Министерство понауке и образованию Российской Федерации
Федеральноеагентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Дальневосточныйгосударственный гуманитарный университет
Институтматематики физики и информационных технологий
Кафедра геометрии
Реферат
На тему:
«Значение решенияпроблемы V постулата Евклида»
Выполнила студентка ИМФиИТ
3 курса ОЗО
О.В.Крылик
Проверил: Доцент кафедры геометрии
Т.А.Тимошенко
ХАБАРОВСК 2008
Длительные неудачи разнообразных попыток вывести пятыйпостулат Евклида из остальных аксиом и постулатов евклидовой геометрииподготовили почву для принципиально иной постановки вопроса о проблемепараллельных линий. Происходило постепенное перерастание задачи доказательствапятого постулата в противоположную задачу: установления его логическойнедоказуемости. Сама природа вопроса наталкивала исследователей на поискирешения на других путях, иногда помимо их намерений или даже наперекор им.
Идея недоказуемости пятого постулата Евклида с началаXVIII века проявляется во всё более отчётливой форме и во всё болеесодержательном виде, пока не приводит к окончательному утверждению логическойвозможности новой геометрии, где пятый постулат Евклида не имеет места. Кначалу XIX века «проблема пятого постулата» Евклида настолько назрела, что быларешена почти одновременно и независимо друг от друга несколькими различнымилицами.
Возможно, что и сам Евклид пытался доказать постулат опараллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28предложений «Начал» не опираются на пятый постулат; Евклид как бы старалсяотодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его нестанет настоятельно необходимым.
Со времён Евклида до конца XIX столетия проблема пятогопостулата являлась одной из самых популярных проблем геометрии. За этот периодбыло предложено множество различных доказательств пятого постулата. Однако всеони были ошибочны. Обычно авторы этих доказательств использовали какое-нибудьгеометрическое утверждение, которое оказывалось столь наглядно очевидным, чтопроскальзывало в рассуждениях незаметно для самого автора. Вместе с тем попыткалогически доказать такое утверждение, в свою очередь не опираясь на пятыйпостулат, всегда оканчивалась неудачей.
Конечно, подобные исследования не достигали намеченнойцели, так как смысл проблемы заключался в освобождении евклидовой теориипараллельных от специального постулата, и, таким образом, дело здесь было не втом, чтобы заменить пятый постулат другим утверждением, хотя бы оно и быловесьма очевидным, а в том, чтобы доказать этот постулат, исходя из остальныхпостулатов геометрии.
Нужно заметить, впрочем, что многочисленные попыткидоказательства пятого постулата, несмотря на их тщётность, привели к известнымположительным результатам.
Характерными для периода зарождения идеи недоказуемостипятого постулата являются работы итальянского учёного монаха Джероламо Саккери(1667 – 1733), выпущенные им в свет в 1733 году под названием «Евклид,очищенный от всяких пятен». Само название сочинения указывает на замыселСаккери: довести евклидову геометрию до логического совершенства, причём,конечно, имелось в виду в первую очередь устранить сомнения, связанные с пятымпостулатом, путём его доказательства. С этой целью Саккери применяет методдоказательства от противного. В основе его рассуждений лежит изучение свойствчетырёхугольника ABCD,
Где />=/>=/>и AB=CD. Эта фигура получиланазвание «четырёхугольника Саккери» (хотя О. Хайам рассматривал эту фигуру ещёв XII веке). Рассматривая прямую MN, проведённую перпендикулярно к прямой ADчерез середину отрезка AD, путём перегибания чертежа по прямой MN легкоубедиться, что эта прямая служит осью симметрии фигуры, так что
/>=/>и BN=CN.
Относительно равных углов ABC и DCB Саккери три логическивозможных допущения:
/>=/>>/>(гипотеза тупого угла),
/>=/>=/>(гипотеза прямого угла),
/>=/>(гипотеза острого угла).
Из «гипотезы тупого угла» Саккери выводит, что суммауглов треугольника равна /> и, следовательно, сумма угловчетырёхугольника равна />, так что эта гипотезапротиворечива (по его словам, «сама себя убивает») и должна быть отброшена.
