Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z.-- 1972. — Bd. 127, № 3. — S. 217--233.
54. Carter, R.O.The />-normalizers of a finite soluble group / R.Carter, T. Hawkes // J. Algebra. — 1967. — Vol. 5, № 2. — Р.175--202.
55. Carter, R.Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher,T. Hawkes // J. Algebra. — 1968. — Vol. 9, № 3. — P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimalnicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. — 1966. — Vol.91. — P. 198--205.
57. Doerk, K.Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes.-- Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. — 891 p.
58. Fisman, E.On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. — 1983. — Vol. 80, № 2. — P. 517--536.
59. Gaschutz, W.Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. — Vol. 80,№ 4. — P. 300--305.
60. Guo, W. TheTheory of Classes of Groups / W. Guo. — Dordrecht — Boston — London: KluwerAcademic Publishers, 2000. — 257 p.
61. Guo, W.X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba //J. Algebra. — 2007. — Vol. 315. — P. 31--41.
62. Hall, P. Anote on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1928. — Vol. 3.-- P. 98--105.
63. Hall, P. Onthe Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1937. — Vol. 43. — P. 316--323.
64. Hawkes, T.On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. — 1970. — Vol. 117. — P.177--182.
65. Huppert, B.Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math.Z. — 1954. — Vol. 60. — P. 409--434.
66. Ito, N. Noteon (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. — 1951.-- Vol. 1--2. — P. 1--6.
67. Kazarin,L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. — 1986. — Vol. 14, № 6. — P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H.Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. — 1961. — Vol. 12, № 2. — P.90--93.
69. Kegel, O.H.Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echtenthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. — 1978. — Bd. 30, № 3. — S. 225--228.
70. Miller, G.A.Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno// Trans. Amer. Math. Soc. — 1903. — Vol. 4. — P. 398--404.
71. Semenchuk,V.N. Finite groups with permutable />-subnormal and />-accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A.Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August4--9. — 2003. — P. 153--154.
72. Thompson,J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G.Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. — 1968. — Vol. 74. — P. 383--437.
73. Wielandt, H.Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z.-- 1939. — Bd. 45. — S. 209--244.
74. Wielandt, H.Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z.-- 1958. — Bd. 69, № 8. — S. 463--465.
75. Wielandt, H.Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. — 1958. — Vol. 2, № 4B. — P. 611--618.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Общественно-экономическое и политическое развитие Украины в 50-60-х гг. ХХ в.
Реферат Игровые приемы обучения как средство формирования грамматических навыков у учащихся начальных
Реферат Роль образа Ольги в романе Евгений Онегин
Реферат Бюджетирование и контроль затрат 3
Реферат Система гигиенического обеспечения подготовки спортсменов в аэробике
Реферат Аннотация рабочей программы наименование дисциплины Цифровые методы обработки изображений (указывается наименование в соответствии с учебным планом)
Реферат Java технология. (Укр.)
Реферат Vietnam War Essay Research Paper Vietnam was
Реферат 186422. doc Вопросы «оценка недвижимости»
Реферат Национальная библиотека Беларуси как центр корпоративного взаимодействия библиотек страны
Реферат Постмодернизм как общекультурное направление конца XX начала XXI вв
Реферат Рыночная цена
Реферат Сомалийский национальный альянс
Реферат Тренинг "Регуляция эмоционального состояния"
Реферат Винний туризм, як перспективний різновид туристичних подорожей