Реферат по предмету "Математика"


Загальні властивості неперервних функцій

Загальні властивості неперервних функцій
Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Функція />, визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.

Для функції однієї змінної замкненою областю Dє сегмент, наприклад, [а, b].

Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х), неперервна на [а, b], є обмеженою.

Зауваження. Теорема 3 не виконується, якщо область Dвідкрита. Наприклад, у = />неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.

Теорема 4. (про знак функції). Якщо функція />неперервна в точці А/>і f(А) ≠ 0, то функція в до­статньо малому околі точки А зберігає знак.

Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:

якщо функція у = f(х) неперервна в точці а і f(а) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки а зберігає знак.

Дійсно, нехай />, наприклад, f(а) > 0. Покажемо, що для будь-якого />> 0 можна знайти таке />> 0, що для всіх х />(а — />, а + />) виконується нерівність f(х) > 0.

Побудуємо />-окіл точки а і />-окіл точки f(а) (рис. 3.75).

Якщо взяти />= min(h1h2), то завжди можна побудувати прямокутник із сторонами 2/>і 2/>такий, що f(х) > 0.

Теорема 5 (про корінь функції). Якщо функція />визначена і неперервна в деякій однозв'язній області D, причому в цій області дві точки А (а1 а2, ..., аn) і В (b1, b2, ..., bn), в яких функція набуває значень різних знаків:

f(А) ,

то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.

/>
Введемо поняття однозв'язної області. Множина точок простору Е„ називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0≤ t≤ Т за допомогою системи функцій

/>
неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра tвідповідають, дві різні точки.

Якщо точка М0(/>, (t), />,…, />збігається з точкою />, то крива називається прос­тою замкненою кривою.

Розглянемо просту криву, задану рівняннями

х = х(t), y= y(t) (5.18)

на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площи­ні, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається зв'язною. Для утворення однозв'язної обла­сті необхідно розглядати замкнену криву (5.18).

Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина розіб'ється на дві області — внутрішню і зовнішню.

Область Dна площині називається однозв'язною, якщо будь-яка область внутрішня відносно простої довільної замкненої кривої, яка міститься в D, також міститься в D. На рис. 3.76 області а і б однозв'язні, а область в — неоднозв'язна. Поняття зв'язної і однозв'язної областей поширюється і на випадок n-вимірного простору.

Для функції однієї змінної теорема 5 формулюється таким чи­ном: якщо у = f(х) неперервна на [а, b]і на кінцях сегмента на­буває значень різних знаків, то всередині сегмента знайдеться принаймні одна точка />така, що f(/>) = 0.

Точка />називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).

На рис. б — три корені, а на рис., a— один.

Теорема 6 (про проміжне значення). Якщо функція />неперервна в зв'язній області D (відкритій або замкненій) і набуває різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число С, що міститься між значеннями f(М1) і f(М2), існує принаймні одна така точка М3, яка лежить всередині D, що

f(М3) = С

Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:

якщо у = f(х) неперервна у проміжку />і набуває різних значень у двох точках а і bсегмента [а, b] />/>f(a) = А і f(b) = В, то для будь-якого С, що лежить між А і В, А ,що С = f(/>).

Доведення. Нехай А

Для цієї функції

/>

/>
Функція Н(х) неперервна на [а, b] як різниця двох неперервних функцій f(х) і сталої />(х)= С. Отже, до функції Н(х) застосованатеорема про корінь. Тоді на [а, b] існує точка />така, що Н(/>) = 0, тобто

/>

Звідси

/>

що й треба було довести.

Теорема 7 (про найменше і найбільше значення). Якщо функція />неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:

m ≤ f(X) ≤ M.

/>
/>
Числа т і М називаються найменшим і найбільшим значен­нями функції. При цьому в області Dзнайдеться принаймні одна точка Х1/>D, в якій функція f(X1) набуває найменшого значення f(Х1) = т; і принаймні одна точка Х2/>D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х2) = М.

Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної:

якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмеже­на, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними чи­слами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значен­нями функції на сегменті [а, b].

m ≤ f(x) ≤ M.

На рис. зображена неперервна на [а, b]функція, у якої є точки />і />такі, що

/>

і одна точка х2, в якій f(х2) = М.

Теорема 8 (Кантора). Якщо функція />неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.

Теорему наводимо без доведення.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Jungle 5 Essay Research Paper The Jungle
Реферат А. В. Кобелев, А. С. Николаев, В. Н
Реферат Інструктыўна-метадычнае пісьмо Міністэрства адукацыі Рэспублікі Беларусь да 2011/2012 навучальнага года
Реферат Славяно-греко-латинская школа в Ростове
Реферат Проектирование ГИС и расчет элементов узлов детектора СВЧ сигналов
Реферат Домери, Шарль
Реферат 1. Утвердить прилагаемую долгосрочную целевую программу Иркутской области "Социальная поддержка населения Иркутской области" на 2009 2013 годы
Реферат Эффективные педагогические условия проведения внеклассной работы в школе
Реферат Уральский край в составе русского государства XVII в.
Реферат Вторжение США в Панаму
Реферат Елизавета Валуа
Реферат Методики оцінки фінансового стану банків України
Реферат Джулиани, Рудольф
Реферат СБ ОУН б
Реферат Философия и наука. Специфика философского знания