Саккери устанавливает далее, что гипотеза прямого углавлечёт пятый постулат Евклида. Поэтому для доказательства пятого постулатаостаётся только опровергнуть гипотезу острого угла. С этой целью Саккери далекоразвивает систему следствий из этой гипотезы, стремясь прийти к противоречию.Несмотря на непривычность получаемых результатов, ожидаемое противоречие невозникает… В конце концов Саккери изменяет чувство строгости, характерное дляего сочинения, он пускается в туманные заключения о бесконечно удалённых точкахи без достаточного основания делает вывод, что «гипотеза острого углапротиворечит природе прямой линии». Объективно Саккери пришёл к результату,противоречащему поставленной им цели: развивая следствия из гипотезы острогоугла, он получил, не отдавая себе в этом отчёта, ряд предложений новойгеометрии.
В ходе дальнейших исследований идеи новой, неевклидовойгеометрии всё более определённо заявляют о праве на существование, ихлогическая правомерность выделяется всё рельефнее.
Швейцарский учёный Иоганн Генрих Ламберт (1728 – 1777)рассматривал четырёхугольник, три угла которого прямые. Относительно четвёртогоугла он, подобно Саккери, рассматривает три логически возможных предположения(гипотезы).
Ламберт заметил, что гипотеза тупого угла реализуется насфере, если рассматривать на ней дуги больших окружностей в качестве прямых.
В отличие от Саккери Ламберт отчётливо понимал, чтогипотезу острого угла ему опровергнуть не удалось. По этому поводу он замечает:«Должна же существовать причина, почему она не поддаётся опровержению… Гипотезаострого угла влечёт за собой существование абсолютной меры длины. В этом естьнечто восхитительное, что вызывает даже желание, чтобы третья гипотеза быласправедлива… Я готов предположить, что она имеет место на какой-то мнимойсфере». Это предположение Ламберта в дальнейшем оправдалось самым замечательнымобразом.
Швейкарт (1780-1859, профессор права в Харьковскомуниверситете с 1812 по 1817 г.) и Тауринус (1794-1874) уже прямо рассматриваютгеометрию, где сумма углов треугольника не равна />. Швейкарт называет свою геометрию«астральной» (звёздной), желая этим, по-видимому, подчеркнуть, что он несчитает её реально осуществимой в земных условиях. Тауринус строит свою«логарифмо-сферическую» геометрию на сфере мнимого радиуса.
Были и другие авторы, исследовавшие ту или иную сторонуновых геометрических предположений, но их работы не составляли решительногошага в области оснований геометрии, не знаменовали сколь-нибудь значительногоперелома в воззрениях на геометрию. Чтобы широко раскрыть систему новой геометрии,чтобы показать возможность существования какой-либо иной геометрии, помимовеками складывавшейся и утверждавшейся в общественном сознании евклидовойгеометрии, нужно было достигнуть в новой геометрии такой же стройности изаконченности.
Среди работ, посвящённых новой геометрии, выделяетсяработа, известная под названием «Аппендикс», написанная венгерским математикомЯношем Бояи в 1832 году. Отец Яноша, Фаркаш Бояи, всю жизнь занималсядоказательством пятого постулата Евклида, но, конечно, не достиг цели. Будучиразочарованным в этой проблеме, он убедительно и страстно отговаривал сына отзанятий теорией параллельных. «Молю тебя, не делай и ты попытку одолеть теориюпараллельных. Ты затратишь на это всё своё время… Я изучил все пути до конца. Яне встретил ни одной идеи, которая бы не была разработана мною. Я прошёл весьбеспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в нейпохоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту тему, страшись её. Этотбеспросветный мрак… никогда не проясниться на земле…» — писал он сыну. Номолодой Бояи пошёл другим путём: он строил геометрию, «излагающую абсолютноверное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности пятогопостулата Евклида». И уже в 1828 году, в возрасте 21 года, он писал отцу: «Яполучил… замечательные результаты… из ничего я создал целый мир». Идействительно, небольшое сочинение Я.Бояи, увидевшее свет только в 1832 году,содержит довольно развитое и систематическое изложение основ новой геометрии.Но это сочинение осталось в своё время незамеченным, не было понятосовременниками Бояи.
Необходимы были огромное гражданское мужество,убеждённость и самоотверженная настойчивость в пропаганде идей новой геометрии,чтобы преодолеть косность современников и вековые традиции геометрии.
Характерна в истории открытия неевклидовой геометрии рольодного из крупнейших математиков того времени К.Ф.Гаусса (1777-1855). Он многолет занимался теорией параллельных и ещё в 1824 году писал Тауринусу:«Допущение, что сумма углов треугольника меньше />, приводит к своеобразнойгеометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил её для себявполне удовлетворительно». Однако за всю свою жизнь Гаусс среди множества своихнаучных работ не решился опубликовать ни одного исследования по неевклидовойгеометрии. «Я боюсь крика беотийцев, который поднимется, когда я выскажу своивоззрения»,- писал он Бесселю, намекая на ограниченность современных математическихкругов. Осторожность Гаусса в отношении к вопросам неевклидовой геометрии нетолько не позволила ему выступить от своего имени, но помешала даже поддержатьсвоим авторитетом других новаторов геометрии: он умалчивал об их открытиях ирасхолаживал обращавшихся к нему авторов в их намерениях. «Осы, гнездо которыхвы разрушаете, подымутся над Вашей головой»,- писал он Герлингу, приславшемуему свою работу о параллельных. Восторженно отзываясь в одном из частных писемоб «Аппендиксе» и называя молодого Бояи «гением первой величины», Гаусс тем неменее не оказал ему необходимой моральной поддержки и в отзыве, направленномего отцу, выражался очень сдержанно и подчёркивал, что открытия Яноша для неголично не являются новыми.
Подлинным творцом неевклидовой геометрии, еёсистематизатором и первым пропагандистом был наш великий соотечественник НиколайИванович Лобачевский.
Н.И.Лобачевский и его геометрия. До начала XIX столетияни одна из попыток доказать пятый постулат не привела к желаемому результату. Несмотряна усилия геометров, потраченные на протяжении более чем двадцати веков, задачаобоснования теории параллельных, по существу, оставалась всё в той же стадии,как и во времена Евклида.
Но первые же десятилетия XIX века принесли, наконец,решение проблемы пятого постулата; только решение это оказалось таким, какогоне ждал и к какому не был подготовлен математический мир этой эпохи.
Слава решения этой знаменитой проблемы принадлежитпрофессору Казанского университету Николаю Ивановичу Лобачевскому (1793-1856).В его докладе физико-математическому факультету Казанского университета,публиковавшихся, начиная с 1829 года, впервые отчётливо выражена и подтвержденамысль о том, что пятый постулат не может быть выведен из остальных постулатовгеометрии. Чтобы доказать это, Лобачевский, сохраняя основные посылки Евклида,кроме постулата параллельных не осуществляется, и строит логическую систему,предложения которой являются следствиями принятых посылок.
Многие из предложений, которые получил Лобачевский, встречалисьу Саккери и Ламберта при развитии гипотезы острого угла. Это и понятно, так какгипотеза острого угла Саккери и исходные посылки Лобачевского эквивалентны. Нов то время, как Саккери ставил себе целью показать, что гипотеза острого углаведёт к противоречию и должна быть отвергнута как логически недопустимая,-Лобачевский, развивая систему своих теорем, устанавливает, что эта системапредставляет собой новую геометрию (он назвал её «Воображаемой»), которая, каки евклидова, свободна от логических противоречий.
Воображаемую геометрию Лобачевский развил до таких жепределов, до каких была развита геометрия Евклида. При этом Лобачевский невстретил в ней каких-либо логических противоречий. Однако он отчётливо понимал,что это обстоятельство само по себе не доказывает, что Воображаемая геометриядействительно непротиворечива, так как если противоречия имеются, то заранеенельзя предвидеть, на какой стадии развёртывания системы они могут обнаружиться.Чтобы доказать непротиворечивость своей геометрии, Лобачевский предпринялглубокий алгебраический анализ основных её уравнений и тем самым дал решениеэтого вопроса в такой мере удовлетворительное, в какой это было возможно длятого времени.
Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевскогона современном уровне строгости дано в конце XIX века после установления общихпринципов логического обоснования геометрии.
Результаты исследований Лобачевского можно резюмироватьследующим образом:
Постулат о параллельных не является необходимымследствием остальных постулатов геометрии (как говорят, логически от них независит).
Пятый постулат именно не вытекает из остальныхпостулатов, что наряду с геометрией Евклида, в которой этот постулат верен,возможна другая, «Воображаемая» геометрия, в которой не имеет места.
Лобачевский был учёным-материалистом. Материалистическиевзгляды он явно и настойчиво высказывал в своих сочинениях. Он безоговорочноотвергал возможность априорных знаний, в частности, кантианский тезис о том,что наши пространственные представления являются врождёнными и не имеютопытного происхождения. «Первые понятия, с которых начинается какая-нибудьнаука,- пишет Лобачевский,- должны быть ясны, и приведены к самому меньшемучислу. Тогда они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такиепонятия приобретаются чувствами; врождённым – не должно верить» («О началахгеометрии», 1829).
Лобачевский глубоко и тонко понимал соотношение междугеометрией Евклида и своей неевклидовой геометрией: обе геометрии логическинепротиворечивы, и поэтому безнадёжны всякие попытки логически доказать, чтоединственно истинной является только первая из них; вопрос же о том, какая изэтих геометрий более соответствует свойствам реального пространства, долженбыть решён опытом.
«В моём сочинении о началах геометрии,- пишетЛобачевский,- я доказывал, основываясь на некоторых астрономическихнаблюдениях, что в треугольнике, которого бока почти таковы, как расстояние отЗемли до Солнца, сумма углов может разниться от двух прямых не более />,0003 вшестидесятичных секундах градуса. Предположение употребительной Геометриинадобно, следовательно, почитать как бы строго доказанным, а вместе бытьубеждену и в том, что независимо от опыта, напрасно было бы искатьдоказательства на такую истину, которая ещё не заключается сама собою в нашемпонятии о телах» («Воображаемая геометрия», 1835).
Лобачевский называл геометрию Евклида «Употребительной»,а свою – «воображаемой». Это не означает, однако, что он считал свою геометриюзамкнутой в себе чисто логической системой. Лобачевский усматривал в нейполезный инструмент для математического анализа и в этом плане написал обширнуюработу «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836). Интересноотметить, что в таблицах определённых интегралов Биеренс де Хаана содержитсясвыше 200 интегралов, которые были вычислены и опубликованы Лобачевским. Внастоящее время были известны глубокие связи геометрии Лобачевского сразнообразными разделами математики, а также теоретической физикой.
Идеи Лобачевского современным ему геометрам казалисьпарадоксальными и встретили только иронию. Понять и оценить его работы моглиочень немногие; среди них должны быть отмечены Гаусс и Я. Больяй, которыезанимались теорией параллельных независимо друг от друга и независимо отЛобачевского. Гауссу был ясен замысел новой геометрии, однако он не дал этомузамыслу достаточного развития, оставив только наброски отдельных, наиболееэлементарных теорем. Он даже не опубликовал своих взглядов на основы геометрии,боясь остаться непонятым. Я. Больяй издал свою работу через три года послепервой публикации Лобачевского. В своей работе Я. Больяй изложил ту же теорию,что и Лобачевский, но не в столь развитой форме. Как и Лобачевский, Больяй неполучил признания и сам нуждался в поддержке.
Учёный мир оценил значение исследований Лобачевского лишьпосле его смерти. А значение это исключительно.
До Лобачевского евклидова геометрия представляласьединственно мыслимым учением о пространстве. Открытие воображаемой или, как еёобычно называют, неевклидовой геометрии уничтожило эту точку зрения. Тем самымбыло положено начало далеко идущим обобщением взглядов на геометрию и еёпредмет, которые привели к современному понятию абстрактного пространства с егомногочисленными применениями внутри математики и в смежных с нею областях.
В цепи этих обобщений неевклидова геометрия Лобачевскогоявилась первым и определяющим звеном.
Список литературы
1. «Высшая геометрия» Н.В. Ефимов.